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知识点71：
电
运动
在
场中
带电体的力与功能关系的
题
问
【知识思维方法技巧】
（1）带电体在电场中运动的分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平
衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公
式、动能定理、能量守恒定律解题．电场力的特点：F＝Eq，正电荷受到的电场力与场强
方向相同
（2）带电体动力学规律：牛顿运动定律结合运动学公式。能量规律：动能定理或能量守恒
定律。其中电场力做功的特点：WAB＝FLABcosθ＝qUAB＝EpA－EpB。
（3）对于受变力作用的带电体的运动，必须借助能量观点来处理。即使都是恒力作用的问
题，用能量观点处理也常常更简捷。用能量守恒定律处理带电体的运动，列式的方法常有
两种：
①利用初、末状态的能量相等(即E1＝E2)列方程．
②利用某些能量的减少等于另一些能量的增加列方程．
③两个结论：若带电粒子只在静电力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变。若带电
粒子只在重力和静电力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变。
点
：
考
一
带电体在点电
电
的运动
荷
场中
题型
：带电体
一
在绝缘
的运动
水平轨道上
【典例1 基础题】 (多选)如图所示，在绝缘光滑水平面上固定两个等量同种电荷A、B，
在AB 连线上的P 点由静止释放一带电滑块，则滑块会在A、B 之间往复运动，则以下判断
正确的是( )．
A．滑块一定带的是与A、B 异种的电荷
B．滑块一定带的是与A、B 同种的电荷
C．滑块在由P 向B 运动过程中，电势能一定是先减小后增大
D．滑块的动能与电势能之和一定减小
【典例1 基础题】【答案】BC
【解析】根据从P 点由静止释放的带电滑块在A、B 之间往复运动可以判断，开始时A 对
滑块向右的作用力大于B 向左的作用力，所以滑块一定带与A、B 相同的电荷，选项A 错
B 对；由于A、B 带等量同种电荷，所以其连线中点场强为零，滑块在由P 向B 运动过程
中，电场力先做正功后做负功，电势能一定是先减小后增大，选项C 正确；在整个运动过
程中只有电场力做功，所以滑块的动能与电势能之和一定不变，D 选项错．
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题型
：带电体
的运动
二
在绝缘斜面轨道上
【典例2 基础题】(多选)如图所示，斜面粗糙绝缘，A 点处固定一点电荷甲，将一带电小物
块乙从斜面上B 点处由静止释放，乙沿斜面运动到C 点时静止．则( )
A．乙在B 点的电势能一定大于在C 点的电势能
B．甲、乙有可能带异种电荷
C．从B 到C 的过程中，乙可能做匀减速运动
D．从B 到C 的过程中，乙的机械能的损失量一定小于克服摩擦力做的功
【典例2 基础题】【答案】AD
【解析】乙沿斜面下滑时，甲、乙之间的距离增大，而电荷量都不变，根据库仑定律可知
乙所受到的库仑力逐渐减小．若两者是异种电荷，乙下滑的加速度将增大，速度不断增大，
不可能到C 处静止，所以得知甲、乙一定带同种电荷，电场力对乙做正功，电势能减小，
则乙在B 点的电势能一定大于在C 点的电势能，故A 正确，B 错误；由于乙所受的库仑力
不断减小，合外力在变化，所以乙不可能做匀减速运动，故C 错误；从B 到C 的过程中，
库仑力对，乙做正功，摩擦力做负功，重力做正功，根据功能关系可知：乙的机械能的损
失量与系统电势能的损失量之和等于克服摩擦力做的功，则乙的机械能的损失量一定小于
克服摩擦力做的功，故D 正确．
【典例2 基础题对应练习】（多选） 如图所示，粗糙程度均匀的绝缘斜面下方O 点处有一
正点电荷，带负电的小物体以初速度v1从M 点沿斜面上滑，到达N 点时速度为零，然后下
滑回到M 点，此时速度为v2(v2＜v1)．若小物体电荷量保持不变，OM＝ON，则( )
A．小物体上升的最大高度为
B．从N 到M 的过程中，小物体的电势能逐渐减小
C．从M 到N 的过程中，电场力对小物体先做负功后做正功
D．从N 到M 的过程中，小物体受到的摩擦力和电场力均是先增大后减小
【典例2 基础题对应练习】【答案】AD
【解析】设斜面倾角为θ，上升过程沿斜面运动的最大距离为L.因为OM＝ON，则M、N
两点电势相等，小物体从M 到N、从N 到M 电场力做功均为0.上滑和下滑经过同一个位
置时，垂直斜面方向上电场力的分力相等，则经过相同的一小段位移在上滑和下滑过程中
电场力分力对应的摩擦力所做的功均为相等的负功，所以上滑和下滑过程克服电场力产生
2
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的摩擦力所做的功相等，并设为W1.在上滑和下滑过程，对小物体，摩擦力做功相等，则
应用动能定理分别有：－mgLsin θ－Wf－W1＝－和mgLsin θ－Wf－W1＝，以上两式相减可
得h＝Lsin θ＝，A 正确；由OM＝ON，可知电场力对小物体先做正功后做负功，电势能先
减小后增大，B、C 错；从N 到M 的过程中，小物体受到的电场力垂直斜面的分力先增大
后减小，而重力分力不变，则摩擦力先增大后减小，在此过程中小物体到O 的距离先减小
后增大，根据库仑定律可知小物体受到的电场力先增大后减小，D 正确．
题型
：带电体
的运动
三
在绝缘细杆上
【典例3 基础题】（多选）如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以电荷＋Q 为圆心的
某一圆周交于H、L 两点，从圆心到K 点的连线垂直于细杆。质量为m、带电荷量为－
q(q≪Q)的有孔小球套在杆上，从F 点由静止开始下滑。则带电小球从H 点运动到L 点的
过程中，下列说法正确的是( )
A．到达K 点的加速度是g
B．整个过程中机械能守恒
C．电势能的变化量不为零
D．电场力先做正功后做负功
【典例3 基础题】【答案】AD
【解析】到达K 点时，小球水平方向受合力为零，竖直方向受合力为向下的mg，则小球的
加速度是g，选项A 正确；整个过程中库仑力对小球先做正功后做负功，则机械能先增大
后减小，选项B 错误，D 正确；因H 和L 两点电势相等，则从H 点到L 点小球的电势能的
变化量为零，选项C 错误。
题型四：带电体在绝缘圆
的运动
弧轨道中
【典例4 基础题】（多选）如图所示，在绝缘水平面上固定着一光滑绝缘的圆形槽，在某
一过直径的直线上有O、A、D、B 四点，其中O 为圆心，D 在圆上，半径OC 垂直于
OB。A 点固定电荷量为Q 的正电荷，B 点固定一个未知电荷，使得圆周上各点电势相等。
有一个质量为m，电荷量为－q 的带电小球在滑槽中运动，在C 点受的电场力指向圆心，
根据题干和图示信息可知( )
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A．固定在B 点的电荷带正电
B．固定在B 点的电荷电荷量为Q
C．小球在滑槽内做匀速圆周运动
D．C、D 两点的电场强度大小相等
【典例4 基础题】【答案】BC
【解析】由小球在C 点处恰好与滑槽内、外壁均无挤压且无沿切线方向的加速度知：小球
在C 点的合力方向一定沿CO，且指向O 点。
A 对小球吸引，B 对小球排斥，因此小球带负电、B 带负电，故A 错误；由∠ABC＝
∠ACB＝30°知：∠ACO＝30°，AB＝AC＝L；BC＝2AB cos 30°＝L
由力的合成可得F1＝F2即k＝k
QB＝Q，故B 正确；圆周上各点电势相等，小球在运动过程中电势能不变，根据能量守恒
得知，小球的动能不变，小球做匀速圆周运动，故C 正确；由库仑定律及场强的叠加知，
D 点的电场强度大于C 点，故D 错误。故选B、C。
点
：带电体
考
二
在匀强电
的运动
场中
【知识思维方法技巧】
要善于把电学问题转化为力学问题，建立带电粒子在电场中加速和偏转的模型，能够从带
电粒子的受力与运动的关系及功能关系两条途径进行分析与研究．
题型
：带电体
一
在绝缘
的运动
水平轨道上
【典例1 基础题】在一个水平面上建立x 轴，在过原点O 垂直于x 轴的平面的右侧空间有
一个匀强电场，场强大小E＝6.0×105 N/C，方向与x 轴正方向相同．在O 点处放一个带电
荷量q＝－5.0×10－8 C，质量m＝1.0×10－2 kg 的绝缘物块．物块与水平面间的动摩擦因数
μ＝0.20，沿x 轴正方向给物块一个初速度v0＝2.0 m/s，如图所示．(g 取10 m/s2)求：
(1)物块向右运动的最大距离；
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(2)物块最终停止的位置．
【典例1 基础题】【答案】(1)0.4 m (2)O 点左侧0.2 m 处
【解析】(1)设物块向右运动的最大距离为xm，由动能定理得－μmgxm－E|q|xm＝0－mv0
2，
解得xm＝0.4 m.
(2)因E|q|>μmg，物块不可能停止在O 点右侧，设物块最终停在O 点左侧且离O 点为x 处．
由动能定理得E|q|xm－μmg(xm＋x)＝0，解得x＝0.2 m.
题型
：带电体
二
在绝缘
的运动
斜面轨道上
【典例2 基础题】如图所示，长为L、倾角为θ 的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场
中．一电荷量为＋q，质量为m 的小球，以初速度v0由斜面底端的M 点沿斜面上滑，到达
斜面顶端N 的速度仍为v0，则( )
A．电场强度等于
B．电场强度等于
C．M、N 两点的电势差为
D．小球在N 点的电势能大于在M 点的电势能
【典例2 基础题】【答案】AC
【解析】小球受到重力、电场力、支持力三个恒力作用，沿斜面匀速运动，必有mgsin θ＝
Eqcos θ，解得：E＝，A 正确，B 错误；UMN＝E·Lcos θ＝，C 正确；因电场力对小球做正
功，小球的电势能减少，故小球在N 点的电势能小于在M 点的电势能，D 错误．
【典例2 基础题对应练习】（多选）如图所示，在水平向右的匀强电场中有一绝缘斜面，
斜面上有一带电金属块沿斜面滑下。已知在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块
克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，则以下判断正确的是( )
A．金属块带正电荷
B．金属块的机械能减少12 J
C．金属块克服电场力做功8 J
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D．金属块的电势能减少4 J
【典例2 基础题对应练习】【答案】AB
【解析】在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8.0 J，重力做功
24 J，根据动能定理得：W 总＝WG＋W 电＋Wf＝ΔEk，解得：W 电＝－4 J，所以金属块克服
电场力做功4.0 J，金属块的电势能增加4 J，由于金属块下滑，电场力做负功，所以电场
力应该水平向右，所以金属块带正电荷，故A 正确，C、D 错误；在金属块滑下的过程中
重力做功24 J，重力势能减小24 J，动能增加了12 J，所以金属块的机械能减少12 J，故
B 正确。
题型
：带电体
三
在绝缘圆弧
的运动
轨道上
【典例3 基础题】（多选）如图所示，一绝缘光滑半圆环轨道放在竖直向下的匀强电场中，
场强为E.在与环心等高处放有一质量为m、带电荷量＋q 的小球，由静止开始沿轨道运动，
下述说法正确的是( )
A．小球经过环的最低点时速度最大
B．小球在运动过程中机械能守恒
C．小球经过环的最低点时对轨道的压力为mg＋qE
D．小球经过环的最低点时对轨道的压力为3(mg＋qE)
【典例3 基础题】【答案】AD
【解析】根据动能定理知，在运动到最低点的过程中，电场力和重力一直做正功，到达最
低点的速度最大，故A 正确；小球在运动的过程中除了重力做功以外，还有电场力做功，
机械能不守恒，故B 错误；根据动能定理得：mgR＋qER＝mv2，根据牛顿第二定律得：FN
－qE－mg＝m，解得：FN＝3(mg＋qE)，则球对轨道的压力为3(mg＋qE)，故C 错误，D
正确．
题型四：带电体的组合运动
【典例4 基础题】如图所示，在光滑的水平桌面上，水平放置的粗糙直线轨道AB 与水平
放置的光滑圆弧轨道BCD 相切于B 点，整个轨道位于水平桌面内，圆心角∠BOC＝37°，
线段OC 垂直于OD，圆弧轨道半径为R，直线轨道AB 长为L＝5R。整个轨道处于电场强
度为E 的匀强电场中，电场强度方向平行于水平桌面所在的平面且垂直于直线OD。现有
一个质量为m、带电荷量为＋q 的小物块P 从A 点无初速度释放，小物块P 与AB 之间的动
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摩擦因数μ＝0.25，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，忽略空气阻力。求：
（1）小物块第一次通过C 点时对轨道的压力大小FNC1；
（2）小物块第一次通过D 点后离开D 点的最大距离；
（3）小物块在直线轨道AB 上运动的总路程。
【典例4 基础题】【答案】(1)5.4qE (2)R (3)15R
【解析】(1)设小物块第一次到达C 点时的速度大小为vC1，根据动能定理有
qE[Lsin 37°＋R(1－cos 37°)]－μqELcos 37°＝mv－0，解得vC1＝，在C 点根据向心力公式
得FNC1′－qE＝m，解得FNC1′＝5.4qE，根据牛顿第三定律得FNC1＝5.4qE
(2)设小物块第一次到达D 点时的速度大小为vD1，根据动能定理有qE(Lsin 37°－Rcos 37°)
－μqELcos 37°＝mv－0，解得vD1＝，小物块第一次到达D 点后先以速度vD1沿电场方向做
匀减速直线运动，设运动的最大距离为xm，根据动能定理得－qExm＝0－mv，解得xm＝R
(3)分析可知小物块最终会在圆弧轨道上做往复运动，到达B 点的速度恰好为零时，动能和
电势能之和不再减小。设小物块在直线轨道AB 上运动的总路程为s，则根据功能关系得
qELsin 37°＝μqEscos 37°，解得s＝＝15R
【典例4 基础题对应练习】如图所示，在竖直平面内固定一光滑圆弧轨道AB，轨道半径为
R＝0.4 m，轨道最高点A 与圆心O 等高．有一倾角θ＝30°的斜面，斜面底端C 点在圆弧轨
道B 点正下方、距B 点H＝1.5 m．圆弧轨道和斜面均处于场强大小E＝100 N/C、竖直向
下的匀强电场中．现将一个质量为m＝0.02 kg、带电荷量为＋2×10－3 C 的带电小球从A
点由静止释放，小球通过B 点离开圆弧轨道沿水平方向飞出，当小球运动到斜面上D 点时
速度方向恰与斜面垂直，并刚好与一个以一定初速度从斜面底端上滑的物块相遇．若物块
与斜面间的动摩擦因数μ＝，空气阻力不计，g 取10 m/s2，小球和物块都可视为质点．求：
(1)小球经过B 点时对轨道的压力FNB；
(2)B、D 两点间电势差UBD；
(3)物块上滑初速度v0满足条件的最小值．
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【典例4 基础题对应练习】【答案】(1)1.2 N，竖直向下 (2)120 V (3)3.10 m/s
【解析】(1)设小球到达B 点的速度大小为vB，从A 到B 的过程只有重力和静电力做功，根
据动能定理有：mgR＋qER＝mvB
2－0，得vB＝4 m/s，B 点是圆周运动最低点，合力提供向
心力即FNB′－(mg＋qE)＝m，得FNB′＝1.2 N，根据牛顿第三定律，小球对轨道压力大小等
于轨道对其弹力大小，即FNB＝1.2 N，方向竖直向下．
(2)设小球由B 点到D 点的运动时间为t，受到竖直向下的重力和静电力，竖直方向做初速
度0 的匀加速直线运动，加速度为a，水平方向做匀速直线运动．下落高度为h 的过程，根
据速度合成有＝tan θ，竖直方向由牛顿第二定律有Eq＋mg＝ma，h＝at2，UBD＝Eh，联立
解得UBD＝120 V
(3)设C、D 间的距离为x，由几何关系有：x＝，设物块上滑加速度为a′，由牛顿运动定律
有：mgsin θ＋μmgcos θ＝ma′，根据题意，要使物块与小球相遇，v0的最小值满足：v0
2＝
2a′x，联立解得：v0＝ m/s≈3.10 m/s.
点
：带电体
电
的
运动
考
三
在重力场和水平
场中
圆周
【知识思维方法技巧】
（1）等效重力场
物体在匀强电场和重力场中的运动，可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合
场”来代替，可形象称之为“等效重力场”。
（2）方法应用
①求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个等效重力。
②将a＝视为等效重力加速度。
③小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效
最高点”；
注意：这里的最高点不一定是几何最高点。
④将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解。
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题型
：带电体
的运动
一
在竖直圆周轨道上
【典例1 基础题】
如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O，半径为
r，内壁光滑，A、B 两点分别是圆轨道的最低点和最高点．该区间存在方向水平向右的匀
强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C
点时速度最大，O、C 连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g.
(1)求小球所受的静电力大小；
(2)求小球在A 点的速度v0为多大时，小球经过B 点时对圆轨道的压力最小．
【典例1 基础题】
【答案】(1)mg (2)2
【解析】(1)小球在C 点时速度最大，则静电力与重力的合力沿DC 方向，如图所示，
所以小球受到的静电力的大小F＝mgtan 60°＝mg.
(2)要使小球经过B 点时对圆轨道的压力最小，则必须使小球经过D 点时的速度最小，即在
D 点小球对圆轨道的压力恰好为零，在D 点，有＝m，解得v＝，在小球从圆轨道上的A 点
运动到D 点的过程中，有mgr(1＋cos 60°)＋Frsin 60°＝mv0
2－mv2，解得v0＝2.
【典例1 基础题对应练习】
(多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中，将一内壁光
滑、半径为R 的固定绝缘圆轨道放置在竖直平面内，AB 为圆轨道的水平直径，CD 为竖直
直径．一个质量为m、电荷量为＋q 的带电小球从轨道的最低点C 获得一定的初速度后，
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能够在轨道内做圆周运动．已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度为E＝
，不计空
气阻力，下列说法正确的是( )
A. 小球运动到B 点时的电势能最大
B. 小球运动到D 点时的动能最小
C. 小球运动到A、D 两点时的动能相等
D. 若小球恰能在轨道内做圆周运动，则小球运动过程中对轨道的最大压力为6
mg
【典例1 基础题对应练习】
【答案】CD
【解析】小球带正电，小球运动到B 点时静电力做正功最多，电势能最小，小球运动到A
点时电势能最大，A 错误；小球在等效重力场中做变速圆周运动，M 点为等效最低点，N
点为等效最高点，如图所示，
设等效重力加速度的方向与竖直方向的夹角为θ，有tanθ＝
＝1，即θ＝45°，故在等效
重力场中构成绳—球模型，在等效最高点的速度最小，动能最小，即小球运动到N 点时的
动能最小，B 错误；A、D 两点关于等效重力场最高点对称，故从N 点分别运动到A、D 点
时合外力做功相同，故小球运动到A、D 两点时的动能相等，C 正确；在等效重力场中的
等效重力加速度为g 效＝
＝
g，小球恰好能够沿着轨道做圆周运动，则在等效最高点
N 时由等效重力提供向心力，有mg 效＝m
，可得vN＝
＝
，在等效最低点M 点
时速度最大，轨道对球的支持力最大，球对轨道的压力也最大，由N 点到M 点由动能定理
mg 效2R＝mvM
2－mvN
2，在M 点由牛顿第二定律，有FNM－mg 效＝m
，解得FNM＝6
mg，由牛顿第三定律可知小球运动过程中对轨道的最大压力为6
mg，D 正确．
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题型
：带电体
运动
二
直线
+
运动
竖直圆周
【典例2 基础题】如图所示，水平绝缘光滑轨道AB 的B 端与处于竖直平面内的半圆弧形
光滑绝缘轨道BCD 平滑连接，半圆弧的半径R＝0.50 m。轨道所在空间存在水平向右的匀
强电场，电场强度E＝1.0×104 N/C。现将一质量m＝0.06 kg 的带电小球(可视为质点)放在
水平轨道上与B 端距离s＝1.0 m 的位置，由于受到电场力的作用，带电小球由静止开始运
动。已知带电小球所带的电荷量q＝8.0×10－5 C，取g＝10 m/s2，问：
(1)小球能否到达半圆弧最高点D?
(2)半圆弧轨道对小球的支持力的最大值为多少？
【典例2 基础题】【答案】(1)小球能到达半圆弧最高点D (2)5 N
【解析】(1)假设小球能到达D 点，且速度为vD，从A 到D 过程，由动能定理得qEs－
mg·2R＝mvD
2，可得小球在D 点所需要的向心力为Fn＝＝0.8 N，而重力G＝mg＝0.6 N，
Fn＞G，故小球能到达半圆弧最高点D。
(2)小球在电场中受到的电场力和重力的合力大小为F＝＝1 N，方向与竖直方向的夹角正切
值为tan θ＝＝，当F 的方向通过圆心O 向外时，小球速度达到最大，设此位置为P，小球
从开始运动到P 点的过程，由动能定理得qE(s＋Rsin θ)－mg(R－Rcos θ)＝mvP
2，在P 点，
由牛顿第二定律得N－F＝，解得N＝5 N。
【典例2 基础题对应练习】如图所示，粗糙程度不均匀的水平面ABC 与半径为R 的竖直光
滑半圆轨道CDM 相切于C 点，CM 为半圆的直径，O 为圆心，D 点是弧CM 的中点，在半
圆CDM 下半部分有水平向左的匀强电场，电场强度大小E＝(g 为重力加速度)。现把可视
为质点、质量为2m 的小物块P 置于水平面的A 点，并在水平恒力F(大小未知)的作用下由
静止向左运动，运动到B 点撤掉水平恒力F，小物块P 恰好运动到C 点静止。现把与小物
块P 材料相同、质量是小物块P 质量一半、带电荷量为＋q 的绝缘小物块Q 同样置于A 点，
在同样水平恒力F 作用下也从静止开始向左运动，到B 点撤掉水平恒力F，带电小物块Q
离开水平面BC 后沿着圆弧轨道CDM 运动恰好能过最高点M。求：
(1)小物块Q 经过水平面C 点时的速度大小；
(2)小物块Q 在半圆轨道CDM 上运动过程中对轨道的最大压力；
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(3)小物块Q 在运动过程中所受摩擦力做的功。
【典例2 基础题对应练习】【答案】(1) (2)(3＋1)mg，方向与竖直方向夹角为45°斜向左
下方 (3)－mgR
【解析】(1)小物块Q 在最高点M 由牛顿第二定律得mg＝m，从C 点到M 点的过程中，对
Q 由动能定理得qER－mg·2R＝mv－mv，解得vC＝。
(2)根据题意并结合受力分析知，小物块Q 运动到与圆心的连线和竖直方向的夹角为45°的
位置时，对轨道的压力最大，设此位置小物块Q 对应的速度为v，根据动能定理得qERsin
45°－mgR(1－cos 45°)＝mv2－mv，由牛顿第二定律有FN－＝，联立解得FN＝(3＋1)mg，
由牛顿第三定律得，小物块Q 对轨道的最大压力为FN′＝(3＋1)mg，方向与竖直方向夹角
为45°斜向左下方。
(3)设小物块Q 从A 到C 过程中所受摩擦力做的功为Wf，对小物块P，由功能关系得WF＋
2Wf＝0，对小物块Q 有WF＋Wf＝mv，解得Wf＝－mv＝－mgR。
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