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专题11 数列（九大题型8 大易错题）
【考点1 由
与
的关系求通项公式】
1．已知数列{an}的前n项和为Sn
，且2Sn+9=3an+ 4 n．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{n(an−2)}的前n项和T n
．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn
，a1=2,Sn+ Sn+1=3an+1−4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在an
与an+1
之间插入n 个实数，使这n+2 个数依次组成公差为dn 的等差数列，求数列{
1
dn}
的前n 项
和Tn
3．已知正项数列{an}的前n 项和为Sn
，且2Sn=an(an+1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=¿，求数列{bn}的前2n 项和T 2n
．
1
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4．已知数列{an}的前n 项积T n=(
1
2)
n
2+n
2 ．
(1)求an；
(2)设S =3
n+3
n−1a1+3
n−2a2+⋅⋅⋅+3an−1+an
，求证：5 S<2⋅3
n+1．
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn= 3
2 n
2−5
2 n（n∈N
*）．数列{bn}满足bn+1= 4 bn，a4=2b1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an⋅bn}的前n项和T n
．
6．已知数列{an}满足a1=2,nan+1−(n+1)an= n(n+1)
2
n−1
,n∈N +
．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn
．
7．已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2,n∈N
∗.
(1)由递推关系写出数列{an}的前五项；
(2)求数列{an}的通项公式.
【考点2 由数列的递推关系求通项公式】
2
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8．设x∈R，用[ x ]表示不超过x的最大整数.已知数列{an}满足a2=1，2Sn=nan
，若bn=[lg(an+1)]，
数列{bn}的前n项和为T n
，则T 2024=（ ）
A．4956
B．4965
C．7000
D．8022
9．数列{an}满足a1=1，an=3an−1+1，n≥2，则an=（ ）
A．3
n
2 −1
2
B．3
n
2 + 1
2
C．3
n−1
2 −1
2
D．3
n+1
2 + 1
2
10．已知a1=2，an+1= n+1
n
an，则a2024等于（ ）
A．506
B．1012
C．2024
D．4048
11．数列{an}的前n项和Sn=2
2n−1−1
2
，则数列{2
−n⋅log2
an
3 }
中的最大项为 ．
12．数列{an}满足a1= 4 ,an+1= 4 an−1
an+2
，则a985= .
13．在数列{an}中，a1= 4，nan+1=(n+2)an
，则数列的通项公式为an= ．
14．已知数列{an}满足a1=3，且an+1=¿.
(1)设bn=a2n+a2n−1
，求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前30 项的和.
15．已知数列{an}的前n 项之积为bn
，且a1
b1
+ a2
b2
+⋅⋅⋅+ an
bn
= n
2+n
2
(n∈N
∗)．求数列{
an
bn}
和{an}的通
项公式；
3
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【考点3 数列的函数特征】
16．已知函数f (x)=¿，若数列{ an }满足an= f (n)(n∈N
∗)且{ an }是递增数列，则实数a的取值范围
是（ ）
A．( 9
4 ,3)
B．[ 9
4 ,3)
C．(2,3)
D．[2,3)
17．已知数列{an}的通项公式为an=n
2−2 λn (n∈N
∗)，∀k ∈N
∗，当n>k时，an>ak
成立，则实数
λ的取值范围是（ ）
A．[1,+ ∞)
B．(−∞,1]
C．(−∞, 3
2)
D．(
3
2 ,+ ∞)
18．已知{an}是各项均为正整数的递增数列，{an}前n项和为Sn
，若Sn=2024，当n取最大值时，an
的最
大值为（ ）
A．63
B．64
C．71
D．72
19．设等比数列{an}的前n项和为Sn
，则“a3>a2>a1
” 是“数列{Sn}为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
20．已知函数f (x)=¿，若数列{an}满足an= f (n)(n∈N
∗)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是
（ ）
A．(
15
8 ,3)
B．[
17
9 ,3)
C．(
17
9 ,3)
D．[
15
8 ,3)
21．多选题若数列{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为（ ）
4
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A．an=
n
n+1
B．an=2n−1
C．an=n
2−3n
D．an=2
n
22．已知数列{an},{bn}满足an+bn=2n+1，anbn=2
−n，数列{cn}满足cn= 1
an
+ 1
bn
．
(1)判断数列{cn}的单调性；
(2)求数列{cn}的前n 项和Sn
．
23．已知数列{an}满足a1=2，an+1=an
2−an+1(n∈N
∗).
(1)证明：数列{an}是递增数列；
(2)设数列{
1
an}
的前n 项和为Sn
，证明：(1−Sn)(an+1−1)=1.
【考点4 等差数列基本量的运算】
24．记Sn
为等差数列{an}的前n项和，若a3= 4 ,S3=6，则S12=（ ）
A．112
B．122
C．132
D．142
25．设Sn
为等差数列{an}的前n 项和，若S5= 4 a1
，a1>0，若n>1时，Sn=an
，则n等于（ ）
A．11
B．12
C．20
D．22
26．已知等差数列{an}中，a3+a5=a4+7，a10=19，则数列{ancosnπ}的前2023 项和为（ ）
A．1012
B．1011
C．2023
D．−2023
27．等差数列5，8，11，14，…的第11 项为（ ）
A．29
B．32
C．35
D．37
5
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28．已知等差数列{an}的公差为2
3
，且a2= 5
3
，则a1+a4+a7+⋯+a133=（ ）
A．2025
B．2023
C．2021
D．2019
29．已知等差数列{an}的前n项和为Sn
，若a2=−2,S5=−5，则S12=（ ）
A．30
B．32
C．36
D．40
30．已知数列{an}满足an+1
an
+ an+1
an+2
=2，且a1=1，a2= 1
3
，则a2023
=（ ）．
A．
1
2021
B．
1
2022
C．
1
4045
D．
1
4044
31．在等差数列 {an} 中， 若 a3+a9=26， 则 a3+3a7= ・
32．在等差数列{an}中，若a2+a3=15,a3+a4=20,则a4+a5= ．
【考点5 等差数列的判定与证明】
33．多选题已知数列{an}满足2an+1=an+an+2
，其中a1=21,a2=19，设Sn
为数列{an}的前n 项和，则
下列选项正确的有（ ）
A．{an}为等差数列B．an=2n+19
C．Sn
n =20+n
D．当n=11时，Sn有最大值
34．已知数列{an}的首项为a1= 1
2
，且满足an+1+ 4 an+1an−an=0.
(1)证明：数列{
1
an}
为等差数列；
(2)设数列{
1
an}
的前n 项和为Sn
，求数列{(−1)
n Sn}的前n项和.
35．已知各项均不为0 的数列{an}满足a1=1，an−an+1=anan+1
．
6
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(1)求证：数列{
1
an}
为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn
为数列{anan+1}的前n项和．
36．已知函数f (x)= 3 x
x +3
，数列{xn}的通项由xn= f (xn−1)（n≥2且n∈N
*）确定．
(1)求证：{
1
xn}
是等差数列；
(2)当x1= 1
2
时，求x100．
37．已知数列{an}中，a1= 4，an=an−1+(n+1)2
n−1+3(n≥2,n∈N
∗).
(1)证明数列{an−n2
n}是等差数列，并求{an}的通项公式;
(2)设bn= an
2
n
，求bn
的前n 项和Sn.
38．已知数列an
满足a1=3，且(2
n+1)an+1−(2
n+1+1)an=(2
n+1+1)(2
n+1+2) .
(1)证明：数列{
an
2
n+1}
是等差数列；
(2)求 {
an
2n−1}
的前n项和Sn
.
39．已知数列{an}满足：a1=1，a2= 4，an+2=2an+1−an+2.
7
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(1)证明：{an+1−an}是等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)设bn=an+ k
an
，若数列{bn}是递增数列，求实数k的取值范围.
40．已知数列{an}满足a1=2,an+1= 2
n+1an
an+2
n
.
(1)证明：数列{
2
n
an}
是等差数列；
(2)设bn= an+1an+2
an
，求{bn}的前n 项和T n
.
41．在等差数列{an}中，
(1)已知a1= 1
2
，S4=20，求S6；
(2)已知a14=10，求S27．
【考点6 等差数列的性质及应用】
42．已知等差数列{an}的前n项和为Sn
，若a5+a9=14，a2=−3，则S8=（ ）
A．−7
B．7
C．−16
D．16
43．已知等差数列{an}的前n项和为Sn
，若a2+a6=12，则S7=（ ）
A．48
B．42
C．24
D．21
44．设公差d ≠0的等差数列{an}中，a2,a5,a9
成等比数列，则a1+a3+a5
a1+a4+a7
=（ ）
8
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A．10
11
B．11
10
C．3
4
D．4
3
45．已知等差数列{an}的前n项和为Sn
，且a2+a6+a10=18，则S11=（ ）
A．36
B．48
C．52
D．66
46．设等差数列{an}的前n 项和为Sn
，若a3+a5=20，则S7=（ ）
A．70
B．80
C．120
D．140
47．已知等差数列{an}中，a2=3，前5 项和S5=10，则数列{an}的公差为（ ）
A．−2
B．−5
2
C．−1
D．−4
48．等差数列an中，若a2，a2022为方程x
2−10 x +16=0的两根，则a1+a1012+a2023等于（ ）
A．10
B．15
C．20
D．40
49．已知等差数列{an}的前n项和为Sn
，若a7
a8
=−1，则S10=（ ）
A．S4
B．S5
C．S6
D．S7
50．在等差数列{an}中，Sn
是数列{an}的前n项和，a4+a13=6+a5
，则S23=（ ）
A．118
B．128
C．138
D．148
51．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4+a6+a8=21，则a9=（ ）
A．6
B．9
C．12
D．17
52．在等差数列{an}中，S3
=3，S6
=10，S9
=（ ）
A．13
B．17
C．21
D．23
53．在数列{an}中，a5=5,a8=10.若{
1
an}
为等差数列，则a12= .
54．在等差数列{an}中，若a1+a3+a7+a9=16，则a5= .
55．在等差数列{an}中，a3+a7+2a15= 40，求a10
.
9
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56．已知数列{an}是等差数列．
(1)若a1=2，a2= 5
2
，求a11；
(2)若a1=7，a50=101，求S50．
57．在等差数列{an}中．
(1)a1= 5
6
，an=−3
2
，Sn=−5，求n 和d；
(2)a1= 4，S8=172，求a8和d．
58．在等差数列{an}中，
(1)已知a5−a3=12，a12=20，求a1和d；
(2)已知a1=9，公差d =−2，an=−15，求n；
(3)已知a3=9，a9=3，求{an}的通项公式．
59．在等差数列{an}中，a1+a5=8，a4=7．
(1)求数列的第10 项；
(2)112 是数列{an}的第几项？
(3)80 到110 之间有多少项？
【考点7 等比数列基本量的运算】
10
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60．已知等比数列{an}的前n项和为Sn
，且an+1=2Sn+1(n∈N
*)，则a5=（ ）
A．16
B．32
C．81
D．243
61．已知等比数列 {an}为递增数列，bn= n
an
. 记 Sn,T n分别为数列 {an},{bn}的前n项和，若
a2=a1a3，S3+T 3=12，则 Sn=（ ）
A．4❑
n−1−1
B．1
4 (4
n−1−1)
C．1
12 (4❑
n−1)
D．4❑
n−2
62．公比为q的等比数列{an}满足an>0，a4=2a3+3a2
，则q =（ ）
A．−1
B．1
C．3
D．9
63．已知等差数列{an}的公差不为0，且a1,a3,a9
成等比数列，则a1,a3,a9
的公比是（ ）.
A．1
B．2.
C．3
D．5
64．已知{an}是等比数列，且a1a2a3=3，a3a4a5=6，则a9a10a11=（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48
65．等比数列{an}的前n项和为Sn
，满足4 Sn=2an+1−1，则S4
的值是（ ）
A．20
B．30
C．20
27
D．40
66．设等比数列{an}的前n 项和为Sn，a2+a5= 9
2
，a3+a6= 9
4
，则S5=（ ）
A．63
4
B．63
C．31
2
D．31
67．已知等比数列{an}为递增数列，若a3⋅a6=6，a4+a5=5，则公比q =（ ）
A．1
6
B．6
C．2
3
D．3
2
68．已知正项等比数列{an}单调递增，a2⋅a3=8,a1+a4=9，则a5=（ ）
A．12
B．16
C．24
D．32
69．已知在等比数列{an}中，a4a8=12a6
，等差数列{bn}的前n项和为Sn
，且2b4=a6
，则S7=（ ）
11
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A．60
B．54
C．42
D．36
【考点8 等比数列的判定与证明】
70．在数列{an}中，a1=2，2
an+1
+
1
2+an
= 1
an
，n∈N +.
(1)求证：数列{lg(1+an)}为等比数列；
(2)设数列{bn}满足bn= 1
an
+
1
2+an
，求数列{bn}的前n项和Sn的最小值.
71．已知数列{an}的前n 项和为Sn
，S3=620，Sn+1=5 Sn+20．
(1)求证：{Sn+5}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)若bn= log5
an
4
，数列{bn}的前n 项和为T n，求1
T 1
+ 1
T 2
+ 1
T 3
+⋅⋅⋅+ 1
T n
．
72．已知数列{an}满足a1= 1
2 ,an+1=
an
2−an
．
(1)若bn= 1
an
−1，证明数列{bn}为等比数列，并求通项公式bn；
(2)数列{cn}的前n项和为Sn,cn= (−1)
n+1
2
bn+2(n∈N ∗)，求S2n．
73．已知数列{an}满足a1=7 ,an+1=¿.
(1)证明：数列{a2n−1−6}为等比数列；
12
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(2)
若bn=a2n，求数列{n⋅(bn−3)}的前n项和Sn．
74．已知数列{an}的前n 项和为Sn
，a1=3，Sn=1+an+1
．
(1)证明：数列{Sn−1}是等比数列，并求Sn
；
(2)求数列{
1
an}
的前n 项和T n
．
75．已知数列{an}的前n项和为Sn
，且4 Sn=5an−2．
(1)证明：{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)设bn=(−1)
n⋅log5
a2n+2
2
，求数列{bn}的前100 项和T 100．
76．已知数列{an}满足a1=1，a2=5，an+2=5an+1−6an
．
(1)证明：{an+1−2an}是等比数列；
(2)求an．
【考点9 等比数列的性质及应用】
13
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77．已知等差数列{an}，等比数列{bn}，满足a7+a9= 4，b2b6b10=27，则a3+a8+a13
b4b8+3
=（ ）．
A．1
4
B．1
2
C．2
D．4
78．已知函数f ( x)=
2
1+ x
2 ( x∈R)，若等比数列{an}满足a1a2020=1，则
f (a1)+ f (a2)+ f (a3)+⋯+ f (a2020)=（ ）
A．2020
B．2020
2
C．2
D．1
2
79．若{an}为等比数列，a5+a8=−3，a4a9=−18，则q
3= .
80．已知{an}为等比数列，Sn
为数列{an}的前n项和，an+1=2Sn+2，则a5
的值为 .
81．记Sn
为等比数列{an}的前n项和．若a5−a3=12，a6−a4=24，则Sn= ．
82．等比数列{an}的前n项和记为Sn
，若S2=−1，S8=17 S4
，则S6= .
83．已知等比数列{an}满足a5a6a7=−27，则a2a6+a2a10+a6a10
的最小值是 ．
84．在正项等比数列{an}中，a2，a10是3 x
2−6 x +1=0的两个根，则1
a2
+ 1
a6
+ 1
a10
= .
一．等差数列的性质（共6 小题）
1．已知数列{an}，则“
”是“数列{an}是等差数列”的（ ）
A．充分不必烈条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知实数a，b，c 构成公差为d 的等差数列，若abc＝2，b＜0，则d 的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣
]∪[
，+∞）
B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
14
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C．（﹣∞，﹣
]∪[
，+∞）
D．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）
3．已知等差数列{αn}的公差为d，首项
，那么“d＝π”是“集合S＝{x|x＝sinαn，n∈N*}
恰有两个元素”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．记数列{an}的前n 项和为Sn，已知a1＝2，{nSn}为等差数列，若S4+a3+a4＝1，则
＝（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．
5．已知数列{an}与
均为等差数列（n∈N*），且a2＝1，则a2024＝
1012
．
6．已知数列{an}的各项均不为0，其前n 项和为Sn，q 为不等于0 的常数，且Sn＝qSn﹣1+a1（n≥2）．
（1）证明：{an}是等比数列；
（2）若S5，S11，S8成等差数列，则对于任意的正整数t，at+5，at+11，at+8是否成等差数列？若成等差数
列，请予以证明；若不成等差数列，请说明理由．
二．等差数列的前n 项和（共2 小题）
7．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，若S15＞0，S16＜0，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）8．已知数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，若它的前2m（m＞1）项的和S2m＝0，则下列
结论正确的是（ ）
A．若d＜0，使an＞0 的最大n 的值为m
B．Sm是Sn的最小值
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C．
D．
三．等比数列的性质（共2 小题）
9．已知数列{an}满足an+1＝3an+2，则“a1＝﹣1”是“{an}是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．甲、乙、丙三名高中生进行传球训练．第一次由甲将球传出，传给乙的概率是
，传给丙的概率是
；
乙传给甲和丙的概率都是
；丙传给甲和乙的概率地都是
．如此不停地传下去且假定每次传球都能被
接到，记开始传球的人为第一次触球者，第n 次触球者是甲的概率记为Pn，P1＝1．
（1）求P2，P3，P4；
（2）证明：
为等比数列．
四．等比数列的前n 项和（共1 小题）
11．记Sn为等比数列{an}的前n 项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（ ）
A．120
B．85
C．﹣85
D．﹣120
五．数列的求和（共2 小题）
12．等比数列{an}的首项为1，公比q≠1，前n 项之和为Sn，则数列{
}的前n 项之和为：（ ）
A．
B．
C．
D．
13．数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝﹣1，an+1＝2Sn（n∈N*）．
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（1）求数列{an}的通项an
（2）求数列{an}的前n 项和Tn．
六．数列递推式（共2 小题）
14．设a1＝2，an+1＝
，bn＝|
|，n∈N*，则数列{bn}的通项公式bn＝
．
15．在数列{an}中，a1＝2，an+1＝an+ln（1+
），则an＝
．
七．数列与不等式的综合（共1 小题）
16．已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝
（n∈N*）．若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6+b2．
（Ⅰ）求an和bn；
（Ⅱ）设cn＝
（n∈N*）．记数列{cn}的前n 项和为Sn．
（i）求Sn；
（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn．
八．等差数列与等比数列的综合（共1 小题）
17．已知首项为
的等比数列{an}的前n 项和为Sn，且﹣S2，S4，3S3成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列
的最大项．
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