目 录
1
01 等差数列.................................................................................................................... 2
02 等比数列.................................................................................................................. 12
03 数列求通项.............................................................................................................. 21
04 数列求和方法........................................................................................................... 29
05 数列概念与数学归纳法............................................................................................. 39
06 平面及其基本性质.................................................................................................... 45
07 空间直线与直线的位置关系...................................................................................... 57
08 空间直线与平面的位置关系...................................................................................... 66
09 空间平面与平面的位置关系...................................................................................... 78
10 柱体......................................................................................................................... 88
11 锥体......................................................................................................................... 94
12 多面体与旋转体...................................................................................................... 104
01 等差数列
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解等差数列概念并记忆相关公式
目标2
★★★★★☆ 迁移
运用等差数列的通项及求和公式处理问题
目标3
★★★★★☆ 迁移
运用等差数列的性质求解相关问题
知识清单
2
知识点1——等差数列的概念与通项
考点1： 等差数列的概念与通项公式
知识笔记
等差数列的概念
一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的
公差.
等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为an = a1 + (n −1)d，该公式整理后是关于
n ≥1, n ∈N的一次函数.
经典例题
例1
在等差数列{an}中，
(1)
已知a1 = −1，公差d = 4，求a8；
(2)
已知公差d = −1
3 ，a7 = 8，求a1；
(3)
已知a1 = 9，公差d = −2，an = −15，求n．
变式1-1
等差数列{an}中，a1 = 2，a5 = 14，则{an}的公差为
.
3
考点2：等差中项
知识笔记
等差中项
如果a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即：A = a + b
2
或2A = a + b.
在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实
上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项.
经典例题
例2
若a是4+m，4-m的等差中项，则a= .
变式2-1
实数1，7的等差中项是
.
考点3：等差数列的判定方法
知识笔记
定义法
定义法：对于数列{an}，若an+1 −an = d，(d为常数)，则数列{an}是等差数列；
等差中项法
等差中项：对于数列{an}，若2an+1 = an + an+2，则数列{an}是等差数列；
通项公式法
通项公式法an = kn + b ：（k, b是常数），则数列{an}是首项为k + b，公差为k的等差数列.
4
经典例题
例3
已知数列{an}满足a1 = 2，an+1 = 2 −1
an
（n ∈N∗），令bn =
1
an −1 .
(1) 求证：数列{bn}是等差数列；
(2) 求数列{an}的通项公式.
变式3-1
已知数列{an}满足an+1 = 2an + 2n, n ∈N ∗，a1 = 1，数列bn = an
2n
(1) 求证：{bn}等差数列；
(2) 求数列{an}的通项公式.
5
例4
（多选）下列说法错误的有（
）
A. 若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B. 若a，b，c成等差数列，则log2 a，log2 b，log2 c成等差数列
C. 若a，b，c成等差数列，则a + 2，b + 2，c + 2成等差数列
D. 若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
变式4-1
等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3 + a8 + a13是一个定值，则下列各数也为定值的
有（
）
A. a7
B. a8
C. S15
D. S16
例5
若{an}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的个数有（
）
①{an + 3}， ②{a2
n}， ③{an+1 −an}， ④{2an}， ⑤{2an + n}．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
变式5-1
若{an}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有（
）
①{|an|}；②{an+1 −2an}；③{pan + q}（p，q为常数）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6
考点4：等差数列的性质
知识笔记
等差数列的性质
(1)如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且m ≤n, m, n ≥1, m, n ∈N ，公差为d，则有
an = am + (n −m)d；
(2)对于等差数列{an}，若n + m = p + q，则an + am = ap + aq.也就是：a1 + an = a2 + an−1 = a3 + an−2 = ⋯⋯
(3)在等差数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an, an+k, an+2k, an+3k为等差数列，公差为kd.
经典例题
例6
已知等差数列{an}满足a2 + a3 + a10 + a11 = 18，则a4 + a9 =
．
变式6-1
在等差数列{an}中，a3 + a11 = 24，则a6 + a7 + a8的值是（
）
A. 36
B. 48
C. 72
D. 24
7
知识点2——等差数列的求和
考点5：等差数列求和的公式
知识笔记
等差数列的求和公式
等差数列前n项和公式1：Sn = n(a1 + an)
2
，推导方法：倒序相加法.
等差数列前n项和公式2：Sn = na1 + n(n −1)
2
d，可转化为Sn = d
2 n2 + (a1 −d
2 )n，当d ≠0时，Sn是关于n的二次
函数，可利用二次函数性质解决最值问题.
经典例题
例7
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn表示数列的前n项和，若a3 = 4, d = 2，则Sn =
.
变式7-1
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3 = 6，S3 = 12，则公差d等于
．
变式7-2
已知公差d不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，a3 = 6，S5
S9
= 1
3 .
(1)
求数列{an}的通项公式；
8
考点6：等差数列求和的性质
知识笔记
等差数列求和与通项公式的关系
（1）若等差数列{an}的前n项和为Sn ，则{ Sn
n } 是等差数列；
（2）Sn = An2 + Bn是一个没有常数项的二次函数⇔an为等差数列；
（3）等差数列an中，
S3k
a1 + a2 + a3 + ⋯+ ak
Sk
+ ak+1 + ⋯+ a2k
S2k−Sk
+ a2k+1 + ⋯+ a3k
S3k−S2k
, SkS2k −SkS3k −S2k…仍为等
差数列，公差为k2d.
经典例题
例8
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2 = 2an+1 −an，a5 = 4 −a3，则S7 =
.
变式8-1
等差数列{an}中，若a1 + a5 + a9 = 39，a3 + a7 + a11 = 27，则数列{an}前11项的和为
．
例9
设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3
S6
= 1
3 ，则S6
S12
=（
）
A.
3
10
B. 1
3
C. 1
8
D. 1
9
变式9-1
记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2 = 3，S4 = 18，则S6 =（
）
A. 36
B. 45
C. 63
D. 75
9
考点7：等差数列和的最值问题
知识笔记
二次函数法求最值问题
利用Sn (d ≠0) 是关于n 的二次函数的特点，直接求Sn 的最值，注意n 为正整数；.
通项取零法
Sn 取最大值⇔Sn −Sn−1 ≥0, Sn −Sn+1 ≥0 ⇔{
;
Sn 取最小值⇔Sn −Sn−1 ≤0, Sn −Sn+1 ≤0 ⇔{
an ≥0
an+1 ≤0
an ≤0
an+1 ≥0
经典例题
例10
设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2 = 11，S10 = 40.
(1)
求数列{an}的通项公式；
(2)
当n为何值时，Sn最大，并求出Sn的最大值.
10
变式10-1
设等差数列{a }满足a ＝﹣6，a ＝8．
(1) 求{a }的通项公式；
(2) 求{a }的前n项和S 及使得S 最小的序号n的值．
n
3
10
n
n
n
n
变式10-2
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1 = 2，S3 = 18．
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 设bn = 1
2 an −30，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．
11
02 等比数列
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解等比数列概念并记忆相关公式
目标2
★★★★★☆ 迁移
运用等比数列的通项及求和公式处理问题
目标3
★★★★★☆ 迁移
运用等比数列的性质求解相关问题
知识清单
12
知识点1——等比数列概念及通项公式
考点1：等比数列的概念及通项公式
知识笔记
等比数列的概念
等比数列的概念：一个数列，从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数q(q ≠0)，这个数列叫做等比
数列，常数q 称为等比数列的公比.
等比数列的通项公式
如果等比数列{an} 的首项是{a1} ，公比是q ，则等比数列的通项为an = a1qn−1 .
等比数列{an} 中任意两项an与am之间的关系：an = amqn−m.
经典例题
例1
在等比数列{an}中，若a2 = 9，a4 = 3，则a8 =
．
变式1-1
等比数列{a }中，a ＝1，q＝﹣3，则a ＝
（用数字作答）．
n
1
5
13
考点2：等比中项
知识笔记
等比中项
如果a, b, c为等比数列，那么b叫做a与c的等比中项。提醒：不是任意两数都有等比中项，只有同号的两数才存在等
比中项，且有两项：±√ac.
由此可知，非零实数a, b, c成等比数列⇔b2 = ac.
经典例题
例2
1与9的等比中项为
．
变式2-1
在等差数列{an}中，a2 = 4，且a1，a3，a9，构成等比数列，则公差d =（
）
A. 0或2
B. 2
C. 0
D. 0或−2
变式2-2
已知a是1，2的等差中项， b是 1， 16的等比中项， 则ab等于 .
考点3：等比数列的判定方法
知识笔记
定义法
对于数列{an}，若an
an−1
= q(q ≠0)，则{an}是等比数列；
等比中项法
对于数列{an}，若a2
n+1 = an ⋅an+2, (an ≠0)，则{an}是等比数列.
14
经典例题
例3
若数列{an}满足an+1 = 2an(n ∈N∗)，且a1 = 2，am = 1024，则m =
.
变式3-1
已知数列{an}满足an = 2an−1 + 1（n ∈N∗，n ≥2），且a1 = 1，bn = an + 1.证明：数列{bn}是等比数列.
变式3-2
已知{a }是等比数列，给出以下四个命题：①{2a
}是等比数列；②{a ＋a
}是等比数列；③{a ·a
}是等比
数列；④{lg|a |}是等比数列．其中正确命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
n
3n－1
n
n＋1
n
n＋1
n
15
考点4：等比数列的性质
知识笔记
等比数列的性质
（1）等比数列{an}，当m + n = p + q时，则有am ⋅an = ap ⋅aq，特别地当m + n = 2p
时，则有am ⋅an = ap
2.
（2）若a1 > 0, q > 1，则{an}为递增数列；若a1 < 0，q > 1, 则{an}为递减数列；若a1 > 0, 0 < q < 1 ，则{an}为
递减数列；若a1 < 0, 0 < q < 1则{an}为递增数列；若q < 0，则{an}为摆动数列;若q = 1，则{an}为常数列.
（3）数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差
数列又成等比数列的必要非充分条件.
（4）若{an}是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列.
（5）两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an ⋅bn}、{ an
bn
}、{ 1
bn
}仍为等比数列。
（6）若{an}是正项等比数列，则数列{logcan}（c > 0, c ≠1）为等差数列.
经典例题
例4
在等比数列{an}中，a3a5 = 36，a4 + a6 = 60．则a1 =
．
变式4-1
已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，若a1 + a2 + a12 = 12, b1b3b11 = 27，则
a5
1 + b5
=（
）
A. 3
5
B. 3
4
C. 1
D. 5
3
变式4-2
“数列{log3 an}是等差数列”是“数列{an}为等比数列”的（
）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 既不充分也不必要
D. 充要
16
例5
设{an}是首项为−1的等比数列，公比为q，则“q < 0”是“对任意的正整数n，a2n−1 + a2n > 0”的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
变式5-1
已知{an}为等比数列且各项均为正数，公比为q，则“q > 1”是“a7 + a8 < a6 + a9”的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
17
知识点2——等比数列求和公式及其性质
考点5：等比数列求和公式
知识笔记
等比数列求和公式
等比数列前n项和公式：Sn = {
推导方法：错位相减法。
na1
a1(1−qn)
1−q
= a1−anq
1−q
(q = 1)
(q ≠1)
经典例题
例6
已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a2a4 = 4, S4 = 5S2，则a2 + a4的值为（
）
A. 5
B. 10
C. 9
D. 6
变式6-1
记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1 = 1
3 ，a2
4 = a6，则S5 =（
）
A. 40
3
B. 91
3
C. 121
3
D. 364
3
变式6-2
求和1 + a + a2 + a3 + ⋯+ an−1 = ．
18
考点6：等比数列求和公式的性质
知识笔记
等比数列求和公式的性质
(1)若{an}是等比数列，且公比q ≠−1，则数列Sn, S2n −Sn, S3n −S2n ，…也是等比数列，公比Q = qn ；当q = −1
且n为偶数时，数列Sn, S2n −Sn, S3n −S2n,…是常数列，各项均为0，它不是等比数列.
(2)当q ≠1时， Sn = −a1
1 −q qn +
a1
1 −q = aqn + b，这里a + b = 0，但a ≠0, b ≠0，
这是等比数列前n项和公式特征.
经典例题
例7
在正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S30 = 3S10, S10 + S30 = 80，则S20的值为（
）
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
变式7-1
在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S10 = 5, S20 = 15，则S30的值为（
）
A. 25
B. 30
C. 35
D. 40
例8
已知等比数列{an}的前n项和Sn，若Sn = 2n + a，则a =（
）
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1
变式8-1
若等比数列的前n项和Sn = 4n−1 + a，则a =
.
19
考点7：无穷等比数列求和
知识笔记
无穷等比数列求和
(1)一个数列{an}为无限项数列，则Sn =
+∞
∑
i=1
aqi−1 = A.
(2)当公比0 < |q| < 1时，以a为首项，q为公比的等比数列，有
+∞
∑
i=1
aqi−1 =
a
1 −q （0 < |q| < 1）
经典例题
例9
无穷等比数列{an}(n ∈N ∗)的首项a1 = 1，公比q = 1
3 ，则
+∞
∑
i=1
aqi−1 = .
变式9-1
等比数列{an}的首项为a1，公比为q，记Sn = a1 + a2 + ⋯+ an，则
+∞
∑
i=1
aqi−1存在的充要条件是（
）．
A. q ≠1
B. q ≠−1
C. |q| < 1
D. |q| > 1
变式9-2
记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知a1 = −4, a4 = 1
2 ，则数列{Sn}（
）
A. 无最大项，有最小项
B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，无最小项
D. 有最大项，有最小项
20
03 数列求通项
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握累加法、累乘法求数列通项
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握待定系数法求数列通项
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握取倒数法、取对数法求数列通项
目标4
★★★☆☆☆ 操作
掌握数列前n项和S 与通项的关系
n
知识清单
21
知识点1——累加法和累乘法
考点1：累加法
知识笔记
累加法
形如an −an−1 = f(n)(n ≥2)可以用累加法.
经典例题
例1
已知数列{an}满足：a1 = 1，an = n + an−1 (n ≥2, n ∈N∗)，则数列{an}的通项公式为 .
变式1-1
在数列{an}中，a1 = 3，an+1 −an = 2n，则数列{an}的通项an = .
22
考点2：累乘法
知识笔记
累乘法
形如：an
an−1
= f(n)(n ≥2)可以用累乘法.
经典例题
例2
已知数列{an}满足an+1
an
=
n
n + 2 ，a1 = 1，则数列{an}的通项公式是（
）
A. an =
2
n(n + 1)
B. an =
1
n(n + 1)
C. an = 1
n
D. an = n + 1
2
变式2-1
已知数列{an}满足a1 = 2，(n + 1)an+1 = 2(n + 2)an，求数列{an}的通项公式.
23
知识点2——待定系数法
考点3：待定系数法
知识笔记
待定系数法
形如：an = αan−1 + β(n ≥2)、an+1 = pan + f(n)(p ≠1)（其中f (n)为等差数列或者等比数列）等都可以用待定系
数法，构造新数列. 例如，
（1）an −2an−1 = 3⇒构造等比数列：an + k = 2(an−1 + k)；
（2）an −2an−1 = 3n⇒构造等比数列：an + kn + b = 2 [an−1 + k(n −1) + b]；
（3）an −2an−1 = 3n⇒构造等比数列：an + k ⋅3n = 2 (an−1 + k ⋅3n−1)；
（4）an −2an−1 = 2n⇒构造等差数列：an
2n −an−1
2n−1 = 1
经典例题
例3
已知数列 {an} 满足 a1 = 1, an+1 = 3an + 1(n ∈N, n ≥1), 则其通项公式 an =
变式3-1
设 Sn 为数列 {an} 的前 n 项和, 若 a1 = 1, an+1 = 2an + 1, 则 an =
例4
在数列 {an} 中， a1 = 1, an+1 = 2an + 3n + 1 ，则 a9 =
变式4-1
设数列{an}满足a1 = 4，an = 3an−1 + 2n −1(n ≥2)，则数列{an}的通项公式为 .
变式4-2
若a1 = 1，an+1 = 2an −3n，n ∈N∗，则an = ；
24
例5
已知数列{an}满足an+1 = 2an + 4 ⋅3n−1, a1 = −1，则数列{an}的通项公式为 .
练习5-1
已知数列{an}满足an+1 = 3an + 5 × 2n + 4，a1 = 1，求数列{an}的通项公式.
25
知识点3——取倒数法、取对数法
考点4：取倒数法
知识笔记
取倒数法
取倒数法，形如：an= kan−1
an-1+t (n ≥2).
经典例题
例6
已知数列 {an} 满足 a1 = 1, an+1 =
an
1 + an
，则 a3 = , an = .
变式6-1
已知数列 {an} 满足 a1 = 1, an+1 =
an
2 + 3an
(n ∈ N∗), 则 { 1
an
} 的前 n 项和为 .
变式6-2
已知数列{an}满足a1 = 1
3 ，an −an+1
anan+1
= 2，则a10 =（
）
A.
1
21
B.
1
12
C. 12
D. 21
26
考点5：取对数法
知识笔记
取对数法
取对数法，形如：an=an-1
k (n ≥2)可以用对数法，一般情况下取以首项为底的对数.
经典例题
例7
数列 {an} 中, a1 = 2, an = a2
n−1 (n ≥2 且 n ∈N∗), 求数列 {an} 的通项公式.
变式7-1
数列{an}中，若an+1 = a3
n(n ∈N ∗)，a1 = 3，则{an}的通项公式为
.
27
知识点4——数列前n项和S 与通项的关系
n
考点6：利用S 求通项
n
知识笔记
利用S 求通项
n
形如：Sn = f(an, n) ，利用公式an = {
将所给条件变为an = f(an−1, n)来求解，有时也可以利用
an = Sn −Sn−1(n ≥2)将所给条件变为Sn = f(Sn−1, n)来求解.
S1(n = 1)
Sn −Sn−1(n ≥2)
经典例题
例8
设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn = 3n + 3，则an =
．
变式8-1
已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1, an+1 = 3Sn(n ∈N∗)，则a6 =
．
变式8-2
已知数列{an}的前n项和为Sn，其首项a1 = 1，且满足3Sn = (n + 2)an，则an =
.
例9
已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 1，an+1 = 3Sn（n为正整数），则S6 =
．
变式9-1
已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，an+1 = Sn + 2，则S6 =
．
28
04 数列求和方法
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握公式法求和
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握倒序相加的求和方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握错位相减的求和方法
目标4
★★★☆☆☆ 操作
掌握裂项相消的求和方法
目标5
★★★☆☆☆ 操作
掌握分组求和的求和方法
知识清单
29
知识点1——公式法
考点1：公式法
知识笔记
公式法
（1）等差数列求和公式：Sn = n(a1 + an)
2
= na1 + n(n −1)
2
d.
（2）等比数列求和公式：Sn = {
.
na1
a1(1−qn)
1−q
= a1−anq
1−q
(q = 1)
(q ≠1)
经典例题
例1
已知等差数列{an}的通项公式为an = 2n −1 (n ∈N∗)，那么它的前n项和Sn =
.
变式1-1
已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若2a3 −a4 = 4, 3a2 + a5 = 25，则S20 =
.
例2
2 + 24 + 27 + 210 + ⋯+ 243 =
．
变式2-1
已知{an}为等比数列，首项和公比均为1
2 ，则{an}前10项和为
．
30
知识点2——倒序相加、错位相减
考点2：倒序相加法
知识笔记
倒序相加
（1）使用条件：倒序相加法主要是针对具有对称性的数列(或函数)，特别是等差数列或某些对称排列的数列（或
函数）
（2）使用步骤：
①写出原数列的前n项和；
②写出原数列的倒序数列；
③将两个数列的对应项相加，得到新的数列，其每项之和均为a1 + an ；
④计算新数列的和，即为n (a1 + an) ；
⑤因此原数列的和Sn = n
2 (a1 + an) .
3.经典范例：f(x) =
1
1 + x ,
x
1 + x ,
x2
1 + x2 : f(x) + f( 1
x ) = 1
f(x) =
4x
2 + 4x ,
bx
√b + bx , : f(x) + f(1 −x) = 1
sin2x + sin2( π
2 −x) = 1等可以用倒序相加法.
经典例题
例3
求值：sin2 1∘+ sin2 2∘+ ⋯+ sin2 88∘+ sin2 89∘．
31
变式3-1
已知数列{an}中，an = 1 +
1
2n −97 ，则S = a1 + a2 + ⋯+ a95 + a96 =（
）
A. 96
B. 97
C. 98
D. 99
变式3-2
已知函数f (x) =
2x
2x −1 ，利用教材中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得
f (
1
2023 ) + f (
2
2023 ) + ⋯+ f ( 2022
2023 ) =（
）
A. 2020
B. 2022
C. 4040
D. 4044
变式3-3
高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行1 + 2 + 3 + ⋯+ 100的求和
运算时，他这样算的：1 + 100 = 101，2 + 99 = 101，…，50 + 51 = 101，共有50组，所以50 × 101 = 5050，这
就是著名的高斯算法. 已知正数数列{an}是公比不等于1的等比数列，且a1a2024 = 1，试根据提示探求：若
f (x) =
1
1 + x ，则f (a1) + f (a2) + ⋯+ f (a2024) =
.
32
考点3：错位相减法
知识笔记
错位相减
(1)使用条件：错位相减法主要针对cn = an ⋅bn，求cn的前n项和，其中an为等差数列，bn为等比数列.
(2)使用步骤：
①:写出原数列和错位数列
②:错位相减
③:等比数列求和
④:整理结果
经典例题
例4
已知数列{an}中，a3 = 1
8 , 2an+1 = an +
1
2n−1 .
(1)
证明：{2n ⋅an}为等差数列；
(2)
求{an}的前n项和Sn.
33
变式4-1
已知数列{an}的前n项和为Sn，2Sn + 1 = 3an，数列{bn}满足b1 = a1，n (bn+1 −bn) = bn.
(1)
求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)
求数列{anbn}的前n项和Tn.
变式4-2
在等差数列{an}中，a4 = 7，a3 + 2a8 = 35，数列{bn}的前n项和为Sn，3bn −2Sn = 1.
(1)
求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)
若cn = anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.
34
知识点3——裂项相消、分组求和
考点4：裂项相消
知识笔记
裂项相消
1：使用条件：如果数列的通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后剩下有限项的和，就可
以采用裂项相消求和.
2：经典例子：
（1）
1
n (n + 1) = 1
n −
1
n + 1
（2）
1
n (n + 1) (n + 2) = 1
2 (
1
n (n + 1) −
1
(n + 1) (n + 2) )
（3）
1
(2n −1) (2n + 1) = 1
2 (
1
2n −1 −
1
2n + 1 )
（4）
1
√a + √b
=
1
a −b (√a −√b)
（5）
f(n)
an ⋅an+1
= k ( 1
an
−
1
an+1
)
特别地，若数列{an}为等差数列，公差为d，则
1
an ⋅an+1 = 1
d ⋅( 1
an −
1
an+1 )
经典例题
例5
数列{an}的前n项和为Sn，若an =
1
n (n + 1) ，则S2025 =
.
35
变式5-1
已知数列{an}是公差不为0的等差数列，数列{bn}是公比为2的等比数列，a2是a1, a5的等比中项，
b3 −a3 = 3, b1 = 2a1．
(1)
求数列{an}, {bn}的通项公式；
(2)
求数列{
1
anan+1
}的前n项和Sn．
36
考点5：分组求和
知识笔记
分组求和
使用条件：
①:多个数列相加减混合，拆项求和；
②:周期性函数，合项求和.
经典例题
例6
求数列的前n项和：1 + 1，1
a + 4，1
a2 + 7，…，
1
an−1 + 3n −2，…
变式6-1
已知数列{an}满足a1 = 2，且an+1 = 3an + 2n −1 (n ∈N ∗).
(1) 求证：数列{an + n}为等比数列；
(2) 求数列{an}的通项公式；
(3) 求数列{an}的前n项和Sn.
37
例7
已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a4 = 5，且a1，a3，a7成等比数列.
(1)
求数列{an}的通项公式；
(2)
设bn = an cos πan
2 ，求数列{bn}的前2025项和.
变式7-1
已知数列{an}满足对任意正整数p, q，恒有ap+q = ap + aq，且a1 + a2 = 3，bn = a2
n(−1)
n
∑
i=1
ai，则{bn}的前100项和
为（
）
A. 2525
B. 5050
C. 10100
D. 20200
38
05 数列概念与数学归纳法
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
理解数列概念、通项公式及递推公式概念
目标2
★★★★☆☆ 识别
掌握数列单调性的证明和应用方法
目标3
★★☆☆☆☆ 理解
理解数学归纳法的证明逻辑
目标4
★★★☆☆☆ 操作
掌握数学归纳法的操作证明步骤
知识清单
39
知识点1——数列概念、通项公式及递推公式
考点1：数列的递推关系与通项
数列概念
（1）数列概念：按一定顺序排列起来的一列数叫做数列；
（2）数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项；
（3）首项：排在第一位的数称为这个数列的第1项，也叫做首项；
（4）数列的一般形式：a1, a2, a3, ⋯, an, ⋯，可简记为其中{an}。an是数列的第n项，n是an的序数.
数列的分类
（1）有穷数列：项数有限的数列；
（2）无穷数列：项数无限的数列；
（3）递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；
（4）递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；
（5）常数列：各项相等的数列叫做常数列.
通项公式
如果数列{an}的第n项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公
式，an = f(n).
递推公式
如果已知数列{an}的任一项an与它的前一项an−1（或前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做
这个数列的递推公式，an = f(an−1).
经典例题
例1
已知an是离√n最近的整数，如a2 = 1，a3 = 2，则无穷数列{an}中共有
项的值等于100.
变式1-1
在数列1, 3, 7, 15, ⋯中，按此规律，127是该数列的第 项.
40
例2
定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这
个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列，且a1 = 2，公和为5，那么a8的值为
.
变式2-1
设数列{an}满足a1 = 1
2 ，an+1 = 1 + an
1 −an
，则a2024 =（
）
A. −2
B. −1
3
C. 1
2
D. 3
知识点2——数列的单调性
考点2：数列单调性的判断
知识笔记
数列单调性
求数列单调性的方法：
(1)数列单调性的定义
① 若an+1 −an > 0，则{an}为递增数列；
② 若an+1 −an < 0，则{an}为递减数列；
③ 若an+1 −an = 0，则{an}为常值数列；
(2) 利用函数性质（注意数列n为正整数）.
经典例题
例3
已知等差数列{an}的公差d = 3，Sn表示{an}的前n项和，若数列{Sn}是递增数列，则a1的取值范围是
.
变式3-1
已知等差数列{an}的首项a1 = −1, Sn表示{an}的前n项和，若数列{Sn}是严格增数列，则{an}的公差d取值范围是
.
41
例4
已知数列an = (n + 1)(−10
11 )
n
，下列说法正确的是（
）
A. {an}有最大项，但没有最小项
B. {an}没有最大项，但有最小项
C. {an}既有最大项，又有最小项
D. {an}既没有最大项，也没有最小项
变式4-1
若不等式(−2)n ⋅a −3n−1 −(−2)n < 0对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是 .
42
知识点3——数学归纳法的步骤
考点3：数学归纳法的步骤
知识笔记
数学归纳法的步骤
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法，它能帮助我们发现一般规律；观察、归
纳、猜想、证明，是发现数学规律的完整过程，其中证明是指用数学归纳法证明.
应用数学归纳法有两个步骤：
①证明当n取第一个n0时结论正确；
②假设当n = k（k ∈N ∗, k ≥n0）时，结论正确，证明当n = k + 1时，结论成立。这两步缺一不可，要完整
地书写.
经典例题
例5
用数学归纳法证明“2n > n2 + 1对于n ≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（
）
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
变式5-1
用数学归纳法证明“2n > 2n2 −2n + 1对于n ≥n0的正整数n均成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（
）
A. 1
B. 3
C. 6
D. 10
例6
用数学归纳法证明1 + 2 + 22 + ⋅⋅⋅+ 25n−1(n ∈N∗)能被31整除时，从k到k + 1添加的项数共有（
）项
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
变式6-1
在用数学归纳法证明不等式
1
n + 1 +
1
n + 2 + ⋯+ 1
2n > 1
2 (n > 1, n ∈N∗)的过程中，从n＝k到n＝k+1时，左边
需要增加的代数式是.
．
43
知识点4——使用数学归纳法证明相关问题
考点4：数学归纳法的应用
经典例题
例7
若n为大于1的自然数，求证：
1
n + 1 +
1
n + 2 + ⋯+ 1
2n > 13
24 .
变式7-1
用数学归纳法证明：
求证：
1
1 × 2 +
1
3 × 4 + ⋯+
1
(2n −1) × 2n =
1
n + 1 +
1
n + 2 + ⋯+
1
n + n .(n ∈N∗).
变式7-2
观察下面等式：1 = 12, 2 + 3 + 4 = 9 = 32, 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 = 52, 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49 = 72, ⋅⋅⋅写
出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明．
44
06 平面及其基本性质
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解点、线、面的性质与关系
目标2
★★★☆☆☆ 操作
运用斜二测画法画直观图
目标3
★★★★☆☆ 识别
辨析三大公理及其推论
目标4
★★★★★☆ 迁移
掌握点线面位置关系的证明
知识清单
45
知识点1——空间中的点、直线和平面
考点1：平面基本性质以及点、线、面的关系
知识笔记
定义与表示
（1）平面的定义：平面是平的、没有厚度的、可以无限延伸的图形.
（2）点、直线、平面的表示方法：用大写英文字母 A，B，C 等表示点，用小写英文字母 a，b，c 表示直线，用
小写希腊字母 α，β，γ 表示平面.
点、直线与平面的位置关系
位置关系
符号表示
图形表示
点与直线
点A在直线l上，也称直
线l经过点A
A ∈l
点B不在直线l上，也称
直线l不经过点B
B ∉l
点与平面
点A在平面α上，也称直
线α不经过点A
A ∈α
点B不在平面α上，也称
平面α不经过点B
B ∉α
直线与平面
直线l在平面α上，也称
平面α经过直线l
l ⊂α
直线l与平面α相交于点A
l ⋂α = A
直线l与平面α平行
l ∥α
46
平面与平面
平面α与平面β相交于直
线l
α ⋂β = l
平面α与平面β平行
α ∥β
经典例题
例1
如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以用集合语言和符号表示为（
）
A. A ⊂a，a ⊂α，B ∈α
B. A ∈a，a ⊂α，B ∈α
C. A ⊂a，a ∈α，B ⊂α
D. A ∈a，a ∈α，B ∈α
变式1-1
给出以下命题“已知点A、B都在直线l上，若A、B都在平面α上，则直线l在平面α上”，试用符号语言表述这个命题
例2
空间三个平面最多将空间分成
个部分（填数字）.
变式2-1
空间不共线的四点，可能确定
个平面．
例3
若直线上有两个点在平面外，则
A. 直线上至少有一个点在平面内
B. 直线上有无穷多个点在平面内
C. 直线上所有点都在平面外
D. 直线上至多有一个点在平面内
变式3-1
命题“空间中任意不同的三点确定一个平面”是
命题.（填“真”或“假”）
47
例4
如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形
（填上所有
正确答案的序号）．
变式4-1
如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的
是（
）．
A.
B.
C.
D.
48
例5
如图，在正方体ABCD −A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱C1D1、AA1、BC的中点，则经过M、N、P的平面与正
方体ABCD −A1B1C1D1相交形成的截面是一个（
）
A. 三角形
B. 平面四边形
C. 平面五边形
D. 平面六边形
变式5-1
如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状
为（
）
A. 梯形
B. 平行四边形
C. 可能是梯形也可能是平行四边形
D. 矩形
49
例6
如图，作出平面EFG截长方体所得的截面（不必写出画图步骤，但需保留作图痕迹）．
变式6-1
P，Q，R三点分别在直四棱柱AC 的棱BB ，CC 和DD 上，试画出过P，Q，R三点的截面作法．
1
1
1
1
50
知识点2——三大公理及其推论
考点2：三大公理及其推论
知识笔记
三大公理
公理1：如果直线l上有两个点在平面α上，那么直线l在平面α上.（直线在平面上）
用集合语言表述：A ∈l, B ∈l, A ∈α, B ∈α ⇒l ⊂α；
公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）
用集合语言表述：A, B, C不共线⇒A, B, C确定一个平面；
推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面；用集合语言表述：A ∉l ⇒A, l确定平面α；
推论2：两条相交的直线确定一个平面；用集合语言表述：a ⋂b = A ⇒a, b确定平面α；
推论3：两条平行的直线确定一个平面.；用集合语言表述：a//b ⇒a, b确定平面α；
公理3：如果不同的两平面α、β 有一个公共点A，那么α、β的交集是过点A的直线l.（平面与平面相交）
用集合语言表述：A ∈α ⋂β ⇒α ⋂β = l且A ∈l.
51
经典例题
例7
当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（
）
A. 三点确定一平面
B. 不共线三点确定一平面
C. 两条相交直线确定一平面
D. 两条平行直线确定一平面
变式7-1
已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
例8
有下列四个命题：①过三点确定一个平面；②矩形是平面图形；③三条直线两两相交，则确定一个平面；④一条直
线和该直线外一个点确定一个平面．其中错误命题的序号是（
）．
A. ①②
B. ①③
C. ②④
D. ②③
变式8-1
下列条件中能确定一个平面的是（
）
A. 空间任意三个点
B. 空间相交于一点的三条直线
C. 两条平行直线
D. 一条直线和一个点
例9
已知：l ⊂α, D ∈α, A ∈l, B ∈l, C ∈l, D ∉l，求证：直线AD, BD, CD共面于α.
52
变式9-1
两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一个平面内．
已知：如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C．求证：直线AB、BC、CA共面．
例10
设P1、P2、P3、P4为空间中的四个不同点，则“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”是“P1、P2、P3、P4在同
一个平面上”的（
）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
变式10-1
以下四个命题中，正确命题的个数是（
）
①不共面的四点中，其中任意三点不共线
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面
④依次首尾相接的四条线段必共面.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个．
53
例11
在正方体ABCD −A1B1C1D1中，G，H分别是B1C1，C1D1的中点．
（1）画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由；
（2）求证：B，D，H，G四点在同一平面内．
变式11-1
在四面体ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别是AB、BC边上的点，且BF
FC = BE
EA = k (k > 0).求
证：E、F、G、H四点共面；
54
知识点3——直观图画法
考点3：直观图斜二测画法
知识笔记
斜二测画法的一般步骤
（1）画平面直角坐标系xoy，再画一个斜坐标系x
′oy
′ ，使得 ∠x
′oy
′ = 45∘ ；
（2）与原先x 轴平行方向的线段保持不变，与原先y 轴平行方向的线段长度变为原来的一半.
经典例题
例12
用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′ = C′O′ = 1，若原△ABC的面积为2，则A′O′ =
．
变式12-1
如图是水平放置，腰长为2的等腰直角三角形ABC的斜二测直观图，则直观图中AB的长度为
．
例13
关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（
）
A. 在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同
B. 平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
C. 平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
D. 斜二测坐标系取的角可能是135∘
55
变式13-1
水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 任意三角形
例14
如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45∘，腰和上底均为1
2 的等腰梯形，那么原平面图形的面积
是（
）
A. 2 + √2
B. 1 + √2
4
C. 2 + √2
4
D. 1 + √2
变式14-1
有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）∠ABC = 45∘, AD = DC = 1,
DC⊥BC,则这块菜地的面积为 ．
56
07 空间直线与直线的位置关系
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解空间中两直线的位置关系
目标2
★★☆☆☆☆ 理解
理解异面直线的定义
目标3
★★★☆☆☆ 操作
运用公垂线的概念确定公垂线
目标4
★★★★★☆ 掌握
掌握异面直线所成角的求法
知识清单
57
知识点1——两直线的位置关系
考点1：空间中直线与直线的位置关系
知识笔记
共面直线
（1）相交直线：直线l和直线m相交于一点A，记作l ⋂m = A.
（2）平行直线：
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：如果一个角的两边和另外一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.
推论1：如果一个角的两边和另外一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
推论2：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
异面直线
（1）定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线.
（2）异面直线的画法：画两条异面直线时，通常需要用一个或两个平面来衬托.
（3）异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面
直线.
经典例题
例1
填空题
与同一条直线都相交的两条直线的位置关系是________．
58
变式1-1
单选题
若a､b､c是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（
）
A. 若a//b//c，则a､b､c共面
B. 若a､b､c过同一点，则a､b､c共面
C. 若a⊥c, b⊥c，则a//b
D. 若a//b, a⊥c，则b⊥c
变式1-2
单选题
设空间三条互不重合的直线a、b、c，则下列结论正确的是( )
A. 若a//b，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线
B. 若a⊥b，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线
C. 若a⊥b，b⊥c，则a//c
D. 若a//b，b//c，则a//c
变式1-3
单选题
若直线a，b是异面直线，点O是空间中不在直线a，b上的任意一点，则（
）
A. 不存在过点O且与直线a，b都相交的直线
B. 过点O一定可以作一条直线与直线a，b都相交
C. 过点O可以作无数多条直线与直线a，b都相交
D. 过点O至多可以作一条直线与直线a，b都相交
例2
单选题
如图，A、B、C、D是某长方体四条棱的中点，则直线AB和直线CD的位置关系是（
）
A. 相交
B. 平行
C. 异面
D. 垂直
59
变式2-1
单选题
如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的个数是（
）
（1）AF与CN平行
（2）BM与AN是异面直线
（3）AF与BM是异面直线
（4）BN与DE是异面直线
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
考点2：异面直线的判定
经典例题
例3
解答题
已知a，b是异面直线，直线c//a且c不与b相交，求证：b、c是异面直线.
60
变式3-1
解答题
如图，ABCD −A1B1C1D1是棱长为2的正方体，P为面对角线AD1上的动点（不包括端点），PM⊥平面ABCD交
AD于点M，MN⊥BD于点N．
(1)
试用反证法证明直线AB1与BC1是异面直线；
知识点2——异面直线所成角
考点3：求异面直线所成角
知识笔记
异面直线所成角
（1）定义：两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角.
（2）思想方法：平移，转化为共面直线所成角，即化空间问题为平面问题.
（3）异面直线所成角的范围：θ ∈(0, π
2 ]
61
经典例题
例4
填空题
在空间中，直线AB平行于直线EF，直线BC、EF为异面直线，若∠ABC = 120∘，则异面直线BC、EF所成角的
大小为
．
变式4-1
填空题
已知角α的大小为150°,且异面直线a、b分别与角α的两边平行,则异面直线a、b所成角的大小为
.
例5
填空题
如图，在四面体ABCD中，AB＝CD，M、N分别是BC、AD的中点，若AB与CD所成的角的大小为60∘，则MN与CD
所成的角的大小为
．
变式5-1
解答题
如图，AB和CD是异面直线，AB = CD = 3, E､F分别为线段AD､BC上的点，且AE
ED = BF
FC = 1
2 , EF = √7，求
AB和CD所成角的大小.
62
例6
解答题
在正方体ABCD－A B C D 中，
(1)求AC与A D所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A C 与EF所成角的大小．
1
1
1
1
1
1
1
变式6-1
解答题
在正四棱柱ABCD −A1B1C1D1中，底面边长为1，体积为2，E为AB的中点，证明：A1E与C1B是异面直线，并求
出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.
63
知识点3——公垂线
考点4：公垂线的性质及判定
知识笔记
公垂线
（1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交.
（2）定义：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面
直线的公垂线段，公垂线段的长度叫做异面直线的距离.
经典例题
例7
填空题
在棱长为a的正方体中，与AD成异面直线且距离等于a的棱共有
条.
变式7-1
单选题
对于以下四个命题：①两条异面直线有无数条公垂线；②直线在平面内的射影是直线；③如果两条直线在同一个平
面内的射影平行，那这两条直线平行；④过两条异面直线的一条有且仅有一个平面与已知直线平行；上述命题中为
真命题的个数为（
）个
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
例8
解答题
如图，在正方体ABCD −A1B1C1D1中，棱长为1，写出下列异面直线的公垂线并求异面直线的距离．
(1)
AB和DD1；
(2)
AA1和BC1；
(3)
AD1和B1C．
64
变式8-1
解答题
已知在正四棱柱ABCD −A1B1C1D1中，AB = 1，AA1 = 2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．求证：EF为异面
直线BD1与CC1的公垂线．
65
08 空间直线与平面的位置关系
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解空间中直线与平面的位置关系
目标2
★★★☆☆☆ 操作
运用定义求解点到平面、直线到平面的距离
目标3
★★★★☆☆ 识别
辨析且合理运用三垂线定理
目标4
★★★★★☆ 迁移
掌握直线与平面所成角的求法
目标5
★★★★★☆ 迁移
掌握直线与平面平行、垂直的证明方法
知识清单
66
知识点1——直线与平面的位置关系
考点1：空间直线和平面的位置关系
知识笔记
直线与平面的位置关系
（1）直线在平面上——有无数个公共点
（2）直线和平面相交——只有一个公共点
（3）直线和平面平行——没有公共点
距离
（1）点到平面的距离：平面外的点到平面的垂线距离叫做点到平面的距离.
（2）直线到平面的距离：如果一条直线与一个平面平行，那么此直线上任意一点到该平面的距离就定义为此直
线到与它平行的平面的距离.
经典例题
例1
填空题
对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l
.（填“平行”“相交”“垂直”或“异面”）
变式1-1
单选题
设a、b是平面M外的两条直线，且a//M，那么a//b是b//M的（ ）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 既非充分又非必要
例2
单选题
给出下列四个命题：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③两条直线分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能互相平行；
④与两条异面直线都垂直的直线只有一条．
其中真命题的个数是（
）．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
67
变式2-1
已知l，m是两条不同的直线，α是平面，且m∥α，则下列命题中正确的是（
）
A. 若l∥m，则l∥α
B. 若l∥α，则l∥m
C. 若l⊥m，则l⊥α
D. 若l⊥α，则l⊥m
例3
填空题
正四面体ABCD的各棱长均为2，则点A到平面BCD的距离为
．
变式3-1
填空题
在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是
．
考点2：直线与平面平行、垂直的性质和判定
知识笔记
直线与平面平行
（1）判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行.
（2）性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线
平行.
直线与平面垂直
（1）定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直.
（2）判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.
（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
推理1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直.
推理2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直.
68
经典例题
例4
解答题
已知正方体.ABCD −A1B1C1D1
(1)
求证：AD1//平面C1BD；
(2)
求证：AD1⊥平面A1DC.
变式4-1
解答题
如图，在四棱锥P −ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA = PD，E为AD的中
点．
(1)
求证：PE⊥BC；
(2)
在线段PC上是否存在点M，使得DM//平面PEB？请说明理由
69
例5
解答题
如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，AA1//BB1//CC1且ABC//A1B1C1且AA1⊥ABC ，AB⊥BC，E，F分别是
A1C1，BC的中点.
（1）求证：AB⊥平面B1BCC1；
（2）求证：C1F//平面ABE.
变式5-1
解答题
如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D、E、F 、G分别为AA1、AC、A1C1、BB1的中点，
AB = BC = √5，AC = AA1 = 2．
(1)
求证：AC⊥平面BEF；
70
变式5-2
解答题
如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点．
（1）求证：CD//平面A1EB；
（2）求证：AB1⊥平面A1EB．
知识点2——直线与平面所成角
考点3：求直线和平面所成角
知识笔记
直线与平面所成角
（1）直线与平面所成角：设直线l与平面α斜交于点M ，过l 上任意点A作平面α 的垂线，垂足为O（如图），
我们把点O 叫做A 点在平面α上的垂足，直线OM 则叫做直线l 在平面α上的射影，并规定∠AMO叫做直线l和平
面α所成的角.
（2）当直线l与平面α垂直时，那么这条直线l与平面α所成的角为 90°；当直线l与平面α平行时，那么直线l与平面α
所成的角为0°.因此，直线与平面所成的角的范围是[0, π
2 ].
71
经典例题
例6
填空题
如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线B1C与底面ABC所成的角的大小为
（结果用反三角函数值
表示）.
变式6-1
解答题
如图，在四棱锥P −ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC, ∠BAD = 90∘，PA⊥底面ABCD，且
PA = AD = AB = 2BC, M, N分别为PC, PB的中点．
(1)
求证：PB⊥DM；
(2)
求CD与平面ADMN所成的角．
72
例7
解答题
如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点.
(1)
求EF和平面PAB所成的角α；
(2)
求证：EF//平面PBC.
变式7-1
解答题
如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．
(1)
证明：EF∥平面PCD；
(2)
若PA＝AB，求EF与平面PAC所成角的大小．
73
例8
其他
如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，点C为弧AB的中点，SO = AB.
（1）证明：AB⊥平面SOC；
（2）若点D为母线SC的中点，求AD与平面SOC所成的角.（结果用反三角函数表示）
变式8-1
解答题
如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD = 90∘，且PA = AD，E、F分别是线段PA、CD的中
点．
（1）求证：PA⊥平面ABCD．
（2）求EF和平面ABCD所成的角α的正弦值．
（3）求异面直线EF与BD所成的角β的余弦值．
74
例9
解答题
如图所示，在正方体ABCD −A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.
（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE？证明你的结论.
变式9-1
解答题
如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝1
2 PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
(1)求证：OD∥平面PAB；
(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值．
75
知识点3——三垂线定理
考点4：三垂线定理的应用
知识笔记
三垂线定理
平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直.
经典例题
例10
填空题
三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在
垂直.
变式10-1
其他
用三垂线定理证明时要抓住哪几个环节？
76
例11
多选题
如图，直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中正确的是（
）
A. PA⊥BC
B. BC⊥平面PAC
C. AC⊥PB
D. BC⊥PC
变式11-1
填空题
如右图，AO⊥平面α，点0为垂足，BC ⊂平面α，BC⊥OB，若∠ABO =
π
4 ，∠COB =
π
6 ，则
tan ∠BAC =
．
变式11-2
解答题
在四面体ABCD中，设AB⊥CD，AC⊥BD．求证：
(1)
AD⊥BC；
(2)
点A在底面BCD上的射影是△BCD的垂心．
77
09 空间平面与平面的位置关系
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解空间中平面与平面的位置关系
目标2
★★★★★☆ 迁移
掌握两平面所成二面角的求法
目标3
★★★★★☆ 迁移
掌握平面与平面平行、垂直的证明方法
知识清单
78
知识点1——平面与平面的位置关系
考点1：平面与平面的位置关系
知识笔记
平面与平面的位置关系
（1）平面和平面平行——没有公共点
（2）平面和平面相交——有一条公共直线
经典例题
例1
单选题
设α, β是两个不重合的平面，l, m是两条不重合的直线，则“α//β”的一个充分非必要条件是（
）
A. l⊂α，m⊂α且l//β，m//β
B. l⊂α，m⊂β，且l//m
C. l⊥α，m⊥β且l//m
D. l//α，m//β，且l//m
变式1-1
单选题
下列命题中，是真命题的选项为（
）
A. 平行于同一条直线的两个平面平行
B. 若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行
C. 分别在两个平行平面上的两条直线平行
D. 与两条异面直线都平行的两个平面平行．
例2
单选题
设m, n为空间两条不同的直线,α, β为空间两个不同的平面,给出下列命题：
①若m⊥α, m//β,则α⊥β；
②若m//α, n//α,则m//n；
③若m ⊂α, n ⊂α且m//β, n//β,则α//β；
④若m⊥α, n//β且α//β,则m⊥n．
其中所有正确命题的序号是（ ）
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
79
变式2-1
单选题
已知a，b是两条异面直线，给出下面四个命题：（1）过直线a有且只有一个平面与b平行；（2）P为空间任意一
点，过P总能作一条直线与a，b都相交；（3）有且只有一条直线与a，b都垂直；（4）P是异面直线a，b外一点，
过P与a，b都平行的平面有且只有一个，则以上命题中，不正确的是（
）．
A. （3）
B. （2）（3）
C. （2）（4）
D. （2）（3）（4）
变式2-2
单选题
对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α，β都平行于γ
②存在两条不同的直线l，m，使得l⊂β，m⊂β，使得l∥α，m∥α
③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.
其中，可以判定α与β平行的条件有（
）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
考点2：面面平行、垂直的性质与判定
知识笔记
平面与平面平行
（1）判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
平面与平面垂直
（1）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直.
（2）性质定理：如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直.
80
经典例题
例3
解答题
如图，四面体P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC，且M，N分别为线段AB，PC的中点．
(1)
若点K是线段PM的中点，求证：直线NK//平面ABC；
(2)
求证：平面PCM⊥平面ABC．
变式3-1
解答题
如图，在四棱锥P −ABCD中，四边形ABCD为正方形，已知PD⊥平面ABCD，且PD = AD，E为PC中点．
(1)
证明：PA//平面BDE；
(2)
证明：平面PCD⊥平面PBC．
81
例4
解答题
在正方体ABCD −A1B1C1D1中，M, N, E分别是AB, DD1, AA1的中点．
(1)
证明：平面MNE//平面BCD1；
(2)
求直线MN与D1C所成角的正切值．
82
变式4-1
解答题
如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，BC⊥AC．
（1）求证：B1C1//平面A1BC；
（2）求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1．
（3）若A1B = 2BC，求异面直线A1B与B1C1所成角的大小．
83
知识点2——二面角
考点3：二面角
知识笔记
二面角
（1）二面角定义：当两个平面相交时，它们的交线AB 将各平面分割成两个半平面，由半平面α，β与交线AB所组
成的空间图形叫做二面角，记作α −AB −β，交线AB 叫做二面角的棱，半平面α，β叫做二面角的面（如图）.
（2）二面角的度量：
①二面角的平面角
在二面角的棱上任取一点O，过O 分别在面α和β内作棱AB的垂线，OM与ON所成的角叫做二面角α −AB −β 的
平面角（如图），用平面角∠MON 表示二面角的大小.
②范围：二面角的大小的范围[0, π].
经典例题
例5
单选题
已知直二面角α −l −β，直线a在平面α上，直线b在平面β上，且直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，则以
下判断正确的是（
）
A. a与b可能垂直，但不可能平行
B. a与b可能垂直，也可能平行
C. a与b不可能垂直，但可能平行
D. a与b不可能垂直，也不可能平行
84
变式5-1
单选题
已知二面角α −l −β是直二面角，m为直线，γ为平面，则下列命题中真命题为（
）
A. 若m ⊂α，则m⊥β
B. 若m⊥α，则m∥β
C. 若m∥α，则m⊥β
D. 若γ∥α，则γ⊥β
例6
填空题
二面角α −l −β为60∘，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是
变式6-1
双空题
如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕.使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则:
（1）BD与CD的位置关系为
; （2）∠BAC=
.
例7
解答题
如图，在正四棱锥P −ABCD中，PA = AB = 2√2，E、F分别为PB、PD的中点，平面AEF与棱PC的交点为G．
(1)
求平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角的正切值的大小；
(2)
求CG
PC 的值．
85
变式7-1
解答题
如图，在三棱锥P −ABC中，AC = BC = 2，∠ACB = 90∘，AP = BP = AB，PC⊥AC．
(1)求证：PC⊥AB；
(2)求二面角B −AP −C的大小；
(3)求点C到平面APB的距离．
例8
解答题
如图，在四棱锥P −ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC = 60∘，PC⊥平面ABCD，PC = 1，E为PA的
中点．
(1)
求证：平面EDB⊥平面ABCD；
(2)
求二面角A −EB −D的正切值；
(3)
求点E到平面PBC的距离．
86
变式8-1
解答题
在直三棱柱ABC −A1B1C1中，AB = AC = 1，∠BAC = 90∘， 异面直线A1B与B1C1所成的角等于60∘，设
AA1 = a．
（1）求a的值；
（2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．
87
10 柱体
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解棱柱与圆柱的有关概念
目标2
★★★★★☆ 迁移
掌握柱体表面积与体积的求法
知识清单
88
知识点1——棱柱与圆柱
考点1：棱柱和圆柱的结构特征
知识笔记
棱柱
棱柱
直棱柱
正棱柱
图 形
定 义
有两个面互相平行，
而其余每相邻两个面
的交线都互相平行的
多面体
侧棱垂直于底面的棱
柱
底面是正多边形的直
棱柱
侧棱
平行且相等
平行且相等
平行且相等
侧面的形状
平行四边形
矩形
全等的矩形
对角面的形状
平行四边形
矩形
矩形
平行于底面的截面的
形状
与底面全等的多边形
与底面全等的多边形
与底面全等的正多边
形
89
圆柱
将矩形ABCD（及其内部）绕其一条边AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱，AB 所在直线叫做
圆柱的轴，线段AD 和BC 旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，线段CD 旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，CD 叫做
圆柱侧面的一条母线，圆柱的两个底面间的距离（即AB 长度）叫做圆柱的高.
经典例题
例1
填空题
设A ={直四棱柱}、B ={正方体}、C ={长方体}、D ={正四棱柱}，则这些集合的关系是
.（用⊂符号连
接）
变式1-1
单选题
“有一侧棱与底面两边垂直的棱柱”是“该棱柱为直棱柱”的（
）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充分必要
D. 既非充分又非必要
例2
单选题
棱柱成为直棱柱的一个必要而不充分条件是（
）
A. 它的一条侧棱垂直于底面
B. 它的一条侧棱与底面两条边垂直
C. 它的一个侧面与底面都是矩形
D. 它的一个侧面与底面的一条边垂直
变式2-1
单选题
设有三个命题；甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四
棱柱是平行六面体．以上命题中真命题的个数为（
）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
90
例3
单选题
在斜棱柱的侧面中，矩形最多有（
）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 6个
变式3-1
以下命题中真命题的是（
）.
A. 所有侧面都是矩形的棱柱是长方体
B. 有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C. 侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱
D. 各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱
例4
填空题
“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“棱柱是直棱柱”的
条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分
不必要”）
变式4-1
填空题
①直四棱柱一定是长方体；②正方体一定是正四棱柱；③底面是正多边形的棱柱是正棱柱；④有相邻两个侧面是矩
形的棱柱是直棱柱；⑤平行六面体的六个面均为平行四边形；⑥直棱柱的侧棱长与高相等．以上说法中正确的命题
有
．
例5
填空题
圆柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行两周到该母线的另一个
端点，则蜘蛛所走的最短路程为
.
变式5-1
填空题
已知圆柱的底面半径为1，母线长为4，AB为母线，则A绕圆柱侧面两周到达B点经过的最短路程为
91
知识点2——柱体的体积与表面积
考点2：柱体的体积和表面积
知识笔记
祖暅原理与体积公式
（1）祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相
等的面积，那么这两个几何体的体积必相等.
（2）一般棱柱的体积：V=Sh，其中S为棱柱的底，h为棱柱的高.
（3）圆柱的体积：V=Sh = πr2h.其中，r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高.
表面积公式
（1）直棱柱的表面积： S=ch + 2S.其中，S 为直棱柱的底面积，c 为底面多边形的周长，h为棱柱的高.
（2）圆柱的表面积：S=ch + 2S = 2πrh + 2πr2.其中，r 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高.
经典例题
例6
填空题
一个正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的体积为
．
变式6-1
填空题
已知正四棱柱底面边长为2√2，体积为32，则此四棱柱的表面积为
例7
填空题
若圆柱的底面半径为2，高为1，则圆柱的全面积是
．
变式7-1
填空题
若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为
．
92
例8
单选题
若一圆柱的侧面积等于其表面积的2
3 ，则该圆柱的母线长与底面半径之比为（
）
A. 1：1
B. 2：1
C. 3：1
D. 4：1
变式8-1
已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为
.
例9
填空题
已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为
.
变式9-1
填空题
已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为
.
例10
长方体的12条棱的总长度为56m，表面积为112m2，那么长方体的对角线长为
m
变式10-1
填空题
长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3，对角线长为2√14，则这个长方体的表面积是
．
93
11 锥体
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解棱锥与圆锥以及台体的有关概念
目标2
★★★★★☆ 迁移
掌握锥体表面积与体积的求法
知识清单
94
知识点1——棱锥与圆锥、台体
考点1：棱锥与圆锥、台体的结构特征
知识笔记
棱锥
名称
棱锥
正棱锥
图形
定义
有一个面是多边形，其余各面
是有一个公共顶点的三角形的
多面体
底面是正多边形，且顶点在底
面的射影是底面的中心
侧棱
相交于一点但不一定相等
相交于一点且相等
侧面的形状
三角形
全等的等腰三角形
平行于底的截面形状
与底面相似的多边形
与底面相似的正多边形
其他性质
高过底面中心；侧棱与底面、
侧面与底面、相邻两侧面所成
角都相等
95
圆锥
将直角三角形ABC（及其内部）绕其一条直角边AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥，AB 所
在直线叫做圆锥的轴，点A 叫做圆锥的顶点，直角边BC 旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边AC 旋转而成的
曲面叫做圆锥的侧面，斜边AC 叫做圆锥侧面的一条母线，圆锥的顶点到底面间的距离（即AB 的长度）叫做圆锥
的高.
台体
把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体.大圆锥截去小圆锥后剩下的
几何体称为圆台.由圆锥的形成过程，容易看出圆台是由直角梯形绕直角边旋转一周所形成的几何体.类似地，如果
棱柱被一个平行于底面的平面所截，那么截去一个小棱锥后剩下的多面体称为棱台.其中，由正棱锥截得的棱台称
为正棱台.
设台体上、下底面想分别为S′ 和S ,上下底面的距离为h ，则台体的体积为：
V = 1
3 (S′ + √S′S + S)h
经典例题
例1
给出下列命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；③侧棱和底面成等角的棱锥是
正棱锥；④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是
．
96
变式1-1
以下四个命题中，真命题为（
）
A. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
B. 底面是矩形的平行六面体是长方体
C. 直四棱柱是直平行六面体
D. 棱台的侧棱延长后必交于一点
变式1-2
在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是
（写出所有正确结
论的编号）.
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
例2
在三棱锥P −ABC中，点Р在底面ABC内的射影为Q，若PA = PB = PC，则点Q定是△ABC的
心．
变式2-1
在三棱锥P﹣ABC中，顶点P到AB、AC和BC的距离都相等，P在底面的投影为O且在△ABC内，则点O是△ABC的
（
）
A. 内心
B. 外心
C. 重心
D. 垂心
例3
给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，除了可以得到四面体､四棱柱等类型的多面体以外，还能得到的多面体
的类型可以含有（
）
A. 五棱柱､七面体
B. 五棱柱､六棱锥
C. 六棱锥､七面体
D. 以上答案都不正确
97
变式3-1
下列命题中正确的个数是
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；
②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；
③仅有一组对面平行的五面体是棱台；
④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
变式3-2
《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,则以正方体ABCD −A1B1C1D1的顶点为顶点的“鳖
臑”的个数为
A. 12
B. 24
C. 48
D. 58
知识点2——锥体的体积与表面积
考点2：锥体的体积与表面积
知识笔记
体积公式
（1）一般棱锥的体积：V= 1
3 Sh .其中，S 为棱锥的底面积，h 为棱锥的高.
（2）圆锥的体积：V= 1
3 Sh = 1
3 πr2h .其中，r 为圆锥的底面半径，h 为圆锥的高.
表面积公式
（1）正棱锥的表面积： S= 1
2 ch′ + S .其中，S 为正棱锥的底面积，c 为底面多边形的周长，h′ 为棱锥的斜高（侧
面底边上的高）.
（2）圆锥的表面积：S = πrl + πr2.其中，r 为圆锥的底面半径，l 为圆锥的母线.
98
经典例题
例4
棱长都是2的三棱锥的表面积为
.
变式4-1
已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为4，则其侧面积为
.
例5
若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为180°的扇形，则这个圆锥的体积是
．
变式5-1
若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成角为arccos 4
5 ，则该圆锥的体积为
．
例6
已知三棱锥V −ABC的底面是边长为2的正三角形，V C⊥平面ABC，二面角V −AB −C的大小为60°，求三棱锥
V −ABC的表面积．
99
变式6-1
如图，正方体ABCD −A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′, A′D, A′B, BD, BC′, C′D，，得到一个三棱锥；求：
(1)
三棱锥A′ −BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
(2)
三棱锥A′ −BC′D的体积．
例7
已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是
.
变式7-1
已知一个正四面体的顶点是一个正方体的顶点，那么正方体的表面积是正四面体的表面积的
倍．
变式7-2
如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高.若圆锥的轴
截面是一个正三角形，则圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为
.
100
例8
已知在正四棱锥P −ABCD中，底面是边长为1的正方形，棱锥的高为
√2
2 ，则该四棱锥的侧面积等于
．
变式8-1
在正三棱锥P −ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）求此三棱锥的全面积和体积．
例9
如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个
平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )
A.
B.
C.
D.
101
变式9-1
从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何
体．如果用一个与圆柱下底面距离为l，并且平行于底面的平面去截这个几何体，则截面面积为
．
例10
已知正三棱台ABC −A1B1C1上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为
.
变式10-1
如图所示，过三棱台上底面的一边A1C1，作一个平行于棱BB1的截面，与下底面的交线为DE．若D、E分别是AB、
BC的中点，则VA1B1C1−DBE
VA1B1C1−ABC
=
．
102
例11
如图，在底面半径为1，高为√3的圆锥中，O是底面圆心，P为圆锥顶点，A，B是底面圆周上的两点，
∠AOB = 2π
3 ，C为母线PB的中点.
(1)
求该圆锥的表面积；
(2)
求在该圆锥的侧面上，从A到C的最短路径的长.
变式11-1
如图，在Rt △AOB中，∠OAB = π
6 ，斜边AB = 4, D是AB的中点.现将直角△AOB以直角边AO为轴旋转一周得
到一个圆锥体，点C为圆锥体底面圆周上的一点，且∠BOC = 90∘.
(1)
求该圆锥体的表面积；
(2)
求异面直线AO与CD所成角的余弦值；
(3)
若某动点在圆锥体侧面上运动，试求该动点从点C出发运动到点D所经过的最短距离.
103
12 多面体与旋转体
学习目标
目标1
★★★★★☆ 迁移
掌握多面体的概念与性质
目标2
★★★★★☆ 迁移
掌握旋转体的概念与性质
知识清单
104
知识点1——多面体
考点1：多面体的结构特征与应用
知识笔记
多面体
（1）定义：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体叫做多面体.
（2）命名：根据面的数量来命名n棱锥也叫 n + 1面体，n棱柱（台）也叫n + 2面体.
如果一个多面体所有的面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫
做正多面体.
经典例题
例1
下列几何体中，多面体是（ ）
A.
B.
C.
D.
105
变式1-1
将一个正方体切一刀，可能得到的以下几何体中的种类数为（
）
①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体
A. 3种
B. 4种
C. 5种
D. 以上均不正确
例2
下列说法中，正确的个数为
．
（1）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
（2）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
（3）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
（4）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥．
变式2-1
下列说法正确的是
（填序号）.
①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱；
②有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
④用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间那部分的几何体是棱台；
⑤存在一个四棱锥，其四个侧面都是直角三角形.
例3
如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是
.
①直线AF与直线CN垂直；
②直线BM与直线CN相交；
③直线ME与直线CN平行；
④直线AB与直线CN异面；
106
变式3-1
有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面
上，这个组合体是（
）
A. 平行六面体
B. 四棱柱
C. 斜三棱柱
D. 四棱锥
知识点2——旋转体
考点2：旋转体的结构特征与应用
知识笔记
旋转体
（1）旋转体定义：由一个平面封闭图形绕其所在平面上一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体叫做旋转
体，这条直线叫做该旋转体的轴.
（2）旋转面定义：由一条平面曲线（含直线、折线）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形叫做
旋转面.
当直线a与直线l平行时，得到的是 圆柱面；当直线a与直线l相交（不垂直）时，得到的是圆锥面.直线a称为该
旋转面的母线.
经典例题
例4
有下列命题，其中错误命题个数是（
）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转
所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
107
变式4-1
下列结论中正确的是（
）
A. 半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球
B. 直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥
C. 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
D. 用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台
例5
将一个正方形绕着它的一边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为27π，则该几何体的全面积为
.
变式5-1
已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为
.
变式5-2
在△ABC中，∠A = 90∘，AB = 3，AC = 4，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为
.
考点3：路径最短问题
知识笔记
路径最短问题
通用解题步骤
（1）展开图形 沿特定边或母线展开立体图形（如长方体、圆柱侧面），形成平面展开图.
（2）确定关键点 在展开后的平面图中标出起点和终点的位置.
（3）构造直角三角形 连接起点和终点形成线段，此线段可能与展开图的高、周长等几何量构成直角边
注意事项.
（1）展开方式影响结果 同一立体图形可能有多种展开方式，需比较不同展开图下的路径长度，取最小值.
（2）实际问题需结合场景 如“蚂蚁爬行问题”中，路径需在表面，不可穿透内部.
（3）对称性简化计算 利用对称性可减少展开图的数量，快速找到最短路径.
108
经典例题
例6
如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两
周到达点A1的最短路线的长为（ ）cm．
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
变式6-1
长方体ABCD −A′B′C′D′中，AB = 4, BC = 3, BB′ = 5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C′，蚂蚁爬行的最
短路线的长为
.
变式6-2
正三棱锥P −ABC的侧棱长为2，∠APB = ∠APC = ∠BPC = 30∘．E，F分别是BP、CP上的点，△AEF周长的
最小值
．
109
例7
如图，一个圆锥形物体的母线长为6，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.
若该小虫爬行的最短路程为6√2，则该圆锥形物体的底面半径等于
.
变式7-1
如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一
周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4√3m，则圆锥底面圆的半径等于
m.
变式7-2
已知圆锥底面的半径为10，母线长为60，则底面圆周上一点B沿侧面绕两周回到点B的最短距离是
.
110
