压轴10数列求和的3大核心题型（压轴题专练）（全国通用）（原卷版）_三轮冲刺_2026年试卷教辅资源等多个文件_上好课2026版高中《终极冲刺讲练测》（数学）（全国通用）

压轴10 数列求和的3 大核心题型
近几年高考，数列求和常出现在解答题的第(2)问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方
法求数列的和，难度中档．
题型01 分组转化法求和的常见类型
1.（2025·山东潍坊二模）在公差不为零的等差数列
na
中，
1
1
a = ，且
1
3
13
,
,
a a a 成等比数列，数列
nb
的前n
项和
n
S 满足
2
2
=
-
n
n
S
b
.
(1)求数列
na
和
nb
的通项公式；
(2)设
n
n
n
c
b
a
=
-
，数列
nc
的前n 项和
nT ，若不等式


2
2
log
1
nT
n
n
a
+
-
>
-
对任意
*
N
nÎ
恒成立，求实数a
的取值范围.
2.（2025·湖北黄冈·二模）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
1
1
a = ，
2
2
a = 当
2
n ³
时，
1
1
2
3
n
n
n
S
S
S
+
-
+
=
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足


*
1
1
3,
k
k
k
b
b
a
b
k
+
=
=
+
ÎN
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
题型02 裂项相消法求和
技法指导
分组转化法求和的常见类型
技法指导
裂项相消法求和的步骤
3.【基础型】已知数列
na
满足
1
1
a = ，且




1
1
1 2
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
．
(1)证明：数列
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
是等差数列；(2)求
na
的通项公式；
(3)设
1
n
n
n
b
a a +
=
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，证明：
1
4
nT <
．
4．【根式型】记
,
n
n
S T 分别为数列
,
n
n
a
b
的前n 项和，已知
1
9
12
4
4
n
n
n
S
a
+
=
-
+
，且
1
2
2
n
n
n
n
b
a
a +
=
+
．
(1)求
na
的通项公式；   
(2)证明：2
2
1
nT ³
- ．
5．【指数型】已知数列
na
满足
1
2
a =
，
1
2
1
n
n
a
a
+ =
- .
(1)求
na
的通项公式；   (2)设
1
1
n
n
n
n
a
b
a a +
-
=
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
6．记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知3
4
3
n
n
S
a
n
=
-
．
(1)求
na ；(2)设
1
1
n
n
n
n
a
b
a a +
+
=
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
题型03 错位相减法求和
7.（2025·新课标1 卷T16）设数列
na
满足
1
3
a =
，
1
1
1
(
1)
n
n
a
a
n
n
n n
+ =
+
+
+
(1) 证明：

n
na
为等差数列；
(2) 设
2
1
2
( )
m
m
f x
a x
a x
a x
=
+
+
+

，求
( 2)
f ¢ -
．
8.（2025·陕西汉中·模拟预测）设正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且


*
1
4
1
n
n
n
a a
S
n
+ =
-
ÎN
，
1
1
a = ．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)已知
2
n
n
n
a
b =
，求数列
nb
的前n 项和的取值范围．
技法指导
利用错位相减法求和的基本流程
1.（2024·全国甲卷T17）已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
3
3
n
n
S
a +
=
- .
(1)求
na
的通项公式；
(2)求数列
n
S
的前n 项和.
2．（2025·重庆三模）已知
n
S 为数列
na
的前n 项和，且满足
2
n
n
S
n
a
+
=
，
*
nÎN .
(1)求证：数列

1
na +
是等比数列；
(2)若
1
2n
n
n
n
b
a
a +
=
×
，记
nT 为数列
nb
的前n 项和，求满足不等式
13
14
nT <
的n 的最大值.
3.（2024 全国甲卷数学（理））记
n
S 为数列
na
的前n 项和，且4
3
4
n
n
S
a
=
+
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
( 1)n
n
n
b
na
-
= -
，求数列
nb
的前n 项和为
nT ．
4．已知各项都是正数的数列
na
，其前n 项和为
n
S ，
1
1
a = ，且



1
1
4
n
n
n
n
a
a
S
S
+
-
-
=
.
(1)求
na
的通项公式；    
(2)若
1
n
n
n
b
a
a +
=
+
，求证：
1
2
24
1
1
1
3
b
b
b
+
+
+
=
L
.
5.（2025·山东临沂二模）已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，对任意
*
nÎN ，点

3
,log
n
n
a
在过原点且与直
线．
2
0
x
y
+
-
=
垂直的直线上．数列
nb
的前n 项和为
nT ，且
2
n
T
n
n
=
+
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)证明：数列
nb
是等差数列；
(3)若
3
n
n
n
b
S
c
×
=
，求数列
nc
的前n 项和．
6．（2026·浙江宁波·二模）已知数列
na
中，
1
0
a =
，
1
2
2
3
n
n
a
a
n
+ -
=
+ ．
(1)令
2
1
n
n
b
a
n
=
-
+ ，求证：数列
nb
是等比数列；
(2)求数列
na
的前n 项和
n
S ．
7．记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知3
4
3
n
n
S
a
n
=
-
．
(1)求
na ；(2)设
1
1
n
n
n
n
a
b
a a +
+
=
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
8．（2026·河北保定·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a = ，
1
1
1
2
n
n
S
S
n
n
+ -
=
+
.
(1)求
n
S
(2)若


1
2
1
1
n
n
n
n
n
b
a a +
+
= -
，求数列
nb
的前n 项和.
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
3
4
9,
30
a
S
=
=
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)求数列
1
n
S
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和；
(3)证明：
1
2
4
2
1
1
1
1
1
2
n
S
S
S
S
+
+
+
+
<
L
．
10．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
2
a =
，
2
3
2
a =
，
2
1
3
4
n
n
n
a
a
a
+
+
+
=
.
(1)证明：数列

1
n
n
a
a
+ -
为等比数列；
(2)求
na
的通项公式；
(3)记
2
1
n
n
b
a
=
+ ，数列
1
n
n
n
a
b b +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
n
S ，证明：1
1
16
8
n
S
£
<
.
11．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数

2
2
x
f x
x
=
+
.
(1)若数列

na
f n
=
，求数列
na
的前n 项和
n
S ；
(2)已知函数

f x 在
*
(
)
x
n n
=
ÎN
处的切线为直线nl ，直线nl 在y 轴上的截距为
nb ，求数列
nb
的前n 项和
nT .
12.（2025·天津·二模）已知等差数列
na
和等比数列
nb
满足：1
1
1
a
b
=
= ，
*
nb
N
Î
，
2
8
18
a
a
+
=
，2
4
81
b b =
．
(1)求数列
na
和
nb
的通项公式；
(2)求数列
2
1
n
n
n
a a +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和
n
S ；
(3)已知
3
n
n
n
a
c
b
=
数列
nc
的前n 项和
nT ，若对任意正整数n，不等式1
2
n
n
T
l
-
<
恒成立，求实数l 的取值范围．