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专题14 二项式定理、复数
易错点一：忽略了二项式中的负号而致错（（a-b）
n化解问题）
Ⅰ：二项式定理
一般地，对于任意正整数n ，都有：
，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做
n
b
a
)
(
的二项展开式．
式中的
做二项展开式的通项，用
表示，即通项为展开式的第
项：
，
其中的系数
（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
Ⅱ：二项式
的展开式的特点：
①项数：共有
项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第
项的二项式系数为
，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数
．字母
降幂排列，次数由
到
；字母
升幂排列，次
数从
到
，每一项中，
，
次数和均为
；
④项的系数：二项式系数依次是
，项的系数是
与
的系数（包括二项式系数）．
Ⅲ：两个常用的二项展开式：
1
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①
0
1
1
(
)
( 1)
( 1)
n
n
n
r
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C b
（
*
N
n
）
②
1
2
2
(1
)
1
n
r
r
n
n
n
n
x
C x
C x
C x
x
Ⅳ：二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第
项，该项的二项式系数是
r
n
C
；
②字母
的次数和组合数的上标相同；
③
与
的次数之和为
．
注意：①二项式
的二项展开式的第r+1 项
r
n r
r
n
C a
b
和
的二项展开式的第r+1 项
r
n r
r
n
C b
a
是有
区别的，应用二项式定理时，其中的
和
是不能随便交换位置的．
②通项是针对在
这个标准形式下而言的，如
的二项展开式的通项是
1
( 1)r
r
n r
r
r
n
T
C a
b
（只
需把
看成
代入二项式定理）．
易错提醒：在二项式定理
的问题要注意
的系数为
，在展开求解时不要忽略.
例、已知
的展开式中含
的项的系数为30，则
（ ）
A．
B．
C．6 D．
错解：
，令
，可得
，∴
．
错因分析：二项式
中的项为
，
，错解中误认为是
，
，忽略了负号而出现了错
解．
正解：D
，令
，可得
，∴
．
2
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变式1：在
的展开式中，
的系数是 ．
【详解】二项式
展开式的通项为
（其中
且
），
令
，解得
，所以
，
所以展开式中
的系数是
.故答案为：
变式2：
展开式的常数项为 .
【详解】展开式的通项公式为
，
令
，解得
，
所以常数项为
，故答案为：15.
变式3：
的展开式中
的系数为 .
【详解】设展开式中的第
项含有
项，即
，
令
，解得
，
即
，所以展开式中
的系数为
.
故答案为：
1．
的二项式展开式中
的系数为（ ）
A．560
B．35
C．-35
D．-560
【答案】D
3
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【分析】
中利用二项式定理可求得
的系数，从而求解.
【详解】由题意知
的展开式为
，
令
，得
，所以
的系数为
，故D 项正确.
故选：D.
2．若
的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则
的展开式中的常数项为
（ ）
A．6
B．8
C．28
D．56
【答案】C
【分析】根据
的展开式中所有项的二项式系数之和求出n 的值，从而写出
的展开式的
通项公式，再令x 的指数为0，即可求解常数项．
【详解】由
的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得
，所以
，
则二项式
的展开式的通项公式为
（
且
），
令
，解得
，
所以
，故
的展开式中的常数项为28，
故选：C．
3．
的展开式中
的系数为（ ）
A．55
B．
C．65
D．
【答案】D
4
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【分析】根据
展开式的通项公式进行计算即可.
【详解】含
的项为
，
所以展开式中
的系数为
．
故选：
4．若
的展开式中含有常数项（非零），则正整数
的可能值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】根据二项展开式的通项公式建立方程，求解即可.
【详解】由二项式定理知，
，
因为其含有常数项，即存在
，使得
此时
，所以
时，
，
故选：C.
5．
的展开式中
的系数为
，则实数
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】利用二项式的展开式公式展开，再与前面的项相乘求解即可.
【详解】
的展开式的通项公式为
，
所以
．
令
，解得
，
5
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．令
，解得
．
由题意，可知
，
所以
．
故选：D．
6．在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．
B．21
C．189
D．
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项公式可得解.
【详解】由二项展开式的通项公式得
，令
得
，
所以
的系数为
.
故选：B.
7．
的展开式中含
的项的系数为 .
【答案】960
【分析】利用二项展开式的通项公式分析运算求解.
【详解】
的展开式的通项为
，故令
，
可得
的展开式中含
的项的系数为：
.
故答案为：960.
8．已知
的展开式中的常数项是672，则
.
【答案】2
【分析】写出二项式通项
，整理后让x 的次数为0，得出r 的值，再根据常数项的值列出等式方程即可
得出a 的值．
6
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【详解】展开式的通项为
，
令
，得
，
所以常数项是
，故
．
故答案为：2．
9．在
的展开式中，
的系数为 ．
【答案】24
【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出指定项的系数即得.
【详解】二项式
展开式的通项为
，
由
，得
，则
，所以x 的系数为24.
故答案为：24.
10．
的展开式中，按
的升幂排列的第3 项的系数为 ．
【答案】3
【分析】根据已知得出按
的升幂排列的第3 项即含
的项.结合二项式定理，分类讨论求解，即可得出答
案.
【详解】由已知可得，展开式中含有常数项、一次项、两次项，
所以，按
的升幂排列的第3 项即含
的项.
展开式中的常数项为
，
展开式中含
的项为
；
展开式中含
的项为
，
展开式中含
的项为
；
展开式中含
的项为
，
展开式中的常数项为
.
所以，
的展开式中，含
的项为
.
7
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故答案为：3.
11．在
的展开式中的
的系数是 .
【答案】
【分析】根据二项展开式的通项公式，可令
求得
的系数.
【详解】
展开式的通项公式为：
，
令
，解得：
，所以
的系数为
.
故答案为：
.
12．二项式
的展开式中常数项为 ．
【答案】
【分析】根据给定的条件，利用二项式定理求解作答.
【详解】
的展开式的通项为
．
令
，得
，故常数项为
．
故答案为：
.
13．
的展开式的第三项的系数为135，则
．
【答案】6
【分析】先写出展开式的通项公式
；再令
，列出等式求解即可.
【详解】
的展开式的通项公式为
，
则第三项的系数为
，即
，解得
（舍去）或
．
8
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故答案为：6.
易错点二：三项式转化不合理导致计算麻烦失误（三项展开式的问题）
求三项展开式式中某些特定项的系数的方法
第一步：通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解
第二步：两次利用二项式定理的通项公式求解
第三步：由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作
几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量
易错提醒：对于三项式的展开问题，一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解，但在转化为二项式的
时候，又有不同的处理策略：一是如果三项式能够化为完全平方的形式，或者能够进行因式分解，则可通
过对分解出来的两个二项展开式分别进行分析，进而解决问题（如本例中的解法二）；二是不能化为完全
平方的形式，也不能进行因式分解时，可直接将三项式加括号变为二项式，套用通项公式展开后对其中的
二项式再利用通项展开并进行分析求解，但要结合要求解的问题进行合理的变形，以利于求解.
例、
的展开式中，x 的一次项的系数为（ ）
A．120 B．240 C．320 D．480
易错分析：本题易出现的错误是盲目套用解决三项式展开的一般方法（转化为二项式处理：
），而不针对要求解的问题进行合理的变通，导致运算繁杂并出现错误．
正解：解法一 由于
，
展开式的通项为
，0≤r≤5，
当且仅当r＝1 时，展开式才有x 的一次项，此时
．
所以展开式中x 的一次项为
，
9
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它的系数为
．故选B．
解法二 由于
，
所以展开式中x 的一次项为
．故x 的一次项的系数为240．故选B．
变式1：在
的展开式中，含
的系数为 .
【详解】把
的展开式看成是5 个因式
的乘积形式，
展开式中，含
项的系数可以按如下步骤得到：
第一步，从5 个因式中任选2 个因式，这2 个因式取
，有
种取法；
第二步，从剩余的3 个因式中任选2 个因式，都取
，有
种取法；
第三步，把剩余的1 个因式中取
，有
种取法；
根据分步相乘原理，得；含
项的系数是
故答案为：
.
变式2：
展开式中
的系数为 （用数字作答）．
【详解】由于
表示5 个因式
的乘积，
故其中有2 个因式取
，2 个因式取
，剩余的一个因式取
，可得含
的项，
故展开式中
的系数为
，
故答案为：
．
变式3：在
的展开式中，形如
的所有项系数之和是 ．
【详解】
展开式的通项为
．
令
，得
．令
，
10
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得所求系数之和为
．故答案为：320
1．
的展开式中的常数项为（ ）
A．588
B．589
C．798
D．799
【答案】B
【分析】因为
展开式中的项可以看作8 个含有三个单项式
各取一个相乘而得，分析
组合可能，结合组合数运算求解.
【详解】因为
展开式中的项可以看作8 个含有三个单项式
中各取一个相乘而得，
若得到常数项，则有：①8 个1；②2 个
，1 个
，5 个1；③4 个
，2 个
，2 个1；
所以展开式中的常数项为
.
故选：B.
2．在
的展开式中，
的系数是（ ）
A．24
B．32
C．36
D．40
【答案】D
【分析】根据题意，
的项为
，化简后即可求解.
【详解】根据题意，
的项为
，
所以
的系数是
.
故选：D．
3．
的展开式中
的系数为12，则
（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据乘法的运算法则，结合组合数的性质、二倍角的余弦公式进行求解即可.
【详解】
的展开式中
的系数可以看成：6 个因式
中选取5 个因式提供
，
余下一个因式中提供
或者6 个因式
中选取4 个因式提供
，余下两个因式中均提供，
故
的系数为
，
∴
，
∴
，
故选：C
4．
的展开式中
的系数为（ ）
A．
B．60
C．
D．120
【答案】A
【分析】先把
看作整体写出二项式展开的通项，再根据指定项确定
的次数，再写一次二项式展开
的通项，最后根据指定项配凑出项的系数.
【详解】因为
展开式的通项为
，
当
时才能出现
，此时
展开的通项为
，
当
时出现
的一次，所以展开式中
的系数为
．
故选：A.
5．设
，已知
的展开式中只有第5 项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为
256，则
中
的系数为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意得到
和
，再根据
项的取法为1 个
和1 个
再计算即可.
【详解】因为
的展开式中只有第5 项的二项式系数最大，
所以展开式一共有项，即
，
令
，得展开式中所有项的系数和为
，所以
，
中
项的取法为1 个
和1 个
，
所以
系数为
.
故选：C
6．
的展开式中，
的系数为（ ）
A．80
B．60
C．
D．
【答案】D
【分析】由题得
，再利用二项式的通项即可得到答案.
【详解】
，则其展开式通项为
，
令
，则
的展开式中含
的项为
，
所以
的系数为
，
故选：D．
7．已知
展开式的各项系数之和为
，则展开式中
的系数为（ ）
A．270
B．
C．330
D．
【答案】D
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【分析】令
，得
，得
. 再根据二项展开式的通项公式即可求解.
【详解】令
，则
，得
.
所以
，
又因为只有
，
展开式中有含
的项，
所以
的系数为
.
故选：D
8．
的展开式中只有第5 项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则
中
的系数为（ ）
A．1
B．4 或1
C．4 或0
D．6 或0
【答案】C
【分析】展开式中只有第5 项的二项式系数最大，可以得到
的值，然后再赋值法求出所有项的系数和的
表达式可解出a 的值，再分类求出
中
的系数即可得出答案.
【详解】展开式中只有第5 项的二项式系数最大，所以总共有9 项，
令
得所有项的系数和为
，
或
当
时，
展开式中
的系数为：
，
14
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当
时，
展开式中不含
项.
故选：C.
9．
的展开式中
项的系数为 ．
【答案】80
【分析】只需6 个因式中3 个因式取
、3 个因式取
或2 个因式取
、1 个因式取
、3 个因式取1，根
据组合知识得到答案.
【详解】
可以看成6 个因式
相乘，
所以
的展开式中含
的项为3 个因式取
、3 个因式取
或2 个因式取
、1 个因式取
、3 个因式取1，
所以
的展开式中含
项的系数为
．
故答案为：80
10．
展开式中，
项的系数为 .
【答案】
【分析】由二项式定理求解．
【详解】
，∵的指数是3，∴得到
，
∵
的指数是2，得到
，∴
项的系数为
.
故答案为：
11．
的展开式中
项的系数为 ．
【答案】
【分析】根据多项式相乘展开方法求解.
15
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【详解】
的展开式中，构成
项只能是一个
、一个
、3 个
相乘，
故此项为
．
故答案为：
.
12．在
的展开式中，
的系数为 .
【答案】66
【分析】根据二项式的含义，结合组合数的计算，求得答案.
【详解】由题意，
表示12 个因式
的乘积，
故当2 个因式取x，其余10 个因式取1 时，可得展开式中含
的项，
故
的系数为
.
故答案为：66.
13．
的展开式中，
的系数为10，则
.
【答案】
【分析】化
,利用二项展开式的通项公式求得展开式中
的系数,列方程求
出
的值.
【详解】
其展开式的通项公式为
，
令
得
因为
的系数为10，则
，解得
，
故答案为：
.
14．
展开式中的常数项为 .（用数字做答）
16
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【答案】49
【分析】利用分类计数原理求解即可.
【详解】
展开式中得到常数项的方法分类如下：
（1）4 个因式中都不取
，则不取
，全取
，相乘得到常数项.
常数项为
；
（2）4 个因式中有1 个取
，则再取1 个
，其余因式取
，相乘得到常数项.
常数项为
；
（3）4 个因式中有2 个取
，则再取2 个
，相乘得到常数项.
常数项为
.
合并同类项，所以展开式中常数项为
.
故答案为：
.
15．
展开式中含
项的系数为 ．
【答案】-160
【分析】变形为
，写出通项公式，求出
，得到答案.
【详解】
变形为
，
故通项公式得
，
其中
的通项公式为
，
故通项公式为
，其中
，
，
令
，解得
，
17
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故
.
故答案为：-160
16．
的展开式中
的系数为 ．
【答案】92
【分析】由于
，根据二项式定理分别求得
和
的展开式的通项，
从而分析可得
的系数.
【详解】
，
又
展开式的通项
，
展开式的通项
，
所以含
的项为
则含
的系数为
.
故答案为：
.
17．
的展开式中
的系数为 （用数字作答）．
【答案】
【分析】
，然后两次利用通项公式求解即可；
【详解】因为
，
设其展开式的通项公式为：
，
令
，
得
的通项公式为
，
令
，
所以
的展开式中，
的系数为
，
18
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故答案为：
易错点三：混淆项的系数与二项式系数致误（系数与二项式系数问题）
Ⅰ：二项式展开式中的最值问题
1.二项式系数的性质
①每一行两端都是，即
；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即
．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即
．
③二项式系数和令
，则二项式系数的和为
，变形式
．
④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令
，
则
，
从而得到：
．
⑤最大值：
如果二项式的幂指数
是偶数，则中间一项
的二项式系数
最大；
如果二项式的幂指数
是奇数，则中间两项
，
的二项式系数
，
相等且最大．
2.系数的最大项
求
展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为
，设第
项系数最大，应有
，从而解出
来．
Ⅱ：二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
19
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（1）设
0
1
1
2
2
2
n
n
n
n
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C a
b
C b
，
二项式定理是一个恒等式，即对
，
的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取
，
的值．
①令
1
a
b
，可得：
0
1
2n
n
n
n
n
C
C
C
②令
，可得：
0
1
2
3
0
1
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
，即：
0
2
1
3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
（假设n 为偶数），再结合①可得：
0
2
1
3
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
．
（2）若
，则
①常数项：令
，得
．
②各项系数和：令
，得
．
注意：常见的赋值为令
，
或
，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
易错提醒：二项式定理
的问题要注意：项的系数与二项式系数的区别与联系（求所有项的系数只要
令字母值为1）.
例、设
的展开式中，第三项的系数为36，试求含
的项．
错解：第三项的系数为
，依题意得
，化简得
，解此方程并舍去不合题意的负值，
得n＝9，设
的展开式中
项为第r＋1 项，则
，由9－r＝2，得r＝7，故
的展开式中含
的项为
．
错因分析：错解将“二项展开式中的第三项的二项式系数”当作了“第三项的系数”，解答显然是错误的．
正解：
的展开式的第三项为
，∴
，即
，解此方程并
20
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舍去不合题意的负值，得n＝4，设
的展开式中
项为第r＋1 项，则
，由4－r
＝2，得r＝2，即
的展开式中
项为
．
变式1：求
的展开式中第3 项的系数和二项式系数．
【详解】二项式
展开式通项公式为
，
第三项为：
，
所以第三项系数为
，第3 项的二项式系数为
．
变式2：计算
的展开式中第5 项的系数和二项式系数．
【详解】因为
的展开通项为
，
所以
的展开式中第5 项是
，
故所求第5 项的系数是
，第5 项的二项式系数是
．
变式3：求
的展开式中常数项的值和对应的二项式系数．
【详解】因为
，
所以展开式中的第
项为
．
要得到常数项，必须有
，从而有
，
因此常数项是第4 项，且
．
从而可知常数项的值为160，其对应的二项式系数为
．
21
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1．在二项式
的展开式中，二项式系数最大的是（ ）
A．第3 项
B．第4 项
C．第5 项
D．第3 项和第4 项
【答案】B
【分析】根据二项式系数的性质分析求解.
【详解】二项式
的展开式共有7 项，则二项式系数最大的是第4 项.
故选：B.
2．已知二项式
的展开式中仅有第
项的二项式系数最大，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分析可知，二项式
的展开式共项，即可求出
的值.
【详解】因为二项式
的展开式中仅有第
项的二项式系数最大，
则二项式
的展开式共项，即
，解得
.
故选：A.
3．在二项式
的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是
B．各项系数和为
C．第5 项二项式系数最大
D．奇数项二项式系数和为32
【答案】BD
【分析】根据二项式理及二项式系数的性质逐项判断即可.
【详解】二项式
的展开式的通项为
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当
时，得常数项为
，故A 不正确；
当
时，可得展开式各项系数和为
，故B 正确；
由于
，则二项式系数最大为
为展开式的第4 项，故C 不正确；
奇数项二项式系数和为
，故D 正确.
故选：BD.
4．在二项式
的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．第6 项的二项式系数最大
B．第6 项的系数最大
C．所有项的二项式系数之和为
D．所有项的系数之和为1
【答案】ACD
【分析】由系数和二项式的系数的性质可判断A，B，C；由赋值可判断D.
【详解】通项公式为
，
，
其二项式系数为
，二项式
的展开式共
项，中间项的二项式系数最大，
故第6 项的二项式系数
是最大的，故A 正确；
二项式系数和为
，所以C 正确；
令
得所有项的系数和为1，故D 正确；
因为展开式中第六项的系数为负数，所以第六项的系数不可能为最大，故B 选项错误，
故选：ACD.
5．已知2，n，8 成等差数列，则在
的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数之和为32
B．各项系数之和为1
C．常数项为40
D．展开式中系数最大的项为80x
【答案】ABD
【分析】根据等差中项可得
.对于A：根据二项式系数之和的结论直接运算求解；对于B：利用赋值法
运算求解；对于C、D：利用二项展开式的通项公式运算求解.
【详解】由题意可得：
，则
，
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对于选项A：二项式系数之和为
，故A 正确；
对于选项B：令
，可得各项系数之和为
，故B 正确；
对于选项C、D：因为
的展开式的通项公式为：
，
所以
，
展开式中没有常数项，故C 错误；
展开式中系数最大的项为80x，故D 正确；
故选：ABD.
6．下列关于
的展开式的说法中正确的是（ ）
A．常数项为－160
B．第4 项的系数最大
C．第4 项的二项式系数最大
D．所有项的系数和为1
【答案】ACD
【分析】利用二项展开式的通项和二项式系数的性质求解.
【详解】
展开式的通项为
.
对于A，令
，解得
，∴常数项为
，A 正确；
对于B，由通项公式知，若要系数最大，k 所有可能的取值为0，2，4，6，
∴
，
，
，
，
∴展开式第5 项的系数最大，B 错误；
对于C，展开式共有7 项，得第4 项的二项式系数最大，C 正确；
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对于D，令x＝1，则所有项的系数和为
，D 正确.
故选：ACD.
7．若
的展开式的二项式系数之和为16，则
的展开式中
的系数为 .
【答案】56
【分析】通过二项式系数和求出
，然后求出
展开式的通项公式，最后求出指定项的系数即
可.
【详解】由
的展开式的二项式系数之和为16，得
，所以
，
则
的展开式的通项公式为
，
令
，解得
，故
的展开式中
的系数为
.
故答案为：56
8．已知常数
，在
的二项展开式中的常数项为15，设
，则
．
【答案】-31
【分析】先求出
，再由二项式的展开式进行求解即可.
【详解】解：
的展开式为：
，
令
，得
，
则
，因为
，所以
，
则
的展开式为：
，
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得
，
，
则
，
故答案为：-31.
9．在
的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为 ．
【答案】729/
【分析】根据二项式系数之和求出n 的值，进而设出各项的系数，然后采用赋值法即可求得答案.
【详解】由题意
的二项式中，所有的二项式系数之和为64，
即
，
设
的各项的系数为
，
则各项的系数的绝对值之和为
，
即为
中各项的系数的和，
令
，
，
即各项的系数的绝对值之和为
，
故答案为：729
10．二项式
的展开式中常数项为 （用数字作答）.
【答案】60
【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求得正确答案.
【详解】二项式
展开式的通项公式为
，
由题意令
，解得
，
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所以二项式展开式中的常数项为
.
故答案为：60.
11．已知
的展开式中第9 项、第10 项、第11 项的二项式系数成等差数列，则
.
【答案】14 或23
【分析】根据二项式系数的定义列出等式，解方程即可求得
或
.
【详解】由题意可得
成等差数列，则
，
即
，
即
，即
，
解得
或
.
故答案为：14 或23
12．
的展开式中含
项的系数为 .
【答案】
【分析】先对第一个括号中选取单项式进行分类，然后再在每一类中分步，结合计数原理以及组合数即可
求解.
【详解】要得到
的展开式中含有
的项，分以下两种情形：
情形一：先在第一个括号中选取“
”，然后在后面四个括号中选取3 个“
”和1 个“ ”，
由分步乘法计数原理可知此时“
”的系数为
；
情形二：先在第一个括号中选取“
”，然后在后面四个括号中选取2 个“
”和2 个“ ”，
由分步乘法计数原理可知此时“
”的系数为
.
综上所述：由分类加法计数原理可知
的展开式中含
项的系数为
.
27
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故答案为：
.
13．若
展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为 .
【答案】
【分析】根据二项式系数和得到
，再计算第三项的二项式系数即可.
【详解】
展开式的二项式系数和为
，故
，
展开式中第三项的二项式系数为
.
故答案为：
.
14．若
的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 .
【答案】
【分析】先求得
的值，然后根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】依题意，
，
则二项式
展开式的通项公式为
，
令
，解得
，
所以展开式中的常数项是
.
故答案为：
15．已知
，若
展开式各项的二项式系数的和为
1024，则
的值为 ．
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【答案】17010
【分析】由题意，利用二项式系数的性质求出
值，再根据二项式展开式的通项公式，求出
值．
【详解】
，
展开式各项的二项式系数的和为
，
，
故
展开式的通项公式为
．
则令
，可得
．
故答案为：17010．
16．已知
的展开式中二项式系数和是64，则展开式中x 的系数为 ．
【答案】60
【分析】手续爱你根据二项式系数和公式求出
，再利用二项展开式的通项公式即可得到答案.
【详解】由题意得
，解得
，
则
的二项展开式通项为
，
令
，解得
，则x 的系数为
，
故答案为：60.
17．已知二项式
的展开式中仅有第4 项的二项式系数最大，则
.
【答案】
【分析】根据二项展开式的二项式系数的性质，即可求解.
【详解】因为二项式
的展开式中仅有第4 项的二项式系数最大，
根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7 项，
所以
为偶数且
，可得
.
故答案为：.
18．已知
的展开式中第7 项和第8 项的二项式系数相等，求展开式中系数最大的项及二项式系数
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最大的项．
【答案】答案见解析
【分析】利用二项式系数相等可得
的值，再利用二项式系数的性质可得二项式系数最大的项，利用不等
式法可求得系数最大的项，从而得解.
【详解】因为
的展开式中第7 项的二项式系数是
，第8 项的二项式系数是
，
则
，解得
，
所以
的展开式共有
项，则二项式系数最大的是第7 和第8 项，
又
的展开通项公式为
，
则
，
；
而第
项的系数是
，不妨设第
项为系数最大的项，
则
，即
，
即
，即
，解得
，则
，
即第10 项的系数最大，
；
综上，
展开式中系数最大的项为
，二项式系数最大的项为
与
.
易错点四：混淆虚部定义致错（求复数虚部）
Ⅰ：复数的概念
①复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b 分别是它的实部和虚部，叫虚数单位，满足
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（1）当且仅当b＝0 时，a＋bi 为实数；
（2）当b≠0 时，a＋bi 为虚数；
（3）当a＝0 且b≠0 时，a＋bi 为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数
相等
（两复数对应同一点）
③复数的模：复数
的模，其计算公式
Ⅱ：复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中
，叫z 的模；
是
的共轭复数
．
（3）
．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
2、复数的几何意义
（1）复数
对应平面内的点
；
（2）复数
对应平面向量
；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数
的模
表示复平面内的点
到原点的距离．
易错提醒：1、求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，
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b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.2、复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，
b∈R)；②z∈R⇔z＝；③z∈R⇔z2≥0 3、复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi 是纯虚数⇔a＝0
且b≠0(a，b∈R)；②z 是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z 是纯虚数⇔z2＜0
例、复数
虚部是（ ）
A.
B.
C.
D.
错解】D
【错因分析】误认为复数的虚部为bi.
【正解】因为
，所以复数
的虚部为
.
故选：D.
变式1：已知复数
（为虚数单位），则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】因为
，
即
，
所以的共轭复数为
，其虚部为
.
故选：C.
变式2：已知是虚数单位，则复数
的虚部是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【详解】
，所以复数
的虚部为
，
故选：A.
变式3：已知复数
，则复数z 的虚部为 ，
．
【详解】由题意
，
所以复数z 的虚部为1，
.
故答案为：1，
.
1．
的虚部为（ ）
A．4
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】根据复数除法和乘法运算以及虚部的概念即可得到答案.
【详解】
，则其虚部为
，
故选：B.
2．复数
（i 为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为（ ）
A．－2
B．－1
C．1
D．2
【答案】C
【分析】应用复数的除法运算化简
，根据实部与虚部互为相反数列方程求
的值.
【详解】由
，由其实部与虚部互为相反数，
即
，则，
.
故选：C
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3．已知
， 则
的虚部是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据共轭复数的概念结合复数的乘法运算，求得
，即可得答案.
【详解】因为
，则
，
所以
的虚部为2，
故选：A.
4．
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复数的运算法则，化简复数为
，结合复数的概念，即可求解.
【详解】由复数的运算法则，可得
，
所以复数的虚部为
.
故选：C.
5．若是虚数单位，则复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用复数除法化简，即可确定虚部.
【详解】
.
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所以复数
的虚部为
.
故选：C.
6．已知复数
，则
的虚部为（ ）
A．－2
B．－1
C．6
D．2
【答案】D
【分析】利用复数乘法法则计算出
，从而求出虚部.
【详解】
，虚部为2，
故选：D．
7．已知复数满足
，则复数的虚部为（ ）
A．i
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】利用共轭复数的概念和复数的运算解求解.
【详解】设复数
，
，
又
，可得
，解得
，
所以复数的虚部为
.
故选：D.
8．已知复数在复平面内的对应点为
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用已知条件先得到
，再利用复数的运算法则求解即可得出结果.
【详解】因为复数在复平面内的对应点为
所以
所以虚部为
.
故选：C
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9．若复数z 满足
（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用共轭复数的定义以及加减运算法则即可得复数z 的虚部为
.
【详解】根据题意可设
，则
，
，
所以由
可得
，所以
,解得
，
即复数z 的虚部为
.
故选：B
10．已知i 为虚数单位，复数z 满足
，则
的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过复数的模及除法运算化简复数，再利用共轭复数的定义及虚部的定义求解即可.
【详解】因为
，所以
，
所以
，所以
的虚部是
.
故选：D
11．已知复数满足
，其中
是的共轭复数，则复数的虚部是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
后代入已知条件解方程即可
【详解】设
，则
，所以
，
则
解得
即
，所以的虚部为
．
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故选：C
12．已知复数z 满足
（为虚数单位），则z 的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复数四则运算计算可得
，再由虚部定义可得结果.
【详解】由
可得
，
所以可得z 的虚部为
.
故选：B
13．已知
，则z 的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由复数除法求得后，根据定义可得．
【详解】
，所以虚部为
．
故选：C．
易错点五：复数的几何意义应用错误（复数有关模长的求算）
复数的模：复数
的模，其计算公式
易错提醒：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距
离.
例、若
，且
，则
最小值为（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【错解】设
，因此有
．
即
又
因为
，所以最小值为1.
【错因分析】利用复数代数形式令
，得
，而
．此时
会因不会确定a
范围导致出错；若用数形结合法．错在一般是看不出
表示的几何意义．
【正解】方法一：设
，因此有
．
即
又
而
即
，∴当
时，
取最小值3．
方法二：（利用数形结合法）
表示圆心在（-2，2），半径为1 的圆．而
表示圆上点与点（2，2）的距离，其最
小值为3．
变式1：已知复数z 满足
，
为z 的共轭复数，则
的最大值为 .
【详解】设
，
则
的几何意义为z 在复平面内所对应的点
到
的距离为
，
所以z 所对应的点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，
而
可看作该圆上的点
到原点的距离的平方，
所以
.
故答案为：18.
38
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变式2：已知为虚数单位，且
，则
的最大值是 .
【详解】设
，
由
的几何意义知：对应的点
的轨迹是以
为圆心，为半径的圆，即
，
的几何意义为点
到坐标原点
的距离，
.
故答案为：.
变式3：已知复数满足
，则
的最大值为 ．
【详解】设复数
，由
，得
，
整理得
，即
，
因此复数在复平面内对应点
在以点
为圆心，
为半径的圆，
为原点，
所以
.
故答案为：
1．设复数z 满足
，z 在复平面内对应的点为
，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用复数模的坐标表示即可得解.
【详解】因为z 在复平面内对应的点为
，
所以
，则
，
又
，所以
，即
.
故选：C．
2．已知复数满足
（为虚数单位），则
的最小值为（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】D
【分析】设出复数的代数形式，结合条件得到复数在复平面内所对应的点的轨迹是一个圆，从而将问题转
化为点与圆的位置关系求解.
【详解】设
，在复平面内对应的点
的坐标为
，
由
，得
，即
，
因此点
在圆
上运动，圆心
的坐标为
，半径
，
又
，
于是
可以看成是点
到点
的距离，显然此点在圆
外，
所以
.
故选：D
3．若复数满足
，则
（为虚数单位）的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
40
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【答案】B
【分析】首先设复数
，(
且不同时为0)，根据条件化简求得
的关系式，再根据复数模的
几何意义求最值.
【详解】设
，(
且不同时为0)，
由题意可知
，得
或
，
当
时，的轨迹是
轴（除原点外），
此时
的几何意义表示复数对应的点和
的距离，此时
，
当
时，复数所对应点的轨迹是以原点为圆心，
为半径的圆，
如图，根据复数模的几何意义可知，
的几何意义是圆上的点到
的距离，
如图可知，
的最小值是点
与
的距离
.
故选：B
4．若复数z 满足
( 为虚数单位），则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．
+1
【答案】C
【分析】设
，根据已知可得出
.根据几何意义，结合三角恒等变换
化简，即可得出答案.
41
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【详解】设
，则
.
由已知
可得，
.
设
，
，
则
.
所以，
.
当
，即
时，该式有最大值，
所以，
，
所以，
.
故选：C.
5．复数满足
（为虚数单位），则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】根据复数模的几何意义求解．
【详解】
，∴
，对应的点在以原点为圆心1 为半径的圆上，
表示复数对应点和
对应的点间距离，
又
，
42
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所以
的最小值是
，
故选：B．
6．设复数满足
，在复平面内对应的点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复数模的运算公式进行求解即可.
【详解】复数满足
，
则
，
∴
，
故选：D
7．设复数满足
，则
的最大值是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】设复数
，根据题意得到
，得到复数对应的点的轨迹为
为圆心半
径为的圆，进而求得
的最大值.
【详解】设复数
，可得
，所以
，
所以复数对应的点的轨迹为
为圆心半径为
的圆，
所以
的最大值是
．
故选：B.
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8．已知复数z 满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．3
C．
D．
【答案】A
【分析】设复数在复平面内对应的点为
，由复数的几何意义可知点
的轨迹为
，则问题转化为
上的动点
到定点
距离的最小值，从而即可求解．
【详解】设复数在复平面内对应的点为
，
因为复数满足
，
所以由复数的几何意义可知，点
到点
和
的距离相等，
所以在复平面内点
的轨迹为
，
又
表示点
到点
的距离，
所以问题转化为
上的动点
到定点
距离的最小值，
当
为
时，到定点
的距离最小，最小值为1，
所以
的最小值为1，
故选：A．
9．已知复数满足
，则（ ）
A．的虚部为
B．
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C．在复平面内对应的点在第四象限
D．若复数满足
，则
【答案】AD
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，对化简，选项ABC 依次判断即可；选项D，由复数的三
角不等式可得.
【详解】由
，
得1
，即
，
选项A，的虚部为
，故A 正确；
选项B，
，故B 错误，
选项C，z 在复平面内对应的点
在第三象限，故C 错误；
选项D，方法一：复数z 满足
，且
，
则由复数加减法的几何意义可知，
，
故
，
故
，故D 正确.
方法二：由
，得
，
则复数
对应点
的集合是以
为圆心，为半径的圆，
如图可知，
，
则
，
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故选：AD.
10．已知复数满足
，则
的最大值是 ．
【答案】
/
【分析】根据复数模公式，复数的几何意义及椭圆的定义可得复数对应的点
，然后利用三角代换
结合条件即可求解．
【详解】设
，由
，得
，
因此在复平面内，复数对应的点
在以
为焦点，长轴长为4 的椭圆上，
所以可设椭圆方程为
，则
，
所以椭圆方程为
，
而
表示点
与点
的距离，可设
，
所以
与点
的距离
，
所以当
时，
，即
的最大值是
.
故答案为：
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11．复数z 满足
（i 为虚数单位），则
的最大值为 ．
【答案】7
【分析】由复数模的几何意义确定复数z 对应点的轨迹，问题化为圆上点到原点的距离最大值，即可得结
果.
【详解】令
且
，又
，
所以
，即
，
所以复数z 对应点在以
为圆心，半径为2 的圆上，
又
表示圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为5，
所以
的最大值为
.
故答案为：7
12．若复数满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题设条件确定复数对应点在以
为焦点，长轴长为10 的椭圆上，结合椭圆性质及
的几何意义确定最小值.
【详解】设
且
，又
，
所以
，
即点
到两定点
的距离之和为
，
所以点
在以
为焦点，长轴长为10 的椭圆上，
由
表示椭圆上点到原点距离，故其最小值为短半轴
.
故答案为：
13．已知复数满足
，则
的最小值为 .
47
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【答案】
【分析】根据题意，由条件可得复数表示以
为圆心，1 为半径的圆，然后再结合其几何意义即可得
到结果.
【详解】设
，∵
，
∴
，表示以
为圆心，1 为半径的圆，
∴
，表示圆上的点到点
的距离，
∴
的最小值为
.
故答案为：
.
14．已知为虚数单位，且
，则
的最大值是 ．
【答案】
/
【分析】利用复数模长的几何意义可知点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，根据
几何意义
为点
到坐标原点
的距离，结合圆的知识即可得解.
【详解】依题意，设
，
由
，得
，则
，
其几何意义为：对应的点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，
因为
的几何意义为点
到坐标原点
的距离，
所以
.
故答案为：
.
15．已知复数z 满足
，则
的最大值是 ．
【答案】8
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【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．
【详解】设
，由
，得
，即
，
因此在复平面内，复数对应的点
在以
为圆心，
为半径的圆上，
而
表示点
与点
的距离，显然圆心
与点
的距离
，
所以
的最大值是
.
故答案为：8
16．设复数满足
，在复平面内对应的点为
，则点
的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】由题意
，由
根据复数模的运算可得
.
【详解】因为在复平面内对应的点为
，所以
，
由
得
，
所以
，即
，
所以点
的轨迹方程为
，
故答案为：
17．若复数z 满足
，则
的最小值为
【答案】
/
【分析】设
，代入
中化简，由
，得
或
，利用复数模的几何意义求
的最小值。
【详解】设
，（
不同时为0），
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，
由题意可知
，得
或
，
当
时，的轨迹是
轴（除原点外），此时
的几何意义表示复数表示的点和
的距离，此时
，
当
时，复数的轨迹是以原点为圆心，
为半径的圆，如图，
根据复数模的几何意义可知，
的几何意义是圆上的点到
的距离，如图可知，
的最小值是点
与
的距离
.
50
