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09 静电场及其应用
[-考点-10-] 电场中功能关系的综合问题
电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变．
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．
(3)除重力之外，其他力对物体做的功等于物体机械能的变化量．
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量．
1．合力做功等于物体动能的变化量，即W 合＝ΔEk，这里的W 合指合外力做的功．
2．电场力做功决定带电体电势能的变化量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.这与重力做功和重力
势能变化之间的关系类似．
3．只有电场力做功时，带电体电势能与机械能的总量不变，即Ep1＋E 机1＝Ep2＋E 机2.这与
只有重力做功时，物体的机械能守恒类似．
典例1 如图所示，在电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场中，一质量为m、带电
荷量为＋q 的物体，以某一初速度沿电场方向做匀减速直线运动，不计空气阻力，其加速
度大小为，物体运动距离s 时速度变为零．则在此过程中( )
A．物体克服静电力做功0.6qEs
B．物体的电势能增加了qEs
C．物体的重力势能增加了qEs
D．物体的动能减少了0.6qEs
答案 D
解析 由于物体所受静电力和运动方向相同，故静电力做正功W＝Eqs，故A 错误；静电
力做正功，电势能减小，物体的电势能减小了qEs，故B 错误；重力做功WG＝－mgs，重
力做负功，重力势能增加，又由题可知，mg＝1.6qE，所以重力势能增加了1.6qEs，故C
错误；物体做减速运动，所受合外力做负功，动能减小，由动能定理得：ΔEk＝－F 合s＝－
mas＝－0.6Eqs，所以物体的动能减少了0.6qEs，故D 正确．
典例2 (2023·黑龙江省高三检测)如图所示，放置在竖直平面内的粗糙直线轨道AB 与光滑
圆弧轨道BCD 相切于B 点，C 为最低点，圆心角∠BOC＝37°，线段OC 垂直于OD，圆弧
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轨道半径为R，直线轨道AB 长为L＝5R，整个轨道处于匀强电场中，电场强度方向平行于
轨道所在的平面且垂直于直线OD，现有一个质量为m、带电荷量为＋q 的小物块P 从A 点
无初速度释放，小物块P 与AB 之间的动摩擦因数μ＝0.25，电场强度大小E＝，sin 37°＝
0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g，忽略空气阻力．求：
(1)小物块第一次通过C 点时对轨道的压力大小；
(2)小物块第一次从D 点飞出后上升的最大高度；
(3)小物块在直线轨道AB 上运动的总路程．
答案 (1)10.8mg (2)1.2R (3)15R
解析 (1)由几何关系知，轨道AB 与水平面的夹角为37°，小物块从A 点第一次到C 点的过
程，由动能定理知：
(qE＋mg)(Lsin 37°＋R－Rcos 37°)－μ(qE＋mg)Lcos 37°＝mvC1
2－0
在C 点由牛顿第二定律知：FN－qE－mg＝m ，联立解得：FN＝10.8mg
由牛顿第三定律知此时小物块对轨道的压力大小是10.8mg.
(2)小物块从A 第一次到D 的过程，由动能定理知
(qE＋mg)(Lsin 37°－Rcos 37°)－μ(qE＋mg)Lcos 37°＝mvD1
2－0
小物块第一次到达D 点后以速度vD1逆着电场线方向做匀减速直线运动，
1.(2023·山西·模拟)如图所示为一匀强电场，某带电粒子从A 点运动到B 点，在这一运动过
程中克服重力做的功为2.0 J，静电力做的功为1.5 J．下列说法中正确的是( )
A．粒子带负电
B．粒子在A 点的电势能比在B 点少1.5 J
C．粒子在A 点的动能比在B 点少0.5 J
D．粒子在A 点的机械能比在B 点少1.5 J
答案 D
解析 由粒子运动的轨迹可知粒子带正电，A 错误；粒子从A 到B 的过程中静电力做正功，
所以电势能减小，B 错误；根据动能定理得W＋WG＝ΔEk＝－0.5 J，所以粒子在A 点的动
能比在B 点多0.5 J，C 错误；静电力做正功，机械能增加，所以粒子在A 点的机械能比在
B 点少1.5 J，D 正确．
2.质量为m 的带电小球射入匀强电场后，以方向竖直向上、大小为2g 的加速度向下运动，
2
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重力加速度为g，在小球下落h 的过程中( )
A.小球的重力势能减少了2mgh
B.小球的动能增加了2mgh
C.静电力做负功2mgh
D.小球的电势能增加了3mgh
答案 D
解析 带电小球受到向上的静电力和向下的重力，据牛顿第二定律F 合＝F 电－mg＝2mg，
得F 电＝3mg，在下落过程中静电力做功W 电＝－3mgh，重力做功WG＝mgh，总功W＝W 电
＋WG＝－2mgh，根据做功与势能变化关系可判断：小球重力势能减少了mgh，电势能增加
了3mgh，根据动能定理，小球的动能减少了2mgh，故选D.
3.质量为m 的带电小球射入匀强电场后，以方向竖直向上、大小为2g 的加速度向下运动，
在小球下落h 的过程中( )
A．小球的重力势能减少了2mgh
B．小球的动能增加了2mgh
C．电场力做负功2mgh
D．小球的电势能增加了3mgh
答案 D
解析 带电小球受到向上的电场力和向下的重力，据牛顿第二定律F 合＝F 电－mg＝2mg，
得F 电＝3mg，在下落过程中电场力做功W 电＝－3mgh，重力做功WG＝mgh，总功W＝W 电
＋WG＝－2mgh，根据做功与势能变化关系可判断：小球重力势能减少了mgh，电势能增加
了3mgh，根据动能定理，小球的动能减少了2mgh，故选D.
4.(2023·河南·模拟)如图所示，在水平向右的匀强电场中有一个绝缘斜面，斜面上有一带电
金属块沿斜面滑下，已知在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8
J，重力做功24 J.下列说法中正确的是( )
A.金属块带负电荷
B.金属块克服电场力做功8 J
C.金属块的电势能减少4 J
D.金属块的机械能减少12 J
答案 D
解析 金属块滑下的过程中动能增加了12 J，由动能定理知WG＋Wf＋WF＝ΔEk，摩擦力做
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功Wf＝－8 J，重力做功WG＝24 J，解得电场力做功WF＝－4 J，电场力做负功，金属块带
正电荷，电势能增加了4 J，A、B、C 错误；由功能关系可知机械能的变化量ΔE＝Wf＋WF
＝－12 J，即机械能减少了12 J，D 正确.
5.(多选)(2023·济南·期末)如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平
地面上，上面放一带正电的小球，小球与弹簧不连接，施加外力将小球向下压至某位置静
止．现撤去外力，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力对小球所做的
功分别为W1和W2，则上述过程中( )
A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒
B．小球的重力势能增加－W1
C．小球的电势能增加W1＋W2
D．小球的电势能减少W2
答案 BD
解析 由于电场力做正功，故小球与弹簧组成的系统机械能增加，故A 错误；由题意知重
力做负功，小球的重力势能增加，增加量为－W1，故B 正确；电场力做正功，电势能减少，
减少量为W2，故C 错误，D 正确．
6.如图所示，在粗糙水平面上间隔一定距离放置两个带电的物体A、B，带电荷量分别为Q
和—q(设两电荷间只有库仑力)，开始时，A、B 均处于静止状态，在物体B 上施加一水平
向右的恒力F，使物体 A、B 向右运动．在此过程中，下列说法正确的是( )
A．力F、库仑力及摩擦力对物体A 所做的功之和等于物体A 的动能增量
B．力F 做的功与摩擦力对物体B 做的功之和等于物体B 的动能增量
C．力F 做的功加上摩擦力对物体B 做的功等于物体B 的动能增量
D．力F 做的功及摩擦力对物体A 和B 做功的代数和等于物体A 和B 的动能增量及电势能
增量之和
答案 D
解析 力F 没有作用在物体A 上，故力F 对A 不做功，故选项A 错误；根据动能定理，
力F 做的功与摩擦力对物体B 做的功及库仑力对物体B 做的功之和等于物体B 的动能增量，
故选项B 错误；由功能关系可得，力F 做的功加上摩擦力对物体B 做的功等于物体B 的动
能增量与B 克服库仑力做功之和，故C 错误；根据能量守恒可知：力F 做的功及摩擦力对
物体A 和B 做功的代数和等于物体A 和B 的动能增量及电势能增量之和，故选项D 正确．
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7.如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m 的带电小球，以初速度v 从M 点竖直向
上运动，通过N 点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M 运动到N 的过
程( )
A．动能增加mv2
B．机械能增加2mv2
C．重力势能增加mv2
D．电势能增加2mv2
答案 B
解析 小球动能的增加量为ΔEk＝m(2v)2－mv2＝mv2，A 错误；小球在竖直方向上的分运动
为匀减速直线运动，到N 时竖直方向的速度为零，则M、N 两点之间高度差为h＝，小球
重力势能的增加量为ΔEp＝mgh＝mv2，C 错误；静电力对小球做正功，则小球的电势能减
少，由能量守恒定律可知，小球减小的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势
能的减少量为ΔEp′＝mv2＋mv2＝2mv2，D 错误；由功能关系可知，除重力外的其他力对
小球所做的功在数值上等于小球机械能的增加量，即2mv2，B 正确．
8.(多选)如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN 水平．a、
b 是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b 固定在M 点，a 从N 点由静止释放，沿半
圆槽运动经过P 点到达某点Q(图中未画出)时速度为零．则小球a( )
A．从N 到Q 的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小
B．从N 到P 的过程中，速率先增大后减小
C．从N 到Q 的过程中，电势能一直增加
D．从P 到Q 的过程中，动能减少量小于电势能增加量
答案 BC
解析 小球a 从N 点静止释放，过P 点后到Q 点速度为零，整个运动过程只有重力和库仑
力做功，库仑力方向与小球a 速度方向夹角一直大于90°，所以库仑力整个过程做负功．小
球a 从N 到Q 的过程中，库仑力增大，库仑力与重力的夹角减小，所以它们的合力一直增
大，故A 错误；小球a 受力如图所示，
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在靠近N 点的位置，合力与速度夹角小于90°，在P 点合力与速度夹角大于90°，所以小球
a 从N 到P 的过程中，速率应先增大后减小，故B 正确；从N 到Q 的过程中，库仑力一直
做负功，所以电势能一直增加，故C 正确；根据能量守恒可知，P 到Q 的过程中，动能的
减少量等于重力势能和电势能的增加量之和，故D 错误．
9.如图所示，一带电微粒沿与CD 平行方向(垂直AD 方向)射入倾角为θ 的光滑斜面上，斜
面所在区域存在和AD 平行的匀强电场，微粒运动轨迹如图中虚线所示，则( )
A．若微粒带正电荷，则电场方向一定沿斜面向下
B．微粒从M 点运动到N 点电势能一定增加
C．微粒从M 点运动到N 点动能一定增加
D．微粒从M 点运动到N 点机械能一定增加
答案 C
解析 若微粒带正电荷，重力沿斜面向下的分力大于静电力时，静电力的方向可以沿斜面
向上，也可以沿斜面向下，故A 错误；当静电力沿斜面向上时，则静电力做负功，电势能
增加，当静电力沿斜面向下时，静电力做正功，电势能减小，故B 错误；由于合力沿斜面
向下，故合力一定做正功，根据动能定理可知，动能一定增加，故C 正确；若静电力沿斜
面向上，静电力做负功，机械能减小，故D 错误．
10.(2023·江西省第二中学模拟)如图所示，倾角为α＝30°的绝缘斜面AB 长度为3l，BC 长度
为l，斜面BC 段上方有沿斜面向上的匀强电场．一质量为m、电荷量为＋q 的小物块自A
端左上方某处以初速度v0＝水平抛出，恰好在A 点与斜面相切滑上斜面，沿斜面向下运动，
经过C 点但未能到达B 点，在静电力作用下返回，最终恰好静止在A 点，已知物块与斜面
间的动摩擦因数为μ＝，不考虑运动过程中物块电荷量的变化，不计空气阻力，重力加速
度为g，求：
(1)物块平抛过程中的位移大小；
(2)物块在电场中的最大电势能．
答案 (1)l (2)2mgl
解析 (1)物块落到斜面上A 点时，速度方向与水平方向夹角为α，设此时速度为v，则v
＝，
竖直速度vy＝vsin α，平抛运动时间t＝，
平抛过程中水平位移x＝v0t，
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又有竖直位移y＝，
平抛的位移s＝，联立解得s＝l.
(2)设物块沿斜面向下运动的最大位移为x′，自物块从A 点开始向下运动到再次返回A 点，
根据动能定理有－2μmgcos α·x′＝0－mv2，解得x′＝2l.物块位于最低点时，电势能最大，
物块自A 点到最低点过程中，设静电力做功为W，根据动能定理有mgsin α·x′－μmgcos
α·x′－W＝0－mv2，
解得W＝2mgl，即物块电势能的最大值为2mgl.
11.如图所示，竖直固定的光滑绝缘细杆上O 点套有一个电荷量为－q (q>0)的小环，在杆的
左侧O′处固定一个电荷量为＋Q (Q>0)的点电荷，杆上a、b 两点与O′点正好构成等边
三角形，c 是ab 的中点．使小环从O 点无初速度释放，小环通过a 点时的速率为v.若已知
ab＝Oa＝l，静电力常量为k，重力加速度为g.则( )
A．在a 点，小环所受弹力大小为
B．在c 点，小环的动能最大
C．在c 点，小环的电势能最大
D．在b 点，小环的速率为
答案 D
解析 在a 点，小环所受的库仑力沿aO′方向，大小为，水平方向小球受力平衡，所以小
球受到向右的弹力大小等于库仑力沿水平方向向左的分力，即sin 60°＝，A 错误；在c 点，
重力与库仑力垂直，竖直方向合力向下且不为零，则小环在c 点的动能一定不是最大，B
错误；c 点距离正点电荷最近，对应电势最高，故带负电荷的小环在c 点电势能最小，C 错
误；从a 点到b 点，由点电荷形成的电场的分布特点及几何关系知，a、b 两点电势相等，
则静电力不做功，应用动能定理有mgl＝mv2
2－mv2，解得v2＝，D 正确．
12.如图所示，在空间中存在竖直向上的匀强电场，质量为m、电荷量为＋q 的物块从A 点
由静止开始下落，加速度为g，下落高度H 到B 点后与一轻弹簧接触，又下落 h 后到达最
低点C，整个过程中不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则带电
物块在由A 点运动到C 点过程中，下列说法正确的是( )
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A．该匀强电场的电场强度为
B．带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为
C．带电物块电势能的增加量为mg(H＋h)
D．弹簧的弹性势能的增加量为
答案 D
解析 物块从静止开始下落时的加速度为g，根据牛顿第二定律得：mg－qE＝ma，解得：
E＝，故A 错误；从A 到C 的过程中，系统除重力和弹力以外，只有静电力做功，静电力
做功为：W＝－qE(H＋h)＝－，可知机械能减少量为，故B 错误；从A 到C 过程中，静电
力做功为－，则电势能增加量为，故C 错误；根据动能定理得：mg(H＋h)－＋W 弹＝0，解
得弹力做功为：W 弹＝－，即弹性势能增加量为，故D 正确．
13.(多选)(2021·湖南卷·9)如图，圆心为O 的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，
ab 和cd 为该圆直径．将电荷量为q(q>0)的粒子从a 点移动到b 点，电场力做功为
2W(W>0)；若将该粒子从c 点移动到d 点，电场力做功为W.下列说法正确的是( )
A．该匀强电场的场强方向与ab 平行
B．将该粒子从d 点移动到b 点，电场力做功为0.5W
C．a 点电势低于c 点电势
D．若只受电场力，从d 点射入圆形电场区域的所有带电粒子都做曲线运动
答案 AB
解析 由于该电场为匀强电场，可采用矢量分解的思路．沿cd 方向建立x 轴，垂直于cd 方
向建立y 轴，如图所示
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从c 到d 有W＝Exq·2R
从a 到b 有2W＝Eyq·R ＋ ExqR
可得Ex＝，Ey＝
则E＝＝，tan θ＝＝
由于电场方向与水平方向成60°角，则场强方向与ab 平行，且由a 指向b，A 正确；
将该粒子从d 点移动到b 点，电场力做的功为
W′＝Eq＝0.5W，B 正确；
沿电场线方向电势逐渐降低，则a 点电势高于c 点电势，C 错误；
若粒子从d 点射入圆形电场区域的速度方向与ab 平行，则粒子做匀变速直线运动，D 错误．
9
