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专题九 静电场
——精剖细解细备考讲义
高考对于这部分知识点主要通过鲜明时代性的情景进行命题设计，体现物理对生产生活、科学
技术发展所产生的指导、创新等作用。在解决此类问题时要将所学物理知分析题意中的情境，抓住
问题实质，具备一定的物理分析能力和数学推导能力，具备解决实际问题的能力。主要考查的知识
点有：电场强度，电场线，电势能，电势，电容，电场中的图像等。主要考查的知识点有：静电力
做功，电场线，电势能，等势面，含电容电路的电流和电压计算。
知识点1：静电场
1、电场场强的计算方法
公式
E＝
E＝k
E＝
公式意义
电场强度定义式
真空中点电荷的电场强度决定
式
匀强电场中场强与电势差之
间的关系
意义
给出了一种量度电场强弱的方
法
表明了点电荷场强大小的决定
因素
给出了一种求解匀强电场的
方法
适用范围
一切电场
①真空；②点电荷
匀强电场
决定因素
由电场本身决定，与检验电荷
q 无关
由场源电荷Q 和场源电荷到该
点的距离r 共同决定
由电场本身决定，d 为两点
沿场强方向的距离
式中电荷的意义q 为检验（或试探）电荷的电
荷量
Q 为产生电场的点电荷的电荷
量
/
关系理解
E 用F 与q 的比值来表示，但
E 的大小与F、q 大小无关
E 不仅用Q、r 来表示，且
E Q
∝，
E∝1/r2
E 用U 与d 的比值来表示。
2、电场线的特点和应用
1
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3、几种常见的电场线
图甲和图乙为正负点电荷的电场线，其特点为：正(负)点电荷的电场线呈空间球对称分布指向
外(内)部；离点电荷越近，电场线越密(场强越大)；以点电荷为球心作一球面，则电场线处处与球
面垂直，在此球面上场强大小相等，但方向不同。
图丙为等量异种电荷的电场线，其特点为：关于中心点对称的点，场强等大同向；
两点电荷连线上，沿电场线方向场强先变小再变大，中点处场强最小；两点电荷连线的中垂线上电
场强度方向都相同，总与中垂线垂直且指向负点电荷一侧．沿中垂线从中点到无限远处，场强一直
减小，中点处场强最大。
图丁为等量同种电荷的电场线，其特点为：关于中心点O 点的对称点，场强等大反向；两点电
荷连线上，中点O 处场强为零，向两侧场强逐渐增大；两点电荷连线的中垂线上由中点O 到无限
远，场强先变大后变小。
3、静电平衡
4、静电屏蔽的两种现象
现象
外屏蔽
内屏蔽
定义
导体外部电场不影响导体内
部。
接地导体内部的电场不影响
导体外部。
2
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示意图
屏蔽原理
外部电荷产生的电场与导体
球壳表面上感应电荷产生的
电场在空腔内的合场强为
零，达到静电平衡状态，起
到屏蔽外电场的作用。
当导体空腔外部接地时，球
壳的外表面的感应电荷因接
地将传给地球，则球壳外部
合场强为零，起到屏蔽内电
场的作用。
特点
球壳外电场对球壳内不产生影
响，球壳内电场对球壳外产生
影响。
球壳内外电场互不产生影响。
本质
静电感应与静电平衡
5、电势能高低的判断
判断角度
判断方法
做功判断法
电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加。
电荷电势法
正电荷在电势高的地方电势能大；负电荷在电势低的地方电势能
大。
公式法
将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，正Ep的绝对值越
大，电势能越大；负Ep的绝对值越大，电势能越小。
能量守恒法
在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，
动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加。
6、电势高低的判断
判断角度
判断方法
依据电场线方向
沿电场线方向电势逐渐降低。
依据场源电荷的正负
取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为
负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低。
依据电场力做功
根据UAB＝，将WAB、q 的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB
的高低。
依据电势能的高低
正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大。
7、电场中的图像
v t 图象
根据v t 图象中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定
电场的方向、电势高低及电势能变化。
φ x 图象
(1)电场强度的大小等于φ x 图线的斜率大小，电场强度为零处，φ x 图线存在
极值，其切线的斜率为零；
(2)在φ x 图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电
场强度的方向；
(3)在φ x 图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB
的正负，然后做出判断。
Ex 图象
(1)反映了电场强度随位移变化的规律；(2)E＞0 表示场强沿x 轴正方向，E＜0
3
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表示场强沿x 轴负方向；
(3)图线与x 轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两
点的电势高低根据电场方向判定。
Epx 图象
(1)反映了电势能随位移变化的规律；
(2)图线的切线斜率大小等于电场力大小；
(3)进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况。
8、φ－x 图像
①正负点电荷的φ－x 图象(取无限远处电势为零)，如下图所示：
②两个等量同种点电荷的φ－x 图象，如下图所示：
两个等量同种点电荷中垂线上的φ－x 图象，如下图所示：
特点：两点电荷连线上，中点电势最低；在两点电荷连线的中垂线上，中点电势最高。关于中点左
右对称或上下对称的点电势相等。
③两个异种量同种点电荷的φ－x 图象，如下图所示：
特点：两点电荷连线的中垂面上的电势为零。
④分析方法：
典型图像
分析思路
4
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可以直接判断各点电势的大小，根据电势高低关
系确定电场强度的方向；图线的斜率的绝对值为
电场强度的大小，当图线存在极值时，表示电场
强度为零；分析电荷移动时电势能的变化；判断
电场类型，如果图像是曲线（场强大小变化），
该电场为非匀强电场；如果图像是倾斜的直线
（场强大小不变），该电场为匀强电场。
9、E-x 图像
①点电荷的E－x 图象
正点电荷及负点电荷的电场强度E 随坐标x 变化关系的图象大致如图所示。
②两个等量异种点电荷的E－x 图象
（1）两电荷连线上的E－x 图象如图。
（2）两电荷连线的中垂线上的E－y 图象如图。
③两个等量同种点电荷的E－x 图象[来源:Zxxk.Com]
两电荷连线上的E－x 图象如图。两电荷连线的中垂线上的E－y 图象如图。
10、等势面的特点和应用
5
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电场类型
图示
特点
点电荷的电场
等势面是以点电荷为球心的一簇球面。
等量异种点电荷
的电场
两点电荷连线的中垂面上是电势为零的等势面。
等量同种正点电
荷的电场
在两点电荷中心连线上，中点电势最低；而在中垂线上，中
点电势最高。关于中点左右对称或上下对称的点电势相等。
匀强电场
等势面为垂直于电场线的一簇等间距平面。
11、电容器的动态分析
公式
C＝
C＝
公式特点
定义式
决定式
意义
对某电容器Q∝U，但＝C 不变，
反映电容器容纳电荷的本领。
平行板电容器，C∝εr，C∝S，C∝，
反映了影响电容大小的因素。
联系
电容器容纳电荷的本领由来量度，由本身的结构（如平行板电容器的
εr、S、d 等因素）来决定。
6
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Q 不变分析思路：根据C＝＝先分析电容的变化，再分析U 的变化；根据E＝＝分析场强变化。
即
C=
εS
4 π kd ∝εS
d ，
U=Q
C = 4 π kd
εS
∝d
εS ，
E=U
d = Q
Cd = 4 π kQ
εS
∝1
εS 。
U 不变分析思路：根据C＝＝先分析电容的变化，再分析Q 的变化；根据E＝分析场强的变化。
根据UAB＝E·d 分析某点电势变化。即
C=
εS
4 π kd ∝εS
d ，Q＝U·C＝
UεS
4 π kd ∝εS
d ，
E=U
d ∝1
d 。
两个较巧：在电荷量保持不变的情况下，由E＝＝＝知，电场强度与板间距离无关；在两极板
带电量保持不变的情况下，可以认为一定量的电荷对应着一定数目的电场线，两极板间距离变化时
场强不变；两极板正对面积变化时，如下图中电场线变密，场强增大。
静电场
1．（2024·广东东莞·模拟预测）在 x 轴方向存在一静电场，其φ-x 图像如图所示，一电子以一定
的初速度沿 x 轴从 O 点运动到 x4，电子仅受电场力，则该电子（ ）
7
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A．在 x1 处电势能最小
B．从 x2到 x3受到的电场力和从 x3到 x4受到的电场力方向相反
C．在 x1处受到的电场力最大
D．在 x3处电势为零，电场强度也为零
【答案】A
【详解】A．电荷在某点的电势能为
由公式可知，负点电荷在电势越大的地方，电势能越小，所以该电子在x1处的电势能最小，故A 正
确；
B． x2到 x3的场强方向向右， x3到 x4的场强方向向右，所以电子在x2到 x3和x3到 x4受到的电场
力方向都是向左，方向相同，故B 错误；
C．φ-x 图像中斜率表示电场强度，可知电子在 x1处受到的电场力为0，故C 错误；
D．φ-x 图像中斜率表示电场强度， x3处的斜率不为0，所以 x3处的电场强度不为0，故D 错误；
故选A。
2．（2024·江西赣州·模拟预测）如图所示，在立方体的塑料盒内，其中AE 边竖直，质量为m 的带
正电小球（可看作质点），第一次小球从A 点以水平初速度
沿AC 方向抛出，小球在重力作用下
运动恰好落在G 点。M 点为BC 的中点，小球与塑料盒内壁的碰撞和小球与塑料盒边长的碰撞为弹
性碰撞（碰撞后平行平面或边长的速度分量保持不变，垂直平面或垂直边长的速度分量大小不变，
方向相反），落在底面不反弹。则下列说法正确的是（ ）
8
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A．第二次将小球从A 点沿AB 方向，以
的水平初速度抛出，与边BF 碰撞后，小球最终落
在F 点
B．第二次将小球从A 点沿AM 方向，以
水平初速度抛出，小球将和CG 边发生碰撞
C．若又在空间增加沿AD 方向的匀强电场，第三次将小球从A 点沿AB 方向水平抛出，要使小
球落在G 点，初速度为
D．若又在空间增加沿AB 方向的匀强电场，第三次将小球从A 点沿AD 方向水平抛出，要使小
球落在G 点，电场力大小为2mg
【答案】C
【详解】A．设立方体边长为l，从A 点沿AC 方向平抛落在G 点，竖直方向自由落体
运动时间为
水平方向匀速直线运动
可知初速度为
从A 点沿AB 方向，以
水平初速度抛出，经历时间
9
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可得
将与边BF 碰撞，碰撞前后竖直向下的速度不变，垂直边BF 的速度反向，再经历
时间落到地面
恰好打在E 点，故A 错误；
B．从A 点沿AM 方向，以
水平初速度抛出，经历时间
可得
将与面BCGF 碰撞，碰撞前后竖直向下的速度不变，平行与面BCGF 的速度也不变，垂直面BCGF
的速度反向，再经历
时间落到地面恰好与DH 边发生碰撞，之后落在底面EFGH 中，故B 错误；
C．加了沿AD 方向的匀强电场，从A 点沿AB 方向水平抛出，不改变AB 方向的匀速运动，也不改
变竖直方向的自由落体运动，而平行AD 方向上做匀加速直线运动，若要打到G 点，则设抛出的初
速度为，可得
又
得
故C 正确；
D．B 方向上
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根据分运动具有等时性，竖直方向自由落体运动得时间等于AB 方向上匀加速运动的时间，即
解得
所以电场力为
故D 错误。
故选C。
3．（2023·四川凉山·三模）如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H 是竖直光滑绝缘圆轨道的八等
分点，
竖直，空间存在平行于圆轨道面的匀强电场，从A 点静止释放一质量为m 的带电小球，
小球沿圆弧恰好能到达C 点。若在A 点给带电小球一个水平向右的冲量，让小球沿轨道做完整的圆
周运动，则小球在运动过程中（ ）
A．E 点的动量最小
B．B 点的电势能最大
C．C 点的机械能最大
D．F 点的机械能最小
【答案】C
【详解】从A 点静止释放一质量为m 的带电小球，小球沿圆弧恰好能到达C 点，可知
电场力和重力的合力方向沿FB 方向斜向下，可知B 点为“等效最低点”，F 点为“等
效最高点”，可知小球在F 点速度最小，动量最小。由平衡知识可知，电场力水平向
右，可知小球在G 点电势能最大，在C 点电势能最小，因小球的电势能与机械能之和
守恒，可知在C 点机械能最大，在G 点机械能最小。
故选C。
4．（2023·河南新乡·一模）如图所示，细绳拉着一带正电小球在竖直平面内做半径为
的圆周运动，
该区域内存在水平向右的匀强电场。A 点为运动轨迹的最高点，
点为运动轨迹的最低点，
为
水平直径。在小球做圆周运动的过程中（ ）
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A．在A 点小球的速度最小
B．在
点绳子的拉力最大
C．在
点和
点绳子的拉力大小相等
D．在
点小球的机械能最小
【答案】D
【详解】AB．把重力和电场力合成为等效重力，可知在等效最高点的速度最小，在等效最低点的
速度最大且拉力最大，由图可知，A 点不是等效最高点，B 点不是等效最低点，故AB 错误；
C．由题意可知，小球从C 点到D 点电场力做正功，动能增大，速度增大，故小球在D 点的速度大
于C 点的速度，由牛顿第二定律可知，小球在D 点时绳子的拉力较大，故C 错误；
D．根据能量守恒定律，小球在C 点时的电势能最大，则机械能最小，故D 正确。
故选D。
5．（2023·江苏·一模）一质量为
，带电量为
的小球从水平放置的带正电
圆环的轴线处A
点由静止释放，A、
关于
点对称，下列判断正确的是（ ）
A．小球在
点处动能最大
B．小球在
点的加速度最大
C．小球在
点的电势能最小
D．小球可能在A、
间往复运动
【答案】C
【详解】A．小球从A 点到O 点的运动中，受到向下的重力和电场力，重力和电场力对小球做正功，
小球的动能增大，在O 点时，电场强度是零，小球受电场力是零，此时只受重力，小球的动能继续
增大，因此小球在
点处的动能不是最大，A 错误；
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B．小球从A 点到O 点的运动中，受到向下的重力和电场力，其合力大于重力，则加速度大于重力
加速度，小球在
点时只受重力，加速度等于重力加速度，因此小球在
点的加速度不是最大，B
错误；
C．小球从A 点到O 点的运动中，电场力对小球做正功，电势能减小，小球穿过
点后，受电场力
方向向上，电场力做负功，电势能增大，因此小球在
点的电势能最小，C 正确；
D．若小球只受电场力作用，因A、
关于
点对称，则小球可能在A、
间往复运动，可小球从
A 点运动到
点，小球受电场力的作用同时又受重力作用，重力方向一直向下，因此小球不可能在
A、
间往复运动，D 错误。
故选C。
6．（2023·山东青岛·三模）如图，在方向平行于纸面的匀强电场中有一平台，一带电小球从平台左
下侧某位置P 以
的初速度竖直向上抛出，小球恰好从平台左端Q 点以速度
水平滑
入平台。小球质量
，带电量
，重力加速度
，关于该匀强电场，下
列说法正确的是（ ）
A．场强大小可能小于1000N/C
B．场强大小一定为1250N/C
C．场强大小最小为1000N/C
D．若场强大小确定，其方向也唯一确定
【答案】C
【详解】由题意可知，水平方向
竖直方向
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可知
设场强方向与竖直方向夹角为θ，则竖直方向
水平方向
整理并带入数据可得
可知E 最小值为1000N/C；当
时E=1250N/C；若场强大小E 确定，其方向θ 不是唯一确定的。
故选C。
多选题
7．（2024·四川德阳·二模）如图所示，竖直放置的半径为R 的光滑绝缘的半圆弧轨道MN 与粗糙绝
缘水平轨道NP 在N 处平滑连接，O 点为圆弧轨道的圆心，直径MN 左侧空间存在水平向左的匀强
电场，右侧空间存在竖直向上的匀强电场，场强大小均为E，水平轨道上放置一劲度系数为k 的轻
弹簧，左端紧邻N 点，右端栓接一电荷量为q 的带负电的轻物块B（可忽略质量）。一质量为m、
电荷量为q 的带负电的物块A，以一定的初速度从M 点沿切线进入圆弧轨道。已知A、B 两个物块
与水平轨道NP 间的动摩擦因数均为μ，电荷量为
，劲度系数为
，弹簧的弹性势
能大小为
（x 为弹簧的形变量），重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
14
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A．物块A 在M 点的初速度至少为
，物块A 才能沿圆弧轨道运动到N 点
B．物块A 以不同的初速度从M 点沿圆弧轨道滑到N 点，通过N 点的速度大小可能为
C．物块A 以不同的初速度从M 点沿圆弧轨道滑过N 点后压缩弹簧，弹簧的最大压缩量可能为
D．若物块A 恰能沿圆弧轨道滑过N 点，则系统因摩擦产生的热量为2mgR
【答案】BD
【详解】物块A 受重力、电场力作用，等效重力场如图所示，设最高点为C 点
等效重力场加速度为
方向与竖直方向夹角的正切值为
A．物块A 在C 点恰好不脱落，设速度为v，由牛顿第二定律可得
解得
15
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设在M 点物块A 速度为v0，恰能沿圆弧轨道运动到C 点，由动能定理可得
解得
则物块A 在M 点的初速度至少为
，物块A 才能沿圆弧轨道运动到N 点，故A 错误；
B．若物块A 恰能沿圆弧轨道滑过N 点，通过N 点的速度最小，为
则通过N 点的速度大小可能为
，故B 正确；
C．物块A 以不同的初速度从M 点沿圆弧轨道滑过N 点后压缩弹簧，弹簧的最大弹力为
弹簧的最大压缩量为
故C 错误；
D．若物块A 恰能沿圆弧轨道滑过N 点，系统因摩擦产生的热量为W，由能量守恒可得
解得
故D 正确。
故选BD。
8．（2024·四川成都·二模）如图所示，竖直平面内建立直角坐标系，整个空间存在平行
平面的
匀强电场，电场强度方向与
轴正方向成
角。质量为
的带电小球从坐标原点沿
轴的正方向
以初速度
水平抛出，经过一段时间小球以
的速度穿过
轴正半轴某点（图中未画），重力加
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速度为
，不计空气阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．小球所受电场力大小为
B．小球所受电场力大小为
C．小球电势能最大时动能最小
D．小球电势能最大时水平速度大小等于竖直速度大小
【答案】BD
【详解】AB．将小球的运动分解为水平方向和竖直方向，根据对称性可知，小球穿过
轴正半轴
时的水平分速度为
则小球穿过
轴正半轴时的竖直分速度为
水平方向有
，
竖直方向有
，
联立可得小球所受电场力大小为
故A 错误，B 正确；
CD．小球抛出后，当速度方向与电场线垂直斜向上时，克服电场力做功最多，电势能最大，此时
电场力的方向与速度方向垂直，而重力的方向与速度方向夹角为钝角，接下来小球的速度会继续减
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小，并非此时是动能最小的时刻；由于此时小球速度与水平方向成
，则此时水平速度大小等于
竖直速度大小，故C 错误，D 正确。
故选BD。
9．（2024·四川凉山·一模）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xoy，整个空间存在平行xoy
平面与y 轴正方向成45°角的匀强电场E。质量为m 的带电小球从坐标原点O 沿x 轴的正方向以速
度v 水平抛出，经过一段时间小球以
v 的速度穿过y 轴正半轴某点（图中未画出），不计空气阻
力，则（ ）
A．小球可能带负电
B．小球所受电场力的大小为
mg
C．小球电势能最大时动能最小
D．小球电势能最大时水平速度等于竖直速度
【答案】BD
【详解】A．从抛出到穿过y 轴正半轴的过程中，重力做负功，动能增加，电场力做正功，小球沿
着电场线的方向运动了一段距离，因此小球带正电，A 错误；
B．将电场强度分解到水平方向和竖直方向，则在水平方向上
在竖直方向上
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而
联立解得
B 正确；
CD．小球抛出后，当速度方向与电场线垂直斜向上时，克服电场力做功最多，电势能最大，此时
电场力的方向与速度方向垂直，而重力的方向与速度方向夹角为钝角，接下来小球的速度会继续减
小，并非此时是动能最小的时刻，C 错误，D 正确。
故选BD。
10．（2024·新疆塔城·二模）如图所示，竖直面内固定的光滑绝缘圆轨道与两等量异种点电荷连线
相切于中点O，圆轨道半径为R，a、c 为圆轨道上与圆心
等高的两点，b 点是圆轨道的最低点。
一带正电的小球以一定的水平初速度从轨道的最高点O 开始沿轨道内侧做圆周运动，已知小球始终
不脱离轨道，重力加速度大小为g，不考虑带电小球电量对电场的影响，下列说法正确的是
（ ）
A．a 点的电势低于c 点的电势
B．a 点的电场强度与c 点的电场强度不相同
C．小球到达b 点时的速度大小不可能为
D．小球在圆轨道内运动时，在ac 两点间的电势能大小相差最大
【答案】ABC
【详解】AB．根据等量异种点电荷周围电场线的分布可知a 点更靠近负点电荷，所以a 点的电势低
于c 点的电势，a、c 两点电场强度大小相等，方向不同，故AB 正确；
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C．小球从O 到b 的过程,该两点在等势线上，电场力不做功，只有重力做功，根据机械能守恒得
则
小球始终不脱离轨道则在最高点出
所以
所以
故C 正确；
D．轨道与等势线相切的两个切点为电势差最大的点，并不是a、c 两点，故D 错误。
故选ABC。
11．（2024·河北·模拟预测）如图所示，一个光滑斜面与一个光滑的竖直圆轨道在A 点相切，B 点
为圆轨道的最低点，C 点为圆轨道的最高点，整个空间存在水平向左的匀强电场。一质量为
m=1kg，电荷量为-q（q>0）的带电小球从斜面上静止释放，小球始终能沿轨道运动。已知电场强度
，θ=53°，圆轨道半径R=1m，释放点距A 点的距离为1.2m，g 取10m/s2，sin53°=0.8，
cos53°=0.6。则以下说法中正确的是（ ）
A．刚释放小球时小球的加速度的大小为12.5m/s2
B．若小球恰好能到达C 点，到达C 点时的速度为
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C．若小球恰好能到达C 点，此运动过程中小球对轨道的最大压力为67.5N
D．若小球恰好能到达C 点，此运动过程中小球对轨道的最大压力为12.75N
【答案】AC
【详解】A．根据牛顿第二定律
刚释放小球时小球的加速度的大小为
故A 正确；
B．若小球恰好能到达C 点，轨道对小球的弹力为零，则
得
故B 错误；
CD．设小球到达等效最低点E 时对轨道压力最大。由题意可得
则OE 与竖直方向夹角为
，根据动能定理
又
得
根据牛顿第三定律，此运动过程中小球对轨道的最大压力为67.5N，故C 正确，D 错误。
故选AC。
解答题
12．（2024·河北·模拟预测）火星各种环境与地球十分相似，人类对未来移居火星有着强烈的期望。
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地球体积为火星的7 倍，质量为火星的11 倍。假设某天人类移居火星后，小华同学在火星表面制
造了如下装置，如图所示，半径为
的光滑圆弧固定在竖直平面内，其末端与木板B 的上表面
所在平面相切，且初始时木板B 的左端刚好与圆弧末端对齐，木板B 带电，电荷量为1C，木板B
左端紧挨着光滑小物块A，小物块A 左侧有一橡胶墙壁，能与A 发生弹性正碰，空间内存在水平向
左的匀强电场，电场强度
，开始时由圆弧轨道上端静止释放一带电小物块C，电荷量
，当小物块C 达到圆弧最底端时，其对圆弧轨道的压力大小为
，此时A、B 之间存
在的炸药爆炸，给予A、B 等量的动能，动能为2J，C 与B 之间的动摩擦因数为
，B 与水平
面间的动摩擦因数为
，A、C 质量未知，B 的质量
，已知地球表面的重力加速度
，为简化计算取
。
（1）求C 的质量；
（2）若C 不会滑下木板B，木板B 的长度至少为多长？
（3）已知B、C 共速停止后，A 与B 发生碰撞且粘在B 上，改变A 的质量使碰后A、B 整体速度最
大，A 的质量为多少，此时小物块C 是否会脱离木板B？
【答案】（1）1kg；（2）
；（3）4kg，否
【详解】（1）设地球质量为
，地球表面物体的质量为
，地球半径为
，火星表面的重力加速
度为
，在地球表面根据万有引力等于等于重力有
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可得
而根据题意，地球体积为火星的7 倍，质量为火星的11 倍，则有
，
而
联立以上各式解得
物块C 达到圆弧轨道最低点的过程中，由动能定理有
在轨道最低点对C 由牛顿第二定律有
根据题意，式中
联立解得
，
（2）根据题意，当A、B 间的炸药爆炸后，B 的动能
解得
当C 在B 上运动时，对C 由牛顿第二定律有
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解得
爆炸后对B 由牛顿第二定律有
解得
即物块B 恰好做匀速直线运动，则两者达到共速时C 恰好运动到木板B 的最右端，此时木板B 的
长度有最小值，设两者达到共速所用的时间为，则有
可得
则木板的最小长度
（3）根据题意对物块A 有
可得
对A、B 组成的系统，由动量守恒定律对A、B 碰撞后共速有
可得
联立可得
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由于B 的质量一定，则
要有最大值，则
要取最小值，根据基本不等式有
分析可知，当
时，A、B 碰撞后获得的共同速度将有最大值，可得最大值为
当A、B 获得共同最大速度时，对C 由牛顿第二定律有
解得
对A、B 整体由牛顿第二定律有
解得
物块C 与A、B 整体达到共速所用的时间
为
物块C 在木板上相对于木板的位移为
因此C 不会脱离B。
13．（2024·四川南充·一模）如图，足够长的光滑绝缘水平台面左端固定一被压缩的绝缘轻质弹簧，
一个质量
的可视为质点的带电小球与弹簧接触但不栓接，小球带电荷量
。
某一瞬间释放弹簧弹出小球，小球从水平台面右端
点飞出，恰好能以
的速率没有碰撞地
落到粗糙倾斜轨道的最高点
，并沿轨道滑下。已知倾斜轨道与水平方向夹角为
、倾斜轨
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道长为
，带电小球与倾斜轨道间的动摩擦因数
。倾斜轨道通过光滑水平轨道CD
与半径
的光滑过山车模型的竖直圆轨道相连，小球在
点没有机械能损失，运动过程小球
的电荷量保持不变。竖直圆轨道处在范围足够大的竖直向下的匀强电场中，圆轨道上的一点
位于
圆轨道最低点
的右侧，距水平轨道高为
（
，
，取
）。求：
（1）AB 间的竖直距离及被释放前弹簧的弹性势能
；
（2）要使小球不脱离轨道（水平轨道足够长），电场强度
所满足的条件；
（3）如果
，小球进入轨道后，能够通过
点的次数。
【答案】（1）0.45m，0.4J；（2）
或
；（3）4 次
【详解】（1）小球从
到
做平抛运动，
点处竖直分速度
点处速度
由自由落体运动公式可得
弹簧的弹性势能
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（2）若小球恰能到达圆轨道最高点时速度
满足
小球从
恰好运动到圆轨道最高点时，由动能定理得
解得
若小球从
恰好运动到圆轨道圆心等高处时，由动能定理得
解得
可知电场强度
所满足的条件
或
（3）小球从
点到达圆轨道上最大高度
处的过程中，由动能定理可得
解得
小球从第一次所能到达的圆轨道上最大高度
处滑下后，冲上斜面到达斜面最大高度处的过程中
小球从斜面最大高度处滑下，第二次到达圆轨道上最大高度
处的过程中
可得
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则有
当
时，可知
故小球能够通过点4 次。
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