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09 静电场及其应用
[-考点-03-] 电场强度的叠加
1．电场强度的叠加(如图所示)
2．“等效法”“对称法”和“填补法”
(1)等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q 与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形
成的电场，如图甲、乙所示．
(2)对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简
化．
例如：如图所示，均匀带电的球壳在O 点产生的电场，等效为弧BC 产生的电场，弧BC 产
生的电场强度方向，又等效为弧的中点M 在O 点产生的电场强度方向．
(3)填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，将半球面补全为球面，从而化难为
易、事半功倍．
(4)微元法
将带电体分成许多元电荷,每个元电荷看成点电荷,先根据点电荷的电场强度公式求出每个元
电荷的电场强度,再结合电场强度叠加原理求出合电场强度.
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选用技巧
(1)点电荷电场与匀强电场电场强度叠加一般应用合成法．
(2)均匀带电体与点电荷电场强度叠加一般应用对称法．
(3)计算均匀带电体某点产生的电场强度一般应用补偿法或微元法．
典例1 (点电荷电场强度的叠加)(2021·湖南卷·4)如图，在(a,0)位置放置电荷量为q 的正点电
荷，在(0，a)位置放置电荷量为q 的负点电荷，在距P(a，a)为a 的某点处放置正点电荷
Q，使得P 点的电场强度为零．则Q 的位置及电荷量分别为( )
A．(0,2a)，q
B．(0,2a)，2q
C．(2a,0)，q
D．(2a,0)，2q
答案 B
解析 根据点电荷电场强度公式E＝k，两异种点电荷在P 点的电场强度大小均为E0＝，方
向如图所示，
两异种点电荷在P 点的合电场强度大小为E1＝E0＝，方向与＋q 点电荷和－q 点电荷的连线
平行，如图所示，Q 点电荷在P 点的电场强度大小为E2＝k＝，由于三个点电荷在P 处的合
电场强度为0，则E2的方向应与E1的方向相反，且大小相等，即有E1＝E2，解得Q＝2q，
由几何关系可知Q 的坐标为(0,2a)，故选B.
典例2 (“微元法”求解非点电荷电场强度的叠加)(2023·河南驻马店市高三模拟)如图所
示，真空中有一电荷均匀分布的带正电圆环，半径为r，带电荷量为q，圆心O 在x 轴的坐
标原点处，圆环的边缘A 点与x 轴上P 点的连线与x 轴的夹角为37°，静电力常量为k，取
sin 37°＝，cos 37°＝，则整个圆环产生的电场在P 点的电场强度大小为( )
A.
B.
2
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C.
D.
答案 B
解析 把圆环分为n 等份(n 足够大)，每一份的电荷量为Δq，则有n＝，每小份可以看成点
电荷，由点电荷的电场强度公式可知每小份产生的电场在P 点的电场强度大小均为E0＝，
由几何关系sin 37°＝，可得E0＝.在P 点，E0在垂直x 轴方向的分量大小为Ey，根据对称
性，n 个Ey的矢量和为0，E0在x 轴方向的分量大小为Ex＝E0cos 37°，n 个Ex的矢量和就是
圆环产生的电场在P 点的电场强度，即E＝nEx，解得E＝，A、C、D 错误，B 正确．
典例3 (“填补法”求解非点电荷电场强度的叠加) 均匀带电的球壳在球外空间产生的电场
等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图所示，在半球面AB 上均匀分布正电荷，总电
荷量为q，球面半径为R，CD 为通过半球顶点与球心O 的轴线，在轴线上有M、N 两点，
＝＝2R，静电力常量为k，已知M 点的电场强度大小为E，则N 点的电场强度大小为( )
A.－E
B.
C.－E
D.＋E
答案 A
解析 把在O 点的球壳补为完整的带电荷量为2q 的带电球壳，则在M、N 两点产生的电场
强度大小为E0＝＝.题图中左半球壳在M 点产生的电场强度为E，则右半球壳在M 点产生
的电场强度为E′＝E0－E＝－E，由对称性知，左半球壳在N 点产生的电场强度大小也为
－E，A 正确．
典例4 (“对称法”求解非点电荷电场强度的叠加) 如图所示，一半径为R 的圆盘上均匀分
布着电荷量为Q 的电荷.在垂直于圆盘且过圆心c 的轴线上有a、b、d 三个点.a 和b、b 和
c、c 和d 间的距离均为R，在a 点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷.已知b 点处的电场
强度为零，则d 点处电场强度的大小为(k 为静电力常量)( )
A.k
B.k
C.k
D.k
答案 B
解析 由于b 点处的电场强度为零，根据电场叠加原理知，带电圆盘和a 点处点电荷在b
点处产生的电场强度大小相等、方向相反，所以带电圆盘在b 点处产生的电场强度为E＝
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k，方向向左，根据对称性可知，带电圆盘在d 点处产生的电场强度为k，方向向右，则在
d 点处带电圆盘和a 点处点电荷产生的电场强度方向相同，所以E′＝k＋k＝k，故B 正确.
典例5 (“等效法”求解非点电荷电场强度的叠加) (2023·全国·高二随堂练习)如图所示，
图甲中MN 为足够大的不带电薄金属板，在金属板的右侧，距离为d 的位置上放入一个电
荷量为＋q 的点电荷O，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布．P 是金属板上的一
点，P 点与点电荷O 之间的距离为r，几位同学想求出P 点的电场强度大小，但发现问题很
难．几位同学经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知
道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的．图乙中两异种点电荷电
荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线．由此他们分别
对P 点的电场强度方向和大小做出以下判断，其中正确的是( )
A.方向沿P 点和点电荷的连线向左，大小为
B.方向沿P 点和点电荷的连线向左，大小为
C.方向垂直于金属板向左，大小为
D.方向垂直于金属板向左，大小为
答案 C
解析 根据P 点的电场线方向可以得P 点的电场强度方向是垂直于金属板向左，两异号点
电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，P 点与点电荷O 之间的距离为r，根据点
电荷的场强公式E=，P 点的电场是由两异号点电荷分别产生的场强叠加产生的．根据场强
的叠加法则和几何关系得：大小为．故选C．
1.如图，真空中a、b、c、d 四点共线且等距.先在a 点固定一点电荷＋Q，测得b 点场强大
小为E.若再将另一等量异种点电荷－Q 放在d 点，则( )
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A.b 点场强大小为E B.c 点场强大小为E
C.b 点场强方向向左 D.c 点场强方向向左
答案 B
解析 设ab＝bc＝cd＝L，＋Q 在b 点产生的场强大小为E，方向水平向右，由点电荷的场
强公式得：E＝k，－Q 在b 点产生的场强大小为E1＝k＝E，方向水平向右，所以b 点的场
强大小为Eb＝E＋E＝E，方向水平向右，故A、C 错误；根据对称性可知，c 点与b 点的场
强大小相等，为E，方向水平向右，故B 正确，D 错误.
2.在x 轴上有两个点电荷，一个带正电Q1，一个带负电Q2，且Q1＝2Q2，用E1和E2分别表
示两个点电荷所产生的电场强度的大小，则在x 轴上( )
A.E1＝E2的点只有一处，该点合电场强度为零
B.E1＝E2的点共有两处，一处合电场强度为零，另一处合电场强度大小为2E2
C.E1＝E2的点共有三处，其中两处合电场强度为零，另一处合电场强度大小为2E2
D.E1＝E2的点共有三处，其中一处合电场强度为零，另两处合电场强度大小为2E2
答案 B
解析 点电荷产生的电场强度的大小E＝，则正点电荷产生的电场强度大小E1＝，负点电
荷产生的电场强度大小E2＝＝k.要使E1＝E2，则有r1＝r2，且该点位于过两个点电荷的直线
上，而满足此关系的点有两处：一处是两点电荷的连线间，另一处是负电荷外侧.由于两电
荷是异种电荷，所以在两者连线间一处，合电场强度大小为2E1或2E2，而在负电荷外侧的
一处，合电场强度为零，故B 正确，A、C、D 错误.
3.(2023·湖北·月考)如图所示，M、N 和P 是以MN 为直径的半圆弧上的三点，O 点为半圆
弧的圆心，∠MOP＝60°.电荷量相等、电性相反的两个点电荷分别置于M、N 两点，这时
O 点电场强度的大小为E1；若将N 点处的点电荷移至P 点，此时O 点的场强大小为E2，则
E1与E2之比为( )
A.1∶2 B.2∶1 C.2∶ D.4∶
答案 B
解析 依题意，两点电荷在O 点产生的场强大小均为，当N 点处的点电荷移至P 点时，O
点场强如图所示，则合场强大小E2＝，故＝，选项B 正确.
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4.(2023·安徽省·期末)如图，真空中有三个电荷量相等的点电荷A、B、C，它们固定在等边
三角形的三个顶点上，A、B 带正电，C 带负电，三角形的中心O 处的电场强度大小为E.当
把点电荷C 移至AB 连线的中点D 时，中心O 处的电场强度大小为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 设等边三角形的边长为L，由题意可知E＝2k＝2k＝，当把点电荷C 移至AB 连线的
中点D 时，中心O 处的电场强度E′＝k－k＝－＝＝E，故选D.
5.如图所示，E、F、G、H 为矩形ABCD 各边的中点，O 为EG、HF 的交点，AB 边的长度
为d.E、G 两点各固定一等量正点电荷，另一电荷量为Q 的负点电荷置于H 点时，F 点处的
电场强度恰好为零.若将H 点的负电荷移到O 点，则F 点处电场强度的大小和方向为(静电
力常量为k)( )
A.，方向向右
B.，方向向左
C.，方向向右
D.，方向向左
答案 D
解析 当负点电荷在H 点时，F 点处电场强度恰好为零，根据公式E＝k 可知负点电荷在F
点产生的电场强度大小为E＝k，方向水平向左，两个正点电荷在F 点的合电场强度大小为
E＝k，方向水平向右；负点电荷移到O 点，在F 点产生的电场强度大小为E1＝k，方向水
平向左，所以F 点的合电场强度为k－k＝k，方向水平向左，故D 正确，A、B、C 错误.
6.(2023·四川·诊断)如图所示，边长为L 的正六边形ABCDEF 的5 条边上分别放置5 根长度
也为L 的相同绝缘细棒.每根细棒均匀带上正电.现将电荷量为＋Q 的点电荷置于BC 中点，
此时正六边形几何中心O 点的电场强度为零.若移走＋Q 及AB 边上的细棒，则O 点电场强
度大小为(k 为静电力常量，不考虑绝缘棒及＋Q 之间的相互影响)( )
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A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由题意知，电荷量为＋Q 的点电荷在O 点的电场强度大小为E＝＝；那么每根细棒
在O 点的电场强度大小也为E＝；因此＋Q 及AB 边上的细棒在O 点的合电场强度大小E 合
＝，其方向如图所示.若移走＋Q 及AB 边上的细棒，那么其余棒在O 点的电场强度大小为
E 合′＝，故A、B、C 错误，D 正确.
7.(2021·山西·模拟)如图所示，电荷量为＋q 和－q 的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体
范围内电场强度为零的点有( )
A.体中心、各面中心和各边中点
B.体中心和各边中点
C.各面中心和各边中点
D.体中心和各面中心
答案 D
解析 两个等量同种电荷在其连线的中点处的合电场强度为零，两个等量同种正电荷在其
连线的中垂线上的合电场强度沿中垂线指向远离正电荷的方向，两个等量同种负电荷在其
连线的中垂线上的合电场强度沿中垂线指向负电荷的方向.在正方体的上面中心，上面的四
个电荷分成两组产生的电场强度都是零，下面的四个电荷分成两组产生的电场强度等大反
向，所以正方体的上面中心处的合电场强度为零，同理各面中心处的合电场强度都为零.在
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体中心，可以将八个电荷分成四组，产生的合电场强度为零.而在各边中心，电场强度无法
抵消，合电场强度不为零，故选D.
8.(2023·河北·模拟)如图所示，一个均匀的带电圆环，带电荷量为＋Q，半径为R，放在绝
缘水平桌面上.圆心为O 点，过O 点作一竖直线，在此线上取一点A，使A 到O 点的距离为
R，在A 点放一检验电荷＋q，则＋q 在A 点所受的电场力为( )
A.，方向向上
B.，方向向上
C.，方向水平向左
D.不能确定
答案 B
解析 检验电荷受的库仑力沿着电荷的连线指向＋q，由对称性可知在垂直于竖直线的方向
上的分力相互抵消，只有沿竖直线方向的分力.所以＋q 在A 点所受的电场力方向向上.由库
仑定律知F＝cos 45°＝，选项B 正确.
9.如图所示，在真空中A、B 两点处各固定一个点电荷，它们的电荷量相等，均为4.0×10－10
C，而带电的性质不同，A 为正、B 为负，两者相距80 cm，P 点与A、B 等距离，均为50
cm，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2.
(1)试确定P 点的场强大小和方向；
(2)试求P 点处的场强和A、B 连线中点O 处的场强大小之比.
答案 (1)23.04 N/C 方向平行于AB，沿AB 方向 (2)64∶125
解析 (1)A、B 两点处点电荷在P 点产生的场强大小为EA＝EB＝k＝9.0×109× N/C＝14.4
N/C；P 点的合场强大小为EP＝2EAcos θ＝2×14.4× N/C＝23.04 N/C，方向平行于AB，沿
AB 方向.
(2)O 点的合场强大小为EO＝2k＝2×9.0×109× N/C＝45 N/C；
P 点处的场强和O 处的场强大小之比＝＝.
10.如图所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P 为垂直于圆环平面
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中心轴上的一点，OP＝L，试求P 点的电场强度.
答案
解析 将圆环看成由n 个小段组成，当n 相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带
电荷量Q′＝，由点电荷电场强度公式可求得每一小段带电体在P 处产生的电场强度为E＝
＝.由对称性知，各小段带电体在P 处电场强度E 的垂直于中心轴的分量Ey相互抵消，而其
轴向分量Ex之和即为带电圆环在P 处的电场强度EP，EP＝nEx＝ncos θ＝.
11.如图所示，电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O 处电场强度大小等于E0，两
个通过同一条直径的平面夹角为α，从半球中分出夹角为α 的这部分球面，则所分出的这
部分球面上(在“小瓣”上)的电荷在O 处的电场强度大小为( )
A．E＝E0sin α
B．E＝E0cos α
C．E＝E0cos
D．E＝E0sin
答案 D
解析 若半球面带正电，根据对称性，待求的电场强度E 的方向一定沿着α 角的角平分线
指向右下方，同理大瓣球面在O 点的电场强度的方向一定沿着大瓣的角平分线向左下方，
由于两瓣球面合起来是半个球面，所以这两个电场强度一定垂直，合电场强度等于E0，根
据平行四边形定则作图如图所示，E＝E0sin ；同理，若半球面带负电，仍有E＝E0sin ，D
正确，A、B、C 错误．
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12.直角坐标系xOy 中，M、N 两点位于x 轴上，G、H 两点坐标如图所示．M、N 两点各固
定一负点电荷，一电荷量为Q 的正点电荷置于O 点时，G 点处的电场强度恰好为零．静电
力常量用k 表示．若将该正点电荷移到G 点，则H 点处电场强度的大小和方向分别为(
)
A.，沿y 轴正方向
B.，沿y 轴负方向
C.，沿y 轴正方向
D.，沿y 轴负方向
答案 B
解析 处于O 点的正点电荷在G 点处产生的电场强度大小E1＝k，方向沿y 轴负方向；因
为G 点处电场强度为零，所以M、N 处两负点电荷在G 点产生的合电场强度大小E2＝E1＝
k，方向沿y 轴正方向；根据对称性，M、N 处两负点电荷在H 点产生的合电场强度大小E3
＝E2＝k，方向沿y 轴负方向；将该正点电荷移到G 处，该正点电荷在H 点产生的电场强度
大小E4＝k，方向沿y 轴正方向，所以H 点处的电场强度大小E＝E3－E4＝，方向沿y 轴负
方向，故选B.
13.(2022·山东卷·3)半径为R 的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O 点，环上均匀分布
着电量为Q 的正电荷．点A、B、C 将圆环三等分，取走A、B 处两段弧长均为ΔL 的小圆
弧上的电荷．将一点电荷q 置于OC 延长线上距O 点为2R 的D 点，O 点的电场强度刚好为
零．圆环上剩余电荷分布不变，q 为( )
A．正电荷，q＝
B．正电荷，q＝
C．负电荷，q＝
D．负电荷，q＝
答案 C
解析 取走A、B 处两段弧长均为ΔL 的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O 点产
生的电场强度为与A 在同一直径上的A1和与B 在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和，
如图所示，因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，则有E1＝k＝k，由题意可知，两电场
强度方向的夹角为120°，由几何关系得两者的合电场强度大小为E＝E1＝k，根据O 点的合
电场强度为0，则放在D 点的点电荷带负电，在O 点产生的电场强度大小为E′＝E＝k，
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又E′＝k，联立解得q＝，故选C.
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