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专题10.8 二项分布、超几何分布与正态分布【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 二项分布】..................................................................................................................................................3
【题型2 独立重复试验的概率问题】......................................................................................................................4
【题型3 超几何分布】..............................................................................................................................................5
【题型4 二项分布与超几何分布的综合应用】.....................................................................................................6
【题型5 正态密度函数】..........................................................................................................................................8
【题型6 正态曲线的性质】......................................................................................................................................9
【题型7 正态分布的概率计算】..............................................................................................................................9
【题型8 正态分布的实际应用】............................................................................................................................10
1、二项分布、超几何分布与正态分布
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解二项分布、超几何
分布的概念，能解决一些
简单的实际问题
(2)借助正态曲线了解正态
分布的概念，并进行简单
应用
2022 年新高考Ⅱ卷：第13
题，5 分
2023 年新高考I 卷：第21
题，12 分
2024 年新高考I 卷：第9
题，6 分
从近几年的高考情况来看，本节是
高考的热点内容，主要考查二项分布、
超几何分布及其期望与方差、正态分布
等内容，正态分布主要以选择、填空题
的形式考查，难度不大；在解答题中主
要考查二项分布、超几何分布的期望与
方差问题，有时会与统计、独立性检验
等结合考查，难度中等偏难，关键在于
求出概率列出分布列，复习时需要加强
这方面的练习.
【知识点1 二项分布】
1．伯努利试验
(1)伯努利试验的概念
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)n 重伯努利试验的两个特征
①同一个伯努利试验重复做n 次；
②各次试验的结果相互独立.
1
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2．二项分布
一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p(0<p<1)，用X 表示事件A 发生的
次数，则X 的分布列为P(X=k)=
，k=0，1，2，
，n.如果随机变量X 的分布列具有上式
的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作X
B(n，p).
3．二项分布的期望与方差
一般地，如果X
B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).
4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
【知识点2 超几何分布】
1．超几何分布
(1)定义
一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品.从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽
取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P(X=k)=
，k=m，m+1，m+2，
，r.其中n,N,M∈
，M
N，n
N，m=
{0，n-N+M}，r=
.如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随
机变量X 服从超几何分布.
若随机变量X 服从超几何分布，则其均值E(X)=
=np.
(2)求超几何分布的分布列
①判断随机变量是不是服从超几何分布；
②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义.
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别
有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可
近似为二项分布来处理.
3．超几何分布的应用
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①
考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的分布列.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.
【知识点3 正态分布及其解题策略】
1．正态分布
(1)正态曲线
函数f(x)=
，x∈R.其中
∈R，
>0 为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为
正
态密度曲线，简称正态曲线.
(2)正态分布
若随机变量X 的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X 服从正态分布，记为X
N(
,
).特别地，
2
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当
=0，
=1 时，称随机变量X 服从标准正态分布.
(3)正态分布的均值和方差
若X
N(
,
)，则E(X)=
，D(X)=
.
2．3
原则
(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率
P(
-
X
+
)
0.6827；
P(
-2
X
+2
)
0.9545；
P(
-3
X
+3
)
0.9973.
(2)3
原则
在实际应用中，通常认为服从正态分布N(
,
)的随机变量X 只取[
-3
，
+3
]中的值，这在统计
学
中称为3
原则.
3．正态分布问题的解题策略
解决正态分布问题有三个关键点：
(1)对称轴x=μ；
(2)标准差σ；
(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间
转化为3σ 特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
【方法技巧与总结】
1．二项分布当n=1 时就是两点分布.
2．超几何分布有时也记为X~H(n,M,N)，其均值E(X)=
，方差
.
3．若X 服从正态分布，即X～N(μ,
)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ 对称和曲线与x 轴之间的面
积为1 解题.
【题型1 二项分布】
【例1】（2024·山东济南·二模）已知随机变量X ∼B(4, 1
2)，则P(X =2)=（ ）
A．3
4
B．3
8
C．1
4
D．1
8
【变式1-1】（2024·山西吕梁·三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移
动的概率为3
4
，向右移动的概率为1
4
.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5 次移动后，该质点位于X
的位置，则P( X >0)=（ ）
3
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A．50
243
B．17
512
C．53
512
D．17
81
【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知随机变量ξ ~ B (n, p)，若E (ξ)=2, D (ξ)=1，则P(ξ =2)=（ ）
A．1
8
B．1
4
C．3
8
D．1
2
【变式1-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平
行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端
放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格
子从左到右的编号分别为0,1,2,⋯,10，用X表示小球最后落入格子的号码，若P(X =k )≤P(X =k0)，则
k0=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【题型2 独立重复试验的概率问题】
【例2】（2024·安徽合肥·二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7 局4 胜制（先胜4 局者胜，
比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为1
2
，则甲以4 比2 获胜的概率为（ ）
A．1
64
B．3
32
C．5
32
D．15
64
【变式2-1】（2024·辽宁·模拟预测）一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一
个单位长度，则移动6 次后质子回到原点处的概率是（ ）
A．55
1024
B．55
512
C．25
256
D．25
128
【变式2-2】（2024·河北衡水·模拟预测）某大型超市设立了“助农促销”专区，销售各种农产品，积极解
决农民农副产品滞销问题.为加大农产品销量，该超市进行了有奖促销活动，凡购买专区的农产品每满100
元的顾客均可参加该活动，活动规则如下:将某空地划分为（1）（2）（3）(4)四个区域，顾客将一皮球投
4
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进区域（1）或者（2）一次，或者投进区域（3）两次，或者投进区域(4)三次，便视为中奖，投球停止，
且投球次数不超过四次.已知顾客小王每次都能将皮球投进这块空地，他投进区域（1）与（2）的概率均为
p(0< p<1)，投进区域（3）的概率是投进区域（1）的概率的2 倍，且每次投皮球相互独立.小王第二次
投完皮球首次中奖的概率记为P1，第四次投完皮球首次中奖的概率记为P2，若P1> P2，则p的取值范围
为（ ）
A．(0, 3−√3
12 )
B．(0, 3+√3
12 )
C．(
3−√3
12
, 1
4)
D．(
3−√3
12
, 3+√3
12 )
【变式2-3】（2024·四川绵阳·模拟预测）在信道内传输0，1 信号，信号的传输相互独立．发送0 时，收
到1 的概率为α(0<α <1)，收到0 的概率为1−α；发送1 时，收到0 的概率为β(0< β <1)，收到1 的概率
为1−β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1 次，三次传输是指每
个信号重复发送3 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传
输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）下列说法错误的是
（ ）
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1 的概率为(1−α )(1−β )
2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1 的概率为β(1−β )
2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1 的概率为β(1−β )
2+(1−β )
3
D．当0<α <0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0 的概率大于采用单次传输方案译码为0 的
概率
【题型3 超几何分布】
【例3】（2024·广东江门·二模）一箱苹果共有12 个苹果，其中有n(2<n<7)个是烂果，从这箱苹果中随
机抽取3 个．恰有2 个烂果的概率为3n
55
，则n=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式3-1】（23-24 高三上·山东临沂·开学考试）一个不透明的袋子中装有3 个黑球，n 个白球(n∈N
*)，
5
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这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3 个球，已知取出2 个黑球，1 个白球的概率为9
20
，
设X 为取出白球的个数，则E ( X )=（ ）
A．3
2
B．1
2
C．1
D．2
【变式3-2】（23-24 高三上·四川成都·开学考试）某地盛行糕点有n 种，该地的糕点店从中准备了m（
m<n）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有k（k <n）种，则当其随机进入一家糕点店时，会发
现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量X 为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则E ( X )=
（ ）
A．km
n
B．m+k
n
2
C．kn
m
D．m−k
n
【变式3-3】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里有1 个白球，乙袋子里
有5 个白球和5 个黑球，现从乙袋子里随机取出k (1≤k ≤10,k ∈N
*)个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随
机取出一个球，记取到的白球的个数为X，则当k (1≤k ≤10,k ∈N
*)变大时（ ）
A．E (X )变小
B．E ( X )先变小再变大
C．E ( X )变大
D．E (X )先变大再变小
【题型4 二项分布与超几何分布的综合应用】
【例4】（2024·吉林·二模）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机
抽取3 人做问卷调查.已知某单位有N 名员工，其中2
5
是男性，3
5
是女性.
(1)当N =20时，求出3 人中男性员工人数X 的分布列和数学期望；
(2)我们知道当总量N 足够大，而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.
从N(N >4)名员工（男女比例不变）中随机抽取3 人，在超几何分布中男性员工恰有2 人的概率记作P1；
在二项分布中男性员工恰有2 人的概率记作P2.那么当N 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001 的前
提下，认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：√578≈24.04，√19297≈139）
6
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【变式4-1】（2024·北京东城·一模）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机
抽取100 人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，
将测试结果整理得到如下频率分布直方图：
(1)若该校高二年级有1500 人，试估计阅读速度达到620 字/分钟及以上的人数；
(2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3 人，设这3 人中阅读速度达到540 字/分钟及以上的人数
为X，求X的分布列与数学期望E ( X )；
(3)若某班有10 名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，
723，776，从这10 名学生中随机抽取3 人，设这3 人中阅读速度达到540 字/分钟及以上的人数为Y ，试判
断数学期望E (Y )与（2）中的E ( X )的大小.
【变式4-2】（2024·北京西城·三模）根据2024 城市魅力排行榜，一线城市4 个，分别为：上海、北京、
深圳、广州；新一线城市15 个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑
州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10 个，分别为：上海、北
京、深圳、重庆、 广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州.
(1)从10 个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率；
(2)从10 个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3 个城市，随机变量X 表示新一线城市的数量，求随
机变量X 的分布列和期望；
(3)从10 个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3 个城市，随机变量Y 表示新一线城市的数量，比较E
（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果）
7
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【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸
甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、
运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径80 mm ∼85 mm为一级果，果径75 mm ∼ 80 mm
为二级果，果径70∼75 mm或85 mm以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽
取1000 个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这1000 个脐橙的果径的中位数；
(2)在这1000 个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70∼85 mm中抽出9 个脐橙，为进一步测量其他指标，在
抽取的9 个脐橙中再抽出3 个，求抽到的一级果个数X的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100 个，其中一级果的个数
为Y ，记一级果的个数为k的概率为P(Y =k )，写出P(Y =k )的表达式，并求出当k为何值时，P(Y =k )
最大？
【题型5 正态密度函数】
【例5】（23-24 高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数
f i(x)=
1
√2πσi
e
−(x−μi)
2
2σ i
2
(x∈R ,i=1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
8
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A．μ1= μ2> μ3，σ1=σ 2>σ 3
B．μ1< μ2= μ3，σ1=σ 2<σ 3
C．μ1< μ2= μ3，σ1=σ 2>σ 3
D．μ1= μ2> μ3，σ1=σ 2<σ 3
【变式5-1】（23-24 高二下·湖北武汉·期末）设随机变量X ~ N (0,1)，则X 的密度函数为（ ）
A．f (x)=
1
√2π e
−x
2
2
B．f (x)=
1
√2π e
−(x−1)
2
2
C．f (x)=
1
√2π e
−x
2
2
D．f (x)=
1
√2π e
−(x−1)
2
2
【变式5-2】（23-24 高二·全国·课后作业）已知随机变量X的正态密度函数为f (x)=
1
√8 π e
−x
2
8 (x∈R)，
则其均值和标准差分别是（ ）
A．0 和8
B．0 和4
C．0 和2
D．0 和1
【变式5-3】（23-24 高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究､应
用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体
系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻
的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其密度曲线函数为f (x)=
1
10√2π e
−( x−100)
2
200
，x∈R，则
下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为100cm
B．该地水稻株高的方差为100
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm 以上的概率比株高在70cm 以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在(90,100)和在(100,110)（单位：cm）的概率一样大
9
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【题型6 正态曲线的性质】
【例6】（2024·湖南益阳·三模）某生产线正常生产下生产的产品A的一项质量指标X近似服从正态分布
N (5,σ
2)，若P(X ≤a)= P(X ≥1+2a)，则实数a的值为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．9
【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）已知随机变量X ∼N (μ,σ
2)(μ>0,σ >0)，则下列说法正确的是
（ ）
A．P(X <0)= P(X >0)
B．P(|X|< μ)= P(|X|≥μ)
C．P(X < μ−σ )< P(X < μ+σ )
D．P(X >σ −μ)≤P(X >σ + μ)
【变式6-2】（2024·四川·模拟预测）若随机变量X服从正态分布N (3,σ
2), P( X ≤5)=0.55，则P(X ≤1)=
（ ）
A．0.45
B．0.55
C．0.1
D．0.9
【变式6-3】（2024·安徽合肥·三模）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了
言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从N (70,64)，据此估计测试成绩不小于
94 的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：P( μ−σ < X < μ+σ )≈0.6827 , P( μ−2σ < X < μ+2σ )≈0.9545, P( μ−3σ < X <
μ+3σ )≈0.9973
A．0.135 %
B．0.27 %
C．2.275 %
D．3.173 %
【题型7 正态分布的概率计算】
【例7】（2024·甘肃张掖·三模）若已知随机变量x服从正态分布N (3,f
2)，且P(x>2)=0.75，则
P(3< x<4)=（ ）
A．0.75
B．0.5
C．0.25
D．0.15
【变式7-1】（2024·全国·三模）已知随机变量X ∼N (2,σ
2)，且P(X ≤4)=0.84，则P(0< X ≤4)=
（ ）
A．0.84
B．0.68
C．0.34
D．0.16
【变式7-2】（2024·辽宁·模拟预测）某种酸奶每罐净重X（单位：g）服从正态分布N (184 ,2.5
2).随机抽
10
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取1 罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（ ）
（注：若X ~ N (μ,σ
2)，P(|X −μ|<σ )=0.6827，P(|X −μ|<2σ )=0.9545，P(|X −μ|<3σ )=0.9973）
A．0.8186
B．0.84135
C．0.9545
D．0.6827
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若X ∼N (μ,σ
2)，记
p1= P(μ−σ < X < μ+σ )，p2= P(μ−2σ < X < μ+2σ )，p3= P(μ−3σ < X < μ+3σ )，经统计，某零件的
尺寸大小X（单位：dm）从正态分布N (30,25)，则P(X >40)=（ ）
A．1−p1
2
B．1−p2
2
C．1−p2
2
D．1−p3
2
【题型8 正态分布的实际应用】
【例8】（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念
的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试
来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300 人，
其中275 个高薪职位和25 个普薪职位.实际报名人数为2000 名，考试满分为400 分.记考生的成绩为X，且
X ∼N (μ,σ
2)，已知所有考生考试的平均成绩μ=180，且360 分及其以上的高分考生有30 名.
(1)求σ的值．（结果保留位整数）
(2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数）
(3)考生甲的成绩为286 分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．
参考资料：①当X ∼N (μ,σ
2)时，令Y = X −μ
σ
，则Y ∼N (0,1)．
②当Y ∼N (0,1)，P(Y ≤2.17)≈0.985，P(Y ≤1.28)≈0.900，P(Y ≤1.09)≈0.863，P(Y ≤1.04)≈0.85．
【变式8-1】（2024·河南·模拟预测）某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000 人参与.招聘规则为：前
两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续
通过三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立.
(1)若小李在第一关第二关及第三关通过测试的概率分别为
､
5
6 , 4
5 , 3
4
，求小李成功竞聘的概率P；
11
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(2)统计得10000 名竞聘者的得分X ∼N (420.5,10.75
2)，试估计得分在442 分以上的竞聘者有多少人.（四
舍五人取整）
附：若随机变量X ∼N (μ,σ
2)，则P(μ−σ ≤X ≤μ+σ )≈0.6827, P(μ−2σ ≤X ≤μ+2σ )≈0.9545
【变式8-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠
道.2023 年11 月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100 个购物群的销售情况，各购物群销售
脐橙的情况如下：
脐橙数量/盒
[100,200) [200,300) [300,400) [ 400,500) [500,600]
购物群数量/个
12
18
m
32
18
(1)求实数m的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100 个购物群销售脐橙总量的平均数；
(2)假设所有购物群销售脐橙的数量X ~ N (μ,σ
2)，其中μ为（1）中的平均数，σ
2=14400.若该脐橙基地参
与销售的购物群约有1000 个，销售的脐橙在[256,616)（单位：盒）内的群为“A级群”，销售数量小于
256 盒的购物群为“B级群”，销售数量不小于616 盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级
群”奖励600 元，每个“A级群”奖励100，对“B级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？
（群的个数按四舍五入取整数）
附：若X ~ N (μ,σ
2)，则P( μ−σ ≤X < μ+σ )≈0.683，P( μ−2σ ≤X < μ+2σ )≈ 0.954，
P( μ−3σ ≤X < μ+3σ )≈0.997.
【变式8-3】（2024·山东日照·三模）电信诈骗是指通过电话、网络和短信等方式，编造虚假信息，设置骗
局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G 时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信
诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了增强同学们的防范意识，某校举办了主题为
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“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.
(1)已知该校参加本次竞赛的学生分数η近似服从正态分布N (80,25)，若某同学成绩满足μ−σ ≤η≤μ+2σ，
则该同学被评为“反诈标兵”；若η> μ+2σ，则该同学被评为“反诈达人”.
（i）试判断分数为88 分的同学能否被评为“反诈标兵”；
（ii）若全校共有40 名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数（四舍五入后取
整）.
(2)已知该学校有男生1000 人，女生1200 人，经调查有750 名男生和600 名女生了解“反诈”知识，用样
本估计总体，现从全校随机抽出2 名男生和3 名女生，这5 人中了解“反诈”知识的人数记为X，求X的
分布列及数学期望E ( X ).
参考数据：若ξ ∼N (μ,σ
2)，则P(μ−σ ≤ξ ≤μ+σ )=0.6827，P(μ−2σ ≤ξ ≤μ+2σ )=0.9545，
P(μ−3σ ≤ξ ≤μ+3σ )=0.9973
一、单选题
1．（2024·青海·一模）已知随机变量X ∼B(10, 1
3)，若随机变量Y =3 X +2，则E (Y )=（ ）
A．10
B．12
C．30
D．32
2．（2024·云南·模拟预测）已知X ∼N (μ,σ
2)，且P(X >3+t )= P(X <3−t )=0.2，则P(3−t < X <3)=
（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8
3．（2024·山东青岛·三模）某校高一有学生 980 人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩 X 服从正
态分布 N (100,σ
2)，已知 P(90< X ≤100)=0.1，则该校高一学生数学成绩在 110 分以上的人数大约为
（ ）
A．784
B．490
C．392
D．294
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4．（2024·山东济宁·三模）若随机变量X ~ N (3,2
2)，随机变量Y = 1
2 ( X −3)，则E(Y )+1
D(Y )+1 =（ ）
A．0
B．1
2
C．4
5
D．2
5．（23-24 高二下·辽宁·阶段练习）某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，
其密度函数f ( x ）=1
10√2π e
−( x−80)
2
200 ， x (
∈－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是
A．该市这次考试的数学平均成绩为80 分
B．分数在120 分以上的人数与分数在60 分以下的人数相同
C．分数在110 分以上的人数与分数在50 分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10
6．（2024·黑龙江·三模）袋中装有标号为1，2，3，4，5 且质地、大小相同的5 个小球，从袋子中一次性
摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4 人参与摸球，则恰好2 人获奖的
概率是（ ）
A．216
625
B．324
625
C．8
9
D．27
125
7．（2024·河北邢台·二模）已知在(
3√x−
1
2
3√x)
n的二项展开式中，第6 项为常数项，若在展开式中任取3
项，其中有理项的个数为ξ，则E (ξ)=（ ）
A．8
11
B．12
11
C．9
11
D．8
55
8．（2024·浙江·模拟预测）克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为p(0< p<1)，她
掷了k次硬币，最终有10 次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量X表示每掷N次硬
币中正面向上的次数，现以使P( X =10)最大的N值估计N的取值并计算E( X ).(若有多个N使P( X =10)
最大，则取其中的最小N值).下列说法正确的是（ ）
A．E( X )>10
B．E( X )<10
C．E( X )=10
D．E( X )与10 的大小无法确定
二、多选题
9．（2024·吉林·模拟预测）从含有2 件次品的100 件产品中，任意抽出3 件，则（ ）
A．抽出的产品中恰好有1 件是次品的抽法有C2
1C98
2 种
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B．抽出的产品中至多有1 件是次品的概率为1−C98
3
C100
3
C．抽出的产品中至少有1件是次品的概率为1−C98
3
C100
3
D．抽出的产品中次品数的数学期望为3
50
10．（2024·四川成都·模拟预测）已知X，Y 都是服从正态分布的随机变量，且X ∼N ( μ1,σ1
2)，
Y ~ N ( μ2,σ 2
2)，其中μ1, μ2∈R，σ1,σ 2∈R
+，则下列命题正确的有（ ）
A．E( X )= μ1
B．D( X )=σ1
C．若μ1=2，σ1=1，则P( X ≤1)+ P( X ≤3)=1
D．若μ1= μ2=0，σ1=2，σ2=3，则P(| X |≤1)> P(|Y |≤1)
11．（2024·福建泉州·模拟预测）某人在n次射击中击中目标的次数为X , X ∼B (n, p)，其中
n∈N
*,0< p<1，设击中偶数次为事件A，则（ ）
A．当p= 1
2
时，D (X )取得最大值
B．当p= 1
2
时，D (X )取得最小值
C．当1
2 < p<1, P( A)随n的增大而减小
D．当0< p< 1
2 , P( A)随n的增大而减小
三、填空题
12．（2023·江苏·三模）设随机变量X ~ H (3,2,10)（共10 件产品，其中有2 件合格品，从中取出3 件，有
X 件），则P(X =1)=
.
13．（2024·河南信阳·二模）某生产线正常生产下生产的产品A的一项质量指标X近似服从正态分布
N (5,σ
2)，若P(X ≤a)= P(X ≥1+2a)，则实数a的值为
.
14．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相
互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，
小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．记格子从左到
右的编号分别为0,1,2,3,⋯10，用X表示小球最后落入格子的号码，若P( X =k )≤P( X =k0)，则k0=
.
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四、解答题
15．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某校为营造学科学、爱科学、用科学的良好氛围，使学生掌握必要和基
本的科学知识，培养良好的科学学习态度.特举办以“体悟科技魅力，激发思维潜能”为主题科普知识竞赛：
该活动规定每班选3 人，每人回答一个问题，答对得10 分，答错得0 分.在竞赛中，甲乙两班代表队相遇
､
，
假设甲队3 人回答正确的概率均为2
3
，乙队3 人回答正确的概率分别为1
2
，2
3
，3
4
，且两队各人回答问题正
确与否互不影响.
(1)求甲队总得分为20 分且乙队总得分为10 分的概率；
(2)求甲队总得分X 的分布列和数学期望.
16．（2024·山东泰安·模拟预测）增强青少年体质，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事.
某高中为了解本校高一年级学生体育锻炼情况，随机抽取体育锻炼时间在[20,80]（单位：分钟）的50 名
学生，统计他们每天体育锻炼的时间作为样本并绘制成如下的频率分布直方图，已知样本中体育锻炼时间
在[60,70)的有5 名学生.
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(1)求a，b 的值；
(2)若从样本中体育锻炼时间在[60,80]的学生中随机抽取4 人，设X 表示在[70,80]的人数，求X 的分布列
和均值.
17．（2024·新疆喀什·三模）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100 件作为样本，
测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
质量差（单位：mg）
5
4
58
6
0
63
64
件数（单位：件）
5
25
4
5
20
5
(1)求样本质量差的平均数x；假设零件的质量差X ∼N (μ,σ
2)，其中σ
2= 4，用x作为μ的近似值，求
P(62< X ≤64)的值；
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1 条生产线和第2 条生产线生产的零件件数比是
3:1．若第1、2 条生产线的废品率分别为0.004 和0.008，且这两条生产线是否产出废品是相独立的．现从
该企业生产的汽车零件中随机抽取一件．
（ⅰ）求抽取的零件为废品的概率；
（ⅱ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1 条生产线的概率．
参考数据：若随机变量X ∼N (μ,σ
2)，则P(μ−σ < X ≤μ+σ )≈0.6827，P(μ−2σ < X ≤μ+2σ )≈0.9545，
P(μ−3σ < X ≤μ+3σ )≈0.9973
18．（2024·黑龙江·三模）为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教
育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.
为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了500 名学生的
数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.
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(1)估计这500 名学生健康指数的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X 近似服从正态分布N(μ，σ
2)，其中μ近似为样本平均数x，
σ
2近似为样本方差s
2(s
2=84.75).
①求P(60.29≤X≤87.92)；
②已知该市高三学生约有30000 名，记健康指数在区间[60.29，87.92]的人数为ξ，试求E(ξ).
附：参考数据：√84.75≈9.21，若随机变量X 服从正态分布N(μ，σ
2)，则P( μ−σ ≤X ≤μ+σ )≈0.683，
P( μ−2σ ≤X ≤μ+2σ )≈0.955，P( μ−3σ ≤X ≤μ+3σ )≈0.997.
19．（2024·新疆·二模）目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播A，在第1 天的
直播中有超过100 万次的观看．
(1)已知小李第1 天观看了虚拟主播A的直播，若小李前一天观看了虚拟主播A的直播，则当天观看虚拟主
播A的直播的概率为1
3
，若前一天没有观看虚拟主播A的直播，则当天观看虚拟主播A的直播的概率为3
5
，
求小李第2 天与第3 天至少有一天观看虚拟主播A的直播的概率；
(2)若未来10 天内虚拟主播A的直播每天有超过100 万次观看的概率均为2
3
，记这10 天中每天有超过100
万次观看的天数为X．
①判断k为何值时，P( X =k )最大；
②记Y =(−1)
X，求E(Y )．
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