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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（新高考Ⅱ卷）02
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
D
A
D
A
C
C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
ACD
BCD
AC
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
【详解】（1）由题意可知，
.（2 分）
（2）零假设为
：绩效分数达标情况与性别无关.
，（5 分）
根据小概率值
的
独立性检验，我们推断
不成立，即认为绩效分数达标情况与性别有关联，
此推断犯错误的概率不大于0.001.（6 分）
（3）由题意知
可能的取值为
，（7 分）
则
；
，（10 分）
所以甲在前两个月所得奖金总额
的分布列为
0
1
2
（11 分）
数学期望
.（13 分）
16．（15 分）
【详解】（1）因为
，
所以
，
所以
，
所以
，（2 分）
又数列
单调递增且满足
，即
，
所以
，（3 分）
则
，（4 分）
即
，（5 分）
所以
，（6 分）
所以
，又
，
所以
是首项为，公差为的等差数列.（7 分）
（2）由（1）可得
，则
，（8 分）
若选①：
（10 分）
，（12 分）
所以
（13 分）
；（15 分）
若选②：
（10 分）
（11 分）
，（12 分）
所以
（14 分）
.（15 分）
17．（15 分）
【详解】（1）方法一：
取
的中点为
，取
的中点为
，并连接
，如图所示.
因为
为等边三角形，
故
.（1 分）
又平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，
故
平面
，（2 分）
而
平面
，
从而
.（3 分）
又
，故
，
又
，且
为
的中点，故有
.（4 分）
又
，且
平面
，
故
平面
，
平面
，
从而
，（5 分）
又
，且
平面
，故
平面
，（6 分）
又
平面
，
故平面
平面
.（7 分）
（2）取
的中点为
，连接
，并过
作
，
因为
，且平面
平面
，平面
平面
，
平面
,故
平面
，（8 分）
又
，
故以
分别为
轴，
为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示.
由题可知：
，（9 分）
设
，则
解得
即
.（10 分）
因为
平面
，故平面
的法向量可取
，（11 分）
设平面
的法向量为
，则
可取
即
，（13 分）
故
，（14 分）
由图易知二面角
为锐角，
故二面角
的平面角的余弦值为
.（15 分）
18．（17 分）
【详解】（1）由
和
的图象有公共点，得方程
有解，
即
有解，（1 分）
又
，令
，
求导得
，函数
在
上单调递增，（2 分）
因此
，（3 分）
令
，求导得
，当
时，
；
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，（4 分）
，则
，
所以
的取值范围是
.（5 分）
（2）（i）由
，求导得
，（6 分）
的图象在
处切线方程为
，即
，（7 分）
的图象在
处切线方程为
，即
，（8 分）
则
，两式相除得
，假设
，即
，（9 分）
解得
，（10 分）
由（1）知
，则
，与
矛盾，所以
.（11 分）
（ⅱ）由（ⅰ）知：
，即
，则
，（12 分）
，整理得
（13 分）
不等式
，令
，则
，
而
，整理得
，（14 分）
因此
，
令
，求导得
，由
，得
，
当
时，
；当
时，
，
函数
在
上递减，在
上递增，（16 分）
，
所以
成立.（17 分）
19．（17 分）
【详解】（1）
，所以直线
的斜率为
，所以
，（1 分）
所以椭圆C 的离心率
；（3 分）
（2）证明：直线
的方程为
，（4 分）
化简得
，（5 分）
所以原点O 到直线
的距离
（6 分）
而
所以
．（7 分）
同理可得
（8 分）
所以多边形
的面积为
；（9 分）
（3）证明：设
，所以
所以
，即
（10 分）
所以M 的轨迹方程为一个椭圆，A，B 是该椭圆的焦点，
设
（11 分）
点
的坐标可化为
所以
，
又因为
（12 分）
所以
，（14 分）
，
，（16 分）
因为
，所以
.（17 分）
