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知识点41：轻弹簧连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决连接体问题的技巧：
（1）做好四个分析：受力分析、运动分析、做功分析和能量的转化分析．
（2）规律的选择：
①物体受到恒力作用发生运动状态的改变求某一时刻的力、加速度或求时间时，一般选择
动力学方法（牛顿运动定律）解题；
②当涉及功、能和位移时，若研究某一个物体时，一般用动能定理去解决问题。若研究的
对象为连接体时，一般选用功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优
先选择能量守恒定律；
（3）使用能量守恒定律解题选用表达式的技巧：
①解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过
程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加。
②无外力做功的表达式：ΔE 减＝ΔE 增，减少的那些能量的减少量等于增加的那些能量的增
加量。E 初＝E 末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
③有外力做功的表达式：WF＝ΔE，ΔE 为能量的增加量。
点
：轻
考
一
弹簧释放物体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
（1）从动力学角度分析：
用胡克定律F＝kx 结合牛顿第二定律F 合＝ma 分析加速度和运动过程，注意弹力是变力，
且注意三个位置：自然长度位置、平衡位置（a＝0，v 最大）、形变量最大（伸长最长或
压缩最短）的位置。
（2）从功能关系的角度分析：
轻弹簧问题一般根据能量守恒定律或动能定理列方程分析，弹力做功与弹性势能的关系：
W 弹＝－ΔEp，轻弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相
同的速度，弹性势能最大。对同一根轻弹簧而言，无论是处于伸长状态还是压缩状态，只
要在弹性限度内形变量相同，其储存的弹性势能就相同，轻弹簧先后经历两次相同的形变的
过程中，弹性势能的变化相同。
题型
：轻弹簧释放物体
一
+
模型
直线运动
【典例1 拔尖题】(多选)如图甲所示，长为L 的木板水平放置，可绕左端的转轴O 转动，
左端固定一原长为的弹簧，一质量为m 的小滑块压缩弹簧到图甲中的a 点(物体与弹簧不连
接)，Oa 间距离为。将小滑块由静止释放后，木板不动，小滑块恰能到达木板最右端。将
木板绕O 点逆时针转动37°后固定，如图乙所示，仍将物体在a 点由静止释放，物体最多
运动到离O 点的b 点。已知弹簧的弹性势能Ep＝kΔx2，其中k 为劲度系数，Δx 为弹簧的形
变量。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是( )
1
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A.物体与木板间的动摩擦因数为
B.物体在a 点时，弹簧的弹性势能为mgL
C.木板水平放置时，物体运动过程中的最大动能为mgL
D.木板水平放置时，物体运动过程中的最大动能为mgL
题型
：轻弹簧释放物体
二
+直线运动+
模型
曲线
【典例2 拔尖题】某兴趣小组设计了一个“螺丝”形的竖直轨道模型，如图所示，将一质
量为m＝0.2 kg 的小球(视为质点)放在O 点，用弹簧装置将其由静止弹出，使其沿着半圆形
竖直光滑轨道OMA 和ANB 运动，BC、C′G 是材料相同的水平面，其中BC 段L＝
1 m，C′G 足够长，C′DEFC′是与C、C′点相切的竖直圆形光滑管道(管径很小，C、
C′相互靠近且错开)，已知弧OMA 的半径r＝0.05 m，圆弧ANB 的半径R1＝0.1 m 和
CDEFC′的半径R2＝0.2 m，小球与BC、C′G 间的动摩擦因数均为μ＝0.2，其余轨道均
光滑，弹簧的最大弹性势能Epmax＝1.4 J，小球运动时始终没有脱离轨道(g 取10 m/s2)．求：
(1)要使小球最终停在BC 段，求弹簧弹性势能的范围；
(2)以C 点为坐标原点，CG 为x 轴，从C 到G 方向为正方向，求出弹簧弹性势能Ep与小球
停止位置坐标x 的关系．
【典例2 拔尖题对应练习】小伙同学设计的某款游戏装置由轨道ABCD，圆弧轨道和自行
设计轨道三部分构成。如图所示，该装置竖直放置；装置中轨道ABCD 的动摩擦因数均为
=0.5，其余轨道摩擦不计。AB、CD 为水平面，BC 为斜面，AB 与BC、BC 与CD 间均
由长度不计的圆弧连接，C 点上方有一圆弧形弹性小挡板K，挡板末端水平。E 点在D 点
的正上方，DE 间距不计。B 点到E 点的竖直高度h=0.08m，ABCD 的水平长度为
L=0.12m；在水平轨道AB 的左侧放有一弹射装置，已知弹簧的弹性势能大小与弹簧的压缩
2
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量的平方成正比。将一可视为质点，质量m=1kg 的物体紧贴弹簧由静止释放弹出，当弹簧
的压缩量为d 时，物体由E 点进入半径R=0.2m 的半圆弧轨道EFG 运动，物体在此轨道最
高点恰好不受任何挤压。忽略小物体在各轨道交接处因碰撞带来的机械能的损失。
（1）当弹簧的压缩量为d 时，求小物体在半圆弧轨道中运动时的最小速度及此情况下弹射
装置弹簧的初始弹性势能；
（2）当弹簧的压缩量为1.5d 时，求物体在运动至F 点处对圆形轨道的压力；
（3）调整弹簧的压缩量和半圆弧轨道的半径后，小伙同学在距G 点正下方H=3m 处自行
设置了一顶点在G 点正下方，倾角为
的足够长的固定斜面，要使物体最终打到斜面
上的落点与G 点的距离最短，求通过G 点的速度v1为多大？
点
：
考
二
物体压缩轻弹簧模型的力与能量问题
题型
：物体压轻弹簧
一
+
模型
直线运动
【典例1 拔尖题】如图所示，固定在水平面上的光滑斜面AB 与水平方向的夹角θ＝45°，
A、B 两点的高度差h＝4 m，在B 点左侧的水平面上有一左端固定的轻质弹簧，自然伸长
时弹簧右端到B 点的距离s＝3 m．质量为m＝1 kg 的物块从斜面顶点A 由静止释放，物块
进入水平面后向左运动压缩弹簧的最大压缩量x＝0.2 m．已知物块与水平面间的动摩擦因
数μ＝0.5，取g＝10 m/s2，不计物块在B 点的机械能损失．求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)物块最终停止位置到B 点的距离；
(3)物块在斜面上滑行的总时间(结果可用根式表示)．
3
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【典例1 拔尖题对应练习】如图(a)，一倾角37°的固定斜面的AB 段粗糙，BC 段光滑。斜
面上一轻质弹簧的一端固定在底端C 处，弹簧的原长与BC 长度相同。一小滑块在沿斜面
向下的拉力T 作用下，由A 处从静止开始下滑，当滑块第一次到达B 点时撤去T。T 随滑
块沿斜面下滑的位移x 的变化关系如图(b)所示。已知AB 段长度为2 m，滑块质量为2 kg，
滑块与斜面AB 段的动摩擦因数为0.5，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10
m/s2，sin 37°＝0.6。求：
(1)当拉力为10 N 时，滑块的加速度大小；
(2)滑块第一次到达B 点时的动能；
(3)滑块第一次在B 点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离。
题型
：物体压轻弹簧
二
+直线运动+
模型
曲线运动
【典例2 拔尖题】如图，在水平轨道右侧固定半径为R 的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道
的PQ 段铺设可调节长度的特殊材料，调节其初始长度为l，水平轨道左侧有一轻质弹簧左
端固定，弹簧处于自然伸长状态．可视为质点的小物块从轨道右侧A 点以初速度v0冲上轨
道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧，并被弹簧以原速率弹回．已知R＝0.4 m，l＝2.5
m，v0＝6 m/s，物块质量m＝1 kg，与PQ 段间的动摩擦因数μ＝0.4，轨道其他部分摩擦
不计．取g＝10 m/s2.求：
(1)物块第一次经过圆轨道最高点B 时对轨道的压力大小；
(2)物块从Q 运动到P 的时间及弹簧获得的最大弹性势能；
【典例2 拔尖题对应练习】（多选）如图所示，半圆形光滑轨道竖直固定且与水平地面相
切于A 点，B 为半圆轨道的最高点，半径R=1.6m，其右侧一定水平距离处固定一个斜面体。
E 端固定一轻弹簧，原长为DE，斜面CD 段粗糙而DE 段光滑。现给一质量为2kg 的小物
块（可看作质点）一个水平初速度v0，使其从A 处进入圆轨道，小物块恰能通过圆轨道最
4
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高点B，离开B 点后恰好沿斜面切线方向落到斜面顶端C 处，物块沿斜面下滑压缩弹簧后
又沿斜面向上返回，第一次恰能返回到最高点C。已知物块与斜面CD 段的动摩擦因数μ=
，斜面最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，斜面倾角θ=37°，重力加速度g=10m/s2，
，不计物块碰撞弹簧时的机械能损失。下列说法正确的是（ ）
A．物块运动的初速度v0=
m/s
B．物块从B 运动到C 的时间t=0.4s
C．粗糙斜面CD 段的长度
m
D．经过足够长的时间后，小物块将在DE 段做往复运动且小物块的机械能守恒
点
：
考
三
轻弹簧连接体模型的力与能量问题
题型
：轻弹簧连接体
模型
一
在水平面运动
【典例1 拔尖题】（多选）如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块
相连．弹簧处于自然长度时物块位于O 点(图中未标出)．物块的质量为m，AB＝a，物块
与桌面间的动摩擦因数为μ.现用水平向右的力将物块从O 点拉至A 点，拉力做的功为W.撤
去拉力后物块由静止向左运动，经O 点到达B 点时速度为零．重力加速度为g.则上述过程
中( )
A．物块在A 点时，弹簧的弹性势能等于W－μmga
B．物块在B 点时，弹簧的弹性势能小于W－μmga
C．经O 点时，物块的动能小于W－μmga
D．物块动能最大时弹簧的弹性势能小于物块在B 点时弹簧的弹性势能
题型
：轻弹簧连接体
模型
二
在杆上运动
【典例2 拔尖题】如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m、套在粗糙竖直固定
5
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杆A 处的圆环相连，弹簧水平且处于原长．圆环从A 处由静止释放后，经过B 处时速度最
大，到达C 处(AC＝h)时速度减为零．若在此时给圆环一个竖直向上的速度v，它恰好能回
到A 点．弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则圆环( )
A．下滑过程中，加速度一直增大
B．下滑过程中，摩擦力做的功为mv2
C．在C 处弹簧的弹性势能为mgh－mv2
D．上、下两次经过B 点的速度大小相等
【典例2 拔尖题对应练习】(多选)如图所示，一顶角为直角的“
”形光滑细杆竖直
放置。质量均为m 的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k 的轻质弹簧相连，
弹簧处于原长l0。两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长在弹性限度内。对其
中一个金属环，下列说法正确的是(弹簧的长度为l 时弹性势能为k(l－l0)2)( )
A.金属环的最大加速度为g
B.金属环的最大速度为g
C.金属环与细杆之间的最大压力为mg
D.金属环达到最大速度时重力的功率为mg2
点
：
考
四
轻弹簧连接体+组合模型的力与能量问题
题型
：轻弹簧连接体
一
+
接接
体组合模型
直
触
【典例1 拔尖题】如图所示，三个质量均为m 的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A
紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k 的轻弹簧将A、B 连接，C 紧靠B，开始时弹簧处于原长，
A、B、C 均静止。现给C 施加一水平向左、大小为F 的恒力，使B、C 一起向左运动，当
速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A 离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、
B、C 与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性
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限度内。（弹簧的弹性势能可表示为：EP= 1
2 k x
2，k 为弹簧的劲度系数，x 为弹簧的形变
量）
（1）求B、C 向左移动的最大距离x0和B、C 分离时B 的动能Ek；
（2）为保证A 能离开墙壁，求恒力的最小值Fmin；
（3）若三物块都停止时B、C 间的距离为xBC，从B、C 分离到B 停止运动的整个过程，B
克服弹簧弹力做的功为W，通过推导比较W 与fxBC的大小；
（4）若F＝5f，请在所给坐标系中，画出C 向右运动过程中加速度a 随位移x 变化的图像，
并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x 值（用f、k、m 表示），不要求推导过程。
以撤去F 时C 的位置为坐标原点，水平向右为正方向。
【典例1 拔尖题对应练习】如图所示，轻弹簧一端固定在与斜面垂直的挡板上，另一端点
在O 位置。质量为m 的物块A（可视为质点）以初速度v0从斜面的顶端P 点沿斜面向下运
动，与弹簧接触后压缩弹簧，将弹簧右端压到O′点位置后，A 又被弹簧弹回。物块A 离开
弹簧后，恰好回到P 点。已知OP 的距离为x0，物块A 与斜面间的动摩擦因数为μ，斜面倾
角为θ。求：
（1）O 点和O′点间的距离x1；
（2）弹簧在最低点O′处的弹性势能；
（3）设B 的质量为βm，μ = tanθ，v0 = 3
。在P 点处放置一个弹性挡板，将A
与另一个与A 材料相同的物块B（可视为质点与弹簧右端不拴接）并排一起，使两根弹簧
仍压缩到O′点位置，然后从静止释放，若A 离开B 后给A 外加恒力
，沿斜面
向上，若A 不会与B 发生碰撞，求β 需满足的条件？
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题型
：轻弹簧连接体
二
+轻
连接体组合模型
绳
【典例2 拔尖题】一劲度系数为k＝100 N/m 的轻弹簧下端固定于倾角为θ＝53°的光滑斜面
底端，上端连接物块Q.一轻绳跨过定滑轮O，一端与物块Q 连接，另一端与套在光滑竖直
杆的物块P 连接，定滑轮到竖直杆的距离为d＝0.3 m．初始时在外力作用下，物块P 在A
点静止不动，轻绳与斜面平行，绳子张力大小为50 N．已知物块P 的质量为m1＝0.8 kg，
物块Q 的质量为m2＝5 kg，不计滑轮大小及摩擦，取g＝10 m/s2.现将物块P 由静止释放，
求：
(1)物块P 位于A 点时，弹簧的伸长量x1；
(2)物块P 上升h＝0.4 m 至与滑轮O 等高的B 点时的速度大小；
(3)物块P 上升至B 点过程中，轻绳拉力对其所做的功．
【典例2 拔尖题对应练习】如图所示，倾角为30°的光滑斜面上，轻质弹簧两端连接着两个
质量均为m＝1 kg 的物体B 和C，C 紧靠着挡板P，B 通过轻质细绳跨过光滑定滑轮与质量
M＝8 kg 的物体A 连接，细绳平行于斜面，A 在外力作用下静止在圆心角为60°、半径R＝2
m 的光滑圆弧轨道的顶端a 处，此时绳子恰好拉直且无张力；圆弧轨道最低端b 与粗糙水
平轨道bc 相切，bc 与一个半径r＝0.2 m 的光滑圆轨道平滑连接。由静止释放A，当A 滑至
b 时，C 恰好离开挡板P，此时绳子断裂。已知A 与bc 间的动摩擦因数μ＝0.1，重力加速
度g 取10 m/s2，弹簧的形变始终在弹性限度内，所有装置在同一竖直平面内，细绳不可伸
长。
(1)求弹簧的劲度系数；
(2)求物体A 滑至b 处，绳子断开瞬间，A 对圆弧轨道的压力大小；
(3)为了让物体A 能进入圆轨道且不脱轨，则bc 间的距离应满足什么条件？
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题型
：轻弹簧连接体
三
+轻
连接体组合模型
杆
【典例3 拔尖题】如图所示，三个小球A、B、C 的质量均为m，A 与B、C 间通过铰链用
轻杆连接，杆长为L.B、C 置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，初始时弹簧处于原长．
现A 由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α 由60°变为120°.A、B、C 在同一竖直
平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g.则此下降过程中( )
A. A 的动能达到最大前，B 受到地面的支持力小于mg
B. A 的动能最大时，B 受到地面的支持力等于mg
C. 弹簧的弹性势能最大时，A 的加速度方向竖直向下
D. 弹簧的弹性势能最大值为mgL
【典例3 拔尖题对应练习】一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB 和CB 与两小球
以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球和环的质量均为m，O 端固定在竖直的轻质转
轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O 与小环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为
，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升．弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩
擦和空气阻力，重力加速度为g，求
（1）弹簧的劲度系数k；
（2）AB 杆中弹力为零时，装置转动的角速度
；
（3）弹簧长度从
缓慢缩短为
的过程中，外界对转动装置所做的功W．
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