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第十三题 计数原理
高考真题
13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且
每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．
知识点总结
1. 两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种数
分类、相加 分步、相乘
每步依次完成才算完成这件事情(每
不同点 每类方案中的每一种方法都能独立完成
步中的每一种方法不能独立完成这
这件事
件事)
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可
2. 排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出 按照 排成一列
组合 m(m≤n)个元素 作为一组
3. 排列数与组合数
(1) 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符
号 表示．
(2) 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符
号 表示．
4. 排列数、组合数的公式及性质
公式 (1) A＝ ＝(n，m∈N*，且m≤n)．(2) C＝＝
＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1
(1) 0！＝ ；A＝ .
性质
(2) C＝C；C＝
5. 二项式定理
(a＋b)n＝
二项式定理
(n∈N*)
二项展开式的通项公式 T ＝ ，它表示第 项
k＋1
二项式系数 展开式中各项的二项式系数为C(k∈{0,1,2，…，n})
6. 二项式系数的性质
(1) C＝1，C＝1，C＝ ，
C＝ (0≤m≤n)．
(2) 二项式系数先增后减中间项最大．
当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为C，当n为奇数时，第项和第项的
二项式系数最大，最大值为C和C.
(3) 各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝ ，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝
.
题型展示
两个计数原理的应用
(2022·福州模拟)将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为a(i＝1,2,3,4,5,6)，若a ≠1，
i 1
a ≠3，a ≠5，且a <a <a ，则不同的排列方法种数为( )
3 5 1 3 5
A. 15 B. 30
C. 45 D. 60
思路：(1) 弄清完成一件事是做什么；(2) 确定是先分类后分步，还是先分步后分类；(3)
弄清分步、分类的标准是什么；(4) 利用两个计数原理求解．
隔板法
泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长 834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥．北宋泉州太守蔡襄(今莆田
市仙游县人，北宋名臣，书法家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持历经七年建成，至今已有
九百多年历史．现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船将从
一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见，相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，
12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许 1
艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有 种．
对于相同元素的分配问题，可以利用分类计数原理分类讨论，还可以利用“隔板法”．
把n个相同的小球放到m(m<n)个不同盒子中，不同放法的种数的求解方法是：
(1) 若每个盒子至少放一球，则只需在 n个小球的n－1个间隙中放置m－1块隔板把它隔
成m份即可，共有C种不同放法．此类型问题等价于“将n个相同元素分成m(m≤n)组，每
组至少一个的分组问题”：可把n个元素排成一排，从n－1个空中选m－1个空，各插一个
隔板，有C种分法．
(2) 若允许某些盒子不放球，则相当于在 n＋m－1个位置中选放m－1块隔板，共有C种
不同放法．
捆绑法与插空法
(1) (2022·广州质检)某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料
类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规
划总个数为( )
A. AA B. AA
C. AA D. AA
(2) (2022·武汉模拟)A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻，
E不站两端的不同站法的种数为( )
A. 48 B. 96
C. 144 D. 288
相邻、相间问题的解题策略：
(1) 相邻问题的模型为将n个不同元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同
排法的种数．方法是：先将这 k个元素“捆绑在一起”，视为一个整体，当作一个元素同其
他元素一起进行排列，共有A种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，
共有A种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有A·A种．(2) 对于不相邻的排列问题，我们往往先安排无约束条件的元素，再让不相邻的其余元素
插空排列，即先排m＋n个元素中无约束条件的n个元素，然后将有约束条件的m个元素插
入n＋1个空位中，则共有A·A种排法．
分组分配问题
(2022·南平模拟)福建省于2021年启动了中学生科技创新后备人才培养计划(简称中学生
“英才计划”)，在数学、物理、化学、生物、计算机等学科有特长的学生入选 2021年福建
省中学生“英才计划”，他们将在大学教授的指导下进行为期一年的培养．现有 4名数学特
长生可从3位数学教授中任选一位作为导师，每位数学教授至多带2名数学特长生，则不同
的培养方案有 种．
1. 对于不同元素的分配问题，可以按需分配(即定人又定数可直接取)，也可按先分组后
分配的方式处理，分组时应注意全部均匀分组与部分均匀分组的区别．
(1) 整体均匀分组：在解决整体均分型题目时，要注意分组后，不管它们的顺序如何，都
是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2) 部分均匀分组：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m组元素个数相
等，则分组时应除以m！，一个分组中有几个这样的均匀分组就要除以这样的全排列数．
(3) 不均匀分组：解答本类题，只需先分组，后排列，注意分组中元素的个数都不相等，
所以不需要除以全排列数．
2. 对于某些元素顺序确定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位
置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．
(1) n个人的排列中有m(m<n)个人的顺序一定，则所求排列数就是总的无限制条件的排列
数除以m！.对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法．解题方法是：先将 n个元素
进行全排列有A种，m(m≤n)个元素的全排列有A种，由于要求m个元素次序一定，因此只
能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若 n个元素排成一列，其中m个
元素次序一定，则有种排列方法．
(2) 对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入
的元素为m个，则排列数为.
求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
(2022·烟台模拟)(1－2)8展开式中x的系数为( )
A. 28 B. －28
C. 112 D. －112
求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，
指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
(2022·泰安模拟)(x3－2)6的展开式中x6的系数为( )
A. 6 B. 10
C. 13 D. 15
对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组
合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
二项式系数的性质及各项系数和
(1) (2023·镇江期初)(多选)已知函数 f(x)＝(1－2x)6＝a ＋a x＋a x2＋…＋a x6(a∈R，i＝
0 1 2 6 i
0,1,2,3，…，6)的定义域为R，则( )
A. a ＋a ＋a ＋…＋a ＝－1
0 1 2 6
B. a ＋a ＋a ＝－364
1 3 5
C. a ＋2a ＋3a ＋…＋6a ＝12
1 2 3 6
D. f(5)被8整除的余数为7
(2) 已知多项式(1－2x)＋(1＋x＋x2)3＝a ＋a x＋a x2＋…＋a x6，则a ＝ 1 ，a ＋a ＋a
0 1 2 6 1 2 3 4
＋a ＋a ＝ .
5 6
形如(ax＋b)n，(ax3＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常采用赋
值法，只需令x＝1即可．求常数项，令 x＝0即可；有时也可令x＝－1，求a －a ＋a －a
0 1 2 3
＋….
真题演练
一、单选题
1．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加
公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
2．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（
）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
3． 的展开式中 的系数为（ ）．
A． B． C．40 D．804．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方
式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
5．若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
6．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分
配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
7．在 的二项展开式中，第 项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
8．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不
同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
9． 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
10．如图，将钢琴上的12个键依次记为a ，a ，…，a .设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak
1 2 12
为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和
弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．15
二、填空题11．在 的展开式中， 项的系数为 ．
12． 的展开式中的常数项为 .
13．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则
不同的安排方法共有 种.
14．某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）,要在如图所示的6个点 上各装
一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则不同的安装方法共有 种．（用数字作答）
模拟训练
一、单选题
1．2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游
热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部
门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
2．为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举办半程马拉松比赛.已知本次比赛设
有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（ ）种分配方式
A．540 B．660 C．980 D．1200
3．毕业典礼上，某班有 六人站一排照相，要求 ， 两人均不在排头，且 两人不相邻，则
不同的排法种数为（ ）
A．160 B．288 C．336 D．480
4．设 ，则 等于（ ）
A．45 B．84 C．120 D．165
5．某校银杏大道上共有20盏路灯排成一列，为了节约用电，学校打算关掉3盏路灯，头尾两盏路灯不能
关闭，关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，则不同的方案种数是（ ）
A．324 B．364 C．560 D．680
6．厦门市博物馆由厦门博物馆主馆、郑成功纪念馆、厦门经济特区纪念馆、厦门市文化遗产保护中心、
破狱斗争陈列馆、陈化成纪念馆、陈胜元故居七个馆区组成.甲、乙两名同学各自选取一个馆区参观且所选
馆区互不相同，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有（ ）
A．22种 B．20种 C．12种 D．10种
7．已知 的展开式中常数项为20，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知集合 ，若A，B均为U的非空子集且 ，则满足条件的有序集合对 的个
数为（ ）
A．16 B．31 C．50 D．81
二、多选题
9．在 的展开式中，各项系数的和为1，则（ ）
A． B．展开式中的常数项为
C．展开式中 的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为
10．下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（ ）A．
B．已知 ，则等式 对任意正整数 都成立
C．设 ，则 的个位数字是6
D．等式 对任意正整数 都成立
三、填空题
11．若 ，则 ．
12．临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人．春联分为长联和短联两
种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副
短联，其余三户各要2副短联．书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为 ．
13．琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅．为弘扬中国传统文化，某校决定从“八雅”
中挑选“六雅”，于某周末开展知识讲座，每雅安排一节，连排六节．若“琴”“棋”“书”“画”必选，
且要求“琴”“棋”相邻，“书”与“画”不相邻，则不同的排课方法共 种．（用数字作答）
14．现在有5人通过3个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过1人，要求每个闸机都要有入经过，
则有 种不同的进站方式（用数字作答）
