01 二次函数
巩固练习
考点1：二次函数的概念
A组
1
函数f (x) = x2 −6x + 8，x ∈[1, a] (a > 1)，且f (x)的最大值是f (a)，则实数a的取值范围是
．
2
已知函数f (x) = x2 −2ax + 5，其中a > 1，若函数f (x)的定义域和值域均为[1, a]，则实数a的值为
．
B组
1
已知函数y = (m2 + 4m −5)x2 + 4(1 −m)x + 3对任意实数x，函数值恒大于零，则实数m的取值范围是
.
C组
1
已知函数f (x) = −x2 + (m −2)x + 2 −m，x ∈R．若函数y = |f (x)|在[−1，0]上是减函数，则实数m的取值范围
是（
）
A. 0
B. 1
C. -2
D. 3
考点2：含参最值的分类讨论
B组
1
已知二次函数f(x) = −x2 + 2ax −a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值．
2
1
已知二次函数f(x) = ax2 + (2a −1)x + 1在区间[−3
2 , 2]上的最大值为3，求实数a的值．
3
关于x的不等式ax2 −2x + 1 ≤0在(0, 2]上有解，则实数a的取值范围是
.
考点3：一元二次方程根的分布
A组
1
已知一元二次方程x2 + (a2 −9)x + a2 −5a + 6 = 0一个根小于0，另一根大于2，求a的取值范围．
2
一元二次方程x2 + (2a −1)x + a −2 = 0的一根比1大，另一根比－1小，则实数a的取值范围是
．
2
C组
1
已知a是实数，函数f (x) = 2ax2 + 2x −3 −a．如果函数y = f (x)在区间[−1, 1]上有零点，求a的取值范围．
2
已知函数f (x) = ax2 −2ax + b (a, b ≥0)在x ∈[1, 3]时有最大值4和最小值0，设g (x) = f (x)
x
.若关于x的方程
g (|2x −1|) +
2m
|2x −1| −3m + 1 = 0有三个不同的实数解，求实数m的取值范围
3
02 幂指对函数
巩固练习
考点1：幂函数的图像及其性质
A组
1
已知幂函数y = f (x)的图像过点(2, √2
2 )，则f (4) =
.
2
已知α ∈{−2, −1, −1
2 , 1
3 , 1
2 , 1, 2, 3}.若函数f(x) = xα在(0, +∞)上递减且为偶函数，则α =
.
3
幂函数y = (m2 −5m + 7)xm−3的图像与两条坐标轴均没有公共点，则实数m的取值集合是
.
B组
1
函数f (x) = x−1
2 ，则不等式f(2x −1) > f(x + 1)的解集为
．
2
设k ∈{−2，−1， 1
3 ， 2
3 ， 2}，若x ∈(−1， 0) ⋃(0， 1)，且xk > |x|，则k取值的集合是
.
考点2：对勾函数与飘带函数
A组
已知x < 0，则函数y = x + 1
x 的最大值是
.
4
B组
1
若函数f (x) =
的最小值为f (0)，则实数a的取值范围是
.
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
(x −a)2, x ≤0
x + 1
x + a, x > 0
2
已知函数f (x) = x + a
x , a ∈R．函数y = f (x)的定义域为D
(1)
当a = 2, D = (−∞, 0)时，求函数y = f (x)的值域．
(2)
当a = −1, D = (0, +∞)时，判断函数y = f (x)的单调性并说明理由．
C组
已知函数f (x) = x + 4
x −1，若存在x1, x2, … ，xn ∈[ 1
4 , 4]，使得f (x1) + f (x2) + … + f (xn−1) = f (xn)，则正
整数n的最大值是
.
考点3：指数函数图像与性质
A组
某种微生物的日增长率r，经过n天后其数量由p0变化为p，并且满足方程p = p0er⋅n，实验检测，这种微生物经过一
周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r =
.（精确到1）
B组
已知函数f(x) = ax −b(a > 0且a ≠1, b ∈R)，g(x) = x + 1，若对任意实数x均有f(x) ⋅g(x) ≤0，则1
a + 4
b 的最小
值为
.
5
考点4：对数运算
A组
方程log3 (x2 −1) = 2 + log3(x −1)的解为x =
.
B组
1
已知log7 3 = a, 7b = 2，用a、b的代数式表示 log6 14 =
.
2
记A = 1 × 2 × 3 × ⋯× 100，那么
1
log2A +
1
log3A +
1
log4A + ⋯+
1
log100A =
.
考点5：对数函数图像与性质
A组
1
已知函数f (x) =
，则不等式f(x) > 1的解集为
.
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
( 1
2 )
x
, x ≤0
log2 x, x > 0
2
函数f(x) = loga(2x + 1)（a＞0且a≠1）必过定点
．
B组
1
若函数y = log2 (ax2 + 3x + a)的定义域是R，则a的取值范围是
.
2
已知y = loga (3 −ax)在[0, 2]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是
.
C组
已知a = 2
3
4 , b = 3
1
2 , c = log34, d = log45，则a, b, c, d的大小关系为（
）
A. b > a > d > c
B. b > c > a > d
C. b > a > c > d
D. a > b > d > c
6
03 函数概念
巩固练习
考点1：函数的定义
A组
1
下列同组的两个函数是相同函数的是（
）
A. y = x, y = √x2
B. y = x, y = eln x
C. y = x, y = ( 1
x )
−1
D. y = x + 1, y = t + 1
2
以下图形中，不是函数图象的是（
）
A.
B.
C.
D.
C组
1
将函数y =
1
2 x −1 + 1
2 x −2 + 1的图像绕原点顺时针方向旋转角θ（0 ≤θ ≤π
2 ）得到曲线C.若对于每一个旋转
角θ，曲线C都是一个函数的图像，则
的取值范围是
.
∣∣∣
考点2：函数的定义域
A组
1
设集合A = {x y = lg (x2 −4x + 5)}，则A =
.
∣
7
B组
1
已知函数y = f (x)的定义域为[−1, 3]，则函数y = f (2x −1)
lg (x −1) 的定义域为（
）
A. (1, 2]
B. (1, 2)
C. (1, 5]
D. (1, 2) ∪(2, 5]
2
若函数f (x) = lg [(a2 −1)x2 + (a + 1)x + 1]的定义域为R，则实数a的取值范围是
．
3
设函数f (x) = |2x −1| + |2x −3|，x ∈R.
（1）解不等式f (x) ≤5；
（2）若g (x) =
2
f (x) −m 的定义域为R，求实数m的取值范围.
C组
1
关于x的不等式mx2 −nx + p > 0(m, n, p ∈R)的解集为(−1, 2)，则函数f(x) = log2
nx −p
nx −m 的定义域是
8
考点3：函数解析式的求解
A组
1
求下列函数的解析式.
(1)
已知函数f(x + 1) = 2x2 + 4x + 3(x ≥1)，求f(x)；
(2)
已知f(x)是一次函数，且f[f(x)] = 9x + 8，求f(x).
B组
1
（1）已知f(x + 1
x ) = x2 + 1
x2 ，求f(x)的解析式．
（2）已知f(x)满足2f(x) + f( 1
x ) = 3x，求f(x)的解析式．
（3）已知f(x) + 2f(−x) = x2 + 2x，求f(x)的解析式．
9
2
为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中
的含药量y（mg/m3）与时间t（h）成正比（0 < t < 1
2 ）；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y = ( 1
4 )
t−a
（a
为常数，t ≥1
2 ），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5（mg/m3）以下时，学生方可进教室，则学校应
安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作
A. 30
B. 40
C. 60
D. 90
考点4：函数值域的求解
A组
1
下列函数中，值域为[0，+∞）的是（
）
A. y = x
1
2
B. y = 3x
C. y = log2 (x −1)
D. y =
x
x −1
2
若函数y＝
1
x −2 的定义域为A，函数y＝√2x + 6的值域是B，则A∩B＝
.
B组
1
若函数y = f (x)的值域为[1, 2]，则函数F (x) = f (2x + 1) −1的值域是（
）
A. [1, 2]
B. [0, 1]
C. [−1, 0]
D. [2, 3]
2
函数f(x)是定义在(−∞, +∞)上的奇函数，当x > 0时，f(x) = 4x + 2x + 1，则当x ∈R时，f(x)的值域为
．
3
10
记y = log0.7 (1 −16x2)的减区间D，则y = 8x2 −6x + 4
2x −1
在x ∈D上的值域为
．
4
如果|x + 1| + |x + 9| > a对任意实数x总成立，那么a的取值范围是
.
C组
1
函数f (x)满足f (x) = f (
1
1 + x )对任意x ∈[0, +∞)都成立，其值域是Af，已知对任何满足上述条件的f (x)都有
{y |y = f (x), 0 ≤x ≤a} = Af，则a的取值范围为
.
11
04奇偶性和单调性
巩固练习
考点1：函数奇偶性的判定
A组
练1
1
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=√9 −x2 + √x2 −9；
(2)f(x)=(x + 1)√1 −x
1 + x ；
(3)f (x)＝√4 −x2
|x + 3| −3
练2
1
下面五个命题中，正确命题的个数是（
）
①偶函数的图像一定与y轴相交；
②奇函数图像一定过原点；
③偶函数图像一定关于y轴对称；
④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f (x) = 0 (x ∈R)；
⑤偶函数与x轴若有交点，则交点横坐标之和为0.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
12
练3
1
已知集合A = {−1, −1
2 , −1
3 , 0, 2
3 , 2, 3}，B = {y = f(x)|f(x) = xk, k ∈A且y = f(x)图象关于y轴对称}，则集合B
中的元素个数为
．
B组
练1
1
已知函数f (x) = {
，下列命题是真命题的是__________（只填命题序号）.
①函数f (x)是偶函数；②对任意x ∈R, f (x + √2) = f (x)；
③对任意x ∈R, f (x + 2) = f (x)；
④对任意x, y ∈R, f (x + y) = 1
2 (f (x) + f (x))；
⑤若存在x, y ∈R,使得
，则x，y都为无理数.
1, x是有理数
0, x是无理数
练2
1
函数f (x) = 2 sin x sin ( π
2 + x)的奇偶性为
.
13
考点2：利用函数奇偶性求值/求参/求解析式
A组
练1
1
若函数f(x) = log3(9x + 1) + kx（k ∈R）为偶函数，则k的值为
练2
1
已知函数f (x)是R上的偶函数，f (x + 2)为奇函数，若f (0) = 1，则f (1) + f (2) + … + f (2023) =
.
B组
练1
1
设a为实常数，y = f(x)是定义在R上的奇函数，且当x < 0时，f(x) = 9x + a2
x + 7．若f(x) ≥a + 1对一切x ≥0
成立，则a的取值范围是
.
练2
1
定义在R上的函数f (x) = a −
1
2x + 1 是奇函数，则实数a =
.
练3
1
已知函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，且当x > 0时，其表达式为f(x) = x2 + 2x，则当x < 0时，其表达式为
f(x) =
．
练4
1
已知函数y = f (x)的表达式为f (x) =
x + a
x2 + bx + 1 ，且在[−1, c]上为奇函数，则f (c)的值为
.
14
考点3：函数单调性的判定
A组
练1
1
函数y = lg (x2 −2x −3)的单调递增区间为（
）
A. (−∞, −1)
B. (1, +∞)
C. (3, +∞)
D. (−1, 3)
练2
1
函数f (x) =
1
x + 1 中，有（
）
A. f (x)在(−1, +∞)上严格增
B. f (x)在(−∞, −1) ∪(−1, +∞)上严格减
C. f (x)在(1, +∞)上严格增
D. f (x)在(−1, +∞)上严格减
B组
练1
1
当x > 0时，函数f (x) = (2a −1)x (a > 0, a ≠1
2 )的函数值总大于1，则函数y = loga (2x −x2)在区间________上
是严格增函数
15
练2
1
已知函数f (x) = 2x −a
2x (a > 0).
（1）判断f (x)在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；
（2）讨论函数f (x)的奇偶性，并说明理由.
考点4：利用函数单调性求参/解不等式
A组
练1
1
已知函数f (x) = {
在其定义域上单调递减，则实数a的取值范围为（
）
A. a ≥0
B. a ≤1
C. 0 < a < 1
D. 0 ≤a ≤1
x2 −ax + 1, x < 0
−x + a, x ≥0
练2
1
若函数f (x) = x2 −a |x −1|是区间[0, +∞)上的严格增函数，则实数a的取值范围是
．
B组
练1
1
已知g (x) = x + b
x ，若对任意的x1，x2 ∈(1, 2)，都有g (x1) −g (x2)
x2 −x1
> 1（x1 ≠x2），则实数b的取值范围为
（
）
A. b ≥2
B. b ≤2
C. b ≥8
D. b ≤8
16
练2
1
已知函数f(x) = x−k2+k+2在区间(0, +∞)上是严格增函数，则实数k的取值范围是
．
17
练3
1
若f (x)是偶函数，且当x ∈[0, +∞)时，f (x) = x −2，则不等式f
x
1
3 −1
> 1的解集是
．
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
练4
1
已知函数f (x) = 2023x + log2023 (x + √x2 + 1) −2023−x + 2，若f (5a −6) + f (a2) ≤4，则实数a的取值范围是
.
练5
1
已知函数f (x) = √x2 + 1 −ax，其中a > 0.
(1)
若2f (1) = f (−1)，求a的值；
(2)
证明：函数f (x)在区间(0, +∞)上为单调函数的充要条件是a ≥1；
(3)
若函数f (x)在区间[1, +∞)上是严格增函数，求a的取值范围.
18
05 函数周期性与对称性
巩固练习
考点1：函数对称性的判断
A组
练1
1
已知定义在R上的函数y = f (x)的图像关于点(1, 0)对称，则下列结论成立的是（
）
A. f (x + 1)为偶函数
B. f (1 + x) = f (1 −x)
C. f (2 + x) + f (−x) = 0
D. f (1) = 0
练2
1
已知函数y = −
x −a
x −a −1 的反函数的图像关于点(−1, 3)成中心对称图形．则实数a等于．
A. 2
B. 3
C. −2
D. −3
B组
练1
1
若函数f (x) = 2x + 3 ⋅2−x的图像关于直线x = m成轴对称图形，则m =
.
练2
1
已知函数f(x) =
1
4 −2x 的图象关于点P对称，则点P的坐标是
.
19
练3
1
已知函数f (x)的定义域为R，且y = f (x + 1)的图象关于点(−1, 0)成中心对称.当x > 0时，f (x) =
3
x + 1 ，则
f (−2) =（
）
A. 1
B. 3
C. −1
D. −3
练4
1
下列函数中，其图象与函数y=ln(x+1)的图象关于直线x=1对称的是（
）
A. y=ln(1-x)
B. y=ln(3-x)
C. y=ln(1+x)
D. y=ln(3+x)
考点2：函数对称性的应用
A组
练1
1
已知定义域为R上的偶函数f(x)在[0, +∞)上单调递增，且f ( 1
2 ) = 0，则不等式f(x −2) > 0的解集是
．
B组
练1
1
已知定义域为R的函数y = f (x)是奇函数，在(0, +∞)上是严格增函数，且f (3) = 0，则不等式(x −1)f (x) < 0的解
集是
.
20
练2
1
若函数y = f (x)满足：①f (x)的图象是中心对称图形；②若x ∈D时，f (x)图象上的点到其对称中心的距离不超过
一个正数M，则称f (x)是区间D上的“M对称函数”.若函数f (x) = (x + 1)3 + m (m > 0)是区间[−4, 2]上的“M对称
函数”，则实数M的取值范围是
A. [3√82, +∞)
B. [√82, +∞)
C. (0, 3√82]
D. (3√82, +∞)
练3
1
已知函数f (x) = (x2 −1) (x2 + ax + b)，若对于任意的x ∈R，都有f (x) = f (4 −x)，则f (x)的最小值是
.
考点3：函数周期性的判断
B组
练1
1
函数f (x)对于任意实数x满足条件f (x + 2) =
1
f (x) ，若f (1) = −5,则f (f (5)) =
．
练2
1
已知函数y = f (x)，对任意x ∈R，都有f (x + 2) ⋅f (x) = k（k为常数），且当x ∈[0, 2]时，f (x) = x2 + 1，则
f (2023) =
.
21
考点4：函数周期性的应用
A组
练1
1
若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x + 2) = f(x)且x ∈[0, 1]时，f(x) = x，则方程f(x) = log3|x|的解有（
）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 多于4个
练2
1
函数y = f(x), x ∈R满足f (x + 2) = f (x)，当0 < x ≤2时，f (x) = log2 (x + 1)，则f (−2023) =
.
B组
练1
1
设函数f(x) = √2
2 cos(2x + π
4 ) + sin2x
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）设函数g(x)对任意x ∈R，有g(x + π
2 ) = g(x)，且当x ∈[0, π
2 ]时，g(x) = 1
2 −f(x)；求函数g(x)在[−π, 0]上
的解析式．
22
练2
1
设函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x + 3) = −f (x)，若f (1) ≥−2，f (2021) = 3
m ，则实数m的取值范
围是
.
23
06 函数图像与函数零点
巩固练习
考点1：函数图像及其变换
A组
练1
1
已知函数f (x) = 1 + |x| −x
2
（−2 < x ⩽2）．
(1)
用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)
请在方格坐标系中画出函数f(x)的图像．
24
B组
25
练1
1
函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像如图1和图2，则函数y=f(x)∙g(x)的图像可能是（
）
A.
B.
C.
D.
练2
1
已知曲线C1：y = sin x，曲线C2：y = sin (ωx + φ) (ω > 0, |φ| < π
2 )的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
（
）
A. 将曲线C1先向左平移π
6 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2
B. 将曲线C1先向左平移π
6 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的
倍，得到曲线C2
C. 将曲线C1先向左平移π
3 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2
D. 将曲线C1先向左平移π
3 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的
倍，得到曲线C2
1
2
1
2
练3
26
1
设函数f (x)在(−∞, +∞)内有定义，对于给定的正数K，若定义函数fK (x) = {
，取函数f (x) = 2−|x|
，当K = 1
4 时，函数fK (x)的单调递增区间为
．
f(x),f(x)≤K
K, f (x) > K
练4
1
设实数a > 0，且a ≠1，b ∈R，函数f (x) = ax + b (x > 0)．若f (x)的图像与x轴没有交点，则（
）
A. {
或{
B. {
或{
C. {
或{
D. {
或{
a > 1
b ≥−1
0 < a < 1
b ≤−1或b ≥0
a > 1
b < −1
0 < a < 1
−1 < b < 0
a > 1
b ≤−2
0 < a < 1
−0.5 < b < 0
a > 1
−2 < b < −1
0 < a < 1
−1 < b < −0.5
考点2：已知零点个数求参
A组
练1
1
已知函数f (x) = {
，若函数f (x)存在零点，则实数t的取值范围是
.
3x, x ≥t
−x, x < t
练2
1
函数f (x) = x2 + 1
2x −3的零点个数为
.
B组
练1
1
若函数f(x) = {
有且仅有1个零点，则实数a的取值范围
−(x + 3)(x −1), x ≤a
2x −0.25, x > a
练2
1
27
若存在区间[a, b](a, b ∈R)使得函数f (x) = sin x −1
2 在此区间上仅有两个零点，则b −a的取值范围是
．
练3
1
设min {A, B}表示A，B中的较小数.若函数f (x) = min {|x| −2, x2 −ax + 2a −3}至少有3个零点，则实数a的取值
范围是
.
练4
1
设f (x)是定义在R上的偶函数，对任意的x ∈R，都有f (x −2) = f (x + 2)，且当x ∈[−2, 0]时，f (x) = ( 1
2 )
x
−1
.若在区间(−2, 6]内关于x的方程f (x) −loga (x + 2) = 0 (a > 1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是
.
考点3：利用函数性质探究零点关系
A组
练1
1
已知函数f(x) = x −2
x (x ≠0)，则该函数的所有零点的和是
.
B组
练1
1
已知定义在R上的奇函数f (x)，满足f(x −4) = −f(x)，且在区间[0, 2]上是增函数，若方程f(x) = m(m > 0)，在
区间[−8, 8]上有四个不同的根x1, x2, x3, x4，则x1 + x2 + x3 + x4 =（
）
A. -12
B. -8
C. -4
D. 4
28
练2
1
已知f (x) = 2 sin πx，g (x) =
3√x −1，则f (x)与g (x)图象交点的横坐标之和为
.
练3
1
已知函数f (x) = {
，若存在x1 < x2 < x3，使得f (x1) = f (x2) = f (x3)，则x1 + x2 + x3的取值范
围是（
）
A. (0, √6)
B. (√3, √6)
C. (0, √6]
D. (√3, √6]
|x + 1|, x ≤2
x2 −4x + 1, x > 2
29
07 函数中的恒成立与存在问题
巩固练习
考点1：单变量不等式恒成立与有解问题
A组
练1
1
若关于x的不等式|x + 3| −|x −1| ≤a2 −3a对任意实数a恒成立，则实数x的取值范围是
．
练2
1
已知f(x) = −x2 + ax −1.
(1)
若f(1)f(2) > 0，求实数a的取值范围；
(2)
若存在x ∈(0, +∞)，使得f(x) > 0，求实数a的取值范围.
B组
练1
1
已知x > 0，y > 0，且x + 2y = xy，若不等式x + 2y ≥m2 −2m恒成立，则实数m的取值范围为
．
30
练2
1
若不等式x2 −kx + k −1 > 0对x ∈(1, 2)恒成立，则实数k的取值范围是
A. (−∞, 2)
B. (−∞, 2]
C. (2, +∞)
D. [2, +∞)
练3
1
函数y = lg(kx2 + kx + 5
4 )的定义域为R，则实数k的取值范围是
.
练4
1
已知函数f(x) = √ax2 −x + a
16 ．若f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是
；若f(x)的值域为[0, + ∞)
，则实数a的取值范围是
．
练5
1
关于x的不等式ax2 −|x| + 2a ≥0的解集是(−∞, +∞)，则实数a的取值范围为
．
练6
1
对任意的正实数x、y，不等式√x + √y ≤m√x + y恒成立，则实数m的取值范围是
．
练7
1
设a < 0，若关于x的不等式(x2 + 2a) (x + b) ≥0对任意的x ∈(a, b)恒成立，则b −a的最大值为
.
31
考点2：双变量恒成立与有解问题
B组
练1
1
已知函数f(x) = −x2 + 6x + m，g (x) = 2 sin (2x + π
3 )．对任意x0 ∈[0, π
4 ]，存在x1, x2 ∈[−1, 3]，使得
f(x1) ≤g(x0) ≤f(x2)，则实数m的取值范围是
．
练2
1
已知函数f (x) = ( 1
2 )
x
与g(x) = x2 −2ax + 4(a > 0)，若对任意的x1 ∈(0, 1)，都存在x2 ∈[0, 2]，使得
f (x1) = g (x2)，则实数a的取值范围是
.
练3
1
已知函数f (x) = x2 + m，g (x) = 2x −m，若对任意的x1 ∈[−1, 2]，总存在x2 ∈[0, 3]使得f (x1) = g (x2)成立，则
实数m的取值范围是
.
练4
1
已知函数f（x）=x+ 4
x ，g（x）=2 +a-1，若对于任意x ∈[ 1
2 ，1]，存在x ∈[2，3]，使得f（x ）≥g（x ），则实数a
的取值范围是
.
x
1
2
1
2
32
08 导数的概念与运算
巩固练习
考点1：导数的概念
A组
已知函数f(x) = ax2(a ≠0)从x = 1到x = 2的平均变化率为−6，则实数a的值等于（
）
A. 2
B. 1
C. −1
D. −2
B组
1
已知函数f (x) = x4 + ax，若lim△x→0
f (2△x) −f (−△x)
△x
=12，则a =（
）
A. 36
B. 12
C. 4
D. 2
2
计算：limh→0
sin 2(x + h) −sin(2x)
h
=（
）
A. 0
B. cos 2x
C. 2 cos x
D. 2 cos 2x
3
2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某
位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船
船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时
间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为
．（用含有H、h、
m、t的式子表示）
4
现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积 V (单位: L ) 与直径 d (单位: dm )的关系式为 V = πd3
6 ，当 d = 2dm
时，气球体积的瞬时变化率为（）
A. 2π
B. π
C. π
2
D. π
4
33
C组
已知抛物线x2 = 3y，动点A自原点出发，沿着y轴正方向向上匀速运动，速度大小为v．过A作y轴的垂线交抛物线
于B点，再过B作x轴的垂线交x轴于C点．当A运动至(0, 100)时，点C的瞬时速度的大小为
考点2：导数的几何意义
A组
1
如图，点A（x ，f（x ）），B（x ，f（x ））在函数f（x）的图象上，且x ＜x ，f ′(x)为f（x）的导函数，则f ′(x1)
与f ′(x2)的大小关系是（ ）
A. f ′(x1) > f ′(x2)
B. f ′(x1) < f ′(x2)
C. f ′(x1) = f ′(x2)
D. 不能确定
1
1
2
2
2
1
2
已知在区间(0, 1)上f ′(x) > 1．在下面所示的图象中，可能表示函数y = f(x)的图象的有
(填写所有可能的选
项）．
34
B组
1
大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高
值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均
一致，则下列结论中错误的是（
）
A. 由上图推测，甲地的绿化好于乙地
B. 当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C. 当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D. 当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
2
已知a ∈R，曲线y = f (x)经过点(1, 2)且在该点处的切线方程为ax + y −5 = 0，则 limh→0
f (1 + h) −2
h
=
.
3
设点P是曲线y = x3 −√3x + 2
3 上的任意一点，P点处的切线倾斜角为σ，则σ的取值范围为
.
考点3：导数的运算
A组
1
下列结论正确的是（
）
A. 若y = sin x，则y′ = cos x
B. 若y = cos x，则y′ = cos x
C. 若y = 1
x ，则y′ = 1
x2
D. 若y = √x，则y′ = 1
2 √x
2
（1）函数y = (2x2 + 3) (3x −2)的导数是
；
（2）函数y = 2x cos x −3x ln x的导数是
；
（3）函数y = x −1
x + 1 的导数是
．
3
35
已函数f (x) = x (2 −sin x)，则f (x)在点( π
2 ，f ( π
2 ))处的切线方程为
.
B组
1
下列函数的求导中，错误的是（
）
A. 函数y = e−2x+1 cos (−x2 + x)的导数y′ = −e−2x+1 [2 cos (x2 −x) + (2x −1) sin (x2 −x)]
B. 函数y = −2ex ⋅sin x的导数y′ = −2ex (sin x + cos x)
C. 函数y = x sin x + cos x的导数y′ = x cos x
D. 函数y = cos (x2 + x)的导数y′ = (2x + 1) sin (x2 + x)
2
已知函数f (x) = x3 −3x2 + x + 2，则f (
1
2022 ) + f (
2
2022 ) + f (
3
2022 ) + ⋯+ f ( 4043
2022 ) =
3
从点P (2, t)可向曲线y = x −x3引三条不同切线，则t的取值范围为（
）．
A. −6 < t < 2
B. −2 < t < 6
C. −4 < 1 < 4
D. −4 < t < 6
4
已知函数y = f (x)，其中f (x) = 1
2 x2 −a ln x．若函数f (x)的图象在点(1, f (1))处的切线不过第四象限且不过原
点，则实数a的取值范围为
．
36
C组
1
用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要
指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f ′ (x)是f (x)的导函数，f ′′(x)是f ′ (x)的导函数，则曲线y = f (x)在点
(x, f (x))处的曲率K =
|f ′′(x)|
(1 + [f ′ (x)]2)
3
2
.
(1)
若曲线f (x) = ln x + x与g (x) = √x在(1, 1)处的曲率分别为K1，K2，比较K1，K2大小；
(2)
求正弦曲线h (x) = sin x(x ∈R)曲率的最大值.
2
若直线y = x + b与曲线y = ex −ax相切，则b的最大值为（
）
A. 0
B. 1
C. 2
D. e
3
若直线y = k1 (x + 1) −1与曲线y = ex相切，直线y = k2 (x + 1) −1与曲线y = ln x相切，则k1k2的值为（
）
A. 1
2
B. 1
C. e
D. e2
37
09 导数在函数中的应用
巩固练习
考点1：导数与函数单调性
A组
1
函数f (x) = √x ⋅ln x的递增区间为（
）
A. ( 1
e2 , +∞)
B. ( 1
e , +∞)
C. (0, 1
e2 )
D. (0, 1
e )
2
函数f(x) = x ln x，正确的命题是
A. 值域为R
B. 在 (1，+∞)是增函数
C. f (x)有两个不同的零点
D. 过(1, 0)点的切线有两条
3
下列函数中，在(0, +∞)内为增函数的是（
）
A. y = sin x
B. y = xex
C. y = x3 −x
D. y = ln x −x
B组
1
已知函数f (x) = 1
3 x3 + mx2 + nx + 1的单调递减区间是(−3, 1)，则m + n的值为
.
2
设函数f(x)的导函数f ′(x)图像如下图所示，则函数f(x)的图像可能是（
）
A.
B.
C.
D.
38
3
已知函数f(x) = ln x + ax2, a ∈R，若函数f(x)在区间(0, 1)上不单调，则实数a的取值范围是
．
4
设函数y = f (x)，其中f (x) = a√x −ln x (a > 0)，
(1)
求f ′ (x)；
(2)
若y = f (x)在[1, +∞)是严格增函数，求实数a的取值范围；
(3)
若y = f (x)在[2, 4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
C组
1
已知α，β ∈(0, π)，α ≠β，若α3 −β3 = cos α −2 cos β，则下列结论一定成立的是（
）
A. sin α < sin β
B. sin α > sin β
C. cos α < cos β
D. cos α > cos β
考点2：导数与函数的极值
A组
1
函数f (x)的定义域为开区间(a, b)，导函数f ′ (x)在(a, b)内的图象如图所示，则函数f (x)在开区间(a, b)内极值点
（包括极大值点和极小值点）有（
）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
B组
39
1
若函数f (x) = (x2 + ax + 2)ex既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是
．
2
已知曲线f (x) = x3 + ax2 + bx + 1在点(1, f (1))处的切线斜率为3，且x = 2
3 是y = f (x)的极值点，则函数的另一
个极值点为
.
C组
1
若0为f (x) = x4 + (a −1)x3 + ax2的极大值点，则a的取值范围为
．
2
若函数f(x) = xex −(m −1)e2x存在唯一极值点，则实数m的取值范围是
.
考点3：导数与函数的最值
A组
1
函数f (x) = ex
x 在(0, 2]上的最小值为
.
40
2
已知函数f (x) = 1
3 x3 −4x + 4
(1)
求函数的极值
(2)
求函数在[0, 3]上的最大值与最小值
B组
1
已知函数f(x) =
ex
1 + ax2 ，其中a为正实数，x = 1
2 是f(x)的一个极值点
（1）求a的值；
（2）当b > 1
2 时，求函数f(x)在[b, +∞)上的最小值．
41
C组
1
已知实数a、b、c、d满足b −lna
a
+ |c −d + 2| = 0，则(a −c)2 + (b −d)2的最小值为
∣∣
2
已知函数y = f (x)，y = g (x)，且f (x) = ex−3，g (x) = 1 + ln x，若f (m) = g (n)，则n −m的最小值为
.
42
10 三角比
巩固练习
考点1：任意角与弧度制
A组
1
一个扇形的面积是1cm2，它的周长是4cm，则圆心角为
弧度．
2
下列说法正确的是（
）
A. 终边在x轴上角的集合是{α α = kπ
2 ，k ∈Z}
B. 若角α的终边在第二象限，则角α是钝角
C. 若角α是钝角，则角α的终边在第二象限
D. 终边在直线y = x上角的集合是{α α = π
4 + kπ，k ∈Z}
∣∣
3
中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面
积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为
√3 −1
2
时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的
圆心角的弧度数为（
）
A. (4 −2√3)π
B. (2 −√3)π
C. (√3 −1)π
D. (2√3 −2)π
B组
已知一圆弧的弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数是
A.
B.
C.
D. 2
考点2：三角比
A组
1
若角α的终边经过点P(5t, 12t)(t > 0)，则sin α =
．
43
2
已知 tan α = 2 ，则 sin2 α −sin α cos α 的值是
B组
已知集合A = {α| tan α > 0}，集合B = {β| cot β
2 > 0}，则B ∩A =
．
–
C组
函数y = |sin θ|
sin θ + |cos θ|
cos θ + |tan θ|
tan θ + |cot θ|
cot θ 的值域的真子集的个数为
考点3：诱导公式
A组
已知sin(3π + θ) = 1
4 ，求
cos (π + θ)
cos θ [cos (π + θ) −1] +
cos (θ −2π)
cos (θ + 2π) cos (π + θ) + cos (−θ) =
.
B组
若点P(cos θ, sin θ)与点Q (cos (θ + π
2 ), sin (θ + π
2 ))关于直线3x −y = 0对称，则tan θ =
.
C组
设a, b ∈R，c ∈[0, 2π)，若对任意实数x都有3 sin (2x + π
4 ) = a sin (bx + c)，则满足条件且异于(3, 2, π
4 )的有序
实数组(a, b, c)的组数为（
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
考点4：两角的和差公式
B组
1
已知点A的坐标为(√3, −1)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转5π
6 至OB，则点B的纵坐标为
.
44
2
已知2 cos (2x + π
12 ) cos (x −π
12 ) −cos 3x = 1
4 ，则sin ( π
6 −2x) =（
）
A. 1
2
B. −1
2
C. 7
8
D. −7
8
3
设α, β ∈(0, π
2 )，cos (α + π
6 ) = 5
13 ，sin (β −π
3 ) = −3
5 ，则cos(α −β) =（ ）
A. 63
65
B. −63
65
C. 33
65
D. −33
65
C组
求证三角恒等式：tan 5
2 x −tan 3
2 x =
2 sin x
cos 4x + cos x
考点5：二倍角、半角与辅助角公式
A组
三倍角的正切公式为tan 3α =
.
B组
1
已知α, β为锐角，且1 −cos 2α = sin α cos α, tan (β −α) = 1
3 ，则tan α =
；β =
.
45
2
在平面直角坐标系xOy中，A ( √2
2 , √2
2 )在以原点O为圆心半径等1的圆上，将射线OA绕原点O逆时针方向旋转α
后交该圆于点B，设点B的横坐标为f(α)，纵坐标g(α).
(1)
如果sin α = m，0 < m < 1，求f(α) + g(α)的值（用m表示）；
(2)
如果f(α)
g(α) = 2，求f(α) ⋅g(α)的值.
46
11 解三角形
巩固练习
考点1：正弦定理及其应用
A组
1
在△ABC中，若A = 60∘，AB = 2，AC = 2√3，则△ABC的面积是
．
2
在△ABC中，已知BC = 5, AC = 4, A = 2B，则cos B的值为
.
B组
1
如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β；则图中阴影区域的面积的最
大值为
．
2
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（
）
A. a = 8，b = 10，A = 45∘
B. a = 60，b = 81，B = 60∘
C. a = 7，b = 5，A = 80∘
D. a = 14，b = 20，A = 45∘
47
C组
某小区拟对如图一直角△ABC区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形△DEF,在其内建造文化景
观．已知AB = 20m，AC = 10m,则△DEF面积最小值为
考点2：余弦定理及其应用
A组
某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14、10、6（单位：m），且该区域的租金为每天4
元/m ．若租用上述区域5天，则仅场地的租用费约需________元．（结果保留整数）
2
48
B组
已知a, b, c分别为△ABC三个内角A, B, C的对边，且c cos B + (b −2a) cos C = 0.
(1)
求C；
(2)
若CD为AB边上的中线，cos A = 1
7 ，CD = √129
2
，求△ABC的面积.
C组
1
记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2 cos C = 3b
a −a
b ，则B的取值范围是
.
2
△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足b2 = a2 + c2 −ac．
(1)
当A为何值时，函数y = 2 sin2 A + cos ( C −3A
2
)取到最大值，最大值是多少？
(2)
若c −a等于边AC上的高h，求sin ( C −A
2
)的值．
3
49
在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C对应的边，记△ABC的面积为S，且b sin B + 2c sin C = 4a sin A，则S
a2
的最大值为
.
考点3：解三角形的实际应用
A组
如图，某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点B和C，在B点处观测到C的方位角为155∘，B点和C点相距25千
米．某日两个观测站都观测到了A处出现火情，在B点处观测到A的方位角为125∘．在C点处，观测到A的方位角为
80∘，则观测站C与火情A之间的距离为
．
50
B组
某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天场所，地面形状如图所示.已知已有两面墙的夹角
∠ACB = π
3 ，墙AB的长度为8米，已有两面墙的可利用长度足够大，记∠ABC = θ.
(1)
若θ = π
4 ，求三角形的周长（结果精确到0.01）；
(2)
为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积尽可能大，问当边长如何设计时，该活动室
面积最大？并求出最大面积.
51
12 三角函数的图像与性质
巩固练习
考点1：三类基本三角函数的图像及其性质
A组
1
函数y = 2 cos2 x + 1(x ∈R)的最小正周期为
.
2
“函数f(x) = sin(ωx)（x、ω ∈R，且ω ≠0）的最小正周期为 π
”是“ω = 2”的（
）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
3
下列说法正确的是（
）
A. 函数y = sin x在第一象限内是严格增函数
B. 函数y = cos x的图象是中心对称图形
C. 函数y = tan x在其定义域中是严格增函数
D. 函数y = sin x
x
是周期函数
B组
1
求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值,并求出函数的最大值和最小值.
(1)y = −sin2x + √3 sin x + 5
4 ;
(2)y = cos2x −sin x,x ∈[−π
4 , π
4 ].
52
C组
1
函数f (x) = cos( 2πx
n )(x ∈Z)的值域有6个实数组成，则非零整数n的值是
.
2
用MI表示函数y = sin x在闭区间I上的最大值.若正实数a满足√3M[0,a] ≥2M[a,2a]则M[0,a] =
a的取值范围是
考点2：正弦型三角函数
A组
1
已知函数f(x) = √3 sin ωx −cos ωx (ω > 0)在[0, π
2 ]内有且仅有1个最大值点和3个零点，则ω的取值范围是
（
）
A. ( 13
3 , 16
3 ]
B. [ 13
3 , 16
3 )
C. ( 14
3 , 17
3 ]
D. [ 14
3 , 17
3 )
B组
1
若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：
f1 (x) = √3 sin x + cos x，f2 (x) = √2 sin x + √2，f3 (x) = sin x，f4 (x) = cos x −sin x，则“同形”函数是（
）
A. f1 (x)与f2 (x)
B. f1 (x)与f4 (x)
C. f2 (x)与f3 (x)
D. f2 (x)与f4 (x)
2
已知函数f(x)=2sin(ωx+ π
4 )(ω>0)的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（
）
A. [ 19π
4 , 27π
4 )
B. [ 9π
2 , 13π
2 )
C. [ 17π
4 , 25π
4 )
D. [4π, 6π)
3
已知函数f (x) = sin ωx + √3 cos ωx −√3 (ω > 0)在[0, π
2 ]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是（
）
A. ( 10
3 , 14
3 )
B. [ 10
3 , 14
3 ]
C. [4, 14
3 ]
D. [4, 14
3 )
53
C组
1
对于函数f(x) =
现有下列结论：
①任取x1, x2 ∈[2, +∞)，都有|f (x1) −f (x2)| ≤1；
②函数y = f (x)在[4, 5]上先增后减
③函数y = f (x) −ln (x −1)有3个零点：
④若关于x的方程f (x) = m (m < 0)有且只有两个不同的实根x1，x2，则x1 + x2 = 3
其中正确结论的序号为
（写出所有正确命题的序号）
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
sin πx, x ∈[0, 2]
1
2 f(x −2), x ∈(2, +∞)
考点3：三角方程
A组
1
已知cos x = −1
3 ，x是第二象限的角，那么x =
．
2
方程cos 2x −sin x = 0在区间[0, 2π]上的所有解的和为
.
3
已知tan x = 3，x ∈( π
2 , 3π
2 )，则角x为
.
B组
1
已知sin 2x = 1
2 , x ∈[0, 2π]，则角x的取值集合为
．
2
已知α ∈(0, 2025π)，cos α = cos 5π
3 ，则满足要求的α有
个．
3
当sin α + √3 cos α = 1，α =
．
54
