五（上）数学（通用版）厉老师思维练习题_5年级上册同步教辅_5上数学_五上数学通用重点必背资料+专项练习

厉老师 L5 数学习题
习题目录
一、计算专题.......................................................................................5
第1 讲 简便运算（上）................................................................................5
第2讲 简便运算（下）................................................................................7
第3 讲 等差数列...........................................................................................9
第4 讲 分数与循环小数..............................................................................10
第5 讲 分数比较大小..................................................................................11
第6 讲 解方程.............................................................................................12
二、应用题举一反三.........................................................................13
第1 讲 “牛吃草”问题..............................................................................13
第2 讲 解方程解应用题..............................................................................16
第3 讲 工程问题.........................................................................................18
第4 讲 一般应用题（一）..........................................................................21
第5 讲 一般应用题（二）..........................................................................23
第6 讲 浓度问题.........................................................................................25
第7 讲 复杂周期.........................................................................................27
第8 讲 复杂盈亏.........................................................................................29
第9 讲 分数应用题上................................................................................32
第10 讲 分数应用题下................................................................................34
第11 讲 假设法解题....................................................................................37
第12 讲 和差倍...........................................................................................39
三、 行程问题...................................................................................42
第1 讲 相遇追击【上】..............................................................................42
第2 讲 相遇追击【下】..............................................................................44
1/127厉老师 L5 数学习题
第3 讲 流水行船.........................................................................................45
第4 讲 火车行程.........................................................................................46
四、 数论专题...................................................................................47
第1 讲 奇数偶数.........................................................................................47
第2 讲 数的整除.........................................................................................48
第3 讲 质数和合数..................................................................................... 50
第4 讲 因数与倍数..................................................................................... 52
第5 讲 余数的性质..................................................................................... 53
第6 讲 中国剩余定理..................................................................................54
第7 讲 最值问题.........................................................................................56
第8 讲 平方数问题..................................................................................... 58
第9 讲 位值问题和进制..............................................................................60
五、 几何专题...................................................................................61
第1 讲 巧求周长.........................................................................................61
第2 讲 巧求面积.........................................................................................64
第3 讲 正方体和长方体【上】...................................................................67
第4 讲 正方体和长方体【中】...................................................................70
第5 讲 正方体和长方体【下】...................................................................73
第6 讲 组合图形求面积..............................................................................76
六、 计数专题...................................................................................79
第1 讲 数数图形.........................................................................................79
第2 讲 抽屉原理.........................................................................................82
第3 讲 枚举法.............................................................................................84
第4 讲 排列组合.........................................................................................85
答案部分............................................................................................86
2/127厉老师 L5 数学习题
一、计算专题.....................................................................................86
第1 讲 简便运算上..................................................................................... 86
第2 讲 简便运算（下）..............................................................................86
第3 讲 等差数列.........................................................................................87
第4 讲 分数与循环小数..............................................................................87
第5 讲 分数比较大小..................................................................................88
第6 讲 解方程.............................................................................................89
二、应用题举一反三.........................................................................90
第1 讲 “牛吃草”问题..............................................................................90
第2 讲 解方程解应用题..............................................................................91
第3 讲 工程问题.........................................................................................92
第4 讲 一般应用题（一）..........................................................................93
第5 讲 一般应用题（二）..........................................................................94
第6 讲 浓度问题.........................................................................................95
第7 讲 复杂周期.........................................................................................96
第8 讲 复杂盈亏.........................................................................................97
第9 讲 分数应用题上..................................................................................98
第10 讲 分数应用题下................................................................................99
第11 讲 假设法解题..................................................................................100
第12 讲 和差倍.........................................................................................101
三、行程问题...................................................................................102
第1 讲 相遇追击【上】............................................................................102
第2 讲 相遇追击【下】............................................................................103
第3 讲 流水行船.......................................................................................104
第4 讲 火车行程.......................................................................................105
3/127厉老师 L5 数学习题
四、数论专题...................................................................................107
第1 讲 奇数偶数.......................................................................................107
第2 讲 数的整除.......................................................................................109
第3 讲 质数和合数....................................................................................109
第4 讲 因数与倍数....................................................................................110
第5 讲 余数的性质....................................................................................110
第6 讲 中国剩余定理................................................................................111
第7 讲 最值问题.......................................................................................115
第8 讲 平方数问题....................................................................................115
第9 讲 位值问题和进制............................................................................118
五、几何专题...................................................................................119
第1 讲 巧求周长.......................................................................................119
第2 讲 巧求面积.......................................................................................120
第3 讲 正方体和长方体【上】.................................................................120
第4 讲 正方体和长方体【中】.................................................................121
第5 讲 正方体和长方体【下】.................................................................122
第6 讲 组合图形求面积............................................................................123
六、计数专题...................................................................................124
第1 讲 数数图形.......................................................................................124
第2 讲 抽屉原理.......................................................................................125
第3 讲 枚举法...........................................................................................126
第4 讲 排列组合.......................................................................................126
4/127厉老师 L5 数学习题
一、计算专题
第 1 讲 简便运算（上）
基础篇：计算下面各题。
1、3.87÷（3.87×0.2）
2、0.9999×0.7+0.1111×2.7
3、3.45×0.1+0.5×34.5+0.049×345
4.125×8.8
提高篇：计算：
1、85×10.1－8.5
5/127厉老师 L5 数学习题
2、52×22.2+2.6×556
3、20.07×39+200.7×4.1+40×10.035
4. 72×2.09－1.8×73.6
拓展篇：
计算下面各题：
1 5
1、 ×65＋11×
6 6
137
2、139×
138
3、4.4×57.8＋45.3×5.6
6/127厉老师 L5 数学习题
第 2 讲 简便运算（下）
基础篇：
5 3 5
1、 ×3 － ×1.75
8 4 8
2021 8
2、2021÷2021 3、56 ÷8
2022 9
提高篇：计算下面各题：
1、99999×88889＋33333×33333
2、9.65÷8.3+21.5÷83﹣0.35÷0.83
3、12.8×0.38+4.56×3.8+0.416×38
7/127厉老师 L5 数学习题
拓展篇：计算下面各题：
1、20.07×39+200.7×4.1+40×10.035
2、0.9999×0.7+0.1111×2.7
3、（1+0.228﹣0.21）×（0.228﹣0.21+0.2003）﹣（1+0.228﹣0.21+0.2003）
×（0.228﹣0.21）
8/127厉老师 L5 数学习题
第 3 讲 等差数列
1．1，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3，…，100．请
观察上面数列的规律，问：
(1)这个数列一共有多少项?
(2)(2)这个数列所有数的总和是多少?
2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(5，6，7)，(7，8，9)的规律，求：
(1)第20组中三个数的和；
(2)前20组中所有数的和．
3．一个数列的第一项是l，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，
接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一
项个位数字的两倍．请问：
(1)第100项是多少?
(2)前100项的和是多少?
9/127厉老师 L5 数学习题
第 4 讲 分数与循环小数
1．把下列分数化为小数：
3 13 13 2 3 4 5 5 7 2 3 4
(1) , , ; (2) , , ; (3) , , ; (4) , , 
4 8 25 9 11 33 6 22 90 7 13 37
2．把下列循环小数转化为分数：
(1)0.1, 0.4; (2)0.01, 0.35; (3)0.08, 0.38.
3．把下列循环小数转化为分数：0.7, 0.12, 0.123, 0.123
4．计算：(1)0.10.2 0.3; (2)0.2 0.30.4; (3)0.30.50.7;
(4)0.10.12 0.123; (5)0.12 0.23.
5．0.123450.234510.34512 0.451230.51234.
10/127厉老师 L5 数学习题
第 5 讲 分数比较大小
基础篇：
7777775 6666661
1、比较 和 的大小。
7777777 6666663
98765 9876 987 98
2、将 ， ， ， 按从小到大的顺序排列出来。
98766 9877 988 99
235861 652971
3、比较 和 的大小。
235862 652974
提高篇：
333 33
1、比较A＝ 和B＝ 的大小
1666 166
111111110 444444443
2、比较 和 的大小
222222221 888888887
8888887 9999991
3、比较 和 的大小。
8888889 9999994
11/127厉老师 L5 数学习题
拓展篇
176 177
1、比较 和 的大小。
257 259
22221 44443
2、如果A＝ ，B＝ ，那么A与B中较大的数是_______.
33332 66665
1234567 12345671
3、试比较 与 的大小。
9876543 98765431
第 6 讲 解方程
1）2（200-15X）=70+25X 2）3（2X+1）=12
3） 2(X－2)＋2＝X＋1 4) 3－X＝2－5(X－1)
5) 7x－8＝2x＋27 6) 5x -18 = 3–2x
3 3
7）0.36×5- x =
4 5
12/127厉老师 L5 数学习题
二、应用题举一反三
第 1 讲 “牛吃草”问题
基础篇
1、一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6 天，20头牛吃10 天，
那么可供19头牛吃几天？
2、牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供 10头牛吃 20 天，或
者可供15头牛吃10天，问可供 25 头牛吃几天？
3、牧场上的青草每天都在匀速生长，这片青草可供27 头牛吃6周或23 头牛吃
9周，那么这片草地可供21 头牛吃几周？
13/127厉老师 L5 数学习题
提高篇：
1、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算，牧场
上的草可供20头牛吃5 天或可供 16头牛吃6 天。那么，可供11头牛吃几天？
2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速度在减少。已知牧场上的草可供
33 头牛吃 5 天或可供 24 头牛吃 6 天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃 10
天？
3、经测算，地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年，或可供 80 亿人生活 300
年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的，那么，为满足人类不断发展的需
要，地球最多能养活多少亿人？
14/127厉老师 L5 数学习题
拓展篇：
1、有一水池，池底有泉水不断涌出。用10 部抽水机20小时可以把水抽干，用
15 部相同的抽水机 10 小时可以把水抽干。那么用 25 部这样的抽水机多少小时
可以把水抽干？
2、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有一个出水孔，两孔同时打
开后，如果每小时注水30立方分米，7 小时可以注满水箱；如果每小时注水45
立方分米，注满水箱可少用2.5小时。那么每小时由底面小孔排出多少立方分米
的水（设每小时排水量相同）？
3、有一水井，连续不段涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用 3 台抽水机
来抽水，36分钟可以抽完；如果使用5 台抽水机，20分钟抽完。现在12 分钟内
要抽完井水，需要抽水机多少台？
15/127厉老师 L5 数学习题
第 2 讲 解方程解应用题
基础篇：
1、学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书比连环画少6本，图书馆买来的
文艺书和连环画各是多少本？
2、某小有学生465人，其中女生比男生少25人，男、女生各有多少人？
3、王师傅和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少2个，两人
各加工了多少个？
提高篇：
3
1、某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的 得优，男、女生
4
得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？
2
2、有两盒球，第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球，第一盒中的 是红球，
5
已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？
16/127厉老师 L5 数学习题
3、六年级甲班比乙班少4人，甲班有1/3的人、乙班有1/4的人参加课外数学组，两
个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？
拓展篇：
1、某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多 5 人。今年参加
无线电小组的同学减少1/5，参加航模小组的人数减少1/10，这样，两个组的同
学一样多。去年两个小组各有多少人？
2、原来甲、乙两个书架上共有图书 900 本，将甲书架上的书增加 5/8，乙书架
上的书增加 3/10，这样，两个书架上的书就一样多。原来甲、乙两个书架各有
图书多少本？
3、某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多 700个。今天生产的甲种零件比昨
天少1/10，生产的乙种零件比昨天增加3/20，两种零件共生产了2065个。昨天
两种零件共生产了多少个？
17/127厉老师 L5 数学习题
第 3 讲 工程问题
基础篇：
1、修一条路，甲队每天修 6 小时，4 天可以完成；乙队每天修 8 小时，5
天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？
2、一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。现在由甲组
2人和乙组7人合作，多少天可以完成？
3、货场上有一堆沙子，如果用 3 辆卡车4 天可以完成，用4 辆马车 5天可
以运完，用 20 辆小板车 6 天可以运完。现在用 2辆卡车、3 辆马车和 7 辆小板
车共同运两天后，全改用小板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆
小板车？
18/127厉老师 L5 数学习题
提高篇：
1
1、师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的 ，徒
10
1
弟每小时加工自己任务的 。师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助
15
徒弟加工，直至完成任务，师傅帮徒弟加工了几小时？
2、有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙
需要12 小时，丙需要9 小时。甲、乙在 A仓库，丙在 B 仓库，同时开始搬运。
中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？
5
3、甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的 ，乙
8
每小时加工 12个零件，甲单独加工这批零件要12小时，这批零件有多少个？
19/127厉老师 L5 数学习题
拓展篇：
1、一项工程，甲独做 12 天完成，乙独做 4 天完成。若甲先做若干天后，
由乙接着做余下的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了6天，甲先做了几
天？
2、一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。甲队单
独做若干天后，由乙队接着做，共用35 天完成了任务。甲、乙两队各做了多少
天？
3、一项工程，甲独做要50天，乙独做要75天，现在由甲、乙合作，中间
乙休息几天，这样共用 40天完成。求乙休息的天数。
20/127厉老师 L5 数学习题
第 4 讲 一般应用题（一）
基础篇：
1. 五个同学有同样多的存款，若每人拿出16元捐给“希望工程”后，五位
同学剩下的钱正好等于原来 3人的存款数。原来每人存款多少？
2. 把一堆货物平均分给6个小组运，当每个小组都运了68箱时，正好运走
了这堆货物的一半。这堆货物一共有多少箱？
3. 老师把一批树苗平均分给四个小队栽，当每队栽了6棵时，发现剩下的
树苗正好是原来每队分得的棵数。这批树苗一共有多少棵？
提高篇：
1. 汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行40千米，实际每小时多行了10
千米，这样比原计划提前2小时到达了乙地。甲、乙两地相距多少千米？
2. 小明骑车上学，原计划每分钟行200米，正好准时到达学校，有一天因
下雨，他每分钟只能行120米，结果迟到了5分钟。他家离学校有多远？
21/127厉老师 L5 数学习题
3. 加工一批零件，原计划每天加工 80个，正好按期完成任务。由于改进了
生产技术，实际每天加工100个，这样，不仅提前4天完成加工任务，而且还多
加工了100个。他们实际加工零件多少个？
拓展篇：
1. 甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10个。途中乙因事休息了
5天，20 天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍，这时两人各加工帽子多少个？
2. 甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时比乙车多行20千米。
途中乙因修车用了2小时，6小时后甲车到达两地中点，而乙车才行了甲车所行
路程的一半。A、B两地相距多少千米？
3.甲、乙两人承包一项工程，共得工资1120元。已知甲工作了10天，乙工
作了12天，且甲5天的工资和乙4天的工资同样多。求甲、乙每天各分得工资
多少元？
22/127厉老师 L5 数学习题
第 5 讲 一般应用题（二）
基础篇：
1. 工厂里有2个锅炉，原来每月烧煤5.6吨。进行技术改造后，1号锅炉
每月节约1吨煤，2号锅炉每月烧煤量减少了一半，现在每月共烧煤3.5吨。原
来两个锅炉每月各烧煤多少吨？
2. 甲、乙两人生产同样的零件，原计划每天共生产80个。由于更换了机器，
甲每天多做40个，乙每天生产的是原来的4倍，这样二人一天共生产零件300
个。甲、乙原计划每天各生产多少个零件？
3. 甲、乙两队合挖一条水渠，原计划两队每天共挖100米，实际甲队因有
人请假，每天比计划少挖15米，而乙队由于增加了人，每天挖的是原计划的2
倍，这样两队每天一共挖了 150米。求两队原计划每天各挖多少米？
提高篇：
1. 有一根铁丝，截去一半多 10厘米，剩下的部分正好做一个长8厘米，宽
6厘米的长方形框架。这根铁丝原来长多少厘米？
23/127厉老师 L5 数学习题
2. 有一根竹竿，两头各截去20厘米，剩下部分的长度比截去的4倍少10
厘米。这根竹竿原来长多少厘米？
3. 两根电线一样长，第一根剪去 80米，第二根剪去320米，剩下部分第一
根是第二根长度的4倍。两根电线原来各长多少米？
拓展篇：
1. 某人过一个小山坡共用了20分钟，他上坡每分钟走80米，下坡每分钟
走102米。上坡路比下坡路少220米。这段小坡路全长多少米？
2. 食堂里买来15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10千克。已
知买回的大米比面粉多165千克，求买回大米、面粉各多少千克？
3. 老师买回两种笔共16支奖给三好学生，其中铅笔每支0.4元，圆珠笔每
支1.2元，买圆珠笔比买铅笔共多用了1.6元。求买这些笔共用去多少钱？
24/127厉老师 L5 数学习题
第 6 讲 浓度问题
基础篇：
1、现在有浓度为20％的糖水300克，要把它变成浓度为40％的糖水，需要
加糖多少克？
2、有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？
3、有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯
酒精。第一次把 20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒
回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？
提高篇：
1、用含氨0.15％的氨水进行油菜追肥。现有含氨16％的氨水30千克，配
置时需加水多少千克？
25/127厉老师 L5 数学习题
2、仓库运来含水量为90％的一种水果100千克。一星期后再测，发现含水
量降低到80％。现在这批水果的质量是多少千克？
3、一容器内装有10升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满；再倒出5升，再
用水加满。这时容器内溶液的浓度是多少？
拓展篇：
1、在100千克浓度为50％的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5％的硫
酸溶液就可以配制成25％的硫酸溶液？
2、浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％的酒精溶液300克混合后所
得到的酒精溶液的浓度是多少？
3、在20％的盐水中加入10千克水，浓度为15％。再加入多少千克盐，浓
度为25％？
26/127厉老师 L5 数学习题
第 7 讲 复杂周期
基础篇：
1. 跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该
插什么颜色？
2. 有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160
个是什么颜色？
3.1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？
提高篇：
1. 有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，
红旗占黄旗的几分之几？
2. 黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，
第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？
27/127厉老师 L5 数学习题
3. 在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学以一端开始，
按先两个女生，再一个男生的规律站立着。这些同学中共有多少个女生？
拓展篇：
1.444……4[100个4]÷3当商是整数时，余数是几？
2.444……4[100个4]÷6当商是整数时，余数是几？
3.111……1[1000个1]÷7当商是整数时，余数是几？
28/127厉老师 L5 数学习题
第 8 讲 复杂盈亏
基础篇：
1. 学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少10盒，彩色粉笔
增加8盒，两种粉笔就同样多；如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色
粉笔的5倍。学校买来两种粉笔各多少盒？
2. 操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增加25吨，则两堆货物
一样重；若甲、乙两堆各运走5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。两堆货物一
共有多少吨？
3.五（1）班的优秀学生中，若增加2名男生，减少1名女生，则男、女生
人数同样多；若减少1名男生，增加1名女生，则男生是女生的一半。这些优秀
学生中男、女生各多少人？
29/127厉老师 L5 数学习题
提高篇：
1. 给小朋友分梨，如果每人分4个，则多9个；如果每人分5个，则少6
个。有多少个小朋友？有多少个梨？
2. 老把一些铅笔奖给三好学生。每人5支则多4支，每人7支则少4支。
老师有多少支铅笔？奖给多少个三好学生？
3. 有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐
6人；如果减少一条船，正好每条船上坐9人。这个班一共有多少个同学？
30/127厉老师 L5 数学习题
拓展篇：
1. 一些学生搬一批砖，每人搬 4块，其中5人要搬两次；如果每人搬5块，
就有两人没有砖可搬。这些学生有多少人？这批砖有多少块？
2. 老师给幼儿园小朋友分糖，每人3块还多10块；如果减少2个小朋友再
分，每人4块还多7块。原来有多少个小朋友？有多少块糖？
3. 筑路队计划每天筑路720米，正好按期筑完。实际每天多筑80米，这样，
比原计划提前3天完成了筑路任务。要筑的路有多长？
31/127厉老师 L5 数学习题
第 9 讲 分数应用题上
基础篇：
3 3
1、乙数是甲数的 ，丙数是乙数的 ，丙数是甲数的几分之几？
4 5
1 1
2、一根管子，第一次截去全长的 ，第二次截去余下的 ，两次共截去全
4 2
长的几分之几？
3、一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时旅客睡着了。他
1
醒来时，发现剩下的路程是他睡着前所行路程的 。想一想，剩下的路程是全程
4
的几分之几？他睡着时火车行了全程的几分之几？
提高篇：用两种方法解答下面各题：
1 1
1、一堆黄沙30吨，第一次用去总数的 ，第二次用去的是第一次的1 倍，
5 4
第二次用去黄沙多少吨？
1 7
2、大象可活80年，马的寿命是大象的 ，长颈鹿的寿命是马的 ，长颈鹿
2 8
32/127厉老师 L5 数学习题
可活多少年？
1 1
3、仓库里有化肥30吨，第一次取出总数的 ，第二次取出余下的 ，第二
5 3
次取出多少吨？
拓展篇：
1 3
1、有一批货物，第一天运了这批货物的 ，第二天运的是第一天的 ，还
4 5
剩90吨没有运。这批货物有多少吨？
1
2、修路队在一条公路上施工。第一天修了这条公路的 ，第二天修了余下
4
2
的 ，已知这两天共修路1200米，这条公路全长多少米？
3
2 4
3、加工一批零件，甲先加工了这批零件的 ，接着乙加工了余下的 。已
5 9
知乙加工的个数比甲少200个，这批零件共有多少个？
33/127厉老师 L5 数学习题
第 10 讲 分数应用题下
基础篇：下面各题怎样计算简便就怎样计算：
5 3
1、甲数是乙数的 ，乙数是丙数的 ，甲、乙、丙三个数的和是152，甲、乙、
6 4
丙三个数各是多少？
2 1
2、橘子的千克数是苹果的 ，香蕉的千克数是橘子的 ，香蕉和苹果共有220
3 2
千克，橘子有多少千克？
9
3、某中学的初中部三个年级中，初一的学生数是初二学生数的 ，初二的学生
10
1
数是初三学生数的1 倍，这个学校里初三的学生数占初中部学生数的几分之
4
几？
提高篇：
2 5
1、甲数的 等于乙数的 ，甲、乙两数的和是162，甲、乙两数各是多少？
3 6
34/127厉老师 L5 数学习题
2
2、今年8月份，甲所得的奖金比乙少200元，甲得的奖金的 正好是乙得奖金
3
4
的 ，甲、乙两人各得奖金多少元？
7
1 1
3、商店运来香蕉、苹果和梨子共 900千克，香蕉重量的 等于苹果重量的 ，
4 3
梨子的重量是200千克。香蕉和苹果各多少千克？
拓展篇：
1 1
1、在一座城市中，中学生数是居民的 ，大学生是中学生数的 ，那么占大学
5 4
2
生总数的 的理工科大学生是居民数的几分之几？
5
3 2
2、某人在一次选举中，需 的选票才能当选，计算 的选票后，他得到的选票
4 3
5
已达到当选票数的 ，他还要得到剩下选票的几分之几才能当选？
6
35/127厉老师 L5 数学习题
3 1 3
3、某校有 的学生是男生，男生的 想当医生，全校想当医生的学生的 是男
5 20 4
生，那么全校女生的几分之几想当医生？
36/127厉老师 L5 数学习题
第 11 讲 假设法解题
基础篇
1，笼中共有鸡、兔100只，鸡和兔的脚共248只。求笼中鸡、兔各有多少只？
2，一堆2分和5分的硬币共39枚，共值1.5元。问2分和5分的各有多少枚？
3，营业员把一张 5元人币和一张5角的人民币换成了28张票面为一元和一角的
人民币，求换来这两种人民币各多少张？
提高篇
1，有3元、5元和7元的电影票400张，一共价值1920元。其中7元的和5元
的张数相等，三种价格的电影票各有多少张？
2，有一元、五元和十元的人民币共14张，总计66元，其中一元的比十元的多
2张。问三种人民币各有多少张？
37/127厉老师 L5 数学习题
3，有 1 角、2 角、4 角、5 角的邮票共 26 张，总计 6.9 元。其中 1 角和 2 角的
张数相等，4角的和5角的张数相等。求这四种邮票各有多少张？
拓展篇
1，甲、乙二人共存550元钱，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己存款中的
70元时，两人余下的钱正好相等。求甲、乙原来各存多少元钱。
2，学校春游共用了10辆客车，已知大客车每辆坐100人，小客车每辆坐60人，
大客车比小客车一共多坐520人。大、小客车各几辆？
3，班级买来50张杂技票，其中一部分是1元5角一张的，另一部分是2元一张
的，总共的票价是88元。两种票各买了多少张？
38/127厉老师 L5 数学习题
第 12 讲 和差倍
提高篇
1，奶奶家养了 25只鸭子，养的鸡比鸭和鹅的总数还多 10 只。奶奶家养的鸡比
鹅多几只？
2，批发部运来一批水果，其中梨 65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多 24筐。运
来的香蕉比苹果少多少筐？
3，期末测试中，明明的语文得了 90分。数学比语文和作文的总分少 70分。明
明的数学比作文高多少分？
拓展篇
1，甲、乙、丙、丁四个数的和是 100，甲数加上 4，乙数减去4，丙数乘以 4，
丁数除以4后，四个数就正好相等。求这四个数。
39/127厉老师 L5 数学习题
2，甲、乙、丙三人分 113 个苹果，如果把甲分得的个数减去 5，乙分得的个数
减去 24，丙把分得的个数送给别人一半后，三人的苹果个数就相同。三人原来
各分得苹果多少个？
3，甲、乙、丙、丁一共做370个零件，如果把甲做的个数加10，乙做的个数减
20，丙做的个数乘以 2，丁做的个数除以 2，四人做的零件正好相等，求乙实际
做了多少个？
超越篇
1，有两筐水果，甲筐水果的个数是乙筐的3倍，如果从乙筐中拿5个放进甲筐，
这时甲筐的水果恰好是乙筐的 5倍。原来两筐各有多少个水果？
2，某车间有两个小组，A 组的人数比 B 组人数的 2 倍多 2 人。如果从 B 组中抽
10人去A组，则A组的人数是B组的4倍。原来两组各有多少人？
40/127厉老师 L5 数学习题
3，五（1）班上学期体育达标的人数比未达标人数的 5 倍多 2 人，今年又有 2
位同学达标，这样，达标的人数正好是未达标人数的7倍。这个班共有多少个同
学？
41/127厉老师 L5 数学习题
三、行程问题
第 1 讲 相遇追击【上】
基础篇
1，小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫出发，
相向而行，并在离中点120米处相遇。学校到少年宫有多少米？
2，一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行 40千米，
摩托车每小时行65千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距75千米。
甲、乙两地相距多少千米？
3，甲、乙二人同时从东村到西村。甲每分钟行 120米，乙每分钟行 100米，结
果甲比乙早5分钟到达西村。东村到西村的路程是多少米？
42/127厉老师 L5 数学习题
提高篇
1，兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。哥哥每分钟行 120米，5分钟
后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米。弟弟每分钟行多少米？
2，汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米。4小时后，剩下的路比全程的一半
少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到达乙地？
3，学校运来一批树苗，五（1）班的40个同学都去参加植树活动，如果每人植
3棵，全班同学都能植这批树苗的一半还多20 棵。如果这批树苗全部给五（1）
班的同学去植，平均每人植多少树？
43/127厉老师 L5 数学习题
第 2 讲 相遇追击【下】
基础篇
（1）一辆摩托车以每小时 80千米的速度去追赶前面 30千米处的卡车，卡车行
驶的速度是每小时65千米。摩托车多长时间能够追上？
（2）兄弟二人从 100 米跑道的起点和终点同时出发，沿同一方向跑步，弟弟在
前，每分钟跑120米；哥哥在后，每分钟跑140米。几分钟后哥哥追上弟弟？
（3）甲骑自行车从 A地到B地，每小时行16千米。1小时后，乙也骑自行车从
A地到B地，每小时行20千米，结果两人同时到达B地。A、B两地相距多少千
米？
44/127厉老师 L5 数学习题
第 3 讲 流水行船
基础篇：
1、水流速度是每小时 15 千米。现在有船顺水而行，8小时行 320 千米。若
逆水行320千米需几小时？
2、水流速度每小时 5 千米。现在有一船逆水在 120 千米的河中航行需 6 小
时，顺水航行需几小时？
3、一船从A地顺流到B地，航行速度是每小时32千米，水流速度是每小时
1
4千米，2 天可以到达。次船从B地返回到A地需多少小时？
2
45/127厉老师 L5 数学习题
第 4 讲 火车行程
1，一列快车长 150米，每秒行 22 米；一列慢车长 100米，每秒行 14 米。快车
从后面追上慢车到超过慢车，共需几秒钟？
2，小明以每秒 2米的速度沿铁路旁的人行道跑步，身后开来一列长 188米的火
车，火车每秒行18米。问：火车追上小明到完全超过小明共用了多少秒钟？
3，A火车长180米，每秒行18米；B火车每秒行15米。两火车同方向行驶，A
火车从追上B火车到超过它共用了100秒钟，求B火车长多少米？
4，一列火车通过 200米的大桥需要80秒，同样的速度通过144米长的隧道需要
72秒。求火车的速度和车长。
46/127厉老师 L5 数学习题
四、数论专题
第 1 讲 奇数偶数
1、29+30+.....+87+88得数是奇数还是偶数？
2、1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋…＋99＋100＋99＋…＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1
的和是奇数还是偶数？
3、13×115×217×19×21×27×128×11的积是奇数还是偶数？
4、1×2＋3×4＋5×6＋…＋199×200的结果是奇数还是偶数？为什么？
47/127厉老师 L5 数学习题
5、在3×3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每
次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程
序后，能否从一张表变化 为另一张表.
+ + - - - +
+ + - + - -
- - + - - +
第 2 讲 数的整除
1、有如下三位数：459，387，228，975，525，882，715，775，837、116
这些数中：
(1) 哪些能被3整除？
(2) 哪些能被9整除？
(3) 哪些能被25整除？
(4) 哪些能被4整除？
2、已知87237□是25的倍数，方框中应填写的数字是多少？
48/127厉老师 L5 数学习题
3、已知8327453□是4的倍数，方框中应填写的数字有哪些可能性？
4、已知653421B是9的倍数，B应填写的数字有哪些可能性？
5、已知20□5□7□能同时被2 、3 、5的倍数，这个数字最大是多少？
6、已知2□694能被11整除，这个数字可能是多少？
7、已知41A12B能被45整除，这个数字可能是多少？
49/127厉老师 L5 数学习题
第 3 讲 质数和合数
1．(1)如果两个质数相加等于16，这两个质数有可能等于多少？
(2)如果两个质数相加等于25，这两个质数有可能等于多少？
(3)如果两个质数相加等于29，这样的两个质数存在吗？
2．有人说：“任何 7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话
是错的．
3．请写出5个质数，使得它们正好构成一个公差为12的等差数列．
4．请把下面的数分解质因数：(1)160；(2) 598；(3) 211.
5．三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于第三个数，请求出这三个
数．
50/127厉老师 L5 数学习题
6．用一个两位数除330，结果正好能整除，请写出所有可能的两位数．
51/127厉老师 L5 数学习题
第 4 讲 因数与倍数
1．(1)请写出105的所有约数；(2)请写出72的所有约数．
2．(1)20000的约数有多少个？(2) 720的约数有多少个？
3．计算：(1)(28,72), [28,72]; (2) (28,44,260), [28, 44,260].
4．两个数的差是6，它们的最大公约数可能是多少？
5．(1)求 1085 和 1178 的最大公约数和最小公倍数； (2)求 3553，3910 和 1411
的最大公约数．
6．教师节到了，校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老
职工．请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、
桔子、香蕉各有多少个？
52/127厉老师 L5 数学习题
第 5 讲 余数的性质
基础篇：
1、求4217×364除以6的余数。
2、求1339655×12除以13的余数。
3、求879×4376×5283除以11的余数。
提高篇：
1、已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期几？
2、已知 2002 年的“七月一日”是星期一。求 2015年的“十月一日”是星
期几？
3、今天是星期四，再过36515是星期几？
53/127厉老师 L5 数学习题
第 6 讲 中国剩余定理
1、一个数，除以5 余1，除以3余2。问这个数最小是多少？
2、一个数除以5 余1，除以3也余 1。问这个数最小是多少？（1 除外）
3、一个数除以5 余4，除以3余 2。问这个数最小是多少？
4、有1 个数，除以7 余2．除以 8 余4，除以9 余3，这个数至少是多少？
5、三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
54/127厉老师 L5 数学习题
6、一个数被5 除余2，被6除少 2，被7 除少3，这个数最小是多少?
7、一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组
七人就多四人，问这个班有多少学生?
55/127厉老师 L5 数学习题
第 7 讲 最值问题
基础篇：
x－y
1、设x和y是选自前100个正整数的两个不同的数，求 的最大值。
x+y
a－b
2、a和b是小于50的两个不同的正整数，且a＞b，求 的最小值。
a+b
x+y
3、设 x 和 y 是选自前 200 个正整数的两个不同的数，且 x＞y，①求 的最
x－y
x+y
大值；②求 的最小值。
x－y
提高篇：
3 4
1、有甲、乙两个两位数，甲数的 等于乙数的 。这两个两位数的差最多是多
10 5
少？
56/127厉老师 L5 数学习题
5 1
2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的 恰好等于乙数的 。这两个两位数的
6 4
和最小是多少？
3、加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别
能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少
工人？
拓展篇
1、两个四位数的差是8921。这两个四位数的和的最大值是多少？
2、如果两个三位数的和是 525，就说这两个三位数组成一个数对。那么这样的
数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的差最小是多少？最大是多少？
3、如果两个四位数的差是 3456，就说这两个数组成一个数对。那么，这样的数
对共有多少个？组成这样的数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？
57/127厉老师 L5 数学习题
第 8 讲 平方数问题
1、一个自然数减去 45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解答：设此自然数为x，依题意可得
2、求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数
3、求满足下列条件的所有自然数：
(1)它是四位数。(2)被22除余数为5。(3)它是完全平方数
4、决断下列各数哪几个数是完全平方数：486，1156，4128。
5、甲、乙两人合养了 n头羊，而每头羊的卖价又恰为 n 元，全部卖完后，两人
分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足
十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元?
58/127厉老师 L5 数学习题
6、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方
59/127厉老师 L5 数学习题
第 9 讲 位值问题和进制
1．(145) 化成十进制数是多少？十进制数90转化为七进制数是多少？
8
2．在二进制中计算：(111) ×(101) −(111100) ÷(11) = .
2 2 2 2
3．记号(25) 表示k进制的数，如果(a5) 在十进制中表示为(35) ，求a值。
k 6 10
4．在几进制中有4×13=100？
5．三位数abc比三位数cba小99，若a、b、c彼此不同，则abc最大是多少？
60/127厉老师 L5 数学习题
五、几何专题
第 1 讲 巧求周长
基础篇:
1.下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。
2.下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。
3.有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图
形的周长。
50cm
提高篇：
1.有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平
方米，且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方形的周长。
61/127厉老师 L5 数学习题
2.有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，
这个图形的周长是多少？
3.有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下的部
分仍是长方形，且周长为280米。求划去的绿化带的面积是多少平方米？
拓展篇：
1.有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小
的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。
2.一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图（1）所示
长方形，求所拼长方形的周长。
图（1）
62/127厉老师 L5 数学习题
3.求下面图形（图2）的周长（单位：厘米）。
图（2）
63/127厉老师 L5 数学习题
第 2 讲 巧求面积
基础篇：
1.有一块长方形草地，长20 米，宽15米。在它的四周向外筑一条宽 2米的
小路，求小路的面积。
2.正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边减少18厘米，结果得到一个
与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米？
3.把一个长方形的长增加5分米，宽增加8分米后，得到一个面积比原长方
形多181平方分米的正方形。求这个正方形的边长是多少分米？
64/127厉老师 L5 数学习题
提高篇：
1.下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是 24
平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求阴影部分的面积。
2.下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积如图所示
（单位：平方厘米），求A和B的面积。
3.下图中阴影部分是边长5厘米的正方形，四块完全一样的长方形的宽是8
厘米，求整个图形的面积。
65/127厉老师 L5 数学习题
拓展篇：
1.四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形，如果大、小
正方形的面积分别是49平方米和4平方米，求其中一个长方形的宽。
2.图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且28条边的长都相等。如果此图
的周长是56厘米，那么，这个图形的面积是多少？
3.正图中，正方形ABCD的边长4厘米，求长方形EFGD的面积。
66/127厉老师 L5 数学习题
第 3 讲 正方体和长方体【上】
基础篇：
1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），
剩下部分的表面积和体积各是多少？
2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，
求这根木料原来的体积。
3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各
切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？
提高篇：
1.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。
67/127厉老师 L5 数学习题
2.有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正
方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？
3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体
积和表面积各是多少？
拓展篇：
1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积
比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。
如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？
68/127厉老师 L5 数学习题
2.一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一
个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？
3.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减
少多少平方分米？
69/127厉老师 L5 数学习题
第 4 讲 正方体和长方体【中】
基础篇：
1.有两个水池，甲水池长8 分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它
长6分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个
水池中水面同样高。问水面高多少？
2.有一个长方体水箱，从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水
面高10厘米。放进一个棱长20 厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这
时水面高多少厘米？
3.一段钢材长15分米，横截面面积是1.2平方分米。如果把它煅烧成一横
截面面积是0.1平方分米的钢筋，求这根据钢筋的长。
70/127厉老师 L5 数学习题
提高篇：
1.有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294
平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。
2.将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个
长方体，已知这个长方体的长是 13厘米，宽7厘米，求它的高。
3.把8块边长是1分米的正方体铁块熔成一个大正方体，这个大正方体的表
面积是多少平方分米？
71/127厉老师 L5 数学习题
拓展篇：
1.有一个小金鱼缸，长4分米、宽3分米、水深2分米。把一块假山石浸入
水中后，水面上升0.8分米。这块假山石的体积是多少立方分米？
2.有一个正方体容器，边长是24厘米，里面注满了水。有一根长50厘米，
横截面是12平方厘米的长方形的铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问：会溶出多
少立方厘米的水？
3.有一块边长是5厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。取
出铁后，水面下降了0.5厘米。这个长方体容器的底面积是多少平方厘米？
72/127厉老师 L5 数学习题
第 5 讲 正方体和长方体【下】
基础篇：
1.把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表
面积比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘米？
2.有一个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，
表面积增加多少平方米？
3.把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样的小长
方体，没有涂颜色的面积是 60平方厘米。求涂上红色的面积一共是多少平方厘
米？
提高篇：
1.把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是
多少平方厘米？
73/127厉老师 L5 数学习题
2.有一个正方体木块，长4分米、宽3分米、高6分米，现在把它锯成两个
长方体，表面积最多增加多少平方分米？
3.有三块完全一样的长方体积木，它们的长是8厘米、宽4厘米、高2厘米，
现把三块积木拱成一个大的长方体，怎样搭表面积最大？最大是多少平方厘米？
拓展篇：
1.用棱长是1厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体，至少需要多少个
小正方体？如果要摆一个棱长是 6厘米的正方体，需要多少个小正方体？
2.有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、高4厘米，如果把它锯成棱长是
1厘米的小正方体，一共能锯多少个？这些小正方体的表面积和是多少？
74/127厉老师 L5 数学习题
3.把24个棱长是1厘米的小正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积
至少是多少平方厘米？
4、一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中：
（1）三个面涂有红色的有几个？
（2）二个面涂有红色的有几个？
（3）一个面涂有红色的有几个？
（4）六个面都没有涂色的有几个？
75/127厉老师 L5 数学习题
第 6 讲 组合图形求面积
基础篇：
1.求下图中阴影部分的面积。
2.求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
3.下图的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。
提高篇：
1.下图中，三角形ABC的面积是36平方厘米，三角形ABE与三角形AEC的
面积相等，如果AB=9厘米，FB=FE，求三角形AFE的面积。
76/127厉老师 L5 数学习题
2.图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
3.图中三角形ABC的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，求阴
影部分的面积（ADFC不是正方形）。
77/127厉老师 L5 数学习题
拓展篇：
1.如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面
积是多少平方厘米？
2.下图的梯形ABCD中，下底是上底的 2倍，E是AB的中点。那么梯形ABCD
的面积是三角形BDE面积的多少倍？
3.下图梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC
的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？
78/127厉老师 L5 数学习题
六、计数专题
第 1 讲 数数图形
基础篇：
1.下图中共有多少个正方形？
2.下图中共有多少个正方形？
3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形？
4、下图中共有多少个三角形？
79/127厉老师 L5 数学习题
提高篇：
1.下面图中共有多少个三角形？
2.数一数，图中共有多少个三角形。
3.数一数，图中共有多少个三角形？
拓展篇：
1、数出下面图形中分别有多少个三角形。
80/127厉老师 L5 数学习题
2.图中共有（ ）个正方形。
3.图中共有（ ）个三角形。
4.图中共有（ ）个三角形。
81/127厉老师 L5 数学习题
第 2 讲 抽屉原理
基础篇：
1、某校有 370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，
为什么？
2、某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？
3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？
提高篇：
1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书。买书的情况是：有买
一本的、二本的、三本或四本的。，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同
学买到相同的书（每种书最多买一本）？
2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，
那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？
82/127厉老师 L5 数学习题
3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄
三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？
拓展篇：
1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄
四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有4副同色的？
2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。
问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有3双同色的？
3、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各 8 只。每次从布袋中拿出一只袜子，
最少要拿出多少只才能保证其中至少有2双不同袜子？
83/127厉老师 L5 数学习题
第 3 讲 枚举法
1．同时能被6、7、8、9整除的四位数有多少个？
2．从1，2，3，…，9这9个数中选出2个数，请问：
(1)要使两数之和是 3 的倍数，一共有多少种不同的选法？
(2)要使两数之积是 3 的倍数，一共有多少种不同的选法？
3．在所有由1、3、5、7、9中的3个不同数字组成的三位数中，有多少个是3
的倍数？
4．用0至5这6个数字可以组成多少个能被5整除且各位数字互不相同的五位
数？
5．个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数
共有多少个？
84/127厉老师 L5 数学习题
第 4 讲 排列组合
1．四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放
法有________种.
2．只用 1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同
一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )
A．6个 B．9个 C．18个 D．36个
3．某公司招聘来 8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语
翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部
门，则不同的分配方案共有( )
A．24种 B．36种 C．38种 D．108种
4．由 1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且 1、3都不与5 相邻的六位偶数的
个数是( )
A．72 B．96 C．108 D．144
5．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只
安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的
安排方法有( )
A．50种 B．60种 C．120种 D．210种
6．将6位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各1 人，分赴世博会
的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．
85/127厉老师 L5 数学习题
答案部分
一、计算专题
第 1 讲 简便运算上
基础篇：计算下面各题。
【答案】1.5 2.0。9999 3.34.5 4.1100
提高篇：计算：
【答案】1.850 2.2600 3.2007 4.18
拓展篇：
计算下面各题：
137
【答案】1.20 2.137 3.508
138
第 2 讲 简便运算（下）
基础篇：
2022 1
【答案】1.1.25 2. 3.7
2023 9
提高篇：计算下面各题：
【答案】1.9999900000 2.1 3.38
拓展篇：计算下面各题：
【答案】1.2007 2.0.9999
86/127厉老师 L5 数学习题
3.设1+0.228﹣0.21＝a，0.228﹣0.21＝b，
（1+0.228﹣0.21）×（0.228﹣0.21+0.2003）﹣（1+0.228﹣0.21+0.2003）×（0.228﹣0.21）
＝a×（b+0.2003）﹣（a+0.2003）×b
＝ab+0.2003a﹣ab﹣0.2003b
＝0.2003×（a﹣b）
＝0.2003×1
＝0.2003
第 3 讲 等差数列
答案：
1、（1）67 项；（2）1783.
2、（1）120；（2）1260.
3、（1）8；（2）975.
第 4 讲 分数与循环小数
答案：
    
1. （1）0.75，1.625，0.52；（2）0.2，0.27，0.12；
         
（2） 0.83，0.227，0.07；（4） 0.285714，0.230769，0.108
1 4 1 35 4 7
2. 1  ，； 2  ， ； 3  ， .
9 9 99 99 45 18
7 4 41 61
3. ， ， ， .
9 33 333 495
    
4.
1
 0.6；
2
 1；
3
 1.6；
4
 0.356；
5

0.354.
2
5.1 .
3
87/127厉老师 L5 数学习题
第 5 讲 分数比较大小
基础篇
7777775 6666661
1、 ＞
7777777 6666663
98 987 9876 98765
2、 ＜ ＜ ＜
99 988 9877 98766
235861 652971
3、 ＞
235862 652974
提高篇
333 33
1、 ＞
1666 166
111111110 444444443
2、 ＜
222222221 888888887
8888887 9999991
3、 ＞
8888889 9999994
拓展篇
176 177
1、 ＞
257 259
22221 44443
2、 ＜
33332 66665
1234567 12345671
3、 ＜
9876543 98765431
88/127厉老师 L5 数学习题
第 6 讲 解方程
1）2（200-15X）=70+25X 2）3（2X+1）=12
解： 400-30X=70+25X 解：6X+3=12
55X=330 6X=9
X=6 X=1.5
3) 2(X－2)＋2＝X＋1 4) 3－X＝2－5(X－1)
解： 2x-4+2=x+1 解： 3-x=2-5x+5
2x-x=4-2+1 5x-x=2+5-3
X=3 4x=4
X=1
5) 7x－8＝2x＋27 6) 5x -18 = 3–2x
解：7x-2x=27+8 解： 5x+2x=18+3
5x=35 7x=21
X=7 x=3
3 3
7）0.36×5- x =
4 5
3 3
解： x=0.36×5-
4 5
3
x=1.8-0.6
4
3
x=1.2
4
x=1.2x
4
x=1.6
3
89/127厉老师 L5 数学习题
二、应用题举一反三
第 1 讲 “牛吃草”问题
基础篇
【答案】1.每天长草量：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（份）
原有草量：24×6-14×6=60（份）
可吃天数：60÷（19-14）=12（天）
2.每天长草量：（20×10-15×10）÷（20-10）=5（份）
原有草量：（10-5）×20=100（份）
可吃天数：100÷（25-5）=5（天）
3.每天长草量：（23×9-27×6）÷（9-6）=15（份）
原有草量：（27-15）×6=72（份）
可吃时间：72÷（21-15）=12（周）
提高篇
【答案】1.每天减少量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4（份）
原有草量：（20+4）×5=120（份）
可吃天数：120÷（11+4）=8（天）
2.每天减少量：（33×5-24×6）÷（6-5）=21（份）
原有草量：（33+21）×5=270（份）
牛的数量：270÷10-21=6（头）
3.（80×300-100×100）÷（300-100）=70（亿）
拓展篇
【答案】1.每小时涌出水：（10×20-15×10）÷（20-10）=5（份）
原有泉水：（10-5）×20=100（份）
抽干需要：100÷（25-5）=5（时）
90/127厉老师 L5 数学习题
2.[30×7-45×（7-2.5）]÷2.5=3（立方分米）
1
3.每小时涌出水（3×36-5×20）÷（36-20）= （份）
2
1
原有泉水：（3- ）×36=90（份）
2
1
抽干需要抽水机：（90+ ×12）÷12=8（台）
2
第 2 讲 解方程解应用题
基础篇
【答案】1.文艺书60 本，连环画 66 本。
2.男生 245人，女生 220人。
3.王师傅加工了 30 个零件，李师傅加工了32个零件。
提高篇
1.去年参加无线电小组的同学有 45人，参加航模小组的同学有 40 人
2.原来甲书架有图书 400 本，乙书架有图书 500 本。
3.昨天两种零件共生产了 2100 个。
拓展篇
【答案】1.男生参赛 12 人，女生参赛 40人。
2.两盒球共有 105 个。
3.甲乙两班共有 100 人。
91/127厉老师 L5 数学习题
第 3 讲 工程问题
答案：
基础篇
1 1
1、1÷（ + ）÷2＝7.5 小时
4×6 8×5
1 1
2、1÷（ ×2+ ×7）＝3 天
3×8 4×7
3、（1）共同运两天后，还剩这堆黄沙的
1 1 1 1
1－（ ×2+ ×5+ ×7）×2＝
3×4 4×5 20×6 4
1 1
（2）后两天需要小板车： ÷（ ×2）＝15 辆
4 20×6
提高篇
1 1
1、2÷（ + ）－10＝2小时
10 15
1 1 1
2、2÷（ + + ）＝8 小时
18 12 9
1 1
甲帮乙：（1－ ×8）÷ ＝6 小时
12 18
1 1
甲帮丙：（1－ ×8）÷ ＝2小时
9 18
5 1 5
3、解法一：12×（ ÷ ）÷（1－ ）＝240个
8 12 8
解法二：12÷（8－5）×5×12＝240个
92/127厉老师 L5 数学习题
拓展篇
1 1 1
1、（ ×6－1）÷（ － ）＝3 天
4 4 12
1 1 1
2、甲：（1－ ×35）÷（ － ）＝15天
40 30 40
乙：35－15＝20 天
1 1
3、40－（1－ ×40）÷ ＝25 天
50 75
第 4 讲 一般应用题（一）
基础篇
【答案】
1.16×5÷（5-3）=40（元）
2.68×6×2=816（箱）
3.原来每队分得 6×4÷（4-1）=8（棵）8×4=32（棵）
提高篇
【答案】
1.（40+10）×（40×2÷10）=400（千米）
2.（120×5）÷（200-120）×200=1500（千米）
3.（100×4+100）÷（100-80）×80+100=2100（个）
拓展篇
【答案】
1.甲加工帽子 600 个，乙加工帽子 300 个
2.A、B 两地相距240×2×2=960（千米）
3、甲 5天等于乙 4天，所以甲 10 天等于乙 8 天，
所以总共可看成乙工作 12+8=20天，1120÷20＝56 元，
可知乙每天工资为 56 元，甲每天的工资为 4×56÷5＝44.8 元...
93/127厉老师 L5 数学习题
第 5 讲 一般应用题（二）
基础篇
【答案】
1.1 号炉原来每月烧煤 3.4 吨，2号炉每月烧煤 2.2 吨
2.甲原计划每天生产 20 个，乙原计划每天生产60 个
3.甲队原计划每天挖 35 米，乙队原计划每天挖65米
提高篇
【答案】
1.长方形框架周长（8+6）×2=28（厘米）（28+10）×2=76（厘米）
2.截去部分长度 20×2=40（厘米）剩下长度：40×4-10=150（厘米）
这个竹竿原来长：40+150=190（厘米）
3.长度-80=（长度-320）×4 长度=400（米）
拓展篇
【答案】
1.1820 米
2.大米 225 千克，面粉 60千克
3.10.4 元
94/127厉老师 L5 数学习题
第 6 讲 浓度问题
基础篇
【答案】
1.需要加糖 100克。
2.需加盐 1.25千克。
3.甲瓶里含的纯酒精和乙瓶里含的水一样多。
提高篇
【答案】
1.氨的质量不变，需加水 3170 千克。
2.除水以外的部分的质量不变。质量是 50千克。
3.37.5%。
拓展篇
【答案】
1.125 千克。
2.要求混合后的浓度，可用混合后的酒精总质量除以混合后的溶液总质量。
62.5%
1
3.加入盐的质量：5 千克。
3
95/127厉老师 L5 数学习题
第 7 讲 复杂周期
基础篇
【答案】
1.50÷6=8……2 第50 面是红色
2.160÷9=17……7 第 160 个是白色
3.100÷6=16……4 第 100 个数字是8
提高篇
【答案】
1.红色旗子 2×11+2=24（面）黄色旗子：3×11=33（面）红色旗子占黄色
24
旗子的
33
2.2000÷（1+3）=500（组）第2000 颗珠子是白色，黑色珠子：500×1=500
（颗）
3.100÷2+1=51（个）51÷3×2×2=68（个）
拓展篇
【答案】
1.100÷3=33……1，余数是 1,2,0中的第 1个，即 1
2.100÷3=33……1，余数是 4,2,0中的第 1个，即 4
3.1000÷6=166……4，余数是 1,4,6,5,2,0 中的第4 个，即 5
96/127厉老师 L5 数学习题
第 8 讲 复杂盈亏
基础篇
【答案】
1. 设学校买来了白粉笔 x 盒，彩色粉笔（x-10-8）盒。
列方程（x-10-8）×5=x+10 解得 x=25
即白色粉笔 25盒，彩色粉笔 25-18=7盒
2.80-25=55（吨）[55÷（3-1）+5]×2+55=120（吨）
3.（3+1+1）÷（2-1）=5（人）男生：5+1=6（人）女生：6+3=9（人）
提高篇
【答案】
1.小朋友 9+6=15（个）梨 15×4+9=69（个）
2.学生：（4+4）÷（7-5）=4（人）铅笔：5×4+4=24（支）
3.船：（6+9）÷（9-6）=5（条）同学：6×（5+1）=36（人）
拓展篇
【答案】
1.人数：（4×5+5×2）÷（5-4）=30（人）砖：4×30+5×4=140（块）
2.小朋友：[10+（4×2-7）]÷（4-3）=11（个）糖：11×3+10=43（块）
3.设原计划 x天修完，720x=（720+80）×（x-3）得 x=30，30×720=21600
（米）
97/127厉老师 L5 数学习题
第 9 讲 分数应用题上
基础篇
【答案】
3 3 9
1. × =
5 4 20
1 1 1 5
+（1- ）× =
2、4 4 2 8
1 1 1 1 1 3
3、3. × = - =
2 4 8 2 8 8
提高篇
【答案】
1 5
1.30× × =7.5（吨）
5 4
1 7
2.80× × =35（年）
2 8
1 1
3.（30-30× ）× =8（吨）
5 3
拓展篇
【答案】
1 1 3
1. 90÷（1- - × ）=150（吨）
4 4 5
1 1 2
2.1200÷[ +（1- ）× ]=1600（米）
4 4 3
2 2 4
3.200÷[ -（1- ）× ]=1500（个）
5 5 9
98/127厉老师 L5 数学习题
第 10 讲 分数应用题下
基础篇
1.甲=40 乙=48 丙=64
2 1 2
2.220÷（1+ × ）× =110（千克）
3 2 3
1 9 1 8
3.1÷1 ÷（1+ +1÷1 ）=
4 10 4 27
提高篇
1、甲是90 乙是72
2、解:甲乙获得的奖金比是
(元)
(元)
答:甲获得了1200元,乙获得了1400元.
3、香蕉和苹果共重900-200=700千克
1 1
香蕉重量的 等于苹果重量的
4 3
所以相交和苹果的比为4：3
所以香蕉有700÷（4+3）×4=400千克
苹果有700-400=300千克
99/127厉老师 L5 数学习题
拓展篇
答案：
1、解：
1 1 2 1
× × ＝ .
5 4 5 50
1
故答案为： 根据题意弄清分率是关键.
50
2、解：
3 5 2 3
×(1— )÷(1— )＝
4 6 3 8
3、解：
3 1 3 3 1 3
( × ÷ － × )÷(1－ )
5 20 4 5 20 5
1
＝
40
第 11 讲 假设法解题
基础篇
【答案】
1. 兔子有24只，鸡有76只
2. 5分邮票24张，2分邮票15张
3. 1元人民币有3张，1角人民币有25张
提高篇
【答案】
1.7元和5元的有120张，3元的有400-120×2=160（张）
2.原来十元的有4张，一元的有6张，五元的有4张
3.4角和5角的邮票各有5张，1角和2角的各有8张
100/127厉老师 L5 数学习题
拓展篇
【答案】
1.现在乙的存款（550-70）÷（2+1）=160（元）原来乙的存款是160+70=230（元）
原来甲的存款是550-230=320（元）
2.小客车（100×10-520）÷（100+60）=3（辆）大客车10-3=7（辆）
3.1元5角张数=（50×2-88）÷（2-1.5）=24（张）
2元张数=50-24=26（张）
第 12 讲 和差倍
提高篇
【答案】
1.鸡比鸭多35只
2.65+24=89（筐）
3.90-70=20（分）
拓展篇
【答案】
1.丙数是4，甲数是12，乙数是20，丁数是64
2.丙分得21×2=42（个）甲分得21+5=26（个）乙分得21+24=45（个）
3.丙做零件个数=（370+10-20）÷（2+2+1+4）=40（个）乙实际做了40×2+20=100
（个）
超越篇
【答案】1.原来乙筐个数（15+5）÷（5-3）+5=15（个）甲筐个数15×3=45（个）
2.原来B组（20+10+2）÷（4-2）+10=26（人）A组有26×2+2=54（人）
3.（10+2+2）÷（7-5）=7（人）今年达标人数为 7×7=49（人）共有 7+49=56
（人）
101/127厉老师 L5 数学习题
三、行程问题
第 1 讲 相遇追击【上】
基础篇
1、2160 米．
2、解：75÷(65－40)×65×2＝390(千米).
3、解：5×100÷(120-100)×120=3000（米）
拔高篇
1、解：120×5－50=550(米)
550－(50+30)=470(米)470÷5=94(米)答：弟弟每分钟行 94 米
2、解:
(小时)
答:再行2小时到达乙地.
3、解：40×3-20=100（棵）100×2=200（棵）200÷40=5（棵）答：平均每人植
树5棵。
102/127厉老师 L5 数学习题
第 2 讲 相遇追击【下】
1、解:设 x 小时后可追上卡车,根据题意列方程得,
,
,
;
2、解:
,
=5(分钟);
答:5 分钟后哥哥追上弟弟.
解析：由于跑道长 100 米,兄弟二人从 100 米跑道的起点和终点同时出发,
所以他们出发时相距 100 米,当哥哥追上弟弟时,哥哥正好比弟弟多跑 100
米,由于每分钟哥哥比弟弟多跑 米,所以哥哥追上弟弟需要的
时间为: 分钟.
明确当哥哥追上弟弟时,追及距离为 100 米,再根据追及距离 速度差=
追及时间即能求出需要时间.
3、解:
,
(小时),
(千米),
答:A、B 两地相距 80 千米.
103/127厉老师 L5 数学习题
第 3 讲 流水行船
答案
1、逆水速度：320÷8-15-15
=40-15-15
=10（千米／小时）
逆水时间：320÷10=32（小时）
答：若逆水行 320 千米，需要 32 小时。
2、解:
(小时)
答:顺水航行需 4 小时.
3、顺水速度=船速+水流速度
逆水速度=船速-水流速度
水流速度=(顺水速度-逆水速度)/2
船速=(顺水速度+逆水速度)/2
船速 千米/小时
顺流行驶时间 小时
路程 千米
返回时速度为逆水 千米/小时
返回需要时间 小时
104/127厉老师 L5 数学习题
或者用比例做法，路程一定，速度比等于时间的反比
去时速度 千米/小时，回来时速度 千米/小时
设返回用 a 小时
：60
小时
第 4 讲 火车行程
1、解: ,
(秒 );
答:快车从追上慢车到完全超过慢车需要 31.25 秒.
解析：
根据题意可知,“快车从追上慢车到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及
慢车车头的点,因此追及的路程应该为两个车长的和,速度应该是两列火车
的速度差,再根据时间=路程 速度,就可以求出快车穿过慢车的时间.
这是一个典型的列车追及问题,根据快车从追上慢车完全超过慢车所行的
路程是两个车长的和,快车穿过慢车时,所行驶的速度是两列火车的速度差,
就可以求出快车穿过慢车的时间.
105/127厉老师 L5 数学习题
2、解:
(秒)
答:火车追上小明到完全超过小明共用了 11.75 秒.
解析
火车追上小明到完全超过小明,追及路程就是火车的车身长度 188 米,二者
的速度差是 米,根据追及时间=追及路程 速度差即可解答.
3、解：
100×(18－15)＝300(米)
300－180＝120(米)
答：B 火车长 120 米.
故答案为：120 米.
注意灵活掌握行程问题.此题考查了学生解决实际问题的方法的掌握，根据
题目要求和给出的数据解答，A 火车超过 B 火车要走过 A 车长＋B 车长，
先求出总长，然后再进行计算，学生一定要细心.
解析
根据题目要求和给出的数据解答，A 火车超过 B 火车要走过 A 车长＋B 车
长，先求出总长，然后再进行计算，学生一定要细心.
4、解题思路：
火车速度是每秒（200-144）÷（80-72）=7 米
车长是 7×80-200=360 米
106/127厉老师 L5 数学习题
四、数论专题
第 1 讲 奇数偶数
1．偶数
【解析】
由题意可知，从29到88一共有 60 个连续自然数，其中奇数和偶数各有30个，
30个奇数相加的和是偶数，30个偶数相加的和是偶数，偶数与偶数的和还是偶
数，据此解答。
【详解】
293031…8788＝293133…87 303234 …88 
30个奇数的和是偶数：293133…87＝偶数；
30个偶数的和是偶数：303234…88＝偶数；
则293133…87 303234… 88＝偶数＋偶数＝偶数
所以，293031……8788得数是偶数。
答：293031……8788得数是偶数。
【点睛】
奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，加数都是偶数则和一定是偶数。
2．偶数；见详解
【解析】
从1连续累加到n，再从n递减到1，这样的“山顶和”数列的结果是中间数的平
方，求出结果直接判断即可。
【详解】
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋＋99＋100＋99＋＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1
100100
10000
所以结果是偶数。
【点睛】
107/127厉老师 L5 数学习题
本题也可以根据奇偶性在加减法中的应用，求出奇数的个数，然后进行判断。
3．偶数
【解析】
算式中有128这个偶数，结果就一定是偶数。
【详解】
128是偶数，所以1311521719212712811的结果是偶数。
【点睛】
连乘运算中，只有有一个偶数，结果肯定是偶数，除非全部是奇数，结果才是奇
数。
4．见详解
【解析】
计算时，第一步先算乘，乘都是奇数乘偶数，积都是偶数；
第二步再算加，都是偶数相加，和还是偶数，所以最后的结果一定是偶数。
【详解】
结果是偶数，因为每一个乘积都是偶数，这些偶数的和一定是偶数。
【点睛】
关键是明白奇数和偶数的运算性质，奇数×奇数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数，奇
数＋偶数＝奇数，偶数×偶数＝偶数等。
5、第10届全俄中学生数学竞赛试题）在3×3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”
的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序
后，能否从一张表变化为另一张表.
按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：
在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或变成两个.
108/127厉老师 L5 数学习题
表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)
中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.
显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.
第 2 讲 数的整除
（1）
1 被3整除：459、 387 、228 、975 、525 、882 、837
2 被9整除：459、387 、882 、837
3 被25整除：975、 525 、 775
4 被4整除:228、116
（2）5（3）2和6（4）6（5）1195770（6）□=5
（7）321120、 325125
第 3 讲 质数和合数
答案：
1.（1）3，13 或 5，11；（2）2，23；（3）不存在。
2.90 至 96 这 7 个数。
3.5，17，29，41，53.
4.（1）25×5；（2）2×13×23；（3）211 是质数。
5.3，4 和 7.
6.共 8 个：11，22，33，55，66，10，15，30.
109/127厉老师 L5 数学习题
第 4 讲 因数与倍数
答案：
1.（1）1，3，5，7，15，21，35，105；
（2）1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72.
2. （1）30 个；（2）30 个。
3. （1）4，504；（2）4，20020.
4. 1，2，3 或 6.
5. （1）31，41230；（2）17.
6. 40 份，苹果 8 个，桔子 6 个，香蕉 5 个
第 5 讲 余数的性质
基础篇
【答案】
1.4217×364≡5×4≡2（mod 6）
2.1339655×12≡5×12≡8（mod 13）
3.879×4376×5283≡10×9×3≡6（mod 11）
提高篇
【答案】
1.2008 年元旦是星期二。
2.2015 年 10 月 1 日是星期四。
3.36515 天是星期五。
110/127厉老师 L5 数学习题
第 6 讲 中国剩余定理
1、一个数，除以 5 余 1，除以 3 余 2。问这个数最小是多少？
采用通用的方法：逐步满足法
把除以 5 余 1 的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26，……
然后从小到大找除以 3 余 2 的，发现最小的是 11.
所以 11 就是所求的数。
先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。
2、一个数除以 5 余 1，除以 3 也余 1。问这个数最小是多少？（1 除
外）
特殊的方法：最小公倍法
除以 5 余 1：说明这个数减去 1 后是 5 的倍数。
除以 3 余 1：说明这个数减去 1 后也是 3 的倍数。
所以，这个数减去 1 后是 3 和 5 的公倍数。要求最小，所以这个数减
去 1 后就是 3 和 5 的最小公倍数。即这个数减去 1 后是 15，所以这
个数是 15+1=16.
3、一个数除以 5 余 4，除以 3 余 2。问这个数最小是多少？
这种情况也可以用最小公倍法。
数除以 5 余 4，说明这个数加上 1 后是 5 的倍数。
数除以 3 余 2，说明这个数加上 1 后也是 3 的倍数。
111/127厉老师 L5 数学习题
所以，这个数加上 1 后是 3 和 5 的公倍数。要求最小，所以这个数加
上 1 后就是 3 和 5 的最小公倍数。即这个数加上 1 后是 15，所以这
个数是 15－1=14。
多个数的，比如 3 个数的，有时候其中两个可以用特殊法，那就先用
特殊法，用特殊法求出满足两个条件的数后再用通用的方法求满足最
后一个条件的数。
4、有 1 个数，除以 7 余 2．除以 8 余 4，除以 9 余 3，这个数至少是
多少？
除以 7 余 2 的数可以写成 7n+2。
7n+2 这样的数除以 8 余 4，由于 2 除以 8 余 2，所以要求 7n 除以 8
余 2。
7n 除以 8 余 2，7 除以 8 余 7，要求 n 除以 8 余 6（乘数之余等于余
数之乘），则 n 最小取 6。
所以满足“除以 7 余 2，除以 8 余 4”的最小的数是 7×6+2=44，
所有满足“除以 7 余 2，除以 8 余 4”的数都可以写成 44+56×m。
要求 44+56×m 除以 9 余 3，由于 44 除以 9 余 8，所以要求 56×m 除
以 9 余 4。（加数之余等于余数之加）
56×m 除以 9 余 4，由于 56 除以 9 余 2，所以要求 m 除以 9 余 2（乘
数之余等于余数之乘），则 m 最小取 2。
112/127厉老师 L5 数学习题
所以满足“除以 7 余 2，除以 8 余 4，除以 9 余 3”的最小的数是
44+56×2=156。
5、三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
除以 3 余 2 和除以 7 余 2 的数可以写成 21n+2。
21n+2 除以 5 余 3，要求 21n 除以 5 余 1。
21n 除以 5 余 1，21 除以 5 余 1，要求 n 除以 5 余 1（乘数之余等于
余数之乘），则 n 最小取 1。
所以满足“除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2”的最小的数是
21×1+2=23。
标准解法：先从 3 和 5、3 和 7、5 和 7 的公倍数中相应地找出分别被
7、5、3 除均余 1 的较小数 15、21、70 ( 注释:此步又称为求"模逆"
运算,利用扩展欧几里得法并借助计算机编程可比较快速地求得.当
然,对于很小的数,可以直接死算 )。即
15÷7=2……余 1，
21÷5=4……余 1，
70÷3=23……余 1.
再用找到的三个较小数分别乘以所要求的数被 7、5、3 除所得的余数
的积连加，
15×2+21×3+70×2=233. (将 233 处用 i 代替，用程序可以求出)
最后用和 233 除以 3、5、7 三个除数的最小公倍数.
113/127厉老师 L5 数学习题
233÷105=2……余 23，
这个余数 23 就是合乎条件的最小数.
6、一个数被 5 除余 2，被 6 除少 2，被 7 除少 3，这个数最小是多少?
题目可以看成，被 5 除余 2，被 6 除余 4，被 7 除余 4 。看到那个“被
6 除余 4，被 7 除余 4”了么，有同余数的话，只要求出 6 和 7 的最
小公倍数，再加上 4，就是满足后面条件的数了，6X7+4=46。
下面一步试下 46 能不能满足第一个条件“一个数被 5 除余 2”。不
行的话，只要再 46 加上 6 和 7 的最小公倍数 42，一直加到能满足“一
个数被 5 除余 2”。这步的原因是，42 是 6 和 7 的最小公倍数，再怎
么加都会满足“被 6 除余 4，被 7 除余 4”的条件。
46+42=88
46+42+42=130
46+42+42+42=172
7、一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多
三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生?
题目可以看成，除 3 余 2，除 5 余 3，除 7 余 4。没有同余的情况，
用的方法是“逐步约束法”，就是从“除 7 余 4 的数”中找出符合
“除 5 余 3 的数”，就是再 7 上一直加 7，直到所得的数除 5 余 3。
得出数为 18，下面只要在 18 上一直加 7 和 5 得最小公倍数 35，直到
满足“除 3 余 2” 4+7=11 11+7=18 18+35=53
114/127厉老师 L5 数学习题
第 7 讲 最值问题
答案：
基础篇
99 1 201
1、 2、 3、（1）399 （2）
101 97 199
提高篇
1、甲、乙两数的比是8：3，甲数最大是96 ，差最大是60。
2、甲、乙两数的比是3：10，甲数最小是102，和最小是442。
1 1 1
3、一、二、三道工序所需的工人数的比是 ： ： ＝14：21：24，所
48 32 28
以至少安排14+21+24＝59个工人。
拓展篇
1、9999+（9999－8921）＝11077
2、较小的数最大是（521－1）÷2＝262，100～262 共有 163 个自然数,所
以共有163对,两个数的差最大是525－100－100＝325
3、数对共有 9999－3456－1000+1＝5544 个，两个数的和最大是 9999－
3456+9999＝16542，两个数的和最小是1000+3456+1000＝5456
第 8 讲 平方数问题
1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解答：设此自然数为x，依题意可得
x-45=m^2; (1)
x+44=n^2 (2)
(m,n为自然数)
115/127厉老师 L5 数学习题
(2)-(1)可得 :
n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89
因为n+m>n-m
又因为89为质数，
所以：n+m=89; n-m=1
解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。
2、求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数
解答：形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即
或在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明 若，则
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
若，则
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
综上所述，不可能是完全平方数。
3、求满足下列条件的所有自然数：
(1)它是四位数。(2)被22除余数为5。(3)它是完全平方数
解答：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
11|N - 4或11|N + 4
或
k = 1
k = 2
k = 3
116/127厉老师 L5 数学习题
k = 4
k = 5
所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
4、决断下列各数哪几个数是完全平方数：486，1156，4128。
解：486=4×121+2，因为形如4k+2的数肯定不是完全平方数，所以486
不是完全平方数。
如果 1156 是平方数，设 A2=1156，则 A 的个位数字为 4 或 6，因为
302<1156<352,342=1156，所以1156是完全平方数。
因为完全平方数的个位数只能是 0，1，4，5，6，9 这6个数字中的一个，
所以4128不是完全平方数。
答：1156是完全平方数。
例2：在20~1000中，有多少个完全平方数。
解：因为52＝25，312＝961，322＝1024，所以在20~1000之间的完全平方
数个数有 31-5+1=27
答：有27个完全平方数。
5、甲、乙两人合养了 n头羊，而每头羊的卖价又恰为 n元，全部卖完后，
两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，
剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元?
/6、解答:n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方
数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定
是6。所以，的末位数字为 6，即乙最后拿的是 6元，从而为平均分配，甲应补
给乙2元。
117/127厉老师 L5 数学习题
7、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方
解答：设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证
是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明 设这四个整数之积加上1为m，则
m为平方数
而 n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为 2n+1 是奇数，因而
n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
第 9 讲 位值问题和进制
1．(145) 化成十进制数是多少？十进制数90转化为七进制数是多少？
8
解：(145) =1×82+4×8+5=101.
8
90=1×72+5×7+6=(156) .
7
2．在二进制中计算：(111) ×(101) −(111100) ÷(11) = .
2 2 2 2
解：(111) ×(101) −(111100) ÷(11) =(100011) −(10100) =(1111) .
2 2 2 2 2 2 221·cn·jy·com
3．记号(25) 表示k进制的数，如果(a5) 在十进制中表示为(35) ，求a值。
k 6 10
解：(a5) =6a+5=35，解得a=5，
6
4．在几进制中有4×13=100？
解：进位制一定大于等于5，个位相乘3×4=12，进位之后余0，所以是六进制。
检验(4) ×(13) =(100) . 正确。
6 6 6
5．三位数abc比三位数cba小99，若a、b、c彼此不同，则abc最大是多少？
解：设cba−abc=99，所以99(c−a)=99，即c−a=1，
若abc最大，取a=8，c=9，b=7，即abc=879.
118/127厉老师 L5 数学习题
五、几何专题
第 1 讲 巧求周长
基础篇
【答案】
1.（4×8-2×7）×2=36（厘米）
2.[50+（20+9+15）]×2=188（厘米）
3.（1+1÷2×5）×4=14（厘米）
提高篇
【答案】
1.左下方长方形面积：（44-4×2）÷（2+1）=12（平方米）
左下方长方形的长：12÷2=6（米）
正方形的周长：6×4=24（米）
2.（8+3）×2×2-3×4=32（厘米）
3.两个长方形面积之和 280÷2×2=280（平方米）小正方形面积 2×2=4（平
方米）
划去绿化带面积：280+4=284（平方米）
拓展篇
【答案】
1.（40+30）×2=140（厘米）
2.（12+12÷2+2）×2=40（厘米）
3.10×2+8×2+2×2=40（厘米）
119/127厉老师 L5 数学习题
第 2 讲 巧求面积
基础篇
【答案】
1.（20×2+15×2）×2+2×2×4=156（平方米）
2.原正方形的面积：45×45=2025（平方厘米）
3.正方形的边长：9+8=17（分米）
提高篇
【答案】
1.阴影面积：32×30÷24=40（平方厘米）
2.A 的面积：24÷（45÷15）=8（平方厘米）
B的面积：12×（24÷8）=36（平方厘米）
3.（8+5）×8×4+5×5=441（平方厘米）
拓展篇
【答案】
1.（7-2）÷2=2.5（米）
2.（1+3+5+7+5+3+1）×4=100（平方厘米）
3.4×4=16（平方厘米）
第 3 讲 正方体和长方体【上】
基础篇
1.表面积=（5×1+5×3+3×1）×2-1×1×3+1×1×3=46（平方厘米）
体积=5×1×3-1×1×1=14（立方厘米）
2.底面积 2÷2=1（平方分米）2米=20分米，则这个长方体木料体积为 1×
20=20（立方分米）
3.表面积=（8×1+8×3+1×3）×2-1×1×4=66（平方厘米）
体积=8×1×3-1×1×1×2=22（立方厘米）
120/127厉老师 L5 数学习题
提高篇
1.长方体表面积=（6×4+6×2+4×2）×2=88（平方厘米）
零件表面积=88+2×2×4=104（平方厘米）
零件体积=6×4×2+2×2×2=56（立方厘米）
2.表面积=4×4×6=96（平方厘米）
体积=4×4×4-1×1×1=63（立方厘米）
3.表面积=4×4×6+1×1×5-1×1×1=100（平方厘米）
体积=4×4×4=64（立方厘米）
拓展篇
【答案】
1.46÷2×24=552（立方厘米）
2.12×12×4=576（平方厘米）
3.2×2×8=32（平方分米）
第 4 讲 正方体和长方体【中】
基础篇
1.8×6×3÷（8×6+4×6）=2（分米）
2.40×30×10÷（40×30-20×20）=15（厘米）
3.1.2×15÷0.1=180（分米）
提高篇
1、2×2×2+3×3×3+7×7×7=378（立方厘米）
2、6×6×6+8×8×8=728（立方厘米）高=728÷13÷7=8（厘米）
3、表面积=2×2×6=24（平方分米）
拓展篇
1.4×3×0.8=9.6（立方分米）
2.12×24=288（立方厘米）
3.底面积=（5×5×5）÷0.5=250（平方厘米）
121/127厉老师 L5 数学习题
第 5 讲 正方体和长方体【下】
基础篇
1.1×1×6×27-3×3×6=108（平方厘米）
2.表面积增加=1×2×3=6（平方米）
3.15×6=90（平方厘米）
提高篇
1.2×6×2+6×2×2+2×2×2=56（平方厘米）
2.6×4×2=48（平方分米）
3.要使表面积最大，应连接最小的面，表面积最大=（8×4+8×2+4×2）×
2×3-2×4×4=304（平方厘米）
拓展篇
【答案】
1.至少需要 8个小正方体，至少需要 6×6×6=216（个）
2.10×6×4=240（个）
表面积之和=1×1×6×240=1440（平方厘米）
3.表面积=（4×3+4×2+3×2）×2=52（平方厘米）
4、【思路导航】
按题中的要求切，切成的小正方体一共有3×3×3=27个。
（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有 8个；
（2）二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有 1×12=12个；
（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上，共有 1×6=6个；
（4）六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有27－（8＋12＋6）=1个。
122/127厉老师 L5 数学习题
第 6 讲 组合图形求面积
基础篇
【答案】
1.25×10÷2=125（平方厘米）
2.40×20-6×20-6×20=560（平方厘米）
3.50×80-（1×50+80×1-1×1）=3871（平方米）
提高篇
【答案】
1.三角形 AFE的面积是 5×4÷2=10（平方厘米）
2.阴影面积=10×（10+6）÷2-10×10÷2=30（平方厘米）
3.阴影面积=（3+9）×8÷2=48（平方厘米）
拓展篇
【答案】
1.梯形面积是 18平方厘米
2.梯形 ABCD的面积是三角形 BDE 面积的3倍
3.（12-7）×8÷2=20（平方厘米）
123/127厉老师 L5 数学习题
六、计数专题
第 1 讲 数数图形
基础篇
【答案】
1.7×4+6×3+5×2+4×1=60（个）
2.15个
3.10个正方形，44 个三角形
4、【思路导航】为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然
后再把数出的各类三角形的个数相加。
（1）图中共有 6 个小三角形；
（2）由两个小三角形组合的三角形有 3 个；
（3）由三个小三角形组合的三角形有 4 个；
（4）由六个小三角形组合的三角形有 1 个。
所以共有 6＋3＋4＋1=14 个三角形。
提高篇
【答案】1.5+6+2+1=14（个）
2.22+10=32（个）
3.16+7+3+1=27（个）
拓展篇
【答案】
1.3+1+1=5（个）2.17个 3.12个
2.图中共有（35）个正方形。
3.图中共有（13）个三角形。
4.图中共有（24）个三角形。
124/127厉老师 L5 数学习题
第 2 讲 抽屉原理
基础篇
1、 1992 年共有 366 天，把它看成是 366 个抽屉，把 370 个人放入 366 个
抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有2个学生的生日是同一天
的。
2、 2月份最多有29天，把它看作29个抽屉，把30名学生放入29个抽屉，
至少有一个抽屉里有两个人，因此这 30名学生中至少有两个学生的生日是在同
一天。
3、一年有12个月，把12个月看作12个抽屉，把15个小朋友放入12个抽
屉中，至少有一个抽屉里有两个小朋友，因此至少有2个小朋友是才同一个月出
生。
提高篇
1、买书的类型中买一本的有 4种，买二本的有6种，买三本的有4种，买
4本的有一种，共有4+6+4+1＝15种情况。把种15种情况看出15个抽屉，要保
证有两位同学买到相同的书，至少要去16位学生。
2、从三周图书种任意借 2 本，只有 6种情况。要保证有两个所借的图书属
于同一种，至少要7个学生。
3、玻璃珠子的颜色有三种，要保证有2个同色，最少应取出4只珠子。
拓展篇
1、思路同例3，最少要摸出11只手套才能保证有4付同色的。
2、把三种颜色看作 3个抽屉，要保证有一双同色的就要摸出 4只袜子，这
时拿出1双同色的后，3个抽屉中还剩2只袜子。以后，只要再摸出 2只袜子就
可保证有一双同色的。因此，要保证有3双同色的，最少要摸 4+2+2＝8只袜子。
3、袋中有三种袜子时。每次从袋中拿出一只袜子，有可能拿出 8 只都是同
一颜色。在余下两种颜色中要拿出一双同色的袜子，最少要取3只。因此，最少
要拿出8+3＝11只才能保证其中至少有2双颜色不同的袜子。
125/127厉老师 L5 数学习题
第 3 讲 枚举法
答案
1.18个。
2. （1）12种；（2）21种。
3. 24个。
4. 216个。
5. 36个；84个。
第 4 讲 排列组合
1．144
C3A3C1
【解析】在错解中消除重复，有 4 4 3 ＝144种放法.
2
从四个球中取出 2 个作为一组，与另两个球一起放入四个盒子中的三个内，有
C2A3＝144种放法.
4 4
将四个球分别放入四只盒子后，取出其中的2盒并为一盒（自然出现一空盒），
有A4C2＝144种放法.
4 4
2．C
【解析】
注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，
选四个数字共有C1＝3(种)选法，即1231，1232，1233，而每种选择有A2×C2＝
3 2 3
6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．
3．B
【解析】
本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有
2 种方法，第二步将 3 名电脑编程人员分成两组，一组 1 人另一组 2 人，共有
126/127厉老师 L5 数学习题
C 1种分法，然后再分到两部门去共有 C1A2 种方法，第三步只需将其他 3 人分
3 3 2
成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去
的部门就已确定，故第三步共有C 1种方法，由分步乘法计数原理共有2C1A2C1
3 3 2 3
＝36(种)．
4．C
【解析】
分两类：若1与3相邻，有A2·C1A2A2＝72(个)，若1与3不相邻有A3·A3＝
2 3 2 3 3 3
36(个)
故共有72＋36＝108个．
5．C
【解析】
先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1，2)、(2，3)、
(3，4)、(4，5)、(5，6)、(6，7)，甲任选一种为C1，然后在剩下的 5天中任选2
6
天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A2种，按照分步乘法计数原理可
5
知共有不同的安排方法C1·A2＝120种，故选C.
6 5
6．1080
C2C2
先将6名志愿者分为4组，共有 6 4 种分法，再将4组人员分到4个不同场馆
A2
2
C2C2
去，共有A4种分法，故所有分配方案有： 6 4 ·A4＝1080种．
4 A2 4
2
127/127