2026 年高考数学终极押题猜想
目 录
押题猜想01 抽象函数性质综合应用.................................................................................................
押题猜想02 平面向量-投影向量、最值问题....................................................................................
押题猜想03 三角函数-三角换元、 𝛚范围求解..............................................................................
押题猜想04 圆锥曲线离心率及面积比值范围问题.........................................................................
押题猜想05 排列组合及条件概率.................................................Error! Bookmark not defined.
押题猜想06 立体几何-外接球、内切球与空间向量........................................................................
押题猜想07 数列-求最值及证明不等式............................................................................................
押题猜想08 解三角形定值与最值-内部含线....................................................................................
押题猜想09 导数-比较大小、零点及恒成立求参问题................Error! Bookmark not defined.
押题猜想10 圆锥曲线-定点定值最值问题........................................................................................
押题猜想11 概率统计与数列、函数等模块的综合应用.............Error! Bookmark not defined.
押题猜想01 抽象函数性质综合应用
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】已知定义在R 上的函数
f x 的图象是一条连续不断的曲线，若当
0
x >
时，
e
e
x
x
f x
f
x
f x
f
x
-
é
ù
é
ù
+
>
-
ë
¢
ë
û
¢
û
，且
0
f
x
f x
-
+
=
，则（ ）
A．
e
e
f
f
<
-
B．
0
xf x £
C．
f x 存在极大值点
D．
f x 有且只有一个零点
分析有理·押题有据
抽象函数不考具体解析式，纯考逻辑与性质，区分度高，是中档生和尖子生的分水岭。连续多年在选
择第8～11 题位置出现，属于“必考中档压轴”，极少缺席。重思维、轻计算，考单调性、奇偶性、对称性、
周期性综合，完美匹配“素养立意”命题思路。可与不等式、零点、导数结合既能单独出小题，也能 作为
导数大题的铺垫，命题空间极大。
近5 年全国Ⅱ/甲卷真题高频重复，奇偶性 + 单调性解不等式；对称性 + 周期性求函数值；抽象函数
+ 图像判断零点个数；每年至少1 道，从未断档。考纲要求：理解函数奇偶性、单调性、周期性、对称性，
能综合运用性质解决问题。抽象函数是对这一要求最直接的考查。各省模拟卷大量出现“双对称推周期”
“奇偶+单调解不等式”，与全国卷命题高度同频。抽象函数无法死记硬背题型，必须理解逻辑，非常适合
高考选拔。。
密押预测·精练通关
1．（2026·四川·模拟预测）已知函数
( )
f x 及其导函数
( )
f
x
¢
的定义域均为R，且
( )
f x 为偶函数，
( )
f
x
¢
是减
函数，则（ ）
A．
(1)
(2)
( 3)
f
f
f
<
<
-
B．
( 3)
(1)
(2)
f
f
f
<
<
-
C．
(2)
( 3)
(1)
f
f
f
<
-
<
D．
( 3)
(2)
(1)
f
f
f
-
<
<
2．
（2026·山东青岛·一模）已知定义在R 上的函数
( )
f x 满足
( )
(2
)
0
f x
f
x
+
-
=
，(1
)
(3
)
f
x
f
x
+
=
-
，当
[1,2]
xÎ
时，
3
2
( )
2
=
-
+
f x
x
x
x，则方程7 ( )
1
0
f x
x
-
+ =
所有根之和为（ ）
A．8
B．11
C．15
D．17
3．（2026·山东青岛·一模）已知函数
f x 的定义域为R ，且
2
f x -
为偶函数，
2
1
f
x -
为奇函数，
0
1
f
= ，则
2025
1
i
f i
=
=
å
（ ）
A．1
B．0
C．1
-
D．2
-
4．（2026·山西大同·一模）已知函数
f x 的定义域为
0, ¥
+
，若对于定义域内给定的任意
1
x ，
2
1
2
x
x
x
¹
，都有
2
1
1
2
1
2
0
x f x
x f x
x
x
-
>
-
，则不等式
2
2
2
3
3
2
2
f x
f
x
f
x
x
x
-
>
+
的解集为（ ）
A．
3,3
B．
3,+¥
C．
0,3
D．
3,+¥
5．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为R ，
1
0
f
=
，若
1
f xy
f x f
y
f x
y
-
=
+
- ，则下列说法正确的是（ ）
A．
0
1
f
=
B．
19
1
190
n
f n
=
=
å
C．函数
1
f x +
是奇函数
D．函数
1
f x + 是偶函数
6．（2026·陕西西安·模拟预测）定义在R 上的函数
f x 满足：
1
1
0
f
x
f
x
- +
-
- -
=
，且
1
1
0
f
x
f
x
+
+
-
=
，当
1,1
xÎ -
时，
3
2
1
=
-
-
f x
ax
x
，则
f x 的最大值与最小值的差为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
( )
f x 是定义在R 上的偶函数，
(
1)
=
-
y
f x
关于(2,0) 中心对称，则
下列说法正确的是（ ）
A．
( )
f x 的一个周期为6
B．
( 1)
0
f -
=
C．
(2)
0
f
=
D．
2026
1
( )
0
i
f i
=
=
å
8．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
f x 及其导函数
g x 的定义域均为R，
g x 在R 上单调递增，
1
g x +
为奇函数，则（ ）
A．
1
0
g
=
B．
2
g x
g
x
=
-
C．
f x 的图象关于直线
1
x = 对称
D．
2
4
4
log
log 5
3
f
f
<
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
( )
f x 的定义域为Z ，若
(
)
( ) (1
)
( ) (1
)
f x
y
f x f
y
f y f
x
+
=
-
+
-
，且
(1)
( 1)
1
f
f
= -
-
= ，则
10
1
(2 )
i
f
i
=
=
å
（ ）
A．0
B．1
C．10
D．20
10．（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为R 的偶函数
f x 满足
4
2
3
3
f
x
f
x
f x
+
=
+
-
，且
f x 在
0,2
上是单调递增函数，若函数
1
g x
f x
f x
=
-
-
，则下列结论正确的是（ ）
A．
g x 为偶函数
B．
g x 在
2,3 上是单调递增函数
C．
1
3
g
g
>
D．
2
g x
g x
+
=
押题猜想02 平面向量-投影向量、最值问题
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】已知菱形ABCD 的边长为2，
π
3
BAD
Ð
=
，点Q 在线段DC 上，点P 在线段BC 上，BP
QC
=
，
则DP BQ
×
uuur uuur
的最大值为（ ）
A．
3
2
-
B．2
C．3
2
D．－2
分析有理·押题有据
位置极其固定，全国Ⅱ卷多年稳定在选择第5～8 题，一道纯向量小题，5 分必出，极少缺席。难度适
中、区分度好，不偏不难，但很容易因公式记错、投影搞反、几何转化不到位丢分，是二轮必抓稳分点。
新高考命题偏好“几何+代数”双视角，向量既能考坐标运算，又能考几何投影、数量积、模长最值，完美
契合“数形结合”素养。可与圆锥曲线、解三角形、立体几何自然结合，单独考小题，也常作为大题工具
出现，命题灵活、覆盖面广。
近5 年全国Ⅱ/甲卷真题高频重复，向量数量积与夹角；投影与投影向量；模长最值、系数线性组合最
值；向量与三角形四心（重心、外心、垂心、内心）简单结合，考纲与教材核心要求明确要求掌握：向量
线性运算、数量积、投影、模长公式、坐标运算，以及向量在几何中的应用。2026 各地模拟卷高度一致
一模二模普遍聚焦：投影向量计算；数量积范围问题，与全国卷命题风格完全同频。反套路但不超纲
不考复杂技巧，重在公式理解与几何直观，非常适合高考基础中档题定位。
密押预测·精练通关
1．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD 的边长为2，点E 在线段AC 上，则AE BE
×
uuur uuur 的最小值为（ ）
A．
3
4
-
B．
1
2
-
C．
1
4
-
D．
1
8
-
2．（2026·山西朔州·一模）已知向量
2, 1 ,
,4
AB
BC
m
=
-
=
uuur
uuur
，且AB
AC
AB
AC
+
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
，则AC =
uuur
（ ）
A．3 2
B．34
C．3 5
2
D．
61
2
3．（2026·山西晋中·模拟预测）在平面内，某质点在三个力
1
2
3
,
,
F F F
uur uur uur
的作用下恰好处于平衡状态，其中
2
3
(3, 2),
( 1,2)
F
F
=
-
= -
uur
uur
，则
3F
uur
在
1F
uur
上的投影向量的坐标为（ ）
A．
2,0
-
B．
1,0
-
C．
2 5 4 5
,
5
5
-
D．2 5
4 5
,
5
5
-
4．（2026·辽宁大连·模拟预测）在
ABC
V
中，点D 是直线BC 上一点，且满足
1
2
BD
CB
=
uuur
uuur
，若CD
m
=
uuur
r ，
AB
n
=
uuur
r ，则AC =
uuur
（ ）
A．2
3 m
n
+
r
r
B．2
3 m
n
-
r
r
C．
2
3 m
n
-
-
r
r
D．
2
3 m
n
-
+
r
r
5．（2026·辽宁大连·一模）已知点P 是圆
2
2
:
2
4
C
x
y
-
+
=
上一点，直线:
1
0
l kx
y
k
-
-
+ =
与圆C 相交于A ，
B 两点，则PA
PB
+
uuur
uuur
的最大值为（ ）
A．2
2
+
B．2
2 2
+
C．4
2
+
D．4
2 2
+
6．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量
1,2
m =
ur
，
2
5
2 ,
n
t
t
=
-
r
满足
2
5,0
m
n
-
= -
ur
r
，则向量m
ur
与n
r
的夹角为
（ ）
A．π
6
B．π
4
C．3π
4
D．5π
6
7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点M 是
ABC
V
的重心，若BM
AB
AC
l
m
=
+
uuuur
uuur
uuur
，则
2
l
m
+
=（ ）
A．-1
B．
1
3
-
C．0
D．1
8．（2026·黑龙江·一模）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，且F 为AD 边中点，BF 与AC 交于点E ，则
BE BC
×
=
uuur uuur
________．
9．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
π
π
( )
sin 3
6
f x
x
=
+
的图象在y 轴右侧的第一个最高点
和第一个最低点分别为A 和B，O 为坐标原点，则OA OB
×
=
uuur uuur
_________．
10．（2026·贵州毕节·二模）已知向量
(1, 4)
a =
-
r
，
(2,3)
b =
r
，则向量ar 在向量b
r 上的投影向量为（ ）
A．10 15
,
13 13
B．
10
15
,
13
13
-
-
C．
20
30
,
13
13
-
-
D．
20 30
,
13 13
押题猜想03 三角函数-三角换元、𝛚范围求解
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】若函数
1 sin
f x
x
w
= - -
（
0
w >
）在
0,π 内存在唯一的
0x ，使得
0
2
f x
= - ，则w 的取值可能
为（ ）
A．
1
2
B．5
2
C．1
D．3
分析有理·押题有据
小题必考，位置稳定，全国Ⅱ卷连续多年固定在选择第6～9 题出一道三角函数小题，分值5 分，几乎
从不缺席。ω范围问题是近年“固定压轴小题”三角函数图像性质、单调性、零点、对称轴求 ω 范围，
是全国卷最爱的中档拉分题，区分度极高。三角换元是二轮隐形高频工具，常在求最值、圆锥曲线参数方
程、不等式中出现，属于“不单独考但处处用”的核心方法。完美契合新高考方向，重图像、重性质、重
数形结合，不考死记硬背，非常适合考查数学素养。2026 全国Ⅱ卷三角函数小题必出，ω范围题概率接近
100%，三角换元大概率在函数/解析几何最值中用到。
近5 年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，三角函数图像平移、伸缩变换；由单调性、零点、对称轴求 ω 范
围；- 三角恒等变换与最值；三角换元求无理函数、二次型最值，考纲与教材核心要求掌握正弦型函数
y=Asin(wx+ų) 图像与性质；掌握同角关系、诱导公式、和差倍角；会用换元思想转化问题，2026 各地一模
二模一致指向各地模拟卷高频出现：给定区间单调 → 求 ω；给定零点个数 → 求 ω；给定对称轴/极值
点 → 求 ω完全贴合全国卷命题风格。命题稳定、难度可控既能基础送分，又能适度综合卡中档学生，是
命题人最爱的题型之一。
密押预测·精练通关
1．（2026·云南·模拟预测）若π
3π ,cos
2sin
2,sin
2cos
1
2
2
a
b
a
b
a
b
<
-
<
-
=
+
= - ，则
π
sin
6
b
+
＝（ ）
A．
3
3
B．
6
3
C．
3
3
-
D．
6
3
-
2．（2026·云南大理·二模）将函数
π
( )
sin
3
f x
x
=
+
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的
1
2 ，纵坐标保持不
变，再将所得图象向右平移π
6 个单位长度，得到函数( )
g x 的图象，则下列结论中正确的是（ ）
A．( )
g x 的最小正周期为4π
B．( )
g x 在
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û 上只有一个零点
C．( )
g x 在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增
D．点5π ,0
2
是( )
g x 图象的一个对称中心
3．（2026·山西朔州·一模）已知
sin2
2cos
cos
x
f x
x
x
=
+
，则（ ）
A．
f x 是偶函数
B．
f x 的图象关于直线
3π
2
x =
对称
C．
f x 的值域为
2 2,2 2
é
ù
ë
û
-
D．当
f x
a
=
在
π
0, 2
有2 个不同实根
1
2
,
x x 时，
1
2
a x
x
+
的取值范围是
π,
2π
4．（2026·山西运城·一模）若函数
4
4
=π sin
cos
f x
x
x
+
的图象关于点
,
m n
0
m <
对称，则m
n
+
的最大
值为（ ）
A．π
8
B．3π
8
C．5π
8
D．7π
8
5．（2026·山西大同·一模）下列关于函数
4sin 2
8
f x
x
p
=
-
的说法正确的是（ ）
A．直线
16
x
p
=
是函数
y
f x
=
图象的一条对称轴
B．
f x 在区间
,
8 8
p p
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增
C．
f x 的图象可通过
4sin2
y
x
=
的图象上所有点向右平移8
p 个单位长度得到
D．若
1
2
x
x
¹
，且
1
2
2
f x
f x
=
=
，则
1
2 min
3
x
x
p
-
=
6．（2026·辽宁抚顺·一模）已知函数
sin 2
π
x
f x
x
j
=
+
-
π
π
2
2
j
-
<
<
，若函数
f x 与
g x 的图象关于
直线x = π
6 对称，且
1
0
6
g
=
，则j =（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
4
D．π
3
7．（2026·辽宁·模拟预测）将函数
π
sin
,
0,
0,0
2
f x
A
x
b
A
w
j
w
j
=
+
+
>
>
<
<
的图象按照以下顺序进行
变换：
①向左平移π
6 个单位长度；②横坐标变为原来的2 倍，纵坐标变为原来的
1
2 倍；③向下平移
1
2 个单位长度，
可得到函数
sin
g x
x
=
的图象．则下列结论正确的是（ ）
A．若
0
f x ³
，则x 的取值范围为
π
3π
π,
π
12
4
k
k
k
é
ù
+
+
Î
ê
ú
ë
û
Z
B．若函数
,
0
2
x
f
w
w
-
>
在
π,0
-
上的图象与直线
1
y = 有且只有一个交点，在
2π π
,
5
3
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递减，
则
1 1
,
3 2
w
é
ù
Îê
ú
ë
û
C．若函数
7π
1
24
f
x
+
-
在区间
π
,
4
t t
é
ù
+
ê
ú
ë
û 上的最值分别为
,
m n ，则m
n
-
的取值范围是
2
1,2
é
ù
-
ë
û
D．若方程
3
2
f x =
在
0,π 内恰有两个根
1
2
1
2
,
x x
x
x
<
，则
1
2
15
sin 2
2
8
x
x
-
= -
8．（2026·广西·模拟预测）已知函数
2026π
tan
3
f x
x
w
=
+
（
0
w >
），若曲线
y
f x
=
关于点π ,0
3
中心
对称，则w 的最小值为__________.
9．（2026·陕西铜川·一模）设
f x 为奇函数，将
f x 的图像向左平移
π
0
2
j
j
<
<
个单位长度后，得到函
数
sin2
3cos2
g x
x
x
=
+
的图像，则j =（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
3
D．5π
12
10．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数
π
tan
0,
2
f x
x
w
j
w
j
=
+
>
<
，
π
6
x =
为
f x 的一个零点，
f x
的图象关于点5π ,0
12
对称，且
f x 在π 5π
,
6 12
上单调递增，则（ ）
A．
2
w =
B．
6
p
j =
C．
5π
0
3
f
=
D．
f x 在
π ,0
6
-
上单调递增
押题猜想04 圆锥曲线离心率及面积比值范围问题
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左右焦点分别为
1F ，
2
F ，经过
2
F 的直线与C 的右支交于
A，B 两点，且
1
1
cos
9
BAF
Ð
=
，
1
AF
AB
=
，则C 的离心率是（ ）
A．
21
3
B．
15
3
C．
3
D．
5
分析有理·押题有据
地位：小题必考“黄金考点”全国Ⅱ卷每年必有一道离心率小题，位置稳定在选择 6～8 题，分值5 分，
几乎从不缺席。区分度极强，二轮必争之分入门简单、想快很难，能轻松拉开中等生与尖子生差距，是命
题人最爱用的“卡分题”。可结合：焦点三角形、渐近线、垂直、向量、中点、几何性质，考法多但套路固
定。新高考风格高度契合，重几何性质、轻暴力计算，强调数形结合与转化，完全符合新课标命题思路。
近5 年全国Ⅱ/甲卷真题高频重复，焦点三角形求离心率；垂直条件（向量垂直、斜率乘积＝-1）；渐近
线夹角、倾斜角；中点弦、对称点，每年必考一类，从未断档。 考纲与教材核心要求离心率 e=c/a 是描述
圆锥曲线形状的核心量，考纲明确要求熟练求解。 2026 各地一模二模高度一致各地模拟卷几乎都把离心率
作为小题必考，考法与全国卷高度同频。不超纲、不偏怪，可深可浅，既能简单送分，也能稍加包装变成
小压轴，命题弹性极佳。
密押预测·精练通关
1．（2026·陕西榆林·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右顶点分别为A，B，点M 在C 上，且
4 13
BM =
，
10
AM =
，
4
tan
3
BAM
Ð
=
，则C 的离心率为（ ）
A．1
3
B．
1
2
C．2
3
D．2 2
3
2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线
2
:
12
C y
x
=
的焦点为F，点
0
0
,
M x
y
在抛物线C 上，若
|
| 9
MF =
，O 为坐标原点，则（ ）
A．
0
3 3
x =
B．
0
6 2
y = ±
C．|
| 6 3
OM =
D．点F 到直线OM 的距离为2 2
3．（2026·陕西商洛·二模）已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
：
，圆M 为以实轴
1
2
A A 为直径的圆，试验发
现将圆M 竖直上移
3 个单位或水平右移
6 个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线C 的离心率为
（ ）
A．
5
2
B．
6
2
C．2
D．
3
4．（2026·陕西西安·模拟预测）设抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
=
>
的焦点为F ，准线为l，过点F 的直线交C 于
,
A B
两点，以F 为圆心，|
|
FA 为半径的圆交l 于
,
M N 两点.若
,|
| 6
AM
l FA
^
=
，则一定有（ ）
A．
2
p =
B．直线AF 的斜率是
3
C．|
| 9
AB =
D．AMN
V
的面积是18 3
5．（2026·陕西铜川·一模）已知双曲线
2
2
:
1
3
y
C x -
= ，的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 且斜率为k 的直
线l 与双曲线C 的右支交于点Q ，与直线
1
2
x =
交于点P ，下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C 的离心率为2
B．
3
3
k
-
<
<
C．若AQ
QF
^
，则
1
2
k = ±
D．若P 是线段AQ 的中点，则
1
k = ±
6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的右焦点为F ，半焦距为c .过F
作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，且OHF
V
的面积为
2
3
8 c ，则C 的离心率为（ ）
A．2
B．2 或
3
C．2 或
5
D．2 或2 3
3
7．（2026·黑龙江·一模）已知抛物线
2
:
4
C y
x
=
的焦点为F ，P 为C 上一动点，A 为一定点，则正确的有
（ ）
A．若
4
PF =
，则点P 的坐标为
3, 2 3
B．若
5,3
A
，则PA
PF
+
的最小值为6
C．若
3,0
A
，则PA 的最小值为2 2
D．若
3,0
A
，则
APF
Ð
的最大值为π
4
8．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的右顶点为A ，过点A 且斜率为2
的直线与C 的两条渐近线分别交于P，Q 两点（其中点P 在第一象限）.若O 为坐标原点，点M 满足
2
OP
OQ
OM
+
=
uuur
uuur
uuuur
，
5
2
AM
a
=
uuuur
∣
∣
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
7
2
B．
21
3
C．5
3
D．
5
2
9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆
2
2
:
1
2
x
C
y
+
= ，
1F ，
2
F 分别是椭圆C 的左右焦点，O 是原点，P 是
椭圆C 上任意一点，下列说法正确的有（ ）
A．
1
2
F PF
V
的周长是2 2
2
+
B．
1
2
π
3
F PF
Ð
=
时，
1
2
F PF
V
的面积是
3
C．
1
2
PF
PF
×
的最大值是2
D．过P 作椭圆C 的切线与x 轴和y 轴分别交于A，B 两点，则ABO
V
面积的最小值为2
10．（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线
2
2
:
1
3
y
C x -
= ，
1F 、
2
F 是其左右焦点，点P 为双曲线上在第一象限
内的一点，连接点P 与右焦点
2
F 的直线交双曲线的右支于另一点Q ，记点P 到两渐近线的距离为
1d 、
2
d ，
点Q 到两渐近线的距离为
3
d 、
4
d ，
1
2
PFF
V
、
1 2
QFF
V
的内切圆圆心分别为
1I 、
2I ，则下列结论正确的是（ ）
A．
1
2
3
4
d d
d d
>
B．两内切圆相切于x 轴上同一点
C．点
2
F 在以
1 2
I I 为直径的圆上
D．两内切圆周长之和的取值范围是
8 3
4π,
π
3
é
ê
ë
押题猜想05 排列组合及条件概率
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】黑龙江省实验中学科技节活动，将4 位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个
地点参加志愿活动，若每位志愿者仅去一个地点且每个地点至少需要1 名学生，则不同的分配方法种数为
（ ）
A．81
B．72
C．36
D．12
分析有理·押题有据
小题必考，5 分稳在全国Ⅱ卷多年稳定在选择第9～11 题考一道排列组合小题，偶尔结合概率一起考，
基本年年都有。区分度高，中档生必争思路对就秒出，思路错怎么算都不对，是典型“一看就会、一做就
错”的拉分题。命题风格固定、不跑偏不考偏难怪，只考：相邻不相邻、分组分配、特殊位置优先、间接
法（正难则反），套路极强。常结合选课、排队、分配岗位、数字组成等真实场景，非常贴合全国卷命题习
惯。
近5 年全国Ⅱ/甲卷高频重复，相邻捆绑、不相邻插空；特殊元素/特殊位置优先；平均分组、不平均分
组；数字问题（奇偶、被几整除）；正难则反（间接法）考纲明确要求，理解分类加法、分步乘法计数原理，
能解决简单计数问题，是必考基础模块。 2026 各地一模二模模拟卷几乎都围绕：排队、选课、分配、数字
组数四类出题，和全国卷完全同频。可与概率、统计自然结合既能单独考小题，也能作为概率大题第一问，
命题空间大。
考场万能做题步骤 先看：有序还是无序，有序→排列A，无序→组合C 再看：能不能一步做完 能→
分类加；不能→分步乘，有无限制条件：特殊优先、相邻捆绑、不相邻插空，正面复杂就用：总数 - 不符
合条件 = 答案，总之相邻捆绑不邻插，特殊位置优先它。均分除重防重复，正难则反最省事。有序排列无
序组，分步相乘分类加。
密押预测·精练通关
1．（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9 次打卡动作，其中有2 次柔韧打卡，
3 次力量打卡，4 次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2 次耐力打卡不能相邻，
不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种.
2．（2026·山西朔州·一模）某自动化生产线连续生产编号为1 到10 的10 个产品，计划从中抽取3 个进行检
测，若抽取的3 个产品编号不全是连续整数，则抽取方法种数为__________.
3．（2026·辽宁大连·模拟预测）将编号为1,2,
,n
×××
的n 个小球放入编号为1,2,
,2n
×××
的2n 个盒子中，其中
4
n ³
，要求每个盒子至多放一个小球，且对于任意的i 号球
1
1
i
n
£ £
-
放入的盒子所对应编号都小于
1
i +
号球放入的盒子所对应编号，则
1
n - 号球放入编号为______________的盒子的概率最大.
4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由
同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7 这七个数字分别填入这七个圆中，且
满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种.
5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）3 名男生和2 名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2 名女生不相
邻的不同站法有（ ）
A．24 种
B．48 种
C．72 种
D．96 种
6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）从装有3 个黑球和3 个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子
中随机取出2 个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2 个
球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（ ）
A．1
3
B．2
5
C．7
15
D．3
5
7．（2026·广西河池·二模）在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5 名同学负责接待、咨询、向导三个
志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负
责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（ ）
A．18 种
B．36 种
C．48 种
D．54 种
8．（2026·广西南宁·一模）某市十景包含扬美古风、青山塔影、明山锦绣、望仙怀古、伊岭神宫、九龙戏珠、
南湖情韵、凤江绿野、邕江春泛、龙虎猴趣，每个景点都有其独特的魅力．某游客计划从这10 个景点中随
机选择2 个景点进行游玩，则青山塔影被选中的概率是______．
9．（2026·广西南宁·一模）某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化
与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5 个研学方向．学校安排6 名教师负责这5 个方
向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1 名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1
个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（ ）
A．2400
B．1800
C．1500
D．2100
10．（2026·重庆·模拟预测）将6 个相同的小球分别标上数字2，3，4，6，7，8，从中随机地取两个小球.记
事件A 为“取出的两个小球上的数字均为偶数”，事件B 为“取出的两个小球中至少有一个小球上的数字能被3
整除”，则（ ）
A．
P A
P B
=
B．
P AB
P A
P B
=
×
C．
P AB
P AB
=
D．
|
P AB
P A B
P A
=
×
押题猜想06 立体几何-外接球、内切球与空间向量
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
2 2,
2
AB
AD
AA
=
=
=
，Q 为线段
1
BC 上的动点，P 为
1AC 的中
点，过点A 且与直线
1AC 垂直的平面a 交
1AC 于点E ，交
1A D 于点
,
F M 为a 内的动点，
1, ,
,
A A E F 四点均在
球
1
O 的表面上，则（）
A．
1
1
3
AC
A E
=
B．三棱锥Q
AEF
-
的体积是定值
C．球
1
O 与该长方体的公共部分的体积为π
3
D．
PMD
△
的周长的最小值为
2
2
1
+
分析有理·押题有据
题型极其固定全国Ⅱ卷结构：小题 1 道：外接球 / 内切球（选择 8～11 题，5-6 分）；大题 1 道：
空间向量求角与距离（解答第 16 或 17 题，15 分）合计 20 分左右，占比极高，基本不会缺席。外接球
是“中档生分水岭”公式多、模型固定，会模型就秒杀，不会就卡死，区分度极强。空间向量大题完全套
路化 建系→求点→求法向量→算夹角，步骤固定，是必拿满分大题。新高考趋势：重几何模型 + 重计算
规范，不考怪题，考常见几何体、常见模型，完全贴合二轮复习重点。
近 5 年全国Ⅱ/甲卷高度重复，小题几乎每年：长方体外接球；直棱柱、正棱锥外接球；墙角模型（三
条棱两两垂直）大题必用：线面垂直建系；求线面角、二面角；偶尔考动点、存在性问题，考纲核心要求
；掌握球、柱、锥的结构与表面积体积；掌握空间向量运算与夹角计算；会用向量解决空间角问题， 2026
各地模拟卷高度一致全部围绕：外接球半径、体积、表面积；空间向量求线面角 / 二面角完全复刻全国卷
风格。
今年重点小题押：外接球（内切球考得极少）重点押 4 大模型：墙角模型（三条棱两两垂直）
长方体/正方体模型；直棱柱外接球； 正棱锥（高+底面外接圆）。大题押：空间向量；二面角（最高频）；
线面角；存在性问题（是否存在点 P 满足某角度）；简单体积/距离计算
密押预测·精练通关
1．（2026·陕西商洛·二模）祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则
积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．现有一
个空心铁质半球壳，外半径为3cm ，内半径为1cm （厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．已知浸入
水中部分的深度为1cm ，则浸入水中部分的体积为______
3
cm ．
2．（2026·吉林通化·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为1r ，
2
1
2
r
r
r
<
，半径为2 的球与圆台的上、
下底面及母线均相切，圆台的侧面积为25π ，则圆台的表面积为（ ）
A．30π
B．35π
C．42π
D．50π
3．（2026·陕西西安·三模）如图，菱形ABCD 的各点都在同一平面上，且边长为4，
60
BAD
Ð
=
° .设E ，F
分别为AB ，AD 的中点，分别以CE ，EF ，CF 为折痕把BCE
V
，
AEF
△
，DCF
V
折起，使点B ，A ，D
重合于点P ，并构成三棱锥P
CEF
-
.若三棱锥P
CEF
-
的各顶点都在同一球面上，则该球的体积为________.
4．（2026·山西大同·一模）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为1 的正方形，棱AE ^ 底面
ABCD ，
//
CF AE ，且AE
CF
a
=
=
，则下列表述一定正确的是（ ）
A．
//
EF
平面ABCD
B．几何体ABCDEF 外接球表面积是
2
2
π
a
C．几何体ABCDEF 的体积是2
3
a
D．当
1
a = 时，几何体ABCDEF 一定有内切球
5．（2026·辽宁沈阳·一模）已知球O 内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且
该正四棱台的上､下底面棱长之比为1: 2，则球O 与该正四棱台的体积之比为__________.
6．（2026·黑龙江大庆·二模）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的棱长为3，则下列说法正确的是（ ）
A．
1
CD / / 平面
1
1
A BC
B．三棱锥
1
1
A
BDC
-
的外接球的表面积为27π
C．若该正方体表面上的动点P 满足
1
2 3
D P =
，则动点P 的轨迹长度是3 3π
2
D．若该正方体的内切球表面上的动点Q 满足BQ / / 平面
1
ACD ，则线段BQ 长度的最小值为
6
2
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）动点P 在棱长为4 的正方体内部及表面运动，动球P 是以点P 为球心，半
径为1 的球，求动点P 在运动过程中球P 的轨迹形成的几何体体积（ ）
A．96 16p
+
B．
40
96
3 p
+
C．160 16p
+
D．
40
160
3 p
+
8．（2026·贵州毕节·二模）如图，平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的底面ABCD 是正方形，
1
AB
AA
=
，且
1
1
π
3
A AB
A AD
Ð
= Ð
=
，E，F，G，H 分别是AB ，BC ，
1
1
C D ，
1
1
D A 的中点.
(1)求证：平面
1 / /
EFC
平面GHA ；
(2)求
1
BD 与平面
1
EFC 所成角的余弦值.
9．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，平面
1
1
ACC A ^平面ABC ，四边形
1
1
ACC A
是矩形，
2
AB
AC
=
=
，
1
2 2
BC
AA
=
=
.
(1)证明：
1
AA ^ 平面ABC .
(2)求平面ABC 与平面
1
1
A BC 夹角的余弦值.
(3)在线段
1
BC 上是否存在点D，使得直线AD 与平面
1
1
A BC 所成角的正弦值为2 2
3
？若存在，求出
1
BD
C D 的值；
若不存在，请说明理由.
10．（2026·云南·模拟预测）如图，平面四边形ABCD 是棱长为3 的正方形．PA ^平面
,
/ /
ABCD PA
QC ，且
3
3
PA
CQ
=
=
．
(1)求证：
^
BC
平面PAB ；
(2)求平面PQB 与平面ABCD 夹角的余弦值；
(3)线段PA 上是否存在点M，使得平面MQB Ç平面ABCD
l
= ，且满足/ /
l
平面PAC ?若存在，试确定点M
的位置；若不存在，请说明理由．
押题猜想07 数列-求最值及证明不等式
试题前瞻·能力先查
限时：8min
【原创题】已知函数
1
x
f x
a
=
- （
0
a >
且
1
a ¹ ）的图象经过点
1,2 ，记数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
n
S
f n
=
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
1
3
1
1
n
n
n
n
b
a
a
-
+
=
+
+
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，求证：1
1
21
12
nT
£
<
．
分析有理·押题有据
位置固定，必考题型，全国Ⅱ卷近几年，数列大题第二问，要么考最值，要么考不等式证明，几乎是
固定搭配，分值 5～6 分，是整张卷“中档压轴”常客。区分度极高，必练求最值：会作差/作商就稳，不
会就卡壳；不等式证明：放缩尺度难把握，是拉开分数的关键；能有效筛选基础扎实、逻辑严谨的学生。
求最值、裂项放缩、等比放缩、累加法，都是全国卷“老演员”，几乎不跑偏。与新高考方向高度契合，重
逻辑推理、重结构、轻偏怪技巧，非常适合考查数学核心素养。2026 全国Ⅱ卷数列大题，第二问 90% 概
率考：数列最值 或 数列不等式证明。
近 5 年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，求通项后，求 an 或 Sn 的最值；证明：求和 < C 型不等式；裂
项相消后放缩、等比放缩；与函数单调性结合判断数列增减；考纲明确要求；理解数列是特殊函数，会用
函数方法研究单调性、最值；会用放缩、累加法证明简单不等式。2026 各地一模二模一致指向，模拟卷数
列题几乎都是：第一问：求通项，第二问：最值 / 不等式证明完全贴合全国卷风格。
密押预测·精练通关
1．（2026·山西运城·一模）设正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
2
n
n
n
S
a
a
=
+
．
(1)求
na
的通项公式;
(2)若
1
2
1
n
n
a
b =
- ，记数列
nb
的前n 项和为
nT ，证明：
2
nT <
．
2．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且2
3
4
3
n
n
S
a
n
-
=
- .
(1)证明：
2
na -
是等比数列；
(2)设
2
n
n
b
n a
=
-
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知
na
是公差为d 的等差数列，其前n 项和为
n
S ，且
2
5
12
a
a
+
=
，
5
25
S =
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
1
2
n
n
n
b
a a +
=
，其前n 项和为
nT ，证明：
1
nT < .
4．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列
na
中，记
1
n
n
n
a
a
a
+
=
D
-
，若
na
D
为等差数列，则称
na
为二阶等差数
列．
(1)若
2
4
5
3
na
n
n
=
-
+ ，判断
na
是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列
na
满足
1
0
a =
，
2
1
a = ，
3
3
a =
．
①求数列
na
的通项公式；
②若不等式
1
2n
na
k
-
<
×
对
*
n
" ÎN 恒成立，求实数k 的取值范围．
5．（2026·湖北武汉·模拟预测）在数列
na
中，
1
6
a =
，
3
20
a =
，
4
30
a =
，且
1
n
n
a
a
+ -
是等差数列.
(1)求
2a ；
(2)证明：
1
2
1
1
1
1
2
n
a
a
a
+
+
+
<
L
.
6．（2026·黑龙江·一模）数列
na
是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为
n
S ，满足____．数列
nb
满足
1
2
b =
，且
1
1
n
n
n
n
b
b
a
a
+
+
-
=
．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中.
①
1
2
a =
，
3
14
S =
；
②
1
2
a =
，
1
1
a + ，
2a ，
3
3
a - 成等差数列；
③
3
14
S =
，
6
126
S =
；
(1)分别求出数列
na
与
nb
的通项公式；
(2)若数列
nc
满足
,
,
n
n
n
b n
c
a n
ì
= í
î
为奇数
为偶数，求数列
nc
的前10 项和
10
T ．
（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数
2sin
f x
x
ax
=
-
.
(1)当
1
a = 时，求函数
f x 在
0,π 上的值域；
(2)若对任意
π
0, 2
é
ù
Îê
ú
ë
û
x
，都有
cos
f x
x
x
³
，求实数a 的取值范围；
(3)证明：
*
2
2
2
2
1
1
1
1
8
tan
tan
tan
tan
2
4
2
3
4
(
1)
3π
n
n
n
n
<
+
+
+
+
<
Î
+
+
N
L
.
8．（2026·广西·模拟预测）已知公比
1
q ¹ 的等比数列
na
，其前n 项和为
n
S ，且
1
1
a = ，
1
2
2
n
n
n
S
S
S
+
+
=
+
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)求
1
2
3
2
5
8
3
1
n
a
a
a
n
a
+
+
+ ×××+
-
.
9．（2026·广西南宁·一模）已知数列
na
的前n 项和
2
n
S
n
pn
=
+
（p 为常数），且
1
8
a = ．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
2
n
n
b
a
=
，数列
1
2n
n
n
b b +
+
的前n 项和为
nT ，证明：
1
7
2
4
n
nT
+
<
-
．
10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列
na
中，
1
1
1,
1
1
n
n
a
na
n
a
n n
+
=
=
+
+
+
．
(1)证明：
na
n
ì
ü
í
ý
î
þ 为等差数列，并求
na
的通项公式；
(2)记
1
n
n
n
b
a
= -
，数列
nb
的前n 项和为
n
S ，求
n
S ；
(3)数列
nc
满足：
2
1
1 1
2
2
1
3
3
2
2
n
n
n
n
n
a c
a c
a c
+
-
+
+
+
+
=
×
-
L
，求
n
n
na
c
ì
ü
í
ý
î
þ
的最大项．
押题猜想08 解三角形定值与最值-内部含线
试题前瞻·能力先查
限时：8min
【原创题】已知函数
π
( )
2sin(
)(0
2,0
)
2
f x
x
w
j
w
j
=
+
<
<
<
<
，
π
( )
( )
6
f x
f
£
恒成立，且
(0)
3
f
=
．
(1)求
( )
f x 的解析式；
(2)记
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
( )
0
f B =
，
4
a =
，ABC
V
的面积为2 3 ，求sinC ．
分析有理·押题有据
大题必考，位置极稳，全国Ⅱ卷近几年，解三角形固定在第15 题，13 分，是第一道大题，必须拿满分。
“内部一条线”是近年最热考法，单纯考边、角、面积太简单，现在高频考：角平分线、中线、高线、平
行线，难度适中、区分度好。定值+最值是标准考法，第一问求角/边（定值），第二问求周长、面积、边长
范围（最值），是全国卷最成熟的命题结构。不超纲、不玄学，全是套路，只用：正余弦定理 + 面积公式 +
基本不等式。2026 全国Ⅱ卷解三角形大题，90% 考：三角形内部一条线 + 定值+最值。
近5 年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，给中线、角平分线、高线，求边长或角度；求面积最值、周长最值
；结合基本不等式、三角恒等变换，考纲核心要求熟练运用正余弦定理解三角形，掌握面积公式与最值问
题，是基础大题必考内容。2026 各地一模二模高度一致，几乎所有模拟卷解三角形都在考：三角形内有一
条线；定值+范围双问完全贴合全国卷风格。
今年重点只押三类“内部一条线”，覆盖全部考法： 中线问题（最高频）；角平分线问题（次高频）
；高线 / 垂线问题（常规）外加必考：面积最值；周长最值；边长范围。
密押预测·精练通关
1．（2026·陕西咸阳·二模）在
ABC
V
中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
sin
sin
sin
sin
a
A
c
C
b
B
C
-
=
-
．
(1)求角A ；
(2)若点D 在BC 上，
2
AD
CD
=
=
，
3
b =
，求c ．
2．（2026·陕西·二模）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，
120
BAC
°
Ð
=
，AD 为
BAC
Ð
的角
平分线，且
2
AD =
．
(1)若sin
2sin
B
C
=
，求a 的大小；
(2)设M 为BC 中点，连接AM ，ABC
V
面积取得最小值时，求线段AM 的长度.
3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角
ABC
V
中，D 为边BC 上一点，AD 平分
BAC
Ð
，且
cos
cos
cos
B
C
B
b
b
c
-
=
-
．
(1)证明：DA
DB
=
；
(2)若
2
a =
，求AD 长度的取值范围．
4．（2026·辽宁大连·模拟预测）△ABC 中角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，满足
2
a
b
c
+
=
，
4
tan
3
C =
.
(1)证明：
2
a
b
c
+
+
<
；
(2)求△ABC 的内切圆半径r 的取值范围；
(3)若
1
5
a =
，△ABC 的内切圆上有一点P ，求点P 到, ,
A B C 三点的距离的平方和的最值.
5．（2026·辽宁大连·一模）已知
ABC
V
与
ABD
△
，点C 与点D 在直线AB 的同侧，且边AC 与边BD 相交于
点O ，O 为AC 中点，
2
DO
OB
=
uuur
uuur
，
2
AB =
，
2π
3
ABC
Ð
=
.
(1)若BD 平分
ABC
Ð
，求AD ；
(2)若
3
BC = ，求sin BAD
Ð
.
6．（2026·吉林白山·二模）如图，在平面四边形ABCD 中，
π
3
A =
，E 在边AB 上，
3
BE =
，AE
CE
=
，
,
DE
CE
BEC
^
△
的面积为3 3
2
，记
π
0
2
BEC
q
q
Ð
=
<
<
．
(1)若
π
3
q =
，求线段BC 的长度；
(2)当q 为何值时，线段DE 的长度最小？求出该最小值．
7．（2026·吉林·模拟预测）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对应边分别为, ,
a b c ，且2
2 cos
c
b
a
B
-
=
．
(1)求A ；
(2)若
5
2,
π
12
b
C
=
=
，数列
na
的通项公式为
*
sin(2
),
N
3
n
B
a
a
nA
n
=
+
Î
，设
n
S 为数列
na
的前n 项和，求
2026
S
．
8．（2026·吉林长春·一模）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
1
cos
3
B= -
，且
ABC
V
的
面积为5 2
2
.
(1)求ac 的值；
(2)若sin
2 2
b
C =
，求AC 边上的高BD .
9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在
ABC
V
中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是, ,
a b c ，2
2 cos
3
c
a
B
b
-
=
.
(1)求角A ；
(2)若
1
a = ，
2 3
bc =
，c
b
>
，求AB 边上的高.
10．（2026·黑龙江大庆·二模）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
3
cos
sin
3
b
A
a
B
c
×
+
×
=
.
(1)求B ；
(2)若
6
a
c
+
=
，且
ABC
V
的面积为
3 ，求
ABC
V
的周长.
押题猜想09 导数-比较大小、零点及恒成立求参问题
试题前瞻·能力先查
限时：8min
【原创题】已知函数
2
2
3 e
R
x
f x
ax
a
-
=
-
Î
，且
1
f
为函数
f x 的极值.
(1)求实数a 的值；
(2)当
1
x ³ 时，
1
2
1
e
0
2
x
f x
m
m
-
+
+
³
恒成立，求实数m 的取值范围；
(3)证明：当
2
n ³
时，
2
1
1
( )
2
n
i
f i
=
<
å
．
分析有理·押题有据
压轴地位不可动摇全国Ⅱ卷第18、19 题必是导数大题，选择填空也常出一道导数小题，总分值20 分
左右，是整张试卷区分尖子生与普通生的核心题。三大考法高度固定，大题结构几乎年年一样：第1 问：
单调性、切线、极值（送分）；第2 问：零点个数 / 恒成立求参 / 比较大小（拉分）命题风格成熟、不跑
偏，不考怪招，重点考：分类讨论、分离参数、构造函数、隐零点、放缩，套路极强，二轮突击性价比极
高。重思维轻计算，侧重逻辑分析、函数构造、数形结合，完美契合新课标“理性思维”考查目标。2026
全国Ⅱ卷导数大题100%必考，90%概率考：零点问题 或 恒成立求参 或 比较大小。
近5 年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，恒成立求参数范围（含端点效应、隐零点）；函数零点个数判断、存
在性证明；双变量比较大小、极值点偏移；含参单调性讨论，考纲核心要求：熟练应用导数研究函数单调
性、极值、最值；能够解决函数零点、不等式证明、恒成立问题。2026 各地一模二模各地模拟卷导数题均
围绕：含参单调性；恒成立求参；零点个数；构造函数比大小，完全复刻全国卷命题逻辑。
今年重点只押3 类，覆盖99%考法：恒成立求参数范围（最高频），函数零点个数与存在性（次高频）
双变量/单变量比较大小、不等式证明（压轴考法）解题口诀：导数题，先求导，单调极值先找到。恒成立，
分离参，不行再把分类谈。零点题，看符号，单调区间要分好。比大小，作差构，同构放缩压轴路。
密押预测·精练通关
1．（2026·黑龙江·一模）已知函数
2
(
1)
ln
f x
a x
x
x
=
+
+
+
，
R
aÎ
．
(1)讨论
f x 的单调性；
(2)当
1
0
2
a
-
£
<
时，求证：
1
2
1
2
f x
a
a
£
-
- ．
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
1
( )
2
3
x
f x
ae
x
-
=
+
- ，其中
R
aÎ
.
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)（ⅰ）当
1
a ³ 时，证明：
( )
3ln (
0)
f x
x x
³
>
；
（ⅱ）当
1
a = 时，设0
1
m
n
<
< <
，且
( )
( )
0
f m
f n
+
=
.求证：
(
)
(
)
0
f mn
f m
n
×
+
<
.
3．（2026·广西河池·二模）已知函数
ln
2
2
f x
a
x
x
a a
=
-
+
ÎR ．
(1)讨论
f x 的极值；
(2)当
2
2
a
e
>
时，证明：
2
2
e
2
2
x
a
xf x
x
ax
>
+
-
．
4．（2026·广西南宁·一模）（1）若函数
π
sin
0
3
f x
x
w
w
=
-
>
图象的两个相邻对称中心的横坐标相差6，
求
f x ．
（2）在（1）的条件下，设函数
4
1
ln
1
g x
t x
x
=
+
-
-
，试判断并证明函数
h x
f x
g x
=
+
图象的对
称性．
（3）已知（2）中
g x 的导函数
g
x
¢
有两个零点
,
m n ,且
1
n
m
>
³ ．
（i）求t 的取值范围；
（ii）当
1
a ³ 时，证明：
g m
an
t
+
> ．
5．（2026·广西南宁·一模）已知函数
3
2
( )
6
9
1
h x
x
x
x
=
-
+
- ．
(1)求( )
h x 在
0,4 上的最值．
(2)设函数
( )
3
f x
h x
t x
=
+
-
．
（i）讨论
( )
f x 的单调性；
（ii）若a 为
( )
f x 的一个极值点，且
( )
( )
f a
f b
=
，a
b
¹
，证明2a
b
+
为定值．
6．（2026·广西柳州·二模）已知函数
ln
a
f x
x
x
=
+
.
(1)当
1
a = 时，求曲线
y
f x
=
在点
1,
1
f
处的切线方程；
(2)若
f x 有极小值，记
f x 的极小值为
g a ，证明：
1
ea
g a
-
£
.
7．（2025·广西河池·三模）已知函数
2
ln
e
ln2
x
f x
x
x
x
-
=
-
+
-
.
(1)求曲线
y
f x
=
在点
2
2
f,
处的切线方程.
(2)设
f x 的导函数为
f
x
¢
，证明：
f
x
¢
存在唯一零点.
(3)求
f x 的最大值.
8．（2026·重庆九龙坡·一模）已知函数
2
2
,
1
ex
f x
ax
f
x
-
¢
=
为
f x 的导数.
(1)求曲线
y
f x
=
在点
0,
0
f
处的切线方程；
(2)对
0,
x
" Î
+¥ ，都有
2
1
1
2
f x
ax
x
>
+
+ ，求a 的取值范围；
(3)设
sin
g x
f
x
b
x
¢
=
-
，若
g x 在
0,+¥ 上有零点，求证：
2
2
2
e
2
a
b
+
>
.
9．（2026·贵州安顺·一模）已知函数
ln
1
0
x
f x
x
x
+
=
>
，
1
g x
f x
f
x
=
+
．
(1)令
h x
xf x
=
，求
h x 在点
e 1,
e 1
h
-
-
处的切线方程：
(2)讨论
g x 在
0,1 上的单调性；
(3)证明：（i）当
0
x >
时，
ln
1
1
x
x
x
+
>
+
（ii）
1
2ln 2
g x
<
£
．
10．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知函数
2
e
1
x
f x
ax
x
=
-
-
- .
(1)当
1
2
a =
时，求曲线
y
f x
=
在点
2
2
f,
处的切线方程.
(2)当
1
2
a =
时，证明：当
0
x £
时，
0
f x £
.
(3)若
f x 有两个零点，求a 的取值范围.
押题猜想10 圆锥曲线-定点定值最值问题
试题前瞻·能力先查
限时：10min
【原创题】已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左顶点
( 2,0)
A -
，上顶点
(0,1)
B
．
(1)求椭圆E 的方程和直线AB 的方程；
(2)过椭圆E 上异于A 的点C 作x 轴的垂线交直线AB 于M 点，延长CM 至点N ，使MN
CM
=
，直线AN 交
椭圆E 于点D ．
（i）求证：直线
,
AC AD的斜率之和为定值；
（ii）求ACD
V
面积的最大值．
分析有理·押题有据
大题必考，位置固定全国Ⅱ卷解析几何大题基本都在第17 或18 题，17 分，是除导数外第二大压轴题。
考法高度统一第二问几乎就考三件事：定点问题（直线过定点、点在定直线上）；定值问题（斜率积、长度
积、面积为定值）；最值问题（面积最值、弦长最值、斜率范围）思路清晰就能拿满分，思路混乱算到崩溃，
是二轮必须突破的重点。重几何、轻死算，不考怪题，考对称、韦达定理、设而不求，完全贴合全国卷风
格。2026 全国Ⅱ卷圆锥曲线大题，100%考定点/定值/最值中的一类或组合。
近5 年全国Ⅱ/甲卷高度重复，直线过定点（x 轴、y 轴上定点最常见）；斜率和、斜率积为定值；面积
最值、弦长最值；向量条件转化为韦达，考纲与教材要求，熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系，会用韦达
定理、设而不求解决综合问题。2026 各地一模二模一致指向模拟卷几乎全是：定点 + 定值，定值 + 最值。
今年重点押直线过定点（最高频）； 斜率之积/之和为定值； △AOB 面积最值；弦长最值、参数范围
密押预测·精练通关
1．（2026·山西运城·一模）已知A，B 分别为椭圆C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
=
0
a
b
>
>
的左、右顶点，且
4
AB =
，C
的离心率为
3
2
．
(1)求C 的方程；
(2)若倾斜角为π
4 的直线与C 交于D，E 两点，求DE 的中点的轨迹方程；
(3)若直线l ：
2
2
x
my
t
t
=
+
- < <
与C 交于M ，N 两点，设直线AM ，BN 的斜率分别为
1
2
k
k
，
，且
2
1
7
k
k
=
，求t．
2．（2026·山西朔州·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
上顶点为
0,1
A
，直线:l y
kx
=
与椭圆C 交于两
点
,
P Q .当
1
k = 时，
4 3
3
PQ =
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当
APQ
△
的外接圆面积最大时，求其外接圆的方程.
3．（2026·山西晋中·模拟预测）已知椭圆C 的方程为
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
，其长轴长为6，且点
5
2, 3
M
在
C 上.
(1)求C 的方程；
(2)设C 的左顶点为E ，动直线l 的斜率为k ，且l 与C 交于
,
P Q 两点，O 为坐标原点.
（i）若
1
k = ，且
EPQ
△
的重心在y 轴上，求l 的方程；
（ii）若l 经过C 的右焦点F ，点P 在第一象限，N 是P 关于原点的对称点，且四边形OFQN 与
POQ
△
的面
积之比为5:3，求k 的值.
4．（2026·新疆·一模）已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
（
，
）的右顶点是抛物线
2
4
E
y
x
=
：
的焦点，过双曲
线C 的右焦点作斜率不为0 的直线与抛物线E 交于A
B
，
两点，且
·
4
OAOB = -
uuur uuur
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)点P 在双曲线C 的左支上，过点P 作抛物线E 的两条切线，其斜率分别为
1
2
k
k
，
，求
2
2
1
2
k
k
+
的最大值．
5．（2026·新疆·模拟预测）已知椭圆
1
C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
与椭圆
2
C ：
2
2
1
8
4
x
y
+
= 的离心率相等，且椭
圆
1
C 经过点
2,0
P
.
(1)求
1
C 的方程；
(2)已知直线l 与
1
C 交于A ，B 两点（点A ，B 异于点P ）.
（i）若原点O 到直线l 的距离为2 3
3
，证明：OA
OB
^
；
（ii）若直线l 过点
,0
Q u
，且以线段AB 为直径的圆恒过点P ，求实数u 的值.
6．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）椭圆
2
2
2
2
1 (
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的一个顶点是
0 8
B
，，O 为坐标原点，离心率为
3
5 .
(1)求椭圆方程；
(2) P 是椭圆上x 轴上方一点，F 是右焦点，PF 的斜率为4 3
-
，求四边形OFPB 的面积.
7．（2026·甘肃·一模）如图所示，焦点在x 轴上的椭圆C 的顶点分别为
1
2
1
2
1
2
2
π
,
,
,
,
3
A A B B
B A B
Ð
=
，且椭圆过
点
6
1, 3
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过椭圆C 上任意一点P 作四边形
1
1
2
2
A B A B 的内切圆的两条切线
,
PA PB ，切点分别为
,
A B ，当切线斜率存
在时，记切线
,
PA PB 斜率分别为
1
2
,
k k ，试判断
1
2
k k
×
是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请说明
理由；
(3)若切线
,
PA PB 与椭圆C 的另一个交点分别为
,
E F ，求EF 的最小值.
8．（2026·云南·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2,1 ，长轴长为4．过点
1,0
D
的直线l
与椭圆C 交于
,
A B 两点，已知点
4,0
T
，M 为直线AT 上的一点，且
AD
AM
DB
MT
=
．
(1)求椭圆C 的方程及离心率；
(2)求点M 的横坐标．
9．（2026·贵州安顺·一模）已知点
1
0, 4
F
，M 为平面内一动点，以MF 为直径的圆与x 轴相切，点M 的轨
迹记为Γ ．
(1)求曲线Γ 的方程；
(2)不过原点的直线l 与曲线Γ 交于不同的两点
,
A B ，若以AB 为直径的圆过坐标原点．
（i）证明：直线l 过定点；
（ii）点C 是曲线Γ 上位于直线l 下方的一动点，若对于给定的直线l ，记
ABC
V
的面积最大值为S ，对所有
符合题设条件的动直线l ，求S 的最小值．
10．（2026·贵州毕节·二模）已知中心在原点的椭圆C 的一个焦点为(0,
2) ，且过点1 3
,
2 2
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
3
3
,
N x
y
在C 上，
①若A 是C 与x 轴的一个交点，B 是C 与y 轴的一个交点，求ABN
V
的面积的最大值；
②记线段AB 中点为M，
3
MN
MO
=
uuur
uuur ，记
OBN
△
的面积为
OBN
SV
，判断
OBN
SV
是否为定值，并说明理由.
押题猜想11 概率统计与数列、函数等模块的综合应用
试题前瞻·能力先查
限时：7min
【原创题】在某工厂的产品质量检测中，设随机变量X 表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知
抽取到X 个不合格产品的分布列为：
X
0
1
2
3
P
2
(1
)
a
p
-
1
a
p
-
ap
a
p
每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为
1
2 ，且各个
产品返工是否成功相互独立.事件
iA 表示抽取的产品中有i 个不合格产品（
0,1,2,3
i =
），事件B 表示抽取的产
品中返工成功的数量比返工失败的数量多.
(1)若
1
3
p =
，求a ，并根据全概率公式求
P B ；
(2)是否存在p 值且
0,1
pÎ
，使得
2
E X =
，请说明理由.
分析有理·押题有据
新高考最主流命题趋势，近几年全国Ⅱ卷概率大题明显变难、变综合，不再是单纯套公式，而是概率+
递推数列+函数/导数捆绑考查，位置稳定在第17 题，15 分。区分度拉满，压轴级大题，既能考统计阅读、
概率计算，又能考数列递推、单调性、最值，一道题覆盖三大模块，是选拔高分考生的“王牌题”。 情境真
实、贴近时代常考：疾病检测、芯片合格率、游戏闯关、资金增长、排队模型，完全符合新课标“数学建
模、实际应用”导向。套路极强：读懂情境 → 建立递推关系 → 转化为数列/函数问题 → 求最值/范围
学会框架就能拿高分。2026 全国Ⅱ卷概率大题，极高概率考：概率与数列递推 / 函数单调性 / 最值综合。
近5 年全国Ⅱ/甲卷真题反复出现，递推概率：Pn = aPn-1+b；构造等比数列求通项；期望与数列求和综
合；概率表达式转化为函数，用导数/单调性求最值，考纲与新课标高度契合强调在实际问题中建立概率模
型，运用数列、函数知识解决问题。2026 各地一模二模一致指向几乎所有高质量模拟卷都在出：闯关概率
递推；检验、检测类概率模型；期望 + 数列求和 + 函数最值与全国卷命题方向完全一致。
今年重点只押三类综合题，覆盖99%考法：概率递推 + 数列（最高频）构造 Pn 递推式 → 等比数
列 → 求通项、极限； 概率/期望表达式 + 函数单调性/最值，把表达式写成函数 f(x)，用导数或不等式求
最优方案； 统计数据 + 函数拟合 + 决策，给出数据，求回归方程，再用函数做预测、选最优。
密押预测·精练通关
1．（2026·贵州毕节·二模）某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入x（单位：万元）与销售额y（单
位：万元）的关系，统计了最近10 场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得：
10
10
10
1
1
1
50,
400,
2200
i
i
i
i
i
i
i
x
y
x y
=
=
=
=
=
=
å
å
å
，
10
2
1
300
i
i
x
=
=
å
.
(1)求销售额y 关于直播带货中平台流量推广投入x 的线性回归方程；
(2)该公司计划下一场直播投入总额10 万元，现有两种方案：方案一：全部用于平台流量推广；方案二：部
分用于平台流量推广，部分用于主播佣金激励.其中平台流量推广投入x 万元（0
10
x
£
£
），主播佣金激励投
入（10
x
-
）万元.根据以往经验，主播佣金激励投入t 万元的销售额为（
2
12t
t
-
）万元；平台流量推广的效
果仍符合（1）中的回归方程.比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？并求出最大销售额.
参考公式：线性回归方程
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a
=
+
中，
1
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x
=
=
-
-
=
-
å
å
，
ˆ
ˆa
y
bx
=
-
.
2．（2026·贵州安顺·一模）有N 个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件
是相互独立的，且含有该酶的概率均为
0
1
p
p
<
<
，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现
采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r 个小组，每组
*,2
N
k k
k
Î
£
£
N
人．在每一组中，取每人的
血液混合成一个样本进行检测．
若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测．
若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采
集血样，利用现有采集过的血样）．
(1)若
4
k =
，
1
4
p =
，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2 人”血液中含有该酶的概率；
(2)用N，k，p 表示该方法所需检测次数的期望值；
(3)设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a 元/人份，化验检测成本为b 元/次．若
0.01
p =
，每组
人数
10
k =
，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求b
a 的取值范围．（参考数
据：
10
0.99
0.90
»
）
3．（2026·山西运城·一模）一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培
训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，
考核合格的概率为9
10 ，参加专业培训后，考核合格的概率为2
3 ．
(1)若志愿者A ，B 都参加了培训，求志愿者A ，B 中至少有1 人通过培训考核的概率；
(2)现从12 名通过培训考核的志愿者（包含3 名女志愿者）中随机抽取4 名志愿者参加某体育赛事的志愿服
务，记X 为被抽取到的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望．
4．（2026·辽宁抚顺·一模）某科技兴趣小组研发了一种AI 模型，用于图象识别任务．为了测试该模型的性
能，对其进行了若干次试验，在每次试验中识别相同数目的图象，并记录该模型正确识别图象的数量，得
到如图所示的样本数据频率分布直方图．
(1)求a 的值，并估计该模型在一次试验中正确识别图象数量的均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值
作代表）；
(2)以频率估计概率，在相同的条件下，随机对该模型进行4 次试验，用X 表示这4 次试验中正确识别图象
不少于50 个的次数，求X 的分布列和数学期望
E X ．
5．（2026·辽宁·模拟预测）2014 年，中华人民共和国国务院发布《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，
启动了高考恢复以来最全面、最深刻的招生考试改革.依据《实施意见》精神，结合新时代高校选才需求和
修订后的高中课标，新高考外语科目推进考试内容改革，2017 年起在部分新高考省份试点新的试卷结构，
其中包括完形填空这一题型.针对这一题型，某高中的李老师提出了经验：“对于完形填空中的一道题，如果
你不确定，那么你就不要对第一次选择的答案进行改动，因为根据经验表明，第一次选择的答案正确率为
60%．”请根据此话中的数据回答下列题目．
(1)现已知有一篇完形填空有N 道题，小朱在作答完形填空时，有p 的概率会做，在会做的条件下有q 的概
率因混淆词义做错；有
1
p
-
的概率不会做．已知小朱不会放弃任何一次作答机会，那么他“根据经验”进行
作答．
①若
2
3
p =
，
1
4
q =
，求小朱做对一道完形填空小题的概率
P C ；
②在①的条件下，已知
3
N =
，若已知小朱每道完形填空的作答情况不受前一道题目作答情况的影响（即
相互独立），设小朱答对的题目数为X ，求X 的分布列与期望
E X ；
(2)现已知有一篇完形填空有N 道题，小佳同学在做完形填空时，第
1
1
n
n
N
n
+
£
³
且
道题的正确与否与第
n 道题是否答对有关．若第n 道题没有把握（看作答错），则第
1
n + 道题正确的概率为1
3 ；若第n 道题有把握
答对（看作答对），则第
1
n + 道题正确的概率为3
5 ．在（1）①的条件下，设第
1
n + 道题正确的概率为
1
nP + ，
求
nP ．
6．（2026·黑龙江吉林·一模）截至2025 年底，我国新能源汽车保有量达到4397 万辆，占汽车总产量的
12%．某城市研究小组调查了300 名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如
下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的4
15 ，
偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120 人．
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
120
女性驾驶员
合计
300
(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值
0.01
a =
的独立性检验，分析对燃油汽车和新能
源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响.
(2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8 人做进一步访谈，然后从这8
人中随机抽取3 人填写调查问卷，记抽取的3 人中偏好新能源汽车的人数为X，求X 的分布列及数学期望．
参考公式及数据：
2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
+
+
+
+
，n
a
b
c
d
=
+
+ +
．
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
7．（2026·河南濮阳·一模）某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了
解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300 名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布
直方图.
(1)求频率分布直方图中a 的值，并计算这300 名市民评分的平均数；
(2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4 人进一步了解情况，用X 表示抽到的评分在90
分以上的人数，求X 的分布列及数学期望
(
)
E X .
8．（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已
然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek 开启了我国AI 新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI
工具的360 名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
年龄
10,20
20,30
30,40
40,50
50,60
［
］
人数
30
150
90
60
30
(1)利用统计表中的数据试估计该AI 工具用户的平均年龄；
(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360 名用户中随机抽取了12 人，现从这12 人中随机抽取4 人，记
抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设X
m
n
=
-
，求X 的分布列；
(3)已知该AI 工具对某20 个问题能准确答对其中的t （3
12
t
£ £
，且t ÎN ）个．若从这20 个问题中随机抽
取10 个对该工具提问，恰好答对3 个问题的概率最大，求此时t 的取值．
9．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵
盖运载火箭､载人航天､深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机调
查了200 位社区居民，得到如下数据（单位：人）：
学历
关注
不关注
合计
本科及以上
80
20
100
本科以下
60
40
100
合计
140
60
200
(1)依据小概率值
0.01
a =
的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？
(2)现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下：
第一关：设置3 道必答题，参与者需至少答对2 道才能参与下一关答题，否则淘汰；
第二关：设置3 道题，前2 道题每答对1 道奖励200 元，答错即结束答题，奖励清零，2 道题都答对可选择
放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3 道题答对奖励400 元，答错前2 道奖励
减半，答题结束.已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3 道题每道题答对的概率均为3
4 ，第二关答题的前2
道题每道题答对的概率均为p ，第3 道题答对的概率为
1
,
0,1
p p
-
Î
，各题答对与否相互独立.
（i）求甲能进入第二关答题的概率；
（ii）已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3 道题，使获取的奖金更多.
参考公式及参考数据：
2
2
(
)
,
n ad
bc
n
a
b
c
d
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
=
+
+ +
+
+
+
+
.
a
0.05
0.01
xa
3.841
6.635
10．（2026·陕西·二模）小明和小红参加班级数学老师组织的游戏，游戏共2 轮，每轮的规则如下：每轮开
始时，小明和小红手中各有两张牌，一张是王牌，一张是鬼牌，每人每次独立地随机取出1 张牌相互交换，
交换3 次后该轮结束.2 轮进行完游戏结束．
(1)记每轮游戏在交换1 次后，小明手里王牌的张数为X ，求X 的分布列及数学期望；
(2)定义事件A 为“至少有1 轮结束后，小明手里的两张牌种类相同”．求事件A 的概率
(3)若游戏改为仅进行1 轮，交换次数k 变为变量．若老师规定：若最终小明手里两张牌相同，则小明获胜
并获得奖金100 元；若不同，则小红获胜并获得奖金100 元．为了使游戏公平（即双方期望收益相等），交
换次数k 应满足什么条件？
