函数与导数新定义问题、数列新定义问题、解析几何新定义问题、立体几何新定义问
题专项训练
考点目录
函数与导数新定义问题
数列新定义问题
解析几何新定义问题
立体几何新定义问题
1．（24-25 高三上·湖北·期中）英国数学家牛顿在17 世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如
下：如图，设r 是
0
f x =
的根，选取
0x 作为r 的初始近似值，过点
0
0
,
x
f x
作曲线
y
f x
=
的切线
0
0
0
:l y
f x
f
x
x
x
¢
-
=
-
，则l 与x 轴的交点的横坐标
1
0
x
x
=
-
0
0
0
0
f x
f
x
f
x
¢
¢
¹
，称
1
x 是r 的第一次近似值；
过点
1
1
,
x
f x
作曲线
y
f x
=
的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为
2x ，称
2x 是r 的第二次近似值；重复以
上过程，得r 的近似值序列，其中
1
0
n
n
n
n
n
f x
x
x
f
x
f
x
+
¢
¢
=
-
¹
，称
1
nx + 是r 的
1
n + 次近似值，这种求方程
0
f x =
近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程
2
3
x =
的近似解，则下列正确的是（ ）
A．若取初始近似值为1，则过点
1,
1
f
作曲线
y
f x
=
的切线
2
3
y
x
=
-
B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为7
5
C．
0
1
2
3
0
0
1
2
f x
f x
f x
x
x
f
x
f
x
f
x
=
-
-
¢
¢
¢
+
D．
0
1
2
1
0
0
1
2
n
n
n
f x
f x
f x
f x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
+ =
-
-
-
¢
-
-
¢
¢
¢
L
【答案】D
考点一
函数与导数新定义问题
【详解】解：构造函数
2
3
f
x
x
=
- ，则
2
f
x
x
¢
=
，
取初始近似值
0
1
x = ，
0
2
f x
= - ，
0
2
f
x
¢
=
，
则
2
2
1
y
x
- -
=
-
，即
2
4
y
x
=
-
，则A 错误；
0
0
1
0
0
1 3
1
1
2
2 1
f x
x
x
x
f
x
-
= Þ
=
-
= -
=
¢
´
，
1
2
1
1
4
3
7
2
2 2
4
f x
x
x
f
x
-
=
-
=
-
=
¢
´
，B 错误；
根据题意，可知
0
1
2
1
0
2
1
3
2
1
0
1
2
,
,
,
,
n
n
n
n
f x
f x
f x
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
+
=
-
=
-
=
-
=
-
¢
¢
¢
¢
L
，
上述式子相加，得
0
1
2
1
0
0
1
2
n
n
n
f x
f x
f x
f x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
+ =
-
-
-
-
-
¢
¢
¢
¢
L
，
所以
0
1
2
3
0
0
1
2
f x
f x
f x
x
x
f
x
f
x
f
x
=
-
-
¢
¢
¢
-
，C 不正确，则D 正确.
故选：D.
2．（24-25 高三上·河北石家庄·期中）定理：如果函数
f x 及
g x 满足：①图象在闭区间
,a b 上连续不断；②
在开区间
,a b 内可导；③对
,
,
0
x
a b
g
x
¢
" Î
¹
，那么在
,a b 内至少有一点c ，满足
f b
f a
f
c
g b
g a
g c
¢
-
=
¢
-
成
立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知
2
ex
x
f x =
，若存在正数
,a b a
b
¹
，满足
ln b
f b
a
l
=
+
f a ，则实数l 的取值范围为（ ）
A．
4
32 1
,
e
e
é
ù
-
ê
ú
ë
û
B．
4
8
2
,
e
e
é
ù
-
ê
ú
ë
û
C．
4
4 1
,
e
e
é
ù
-
ê
ú
ë
û
D．
4
4
2
,
e
e
é
ù
-
ê
ú
ë
û
【答案】A
【详解】由
ln b
f b
f a
a
l
=
+
可得：
ln
ln
f b
f a
b
a
l
-
=
-
，
令
ln
g x
x
=
，所以
ln
ln
f b
f a
f b
f a
b
a
g b
g a
l
-
-
=
=
-
-
由柯西中值定理可知：那么在
,a b 内至少有一点c ，满足
f b
f a
f
c
g b
g a
g c
l
¢
¢
-
=
=
-
成立，
因为
2
ex
x
f x =
，
ln
g x
x
=
，所以
2
2
2
2 e
e
2
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
-
-
=
=
¢
，
1
g
x
x
¢
=
，
所以令
2
2
2
2
e
1
e
x
x
x
x
f
x
x
x
F x
g
x
x
-
-
=
=
=
¢
¢
，
1
4
ex
x x
x
F
x
-
-
¢
=
，
0
x >
，
令
0
F
x
¢
>
可得：0
1
x
<
< 或
4
x >
，
令
0
F
x
¢
<
可得：1
4
x
<
<
，
所以
F x 在
0,1 , 4, ¥
+
上单调递增，在
1,4 上单调递减，
又
4
1
32
1
,
4
e
e
F
F
-
=
=
，
0
0
F
=
，
当x 趋于正无穷时，
F x 趋近0 ，
所以
4
32 1
,
e
e
F x
-
é
ù
Îê
ú
ë
û ，所以实数l 的取值范围为
4
32 1
,
e
e
é
ù
-
ê
ú
ë
û
.
故选：A.
3．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）定义
f
x
f
x
¢
=
的实数根x 为
f x 的“坚定点”，已知
0
a >
，且
1
a ¹ ，则下列
函数中，不存在“坚定点”的是（ ）
A．
sin
f x
a
x
=
B．
ln
f
x
ax
=
C．
3
2
2
f x
x
x
ax
a
=
+
+
+
D．
eax
f x =
【答案】D
【详解】对选项A：
cos
f
x
a
x
¢
=
，令
f x
f
x
=
¢
，则sin
cos
a
x
a
x
=
，解得
π
π
4
x
k
=
+
，k ÎZ ，存在“坚定点”；
对选项B：
1
f
x
x
¢
=
，
f
x
¢
在
0, ¥
+
上单调递减，
0
x
时，
f
x
¥
¢
+
，x +¥ 时，
0
f
x
¢
；
ln
f x
ax
=
在
0, ¥
+
上单调递增，
0
x
时，
f x
¥
-
，x +¥ 时，
f x
¥
+
，
所以关于x 的方程1
lnax
x =
在
0, ¥
+
上有一解，存在“坚定点”；
对选项C：
2
3
4
f
x
x
x
a
¢
=
+
+
，令
f x
f
x
=
¢
，
则
3
2
2
2
3
4
x
x
ax
a
x
x
a
+
+
+
=
+
+
，即
3
2
2
4
4
0
x
x
a
x
x x
x
a
-
+
-
=
-
+
-
=
，显然
0
x =
是“坚定点”；
对选项D：
eax
f
x
a
¢
=
，令
f x
f
x
=
¢
，则e
e
ax
ax
a
=
，因为
0
a >
且
1
a ¹ ，所以不存在“坚定点”．
故选：D.
4．（25-26 高三上·湖北孝感·阶段练习）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同
族函数”，那么函数解析式为
2
y
x
= -
，值域为
2, 4, 6
-
-
-
的“同族函数”包含的函数个数为（ ）
A．3
B．8
C．9
D．27
【答案】D
【详解】由题设，
2
y
x
= -
的值域为
2, 4, 6
-
-
-
，则
2
x = ±
或2
± 或
6
±
，
结合“同族函数”的定义，则函数定义域分别从{
2,
2}
-
、{ 2,2}
-
、{
6, 6}
-
中各取至少一个数，
所以共有
2
2
2
(2
1) (2
1) (2
1)
27
-
´
-
´
-
=
种.
故选：D
5．（25-26 高三上·广东肇庆·阶段练习）设
x 表示不超过x 的最大整数（如
2
2
=
，5
1
4
é ù =
ê ú
ë û
），对于给定的
*
N
nÎ
，定义
1
1
C
1
1
x
n
n n
n
x
x x
x
x
-
-
+
=
-
-
+
L
L
，
1,
x
¥
Î
+
，则当
3 ,3
2
x
é
ö
Î
÷
êë
ø时，函数
8
Cx 的值域是（ ）
A．16 ,28
3
é
ù
ê
ú
ë
û
B．16 ,56
3
é
ù
ê
ú
ë
û
C．
8
4,
28,56
3
æ
öÈ
ç
÷
è
ø
D．
16
28
4,
,28
3
3
æ
ù
æ
ù
È
ç
ç
ú
ú
è
û
è
û
【答案】D
【详解】因为
3 ,2
2
x
é
ö
Î
÷
êë
ø 时，
x =1，
所以
8
8
16
C
4, 3
x
x
æ
ù
=
Îç
ú
è
û ，
当
[2,3)
xÎ
时，[ ]
2
x = ，
所以
8
2
8 7
56
28
C
,28
1
3
1
1
2
4
x
x x
x
´
æ
ù
=
=
Îç
ú
-
è
û
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
，
函数
8
Cx 的值域是
16
28
(4,
]
(
,28]
3
3
U
故选：D
6．（25-26 高三上·北京平谷·开学考试）设函数
( )
f x 和( )
g x 的定义域为D，若存在非零实数c
D
Î
，使得
( )
( )
0
f c
g c
+
=
，则称函数
( )
f x 和( )
g x 在D 上具有性质 P.现有三组函数：
①
2
( )
, ( )
f x
x g x
x
=
=
②
,
2
e
x
x
f x
g x
-
=
=
③
2,
2x
f x
x
g x
= -
=
其中具有性质 P 的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】B
【详解】对于①，
2
( )
, ( )
f x
x g x
x
=
=
，则
2
( )
( )
f x
g x
x
x
+
=
+
，
则存在
1
x = - ，使得
2
( 1)
( 1)
1
1
0
f
g
-
+
-
= - + -
=
，故
2
( )
, ( )
f x
x g x
x
=
=
具有性质P；
对于②，
,
2
e
x
x
f x
g x
-
=
=
，两函数定义域均为R，由于
0,
0
2
e
x
x
- >
>
，
故不存在非零实数c，使得
( )
( )
0
f c
g c
+
=
，故
2
( )
, ( )
f x
x g x
x
=
=
不具有性质P；
对于③，
2,
2x
f x
x
g x
= -
=
，则
2
2x
f x
g x
x
+
= -
+
，
存在
2
x =
，使得
2
2
2
2
2
2
0
f
g
+
= -
+
=
，故
2
( )
, ( )
f x
x g x
x
=
=
具有性质P；
故选：B
7．（25-26 高二上·安徽阜阳·开学考试·多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的
称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xÎR ，用[ ]
x 表示不超过x
的最大整数，则
[ ]
y
x
=
称为高斯函数.例如：[ 3.5]
4
-
= - ，[2.1]
2
=
.已知函数
2
1
( )
1
2
2
x
x
f x =
-
+
，( )
[ ( )]
g x
f x
=
，则下
列叙述中正确的是（ ）
A．( )
g x 是偶函数
B．
( )
f x 是奇函数
C．
( )
f x 在R 上是增函数
D．( )
g x 的值域是{ 1,0,1}
-
【答案】BC
【详解】依题意，函数
2
1
1
1
( )
1
2
2
2
1
2
x
x
x
f x =
-
=
-
+
+
的定义域为R ，
对于A，
2
1
(1)
[ (1)]
[
]
0
1
2
2
g
f
=
=
-
=
+
，
1
1
( 1)
[ ( 1)]
[
]
1
2 1
2
g
f
-
=
-
=
-
= -
+
，(1)
( 1)
g
g
¹
-
，函数( )
g x 不是偶函数，A 错
误；
对于B，
2
1
1
1
(
)
( )
1
2
2
1
2
2
x
x
x
f
x
f x
-
-
-
=
-
=
-
= -
+
+
，则函数
( )
f x 是奇函数，B 正确；
对于C，函数
1
2x
y = +
在R 上单调递增，则函数
1
1
( )
2
1
2x
f x =
- +
在R 上是增函数，C 正确；
对于D，由2
0
x >
，得1
2
1
x
+
> ，则
1
1
( )
2
2
f x
-
<
<
，
g x 的值域为
1,0
-
，D 错误.
故选：BC
8．（25-26 高三上·江苏常州·开学考试·多选）若函数
f x 在区间
,a b 上值域为
,
ka kb ，则称
,a b 为
f x 的“k
倍增区间”，则（ ）
A．若
0, b 为
2
f x
x
=
的“1 倍增区间”，则
1
b =
B．函数
1
1
f x
x
= +
存在“1 倍增区间”
C．若函数
1
f x
m
x
=
-
- 存在“1 倍增区间”，则m 的取值范围是7 , 2
4
æ
ù
ç
ú
è
û
D．二次函数
2
1
2
f x
x
x
= -
+
存在“2 倍增区间”
【答案】ACD
【详解】对于A，由题意可知，
0,b 为
2
f x
x
=
的单调递区间，函数值域为
2
[0,
]
b
，
若
0,b 为
2
f x
x
=
的“1 倍增区间”，则
2
b
b
=
，则
1
b = 或
0
b =
（舍去），A 正确；
对于B，函数
1
1
f x
x
= +
中x 的取值范围为(
,0)
(0,
)
-¥
+¥
U
，
若
1
1
f x
x
= +
存在“1 倍增区间”
,a b
a
b
<
，则必有
0
a
b
<
<
或0
a
b
<
<
，
又因为函数在区间(
,0),(0,
)
-¥
+¥ 上递减，
则有
( )
( )
f a
b
f b
a
=
ì
í
=
î
，则
1
1
1
1
b
a
a
b
ì +
=
ïïí
ï +
=
ïî
，解得
1
5
0
2
1
5
0
2
a
b
ì
-
=
<
ïïí
+
ï =
>
ïî
，不符合
0
a
b
<
<
或0
a
b
<
<
，所以B 错误；
对于C，因为函数
1
f x
m
x
=
-
- 在[1,
)
+¥ 上单调递减，
若存在“1 倍增区间”
,a b （1
a
b
£
<
），
则有
f a
b
f b
a
ì
=
ïí
=
ïî
，即
1
1
b
m
a
a
m
b
ì =
-
-
ïí
=
-
-
ïî
，
两式作差得
1
1
a
b
a
b
-
=
- -
- ，即
1
1
1
1
a
b
a
b
a
b
a
b
-
- +
-
=
- -
-
=
-
，
又1
a
b
£
<
，所以
1
1
1
a
b
- +
-
= ，故0
1
1
1
a
b
£
- <
- £ ，
所以
1
1
1
m
a
b
a
a
=
+
-
=
+ -
- ，设
1
,
0,1
a
t t
- =
Î
，则
2
2
m
t
t
=
- + ，
即
1
1
0, 2
t
a
é
ö
=
- Î
÷
êë
ø 是
2
2
0
t
t
m
- +
-
=
的一个根；
同理
1
1
,1
2
t
b
æ
ù
=
- Îç
ú
è
û 也是
2
2
0
t
t
m
- +
-
=
的一个根，
即
2
2
0
t
t
m
- +
-
=
在区间[0,1]上有两个不相等的实数根，
只需
2
Δ
1 4 2
0
2
0
1
1
2
0
m
m
m
ì
= -
-
>
ï -
³
í
ï
- +
-
³
î
，解得7
2
4
m
<
£
，C 正确；
对于D，若函数
2
1
2
f x
x
x
= -
+
存在“2 倍增区间”，
设定义域为
,a b ，值域为
2 ,2
a
b ，
当
1
a
b
<
£ 时，函数在定义域上单调递增，则
( )
2
( )
2
f a
a
f b
b
=
ì
í
=
î
，
则,a b 是方程
2
1
2
2 x
x
x
-
+
=
的两个不相等的实数根，解得
0
x =
或
2
x = - ，
故存在定义域为
2,0
-
使得值域为
4,0
-
，D 正确，
故选：ACD ．
9．（25-26 高三上·广东中山·阶段练习·多选）已知
*
N ,
3
n
n
Î
³
，集合
1
2
1
2
,
,
,
0
n
n
n
A
a a
a
a
a
a
=
¼
<
<
<
<
L
.若存在
函数
( )( ( )
)
f x
f x
x
¹
，其图象在区间
1,
n
D
a a
=
上是一段连续曲线，且
|
k
k
n
n
f a
a
A
A
Î
=
，则称
( )
f x 是
n
A 的变
换函数，集合
n
A 是D 的一个L 子集，以下说法正确的是（ ）
A．{1,10,26,2000,2016,2025}是数集[1,2025] 的一个L 子集
B．函数
2026
( )
f x
x
=
可作为某个集合
n
A 的变换函数
C．函数
( )
ln 3e
1
x
g x
-
=
+
可作为某个集合
n
A 的变换函数
D．若
n
A 满足
*
,
,
N ,
,
j
i
i
j
n
a
a a
i j
i
j
A
a
"
Î
<
Î
，则存在函数( )
h x 为集合
n
A 的变换函数
【答案】ABD
【详解】A：当
2026
f x
x
=
-
，
{1,10,26,2000,2016,2025}
xÎ
时，
f x Î {1,10,26,2000,2016,2025}
此时函数
f x 是集合{1,10,26,2000,2016,2025}的变换函数，
集合{1,10,26,2000,2016,2025}是[1,2025] 的L 子集，正确；
B：对于
2026
( )
f x
x
=
在(0,
)
+¥ 上单调递减，
显然存在
{1,2,1013,2026}
xÎ
时，有
( )
f x Î {1,2,1013,2026}，
此时函数
f x 是集合
1,2,1013,2026 的变换函数，
此时{1,2,1013,2026}是[1,2026]的L 子集，正确；
C：函数
3
ln
1
ex
g x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 在(0,
)
+¥ 上单调递减，
当
3
n =
时集合
3
1
2
3
,
,
A
a a a
=
，其中
1
2
3
0
a
a
a
<
<
<
，
假设函数
f x 为集合
n
A 变换函数，则
1
3
2
2
3
1
,
,
f a
a
f a
a
f a
a
=
=
=
，
即
1
3
3
1
3
ln 1
e
3
ln 1
e
a
a
a
a
ì
æ
ö
+
=
ç
÷
ïï
è
ø
í
æ
ö
ï
+
=
ç
÷
ï
è
ø
î
，即
3
1
1
3
3
1
e
e
3
1
e
e
a
a
a
a
ì +
=
ïïí
ï +
=
ïî
，得
1
3
3
1
3
3
e
e
e
ea
a
a
a
-
=
-
，
整理后得
3
3
1
1
3
1
3
e
e
e
e
e e
a
a
a
a
a
a
-
=
-
，
1
2
3
a
a
a
<
<
，即
3
1
e
e
0
a
a
-
¹
，
所以
3
1
e e
3
a
a
=
，而由
3
1
3
1
e
e
a
a
+
=
，得
3
1
1
e e
3
e
a
a
a
=
+
，显然矛盾，
即函数
f x 不是集合
n
A 变换函数，错误；
D：对于
1
2
,
,
,
n
n
A
a a
a
=
L
，
1
2
0
n
a
a
a
<
<
<
<
L
，
当
1
0
1
a
<
< 时，
1
n
n
a
a
a >
，故
1
n
n
a
A
a Ï
，与题设矛盾；
当
1
1
a > 时，
1
n
n
a
a
a <
且
1
n > ，又
j
n
i
a
A
a Î
，
易知
2
2
1
a
a
a <
，所以
2
1
1
a
a
a =
，则
2
2
1
a
a
=
，
另
3
1
1
a
a
a =
或
3
2
1
a
a
a =
，则
2
3
1
2
a
a
a
=
=
（舍）或
3
3
1
a
a
=
，
同理，依次可得
4
4
1
a
a
=
，
5
5
1
a
a
=
，L，
1
n
na
a
=
，此时满足题设；
当
1
1
a = 时，
2
1
1
a
a
>
= ，则
2
n
n
a
a
a <
且
2
n >
，又
j
n
i
a
A
a Î
，易知
3
2
2
a
a
a =
，则
2
3
2
a
a
=
，
另
4
2
2
a
a
a =
或
4
3
2
a
a
a =
，则
2
4
2
3
a
a
a
=
=
（舍）或
3
4
2
a
a
=
，
同理，依次可得
4
5
2
a
a
=
，
5
6
2
a
a
=
，L，
1
2
n
na
a -
=
，此时满足题设；
综上，
1
2
,
,
,
n
n
A
a a
a
=
L
中
1
1
a ³ ，且各元素从小到大构成公比大于1 的等比数列，
不妨设
1
2
,
,
,
n
n
A
a a
a
=
L
中
na 满足首项为1，公比为q (
1)
q >
的等比数列，
1
n
na
q -
=
1
q >
，则
2
1
1, ,
,
,
n
n
A
q q
q -
=
L
，满足
j
n
i
a
A
a Î
，
设( )
na
h x
x
=
，对
1,
i
n
" Î
且
Z
iÎ
，
n
i
n
i
a
h a
A
a
=
Î
，
而i
j
¹
时，
n
n
i
j
a
a
a
a
¹
，及(
)
i
h a
有n 个不同元素，即能覆盖所有元素.
又( )
na
h x
x
=
的图象在区间
1,
n
D
a a
=
上是一段连续曲线，
存在函数( )
na
h x
x
=
为集合
n
A 的变换函数，正确.
故选：ABD
10．（25-26 高三上·河北衡水·开学考试）记min{ , , }
a b c 为, ,
a b c 中最小的数.设
0
x >
，
0
y >
，.则
1
1
min 2 ,
,
x
y
y
x
ì
ü
+
í
ý
î
þ
的最大值为
【答案】
3
【详解】设
1
1
min 2 ,
,
M
x
y
y
x
ì
ü
=
+
í
ý
î
þ
，
∵
0
x >
，
0
y >
，
∴
2
1
1
0
M
x
M
y
M
y
x
M
£
ì
ï
ï
£
ïí
ï
£
+
ï
ï
>
î
，
∴1
2
x
M
£
，
1
y
M
£
，
∴
1
1
2
3
M
y
x
M
M
M
£
+
£
+
=
，∴
2
3
M £
，
∴0
3
M
<
£
，当且仅当
1
1
2
3
x
y
y
x
=
=
+
=
时取等号.
所以
1
1
min 2 ,
,
M
x
y
y
x
ì
ü
=
+
í
ý
î
þ
的最大值为
3 .
故答案为：
3
11．（24-25 高三下·广东东莞·阶段练习）类似于斜率，我们给出曲率的定义：如图所示，设曲线C 是光滑的，在
曲线C 上选定一点
0
M 作为度量弧s 的基点.设曲线上点M 对应于弧s，在点M 处的倾角为a ，曲线上另外一点M ¢
对应于弧
Δ
s
s
+
，在点M ¢ 处的倾角为a
a
+ D
，则弧段
MM ¢的长度为
s
D ，当动点M 转到M ¢ 时切线转动的角度为
a
D
，用比值
s
a
D
D
来表示弧段
MM ¢的平均弯曲程度，叫做平均曲率，并记作K .类似于从平均速度引入瞬时速度的
方法，当这个M ¢ 趋于M 时，上述平均曲率的极限就叫做曲线C 在M 处的曲率，记作K；
Δ
0
Δ
lim Δ
s
K
s
a
=
.在数学上
给出曲率的公式：
3
Δ
0
2
2
Δ
lim Δ
1
s
y
K
s
y
q
¢¢
¢
=
=
+
.（其中y¢，y¢¢ 分别表示
y
f x
=
在点M 处的一阶、二阶导数）,根据定
义，椭圆
2
2
1
4
x
y
+
= 在点
1
3 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
，的曲率为
.
【答案】16 7
49
【详解】由题意
2
1
4
x
y = ±
-
，因为
1
3, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 在第一象限，所以
2
1
4
x
y =
-
，
则
1
2
2
1
4
4
x
x
y
-
æ
ö
= -
-
ç
÷
è
ø
¢
，记
1
2
2
1
4
4
x
x
g x
y
-
æ
ö
=
= -
-
ç
÷
è
ø
¢
，
则
1
3
2
2
2
2
2
1 1
1
4
4
16
4
x
x
x
g
x
-
-
æ
ö
æ
ö
= -
-
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
¢
，
故
3
3
2
x
y
=
= -
¢
，
3
2
g¢
= - ，故
3
2
2
16 7
49
3
1
4
K =
=
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
.
故答案为：16 7
49
12．（25-26 高三上·江苏扬州·开学考试）对于函数
( )
f x ，若在其定义域内存在实数
0x ，满足
0
0
(
)
(
)
f
x
f x
-
= -
，则
称函数
( )
f x 为“局部奇函数”，称点
0
0
(
,
(
))
x
f x
和点
0
0
(
,
(
))
x
f
x
-
-
是函数
( )
f x 的一对“局部对称点”，请写出函数
2
( )
1
f x
x
x
=
+
- 的一对“局部对称点”：
；若函数
2
ln
,
0
( )
,
0
x x
x
g x
a
x
x
ì
>
ïï
= í
ï
<
ïî
为“局部奇函数”，则实数a 的取值范围
为
.
【答案】
(1,1) 和( 1, 1)
- -
1
e
a £
【详解】设函数
2
( )
1
f x
x
x
=
+
- 的一对“局部对称点”为
0
0
0
0
(
,
),(
,
)
x
y
x
y
-
-
，
则
0
0
0
0
(
)
(
)
y
f x
y
f
x
=
ì
í-
=
-
î
，即
2
0
0
0
2
0
0
0
1
1
y
x
x
y
x
x
ì
=
+
-
í-
=
-
-
î
，解得
0
0
1
1
x
y
=
ì
í
=
î
或
0
0
1
1
x
y
= -
ì
í
= -
î
，
所以函数
2
( )
1
f x
x
x
=
+
- 的一对“局部对称点”为(1,1) 和( 1, 1)
- -
；
根据局部奇函数的定义，需存在
0x 使得
0
0
(
)
(
)
g
x
g x
-
= -
，
不妨设
0
0
x >
，则
0
0
x
-
<
，可得方程
0
2
0
0
ln
(
)
x
a
x
x
= -
-
，即
0
0
ln
a
x
x
= -
，
问题转化为方程
ln
a
x
x
= -
在(0,
)
+¥ 上有解.
令( )
ln
x
x
x
j
= -
，求导得
( )
(1 ln )
x
x
j¢
= -
+
当
1
0
e
x
<
<
时，
( )
0
x
j¢
>
；当
1
e
x >
时，
( )
0
x
j¢
<
，
函数( )
j x 在
1
0, e
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增，在1 ,
e
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø上单调递减，
max
1
( )
e
x
j
=
，当x +¥ 时，
x
j
¥
-
，
当
0
x >
，且
0
x
时，
0
x
j
，
1
0
j
=
，当0
1
x
<
< 时，
0
x
j
>
，当
1
x > 时，
0
x
j
<
因此
1
e
a £
，
所以实数a 的取值范围为
1
e
a £
.
故答案为：(1,1) 和( 1, 1)
- -
；
1
e
a £
13．（24-25 高二下·江西上饶·期末）泰勒展开式在近似计算、函数性质研究中有广泛应用，它可将一个函数在某点
附近用多项式逼近．若函数
( )
f x 在包含
0x 的闭区间[ , ]
a b 上具有n 阶导数，在开区间( , )
a b 上具有
1
n + 阶导数，则
对[ , ]
a b 上任意一点x，有
( )
2
0
0
0
0
0
0
0
( )
( )
0!
1!
2!
!
n
n
n
f x
f
x
f
x
f
x
f x
x
x
x
x
x
x
R x
n
¢
=
+
-
+
-
+
+
-
+
¢¢
L
，其中
( )
n
R
x
为泰勒公式的余项．（
( )
f x 的n 阶导数记为
( )( )
n
f
x ，其中
( )
f
x
¢¢
为
( )
f
x
¢
的导数，
( )
f
x
¢¢¢
为
( )
f
x
¢¢
的导数，
( )( )
n
f
x 为
(
1)( )
n
f
x
-
的导数．）
(1)若
3
n =
，写出
( )
ln(1
)
f x
x
=
+
在
0
x =
处的泰勒展开式；
(2)当
0
x >
时，判断第（1）问中
3( )
R x 与0 的大小，并证明；
(3)证明：对任意正整数n，有
2
1
1
e
n
k
k
n
=
æ
ö
+
<
ç
÷
è
ø
Õ
，其中，
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
1
n
k
k
n
n
n
n
n
=
æ
ö
æ
öæ
ö
æ
ö
+
=
+
+
+
ç
÷
ç
֍
÷
ç
÷
è
ø
è
øè
ø
è
ø
Õ
L
．
【答案】(1)
2
3
3
1
1
2
3
f x
x
x
x
R
x
=
-
+
+
(2)
3( )
0
R x <
，证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）因为
( )
ln(1
)
f x
x
=
+
，所以
(0)
ln(1 0)
0
f
=
+
=
，
1
( )
1
f
x
x
¢
= +
，则
(0)
1
f ¢
= ；
2
1
( )
1
f
x
x
= -
+
¢¢
，则
2
1
(0)
1
1
0
f ¢
-
+
¢
=
= - ；
3
2
( )
1
f
x
x
¢¢¢
=
+
，则
3
2
(0)
2
1
0
f ¢¢¢
=
=
+
，
则
( )
ln(1
)
f x
x
=
+
在
0
x =
处的泰勒展开式为
2
3
2
3
3
3
1
2
1
1
0
1
2!
3!
2
3
f x
x
x
x
R
x
x
x
x
R
x
-
=
+ ×
+
+
+
=
-
+
+
.
（2）判断：
3( )
0
R x <
，证明如下：
由（1）可得
2
3
3
1
1
ln 1
2
3
R
x
x
x
x
x
æ
ö
=
+
-
-
+
ç
÷
è
ø ，
设
2
3
1
1
ln 1
,
0
2
3
g x
x
x
x
x
x
æ
ö
=
+
-
-
+
>
ç
÷
è
ø
，
则
2
3
2
1
1
1
1
1
0
1
1
1
x
x
x
x
g
x
x
x
x
x
x
-
-
¢
+
+
-
=
-
-
+
=
=
<
+
+
+
，
故
g x 在
0, ¥
+
上单调递减，则
0
0
g x
g
<
=
，
即
3( )
0
R x <
.
（3）对于
2
1
1
n
k
k
n
=
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
Õ
取对数得
2
2
1
1
ln
1
ln 1
n
n
k
k
k
k
n
n
=
=
æ
ö
æ
ö
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
Õ
å
，
由（2）知
2
3
1
1
ln 1
2
3
x
x
x
x
+
<
-
+
，
由
1,2,
,
k
n
=
L
可得，
2
2
0
1
k
n
n
n
<
<
£ ，
当
0,1
xÎ
时，
2
3
2
2
1
1
1
1
1
1
0
2
3
2
3
2
3
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
-
+
=
-
+
<
-
+
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故
2
3
1
1
ln 1
2
3
x
x
x
x
x
+
<
-
+
<
，
令
2
k
x
n
=
，则
2
2
ln 1
k
k
n
n
æ
ö
+
<
ç
÷
è
ø
，所以
2
2
1
1
ln 1
n
n
i
k
k
k
n
n
=
-
æ
ö
+
<
ç
÷
è
ø
å
å
，
又
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2
n
i
n n
k
n
n
n
n
n
=
+
+
+
+
æ
ö
=
=
=
+
£
ç
÷
è
ø
å
L
，
所以
2
2
1
1
ln 1
1
n
n
k
k
k
k
n
n
=
=
æ
ö
+
<
£
ç
÷
è
ø
å
å
，
故
2
1
ln
1
1
n
k
k
n
=
æ
ö
+
<
ç
÷
è
ø
Õ
，故
2
1
1
e
n
k
k
n
=
æ
ö
+
<
ç
÷
è
ø
Õ
.
14．（25-26 高三上·江苏·开学考试）定义：若函数
y
f x
=
和
y
g x
=
同时满足条件①对任意xÎR ，都有
f x
g x
£
成立，②存在
0x ÎR ，使得
0
0
f
x
g x
=
，则称函数
y
g x
=
为
y
f x
=
的“伴随函数”，其中
0x 称为
“伴随点”.
(1)设函数
2
f x
x
=
，若存在一次函数
0
y
kx
b k
=
+
¹
，使得
f x 是y
kx
b
=
+
的“伴随函数”，求b 的取值范围.
(2)设函数
F x 为
G x 的“伴随函数”，若函数
1
H x
aF x
a G x
=
+
-
，试证明：对任意
0,1 ,
a
H x
Î
为
G x 的“伴随函数”.
(3)设函数
1
e
-
=
x
x
f x
，若存在一次函数
g x
mx
c
=
+ 是
f x 的“伴随函数”，且“伴随点”
0
1
x > ，求实数c 的最大
值.
【答案】(1)
,0
-¥
(2)证明见解析
(3)
2
1
e .
【详解】（1）首先，根据条件②，存在
0x 使得
2
0
0
x
kx
b
=
+
，即
2
0
0
0
x
kx
b
-
-
=
，
这是一个关于
0x 的二次方程，它至少有一个实数解.
其次，根据条件①，对于任意xÎR ，有
2x
kx
b
³
+
，即
2
0
x
kx
b
-
-
³
，
则二次函数
2
h x
x
kx
b
=
-
-
的图象在x 轴上方或与x 轴相切，
因此其判别式
2
Δ
4
0
k
b
=
+
£
，
由
2
0
0
0
x
kx
b
-
-
=
，得
2
0
0
b
x
kx
=
-
.
结合
2
4
0
k
b
+
£
，代入b 得
2
2
0
0
4
0
k
x
kx
+
-
£
，即
2
2
0
0
4
4
0
x
kx
k
-
+
£
，
即
2
0
2
0
x
k
-
£
，故
0
2
0
x
k
-
=
，
代入
2
0
0
b
x
kx
=
-
，
得
2
2
2
0
0
0
2
0
b
x
x
x
=
-
= -
£
，由于
0
k ¹
，故
0
0
x ¹
，
因此b 的取值范围是
,0
¥
-
.
（2）证明：
F x 为
G x 的“伴随函数”，则对任意xÎR ，都有
G x
F x
£
成立，
且存在
0x ÎR 满足
0
0
F x
G x
=
，
此时，对于
1
H x
aF x
a G x
=
+
-
，在
0x 处有
0
0
0
G x
F x
H x
=
=
，
由于
0,1
aÎ
，
故对任意
,
1
1
x
H x
aF x
a G x
aG x
a G x
G x
Î
=
+
-
³
+
-
=
R
，
故对任意
0,1 ,
a
H x
Î
为
G x 的“伴随函数”.
（3）
1
ex
x
f x
-
=
的定义域为R ，
2
ex
x
f
x =
¢
-
，
当
2
x <
时，
0
f
x
¢
>
，当
2
x >
时，
0
f
x
¢
<
，
所以
1
ex
x
f x
-
=
在
,2
¥
-
上单调递增，在
2, ¥
+
上单调递减，
且当
1
x > 时，
1
0
ex
x
f x
-
=
>
恒成立，
若存在一次函数
g x
mx
c
=
+ 是
f x 的“伴随函数”，
则满足对任意xÎR ，都有
f x
g x
£
，且存在
0
1
x > ，使得
0
0
f x
g x
=
，
故当
y
g x
=
为
1
ex
x
f x
-
=
在
0
x
x
=
处的切线方程时，才满足要求.
2
1
2
e
f
=
，
①若
0
2
x
=
，
0
2
1
e
g x
=
，此时
0
0
f
x
¢
=
，则
0
m =
，则此时
2
1
e
c =
.
②若
0
1,2
x Î
，
此时
0
0
0
2
ex
x
f
x
-
¢
=
，故切线方程
g x
mx
c
=
+ 为
0
0
0
0
0
1
2
e
e
x
x
x
x
y
x
x
-
-
-
=
-
，
令
0
x =
，得
0
2
0
0
1
ex
x
x
c
-
-
=
，
由于
0
1,2
x Î
，设
2
1,
1,2
ex
x
x
h x
x
-
-
=
Î
，
所以
2
3
0
ex
x
x
h x
-
¢
=
>
在
1,2 上恒成立，
故
2
1
ex
x
x
h x
-
-
=
在
1,2 上单调递增，所以
0
2
0
0
2
1
1
e
e
x
x
x
c
-
-
=
<
.
③若
0
2,
x
¥
Î
+
，结合②知
0
0
2
ex
x
g x
x
c
-
=
+
，
0
2
0
0
1
ex
x
x
c
-
-
=
，
令
2
0
0
1
0
1
2
x
x
x
x
+
-
=
-
，则
1
0
g x
=
，而
2
0
0
1
0
0
0
1
2
3
5
1
2
2
x
x
x
x
x
x
-
=
=
-
+
+
³
-
-
-
，
0
3
x = 时取等号，
1
1
1
2
2
0
0
0
0
2
0
0
0
1
0
1
1
2
1
1
2
2
0
e
e
2
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f x
x
+
-
- +
-
-
-
-
-
-
=
=
=
>
-
，此时
1
1
f x
g x
>
，与已知矛盾，故舍去.
综上，实数c 的最大值为
2
1
e .
15．（25-26 高二上·贵州黔南·开学考试）定义：非零向量
,
OM
a b
=
uuuur
的“伴生函数”为
sin
cos
R
f x
a
x
b
x x
=
+
Î
，函数
sin
f x
a
x
=
+
cos
R
b
x xÎ
的“源生向量”为
,
OM
a b
=
uuuur
（其中O 为坐标原
点）．
(1)已知函数
π
4sin
6
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，求函数
f x 的源生向量OM
uuuur
的坐标；
(2)已知向量
0, 5
OP =
uuur
为函数
5 sin
0
π
g x
x
j
j
=
+
<
<
的源生向量，求j 的值；
(3)已知向量
2,0
ON =
uuur
为函数
h x 的源生向量，若关于x 的方程
1 2 3 cos
h x
k
x
=
+ -
在区间
0,2π 上恰有五个
不相等的实数根，求实数k 的取值．
【答案】(1)
2 3, 2
-
(2) π
2
(3) 2 3
1
-
【详解】（1）因为
π
3
1
4sin
4
sin
cos
2 3sin
2cos
6
2
2
f x
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
由源生向量的定义，可得
2 3
a =
，
2
b = - ，
所以函数
f x 的源生向量
2 3, 2
OM =
-
uuuur
.
（2）因为
0, 5
OP =
uuur
为函数
g x 的源生向量，所以
5 cos
g x
x
=
，
又
5 sin
g x
x
j
=
+
，故
5 sin
5 cos
x
x
j
+
=
，即
sin
cos
x
x
j
+
=
，
所以
π
2 π
2
k
j =
+
，又0
π
j
<
<
，
所以
π
2
j =
.
（3）由题，可得
2sin
h x
x
=
，方程
1 2 3 cos
h x
k
x
=
+ -
，即2sin
1 2 3 cos
x
k
x
=
+ -
，
整理得1
3
1
sin
cos
2
2
4
k
x
x
+
+
=
，令
1
3
sin
cos
2
2
x
x
x
j
=
+
，
0,2π
xÎ
，
当
π
3π
0,
,2π
2
2
x
é
ù
é
ù
Îê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
U
时，
1
3
π
sin
cos
sin
2
2
3
x
x
x
x
j
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
，
当
π 3π
,
2
2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø时，
1
3
π
sin
cos
sin
2
2
3
x
x
x
x
j
æ
ö
=
-
=
-
ç
÷
è
ø
，
所以
π
π
3π
sin
,
0,
,2π
3
2
2
π
π 3π
sin
,
,
3
2
2
x
x
x
x
x
j
ì
æ
ö
é
ù
é
ù
+
Î
È
ç
÷
ï
ê
ú
ê
ú
ï
è
ø
ë
û
ë
û
= í
æ
ö
æ
ö
ï
-
Î
ç
÷
ç
÷
ï
è
ø
è
ø
î
，
由正弦函数的单调性可得
x
j
在
π
0, 6
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增，在π π
,
6 2
æ
ö
ç
÷
è
ø上单调递减，
在π 5π
,
2
6
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增，在5π 3π
,
6
2
æ
ö
ç
÷
è
ø上单调递减，在3π ,2π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增，
且
3
0
2
j
=
，
π
1
6
j æ
ö =
ç
÷
è
ø
，
π
1
2
2
j æ
ö =
ç
÷
è
ø
，
5π
1
6
j æ
ö =
ç
÷
è
ø
，
3π
1
2
2
j æ
ö = -
ç
÷
è
ø
，
3
2π
2
j
=
，
由方程
1 2 3 cos
h x
k
x
=
+ -
在区间
0,2π 上恰有五个不相等的实数根，
故函数
x
j
的图象与
1
4
k
y
+
=
有且仅有五个不同的交点，
所以
1
3
4
2
k + =
，解得
2 3
1
k =
- .
16．（24-25 高二下·山东·期中）已知函数
f x 的导函数为
f
x
¢
，我们称函数
f
x
¢
的导函数
f
x
¢¢
为函数
f x
的二阶导函数，若一个连续函数
f x 在区间I 上的二阶导函数
0
f
x
¢¢
³
，则称
f x 为I 上的凹函数，若二阶导
函数
0
f
x
¢¢
£
，则称
f x 为I 上的凸函数.
(1)若函数
3
2
1
1
ln
3
2
f x
x
ax
ax
ax x
= -
+
+
-
是
0, ¥
+
上的凸函数，求实数a 的取值范围.
(2)已知函数
e
sin ,
0,π
x
f x
x x
a
=
+
Î
.
①若
f x 是
0,π 上的凹函数，求实数a 的取值范围；
②若
f x 在
0,π 内有两个不同的零点
1
2
,
x x ，证明：
1
2
π
π
2
x
x
<
+
<
.
【答案】(1)
0,8
(2)①
π
4
0, 2e
æ
ù
ç
ú
è
û
；②证明见解析
【详解】（1）因为
3
2
1
1
ln
3
2
f x
x
ax
ax
ax x
= -
+
+
-
，定义域为
0, ¥
+
，
所以
2
ln
f
x
x
ax
a x
= -
+
-
¢
，
2
a
f
x
x
a
x
= -
+
-
¢¢
.
因为
f x 是
0, ¥
+
上的凸函数，所以
2
0
a
f
x
x
a
x
¢
= -
¢
+
-
£
在
0, ¥
+
上恒成立，
即当
0,
xÎ
+¥ 时，
2
2
0
x
ax
a
-
+
³
恒成立.
函数
2
2
y
x
ax
a
=
-
+
图象的对称轴为直线
4
a
x =
，
当
0
4
a
x =
£
，即
0
a £
时，只需
0
x =
时，
0
y
a
=
³
即可，所以
0
a =
，
当
0
4
a
x =
>
，即
0
a >
时，只需
4
a
x =
时，
2
0
8
a
y
a
= -
+
³
即可，所以0
8
a
<
£
，
综上可得
0,8
aÎ
.
（2）①因为
e
sin
x
f x
x
a
=
+
，
0,π
xÎ
，所以
e
cos
x
f
x
x
a
=
+
¢
，
e
sin
x
f
x
x
a
=
-
¢¢
.
因为
f x 是
0,π 上的凹函数，所以e
sin
0
x
x
a -
³
在
0,π 上恒成立，
即1
sin
ex
x
a ³
在
0,π 上恒成立.
令
sin
ex
x
g x =
0,π
xÎ
，则
3π
2sin
cos
sin
4
e
e
x
x
x
x
x
g
x
¢
æ
ö
+
ç
÷
-
è
ø
=
=
.
当
π
0, 4
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø 时，3π
3π
π
4
4
x
<
+
<
，则
0
g
x
¢
>
，
g x 单调递增；
当
π ,π
4
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø 时，
3π
7π
π
4
4
x
<
+
<
，则
0
g
x
¢
<
，
g x 单调递减.
所以
π
max
4
π
2
4
2e
g x
g æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
，所以
π
4
1
2
2e
a ³
，解得
π
4
0
2e
a
<
£
，
所以实数a 的取值范围是
π
4
0, 2e
æ
ù
ç
ú
è
û
.
②证明：由①知，因为
f x 在
0,π 内有两个不同的零点
1
x ，
2x ，
所以方程
1
g x
a
= -
在
0,π 内有两个根
1
x ，
2x ，即
1
2
1
g x
g x
a
=
= -
.
因为
g x 在
π
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增，在π ,π
4
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，所以
1
2
π
0
π
4
x
x
<
<
<
<
.
欲证
1
2
π
x
x
+
<
，即证
2
1
π
x
x
<
-
.
因为
2
1
π ,
4
π
π
,
4
x
x
ì
>
ïïí
ï -
>
ïî
且
g x 在π ,π
4
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，
所以只需证明
2
1
π
g x
g
x
>
-
，即证
1
1
π
g x
g
x
>
-
.
欲证
1
1
π
g x
g
x
>
-
，即证
1
1
1
1
π
sin π
sin
e
e
x
x
x
x
-
-
>
，即
1
1
π
1
1
e
e
x
x
-
>
，
只需证
1
1
πe
e
x
x
-
>
，即证
1
π
2
x <
，而该式显然成立.
欲证
1
2
π
2
x
x
+
>
，即证
2
1
π
2
x
x
>
-
.
因为
1
π
π π
,
2
4 2
x
æ
ö
-
Îç
÷
è
ø ，所以只需证
2
1
π
2
g x
g
x
æ
ö
<
-
ç
÷
è
ø，
即证
1
1
1
1
1
1
π
2
π
sin
sin
π
2
e
2
e
x
x
x
x
g x
g
x
-
æ
ö
-
ç
÷
æ
ö
è
ø
=
<
-
=
ç
÷
è
ø
，即需证
1
π
2
2
1
tan
e
x
x
-
<
.
令
π
2
2
tan
e
x
x
h x
-
=
，
π
0, 4
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则
2
π
π
2
2
2
2
2
1
2tan
1 sin2
cos
0
e
e
cos
x
x
x
x
x
h x
x
-
-
¢
-
-
=
=
>
，
所以
h x 在
π
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增，所以
π
1
4
æ
ö
<
=
ç
÷
è
ø
h x
h
，则原不等式得证.
故
1
2
π
π
2
x
x
<
+
<
.
17．（25-26 高三上·重庆·开学考试）若函数
f x 满足“定义域内任意的x ，都有
1
0
f
f x
x
æ
ö +
=
ç
÷
è
ø
”则称函数
f x 具
有“广义对称性”，已知函数
1
ln
1
x
f x
a
x
x
-
=
-
+ .
(1)判断
f x 是否具有“广义对称性”；
(2)若
f x 有3 个零点
1
x ，
2x ，
3x ，其中
1
2
3
x
x
x
<
<
.
（ⅰ）求实数a 的取值范围；
（ⅱ）设
1
2
,
n
m m
m
n
××××××
ÎN 为
f x 的所有极值点，证明：
1
3
1
2
n
i
i
m
x
x
=
æ
ö
<
ç
÷
è
ø
å
.
【答案】(1)
f x 具有“广义对称性”，理由见解析
(2)（ⅰ）
1
0
2
a
<
<
；（ⅱ）证明过程见解析
【详解】（1）
f x 具有“广义对称性”，理由如下：
1
1
1
1
1
ln
ln
1
1
1
x
x
f
a
a
x
x
x
x
x
-
-
æ
ö =
-
= -
-
ç
÷
+
è
ø
+
，
故
1
1
1
ln
ln
0
1
1
x
x
f
f x
a
x
a
x
x
x
x
-
-
æ
ö +
= -
-
+
-
=
ç
÷
+
+
è
ø
，
故
f x 具有“广义对称性”；
（2）（ⅰ）由（1）知，
f x 具有“广义对称性”，
故
1
0
f
f x
x
æ
ö +
=
ç
÷
è
ø
，令
1
x = 得
2
1
0
f
=
，即
1
0
f
=
，
f x 的定义域为
0, ¥
+
，有3 个零点
1
x ，
2x ，
3x ，其中
1
2
3
x
x
x
<
<
，
由题意可知，
1
1
1
0
f
f x
x
æ
ö = -
=
ç
÷
è
ø
，即
1
x 若为零点，则
1
1
x 也为零点，
故
2
1
x = ，
1
3
1
x
x
< <
，
1
3
1
x x = ，
2
2
1
1
2
1
1
x
x
a
a
f
x
x
x
x
x
+ -
-
=
-
=
-
+
+
¢
，
令
0
f
x
¢
=
得
2
2
0
1
a
x
x
-
=
+
，
2
2
1
x
a
x
=
+
，
令
2
2
1
x
h x
x
=
+
，则
2
4
3
2
1
4
1
2
2
1
1
x
x x
x
h x
x
x
+
-
+
-
=
=
+
+
¢
，
令
0
h x
¢
>
得0
1
x
<
< ，令
0
h x
¢
<
得
1
x > ，
故
2
2
1
x
h x
x
=
+
在
0,1 上单调递增，在
1, ¥
+
上单调递减，
2
2
1
1
2
1 1
h
=
=
+
，又
0
x
时，
0
h x
，x +¥ 时，
0
h x
，
当
1
2
a ³
时，
2
2
1
x
a
x
³
+
，此时
2
2
0
1
a
f
x
x
x +
¢
=
-
³
恒成立，
此时
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，不满足有3 个零点，
当
0
a £
时，
2
2
1
x
a
x
<
+
，此时
2
2
0
1
a
f
x
x
x +
¢
=
-
<
恒成立，
此时
f x 在
0, ¥
+
上单调递减，不满足有3 个零点，
当
1
0
2
a
<
<
时，存在
4
0,1
x Î
和
5
1,
x
¥
Î
+
，使得
4
2
4
2
1
x
a
x
=
+
，
5
2
5
2
1
x
a
x
=
+
，
当
4
0,
x
x
Î
和
5,
x
x
¥
Î
+
时，
2
2
0
1
a
f
x
x
x +
¢
=
-
>
，
当
4
5
,
x
x x
Î
时，
2
2
0
1
a
f
x
x
x +
¢
=
-
<
，
故
f x 在
4
0,
x
x
Î
，
5,
x
x
¥
Î
+
上单调递增，在
4
5
,
x
x x
Î
上单调递减，
其中
1
0
f
=
，故
4
0
f x
>
，
5
0
f x
<
，
又当
0
x
时，
f x
¥
-
，当x +¥ 时，
f x
¥
+
，
所以在
4
0,
x
x
Î
和
5,
x
x
¥
Î
+
上各有1 个零点，满足
f x 有3 个零点，
故
1
0
2
a
<
<
；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，
f x 有2 个极值点，即
1
2
,
m m ，
不妨设
4
1
5
2
,
m
m
x
x
=
=
，
1
1
0
f
f x
f
f x
x
x
æ
ö
æ
ö
+
=
Þ
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，两边求导得
2
1
1
f
f
x
x
x
æ
ö
-
= -
ç
÷
è
¢
ø
¢
，
即
2
1
f
x f
x
x
æ
ö =
ç
÷
è
ø
¢
¢
，故若
1
0
f
m
¢
=
，则有
1
1
0
f
m
æ
ö =
ç
÷
è
ø
¢
，即
2
1
1
m
m
=
，
又
1
3
1
x x = ，要证
2
1
3
1
2
i
i
m
x
x
=
æ
ö
<
ç
÷
è
ø
å
，只需证
1
1
1
3
1
2
x
m
m
x
æ
ö
+
<
ç
÷
è
ø
，
即证
1
1
1
1
2
m
x
m
æ
ö
+
<
ç
÷
è
ø
，
由（ⅰ）知
1
4
1
0,
0,
x
x
m
Î
=
，故
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
2
m
x
m
m
m
m
m
æ
ö
æ
ö
+
<
+
=
+ < + =
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，证毕.
18．（25-26 高三上·重庆·开学考试）设函数
f x 定义在区间I 上，若对任意
1
2
,
,
,
n
x x
x
I
××××××
Î ，有
1
1
(
)
n
n
i
i
i
i
x
f x
f
n
n
=
=
£
å
å
，则称
f x 为I 上的下凸函数，等号成立当且仅当
1
2
n
x
x
x
=
= ××× =
.若函数
f x 在区间I 上存
在二阶可导函数，则
f x 为区间I 上的下凸函数的充要条件是
0
f
x
¢¢
³
.
(1)若
2
ex
f x
x
ax
=
-
是
1,2 上的下凸函数，求实数a 的取值范围.
(2)在锐角三角形ABC 中，求cos
cos
cos
A
B
C
+
+
的最大值.
(3)已知正实数
1
2
,
,
,
n
x x
x
××××××
满足
1
2
0
2
n
x
x
x
a
a
+
+×××+
=
<
£
，求
1
2
1
2
1
1
1
n
n
x
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
öæ
ö
+
+
×××
+
ç
÷
ç
֍
÷
è
øè
ø
è
ø
的最小值.
【答案】(1)
3e
, 2
¥
æ
ù
-
ç
ú
è
û
(2) 3
2
(3)
n
n
n
a
a
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
【详解】（1）由
2
ex
f x
x
ax
=
-
，可得
1 e
2
x
f
x
x
ax
+
¢
=
-
，
2 e
2
x
f
x
x
a
=
+
-
¢¢
，
因为
2
ex
f x
x
ax
=
-
是
1,2 上的下凸函数，
所以
0
f
x
¢¢
³
在
1,2 上恒成立，即
2 e
2
0
x
x
a
+
-
³
恒成立，
所以
2
2 ex
a
x
£
+
在
1,2 上恒成立，
令
2 ex
g x
x
=
+
，则
3 ex
g
x
x +
¢
=
，当
1,2
xÎ
时，
0
g
x
¢
>
，
所以
g x 在
1,2 上单调递增，所以
min
1
3e
g x
g
=
=
，所以2
3e
a £
，解得
3e
2
a £
，
所以实数a 的取值范围为
3e
, 2
¥
æ
ù
-
ç
ú
è
û
.
（2）令
cos
f x
x
= -
，
π
0, 2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
则
sin
f
x
x
¢
=
，
cos
0
f
x
x
¢¢
=
>
，
所以
cos
f x
x
= -
在
π
0, 2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø 上是下凸函数，
又因为
π
, ,
0, 2
A B C
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
所以
π
3
3
3
f
A
f B
f C
A
B
C
f
f
+
+
+
+
æ
ö
æ
ö
³
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
即
π
3
cos
cos
cos
3cos 3
2
A
B
C
-
+
+
³ -
= -
，
所以
3
cos
cos
cos
2
A
B
C
+
+
£
，当且仅当
π
3
A
B
C
=
=
=
时，等号成立，
所以cos
cos
cos
A
B
C
+
+
的最大值为3
2 .
（3）因为正实数
1
2
,
,
,
n
x x
x
××××××
满足
1
2
0
2
n
x
x
x
a
a
+
+×××+
=
<
£
，
所以
1
2
,
,
,
0,2
n
x x
x
××××××
Î
.
令
1
ln
h x
x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，0
2
x
<
<
，
则
2
2
2
1
1
1
1
1
x
x
h x
x x
x
x
-
-
=
=
¢
+
+
，
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1 3
1
4
1
1
1
x x x
x
x
x
x
h
x
x
x
x
x
×
+
-
-
+
-
+
+
=
¢
=
+
+
¢
，
因为0
2
x
<
<
，所以
2
0
4
<
<
x
，
2
2
2
2
x
- <
-
<
，
2
2
0
2
4
x
£
-
<
，
即
2
4
2
2
4
1
5
2
0
x
x
x
-
+
+ =
-
-
>
，
所以
4
2
2
2
2
4
1
0
1
x
x
h
x
x
x
-
+
+
+
¢¢
=
>
，
所以
h x 在
0,2 上是下凸函数，
所以
1
2
1
2
n
n
h x
h x
h x
x
x
x
h
n
n
+
+×××+
+
+×××+
æ
ö
³
ç
÷
è
ø
，
即
1
2
1
2
1
1
1
ln
ln
ln
ln
ln
n
n
n
n
n
x
x
x
nh
n
x
x
x
n
n
n
a
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+×××+
+
³
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
即
1
2
1
2
1
1
1
ln
ln
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
n
a
a
é
ù
æ
ö
æ
öæ
ö
æ
ö
+
+
×××
+
³
+
ê
ú
ç
÷
ç
֍
÷
ç
÷
è
ø
ê
ú
è
øè
ø
è
ø
ë
û
，
所以
1
2
1
2
1
1
1
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
n
a
a
æ
ö
æ
öæ
ö
æ
ö
+
+
×××
+
³
+
ç
÷
ç
֍
÷
ç
÷
è
ø
è
øè
ø
è
ø
，
当且仅当
1
2
n
x
x
x
n
a
=
= ××× =
=
时，等号成立，
所以
1
2
1
2
1
1
1
n
n
x
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
öæ
ö
+
+
×××
+
ç
÷
ç
֍
÷
è
øè
ø
è
ø
的最小值为
n
n
n
a
a
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
.
1．（24-25 高二下·江西上饶·期中）若数列
na
满足
1
3
1
n
n
a
a
+ =
- ，则称
na
为“对奇数列”.已知
1
2
nb
ì
ü
+
í
ý
î
þ 为“对奇数
列”，且
1
3
b =
，则
2025
b
= （ ）
A．
2024
3 2
´
B．
2025
3
C．
2024
2 3
´
D．
2023
2
3
´
【答案】B
【详解】因为
1
2
nb
ì
ü
+
í
ý
î
þ 为“对奇数列”，则
1
1
1
3
1
2
2
n
n
b
b
+
æ
ö
+
=
+
-
ç
÷
è
ø
，即
1
3
n
n
b
b
+ =
，
且
1
2
0
b =
¹
，可知数列
nb
是以
1
3
b =
为首项，3 为公比的等比数列，
所以
20
2
2
02
4
2025
5
3 3
3
b
´
=
=
.
故选：B.
2．（24-25 高三上·四川南充·阶段练习）若各项为正的无穷数列
na
满足：对于
*
n
" ÎN ，
2
2
1
n
n
a
a
d
+ -
=
，其中d 为
非零常数，则称数列
na
为等方差数列．那么（ ）
A．
3n 是等方差数列
B．若
na
既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
C．若数列
na
是等方差数列，则数列
kn
a
（
*
N
k Î
，k 为常数）也是等方差数列
D．若
na
是等方差数列，则不存在正整数n，使得
1
1
2024
n
i
ia
=
>
å
【答案】C
【详解】对于A，当
3n
na =
时，有
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
3
3
3
3
8 3
n
n
n
n
n
n
n
a
a
+
+
+ -
=
-
=
-
= ´
，由于
2
8 3 n
´
不是一个常数，故A 错
误；
对于B，由
2
2
1
1
n
n
a
a
d
+ -
=
，
1
2
n
n
a
a
d
+ -
=
，则
1
2
1
n
n
a
a
d
d
+ +
×
=
，
因为
1
0
d ¹
，所以
2
0
d ¹
，则
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
2
2
n
n
n
n
d
d
d
a
a
a
d
a
d
d
d
d
+
æ
ö
+
=
Þ
+
=
Þ
=
-
ç
÷
è
ø
，
解得
na
仍为常数列，这与
2
0
d ¹
相矛盾，故B 错误；
对于C，因为
2
2
1
n
n
a
a
d
+ -
=
，所以
2
1
2
1
n
a
n
d
a =
+
-
而
2
2
2
2
1
1
1
1 1
1
kn
kn
a
a
a
kn
d
a
kn
d
d
+
é
ù
é
ù
-
=
+
+ -
-
+
-
=
ë
û
ë
û
，故C 正确；
考点二
数列新定义问题
对于D，当
0
d <
时，总会存在n 使得
2
1
2
0
1
na
a
n
d
-
=
<
+
，这显然是不成立的，
所以
0
d >
，由
2
1
2
1
n
a
n
d
a =
+
-
，则
2
1
1
na
a
n
d
=
+
-
，即
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
na
a
d
a
d
a
d
a
d
n
n
n
n
+
-
>
+
+
+
-
=
-
+
=
2
2
1
1
1
2
a
nd
a
n
d
d
+
-
+
-
=
，
所以有
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
n
i
i
a
nd
a
n
d
a
d
a
a
d
a
d
a
d
d
d
=
+
-
+
-
+
-
+
-
+
>
+
+×××+
å
2
2
1
1
2
1
1
2
2
2
a
a
nd
a
nd
a
d
d
d
-
+
=
+
=
+
-
，
因为
0
d >
，所以
2
1
1
2
a
nd
a
d
+
-
一定会随着n 的增大而增大，且能趋向于正无穷，
则总存在正整数n ，使得
1
1
2024
n
i
ia
=
>
å
，故D 错误；
故选：C．
3．（2025·北京海淀·一模）对于无穷数列
na
和正整数
2
k k ³
，若存在
1
2
,
,
,
k
n n
n
L
满足
1
2
k
n
n
n
<
<
<
L
且
1
2
1
2
kn
n
n
k
a
a
a
n
n
n
=
=
=
L
，则称数列
na
具有性质
kP ．下列选项中错误的是（ ）
A．若
2
na
n
=
，则数列
na
不具有性质
2P
B．若
1 cos
π
na
n
n
=
- +
，则数列
na
具有性质
2025
P
C．存在数列
na
和
nb
，使得
na
和
nb
均不具有性质
2P ，且
n
n
a
b
+
具有性质
2025
P
D．若数列
na
和
nb
均具有性质
2025
P
，则
n
n
a
b
+
具有性质
2025
P
【答案】D
【详解】因
2
na
n
=
，则
na
n
n =
，由于
1
2
,
n n 是2 个不同的正整数，
因此
1
2
1
2
1
2
,
n
n
a
a
n
n
n
n
=
=
不可能相等，故数列
na
不具有性质
2P ，故A 正确；
B，
1 cos
π
na
n
n
=
- +
，故当n 为偶数时，
na
n
=
，此时
1
na
n = ，
故取
2025
1
2
,
,
,
n n
n
L
为2025 个不同的偶数，此时
20
1
25
2
2025
1
2
1
n
n
n
a
a
a
n
n
n
=
=
=
=
L
，
则数列
na
具有性质
2025
P
，故B 正确；
取
2
na
n
=
，由A 选项可知，数列
na
不具有性质
2P ；取
2
nb
n
n
= -
+
，
则
1
nb
n
n = - + ，由于
1
2
,
n n 是2 个不同的正整数，因此
1
2
1
2
1
2
1
,1
n
n
b
b
n
n
n
n
= -
=
+
+
-
不可能相等，
故数列
nb
不具有性质
2P ；
n
n
a
b
n
+
=
，则
1
n
n
a
b
n
+
= ，
故任取
2025
1
2
,
,
,
n n
n
L
为2025 个不同的正整数，
有
2025
20
2
25
1
1
2
2025
1
2
1
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
a
b
n
n
n
=
=
=
+
+
+
=
L
，则数列
n
n
a
b
+
具有性质
2025
P
，故C 正确；
取
,
1,
n
n n
a
n
n
ì
= í +
î
为奇数
为偶数，
1,
,
n
n
n
b
n n
+
ì
= í
î
为奇数
为偶数
，则当n 为奇数时，
1
na
n = ，
故取
2025
1
2
,
,
,
n n
n
L
为2025 个不同的奇数，此时
20
1
25
2
2025
1
2
1
n
n
n
a
a
a
n
n
n
=
=
=
=
L
，
故数列
na
具有性质
2025
P
；当n 为偶数时，
1
nb
n = ，故取
2025
1
2
,
,
,
n n
n
L
为2025 个不同的偶数，
此时
20
1
25
2
2025
1
2
1
n
n
n
b
b
b
n
n
n
=
=
=
=
L
，故数列
nb
具有性质
2025
P
；
2
1
n
n
a
b
n
+
=
+ ，
则
1
2
n
n
a
b
n
n
+
=
+
，由于
2025
1
2
,
,
,
n n
n
L
为2025 个不同的正整数，
则
1
1
1
1
1
2
n
n
a
b
n
n
=
+
+
，
2
2
2
2
1
2
n
n
a
b
n
n
=
+
+
，L，
2025
2025
2025
2025
1
2
n
n
a
b
n
n
=
+
+
不可能相等，
此时数列
n
n
a
b
+
不具有性质
2025
P
，故D 错误.
故选：D
4．（24-25 高二上·安徽黄山·期末）定义：对任意
*
N
nÎ
，都有
1
n
n
a
a
c
+
+
=
（c 为常数），称数列
na
为“等和”数列.
设“等和”数列
na
的首项为
1a ，直线
(
)
2
0
R
kx
y
k
k
-
+
+
=
Î
过定点
1
2
(
,
)
P a a
，则
2025
1
n
n
a
=
=
å
（ ）
A．2025
B．2562
C．3036
D．3037
【答案】D
【详解】由直线
(
)
2
0
R
kx
y
k
k
-
+
+
=
Î
变形得：
1
2
0
k x
y
k
R
-
-
+
=
Î
，当
1
x = 时，
2
y =
所以直线过定点
(1,2)
P
，即
1
2
1,
2
a
a
=
=
，
由数列
na
为“等和”数列且
1
n
n
a
a
c
+
+
=
（c 为常数），
所以
1
1
2
1
2
3
n
n
a
a
a
a
+
+
=
+
= +
=
，
所以等和”数列
na
的奇数项为1，偶数项为2，
所以
2025
1
2
3
4
2023
2024
2025
1
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
+
+
+
+
+
+
+
å
L
1
2
3
4
2023
2024
2025
a
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+
+
+
L
2024
3
1
3037
2
= ´
+ =
，
故选：D.
5．（2025·江西·模拟预测·多选）若无穷数列
nx
对于任意正整数, (
)
a b a
b
<
均有
b
b
a
x
b
x
x
b
a
£
-
-
，则称
nx
是形数
列，则（ ）
A．数列
2n 是形数列
B．“数列n
q
d
ì
ü
+
í
ý
î
þ
是形数列”的充要条件是“
0
dq £
”
C．若正项单调数列
na
是形数列，则
1
n
i
i
a
i
=
ì
ü
í
ý
î
þ
å
是形数列
D．若两个正项递增数列
,
n
n
a
b
均是形数列，则对于任意正整数m，n，均有
m n
m n
a
b
+
+ ³
m m
n n
a b
a b
+
【答案】AD
【详解】若
b
a
x
x
>
，由
b
b
a
x
b
x
x
b
a
£
-
-
，得
0
b
a
x
x
b
a
-
³
，若
b
a
x
x
<
，由
b
b
a
x
b
x
x
b
a
£
-
-
，
得
0
b
a
x
x
b
a
-
£
，故原题意可转化为当
0
b
a
b
a
x
x
x
x
b
a
æ
ö
-
-
³
ç
÷
è
ø
时，
nx
是形数列．
对于A，易知2
2
b
a
>
，而
1
2
2
(
1) 2
0
1
(
1)
n
n
n
n
n
n
n n
+
-
×
-
=
³
+
+
，故2
2
0
b
a
b
a
-
³
，
即
2
2
2
2
0
b
a
b
a
b
a
æ
ö
-
-
³
ç
÷
è
ø
，故
2n 是形数列，故A 正确；
对于B，当n
q
d
ì
ü
+
í
ý
î
þ
是形数列时，
b
q
b
d
b
a
b
a
d
d
+
£
-
-
，即b
dq
b
+
£
，得
0
dq £
，必要性成立，
下面考虑充分性，当
0
d =
时，
0
dq £
，此时n
q
d
ì
ü
+
í
ý
î
þ
没有意义，充分性不成立，故B 错误；
对于C，若
na
是递减数列，则
1
n
n
a
a
+ <
．故
2
2
1
2
a
a
a
<
<
，于是
2
1
1
2
2
a
a
a
+
<
，
而
2
1
1
2
a
a
a
+
>
，故当
1,
2
a
b
=
=
时，
2
1
1
1
i
i
i
i
a
a
i
i
=
=
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
å
å
．
2
1
1
1
0
2
1
i
i
i
i
a
a
i
i
=
=
æ
ö
ç
÷
ç
÷
-
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
å
å
，
故
1
n
i
i
a
i
=
ì
ü
í
ý
î
þ
å
不是形数列，故C 错误；
对于D，显然
b
a
a
a
>
，则
b
a
a
a
b
a
³
，故
b
a
b
a
a
a
³
×
，
于是
1
1
1
(
)
1
1
1
n m
m n
n m
n m
m
n
n
m a
m
n
a
a
a
a
a
n
m
n
m
n
m
+
-
+
+
-
+
-
+
³
=
+
³
+
+
-
+
-
+
-
，
同理
m n
m
n
b
b
b
+ ³
+
．
故
m n
m n
m
n
m
n
m
m
n
n
m
n
n
m
m
m
n
n
a
b
a
a
b
b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
+
+ ³
+
+
=
+
+
+
³
+
+
2
2
m n
n m
m m
n n
a b a b
a b
a b
=
+
，即
m n m n
m m
n n
a
b
a b
a b
+
+ ³
+
，故D 正确．
故选：AD．
6．（24-25 高二下·福建泉州·期末·多选）已知数列
n
u
，其前n 项和为
n
S ，若存在常数
0
M >
，对任意
*
nÎN ，恒
有
1
1
2
1
n
n
n
n
u
u
u
u
u
u
M
+
-
-
+
-
+
+
-
£
L
，则称
n
u
为B - 数列.则下列说法正确的是（ ）
A．若
n
u
为等差数列，则
n
u
为B - 数列
B．若
n
u
是以1 为首项，(|
| 1)
q q <
为公比的等比数列，则
n
u
为B - 数列
C．若
n
u
为B 一数列，则
n
S
也为B - 数列
D．若
n
S
为B 一数列，则
n
u
也为B - 数列
【答案】BD
【详解】对于A，若
nu
为等差数列，设公差为d ，则
1
1
2
1
n
n
n
n
u
u
u
u
u
u
n d
+
-
-
+
-
+
+
-
=
L
，
当n +¥ 时，n d
¥
+
，所以不存在满足题意的正数M ，故A 错误；
对于B，若
nu
是以1 为首项，(
1)
q q <
为公比的等比数列，则
1
n
nu
q
+ =
，
1
1
1
1
n
n
n
n
n
u
u
q
q
q q
-
-
+ -
=
-
=
-
，
则
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
q
u
u
u
u
u
u
q
q
q
q
q
-
+
-
-
-
+
-
+
+
-
=
-
+
+
=
-
×
-
L
LL
，
因
1
q < ，则当n +¥ 时，
0
n
q
，故
1
1
2
1
1
1
n
n
n
n
q
u
u
u
u
u
u
q
+
-
-
-
+
-
+
+
-
£ -
L
，故B 正确；
对于C，若
1
n
u = ，则数列
nu
是B - 数列，此时
n
S
n
=
，
但
1
1
2
1
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
n
+
-
-
+
-
+
+
-
=
L
不是常数，即数列
n
S
不是B - 数列，故C 错误；
对于D，若数列
n
S
是B - 数列，即存在常数
0
M >
，
对任意
*
nÎN 有
1
1
2
1
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
M
+
-
-
+
-
+
+
-
£
L
，即
1
2
n
n
u
u
u
M
+ +
+
+
£
L
，
则
1
1
2
1
n
n
n
n
u
u
u
u
u
u
+
-
-
+
-
+
+
-
£
L
1
2
1
2
2
n
n
u
u
u
u
+ +
+
+
+
L
1
2
1
1
2
2
2
2
n
n
u
u
u
u
M
u
+
£
+
+
+
+
=
+
L
，则数列
nu
是B - 数列，故D 正确.
故选：BD
7．（25-26 高三上·湖南长沙·开学考试·多选）对于n
N
Î
，将n 表示为
0
1
2
0
1
2
3
3
3
3k
k
n
a
a
a
a
=
×
+
×
+
×
+
+
×
L
．其中
1, 0,1
0,1, 2,
,
,
ia
i
k
Î -
=
L
0
ka ¹
．记
I n 为上述表示中
ia 为0 的个数（例如
0
1
2
8
1 3
0 3
1 3
= -
×
+ ×
+ ×
，则
8
1
I
= ，则下列结论正确的是（ ）
A．
10
1
I
=
B．
3
2
2
n
I
n
+
=
-
C．
9
2
I
n
I n
=
+
D．
9
4
4
I
n
I n
+
=
+
【答案】AC
【详解】对A，∵
0
1
2
10
1 3
0 3
1 3
= ×
+ ×
+ ×
，∴
10
1
I
= ，故A 正确；
对B，当
1
n = 时，
0
1
2
5
1 3
1 3
1 3
= -
×
+ -
×
+ ×
，
所以
5
0
I
=
，不符合，故B 错误；
对C，设
0
1
2
0
1
2
3
3
3
3k
k
n
a
a
a
a
=
+
+
+L
，
所以
2
3
4
2
0
1
0
1
2
9
3
3
3
3
0 3
0 3
k
k
n
a
a
a
a
+
=
+
+
+
+ ×
+ ×
L
，
增加了
03 ，
13 两项系数为0，∴
(9 )
( )
2
I
n
I n
=
+
，故C 正确；
对于D，
2
3
4
2
0
1
0
1
2
9
4
3
3
3
3
1 3
1 3
k
k
n
a
a
a
a
+
+
=
+
+
+
+ ×
+ ×
L
，
∴
9
4
4
I
n
I n
+
¹
+
，故D 错误；
故选：AC.
8．（2025·云南昆明·二模）已知
1,2,
,
ia i
n
=
L
随机取1
- 或1，构成数列
na
为初始数列，当
na
不为常数列
1
1,1,
,1
n 4
L
1
423
个
时，对数列
na
进行如下操作：①统计
na
中-1 的个数，记为k ；②把
ka 改为
ka
-
，其余项不变，得到新
数列；③若新数列为常数列
1
1,1,
,1
n 4
L
1
423
个
，停止操作，记录操作次数x ，否则将
na
替换为新数列，重复上述操作，可
知对任意初始数列
na
，必在有限次操作后停止．如：
2
n =
，对初始数列1，1
- ，操作过程为1，
1
1
1
k=
¾¾
-
- ，
2
1
1
k=
¾¾
-
- ，
1
1
1
k=
¾¾，1；
3
x =
．当
3
n =
时，对所有可能的初始数列
na
，对应操作次数的和为
．
【答案】24
【详解】当
3
n =
时，按1
- 的个数及出现的位置，初始数列共有7 种情况：
初始数列
3
2
1
1, 1, 1
1, 1,1
1,1,1
1,1,1
k
k
k
=
=
=
- - - ¾¾- -
¾¾-
¾¾
，
3
x =
；
初始数列
2
1
1, 1,1
1,1,1
1,1,1
k
k
=
=
- -
¾¾-
¾¾
，
2
x =
；
初始数列
2
1,1, 1
1, 1, 1
1,1,1
k=
-
- ¾¾- - -
L
，
4
x =
；
初始数列
2
1
2
1, 1, 1
1,1, 1
1,1, 1
1, 1, 1
1,1,1
k
k
k
=
=
=
- - ¾¾
- ¾¾-
- ¾¾- - -
L
，
6
x =
；
初始数列
1
1,1,1
1,1,1
k=
-
¾¾
，
1
x = ；
初始数列
1
2
1
1, 1,1
1, 1,1
1,1,1
1,1,1
k
k
k
=
=
=
-
¾¾- -
¾¾-
¾¾
，
3
x =
；
初始数列
1
2
1,1, 1
1,1, 1
1, 1, 1
1,1,1
k
k
=
=
- ¾¾-
- ¾¾- - -
L
，
5
x =
；
所以所求操作次数的和为3
2
4
6 1 3
5
24
+
+
+
+ + +
=
.
故答案为：24
9．（2025·福建宁德·三模）已知数列
na
共有
+
m
k 项
*
,
,
,
N
n
m
k m
k m k
=
+
³
Î
，其中m 项为0 ，k 项为1.若数列
na
满足对任意
1
2
,
,
,
,
i
i
m
k a a
a
£
+
¼
中的0 的个数不少于1的个数，则称数列
na
为“规范数列”.当
3
m =
，
3
k =
时，“规范数列”的个数为
，记
m k
P + 表示数列
na
是“规范数列”的概率，则
2
m
P + 的最小值为
.
【答案】
5
1
3
【详解】（1）当
3,
3
m
k
=
=
时，满足要求的“规范数列”有
0,0,0,1,1,1；0,0,1,0,1,1；0,0,1,1,0,1；0,1,0,0,1,1； 0,1,0,1,0,1；
所以当
3
m =
，
3
k =
时，“规范数列”的个数为5 .
（2）n
m
k
=
+
，m
k
³
，
*
,
N
m k Î
时，具有“规范数列”数列特征的数列
na
的个数为
( , )
f m k ，
当
2
k =
，
2
m≥
，
N
m
Î
时，由已知数列
na
共有
2
m +
项，其中m 项为0 ，2 项为1，
所以满足条件的数列
na
的个数为
2
2
Cm+ ，
若数列
na
为“规范数列”，则第一项为0 ，
若第一项为0 ，第二项为0 时，“规范数列”个数为
2
Cm ，
当第一项为0 ，第二项为1，第三项必然为0 ，此时“规范数列”个数为
1
1
Cm- ，
所以
2
1
1
( ,2)
C
C
m
m
f m
-
=
+
.
故
2
2
2
2
( ,2)
2
1
2
1
C
(
2)(
1)
1
1
m
m
f m
m
m
m
P
m
m
m
m
+
+
+
-
-
=
=
=
= -
+
+
+
+ ，
因为函数
2
1
1
y
x
= -
+ 在
2,+¥ 上单调递增，
所以当
2
m =
时，
2
m
P + 取最小值，
2
min
2
1
(
)
1
3
3
m
P +
= -
=
，
故答案为：5 ；1
3 .
10．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）若数列
na
的相邻两项或几项之间的关系由函数
f x 确定，则称
f x 为
na
的递归函数；
g x
x
=
为取整函数，它表示不超过x 的最大整数，例如
1.2
1
= ，
1.3
2
-
= - ；设
na
的递归
函数为
2
f x
x
x
= -
+
，
2
1
5
n
n
n
n
a
f a
a
a
+ =
+
+
，且
1
5
3
a =
，
na
的前n 项和记为
n
S ，若
1
1
1
3
1
n
n
i
i
a
T
S
a
=
=
-
+
å
，则
2024
1
i
i
g T
=å
为
．
【答案】10120
【详解】已知
2
1
5
n
n
n
n
a
f a
a
a
+ =
+
+
，
2
f x
x
x
= -
+
，
1
5
3
a =
，
则
2
2
1
5
6
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
+ = -
+
+
+
=
，
因为
1
5
3
a =
，所以
0
na ¹
，
1
6
n
n
a
a
+ =
，即
na
为以5
3 为首项，6 为公比的等比数列.
则
1
5 1 6
1
6
1
3
1
1 6
3
n
n
n
n
a
q
S
q
-
-
-
=
=
=
-
-
.
所以
1
1
1
3
5
5
5
6
1
5
6
1
2 6
1
1
1
3
3
3
i
i
i
i
a
S
a
-
=
=
=
-
-
+
×
-
-
+
-
，即
1
1
5
2 6
1
n
n
i
i
T
-
=
=
×
-
å
.
当
1
n = 时，
1
1 1
5
5
2 6
1
T
-
×
-
=
=
.
因为当
0,
0
b
a
m
>
>
>
时，由
0
a b
m
b a
m
m a
b
a
a
m
b
b
m
b b
m
b b
m
+
-
+
-
+
-
=
=
<
+
+
+
,可得a
a
m
b
b
m
+
<
+
，
所以当
2
i ³
时，
1
1
1
5
6
3
2 6
1
2 6
6
i
i
i
-
-
-
<
=
×
-
×
.
故当
2
n ³
时，
1
1
2
1
1
1
2
5
3
1
1
1
3
1
5
5
3
...
5
1
5.6
2 6
1
6
6
6
6
5
6
n
n
n
i
i
n
n
i
i
T
-
-
-
-
=
=
æ
ö
æ
ö
=
<
+
=
+
+
+
+
=
+
-
<
ç
÷
ç
÷
×
-
è
ø
è
ø
å
å
又
1
0
5
2 6
1
i-
×
- >
，则
1
5
nT
T
³
=
，
故对于任意
*
nÎN ，5
5.6
nT
£
<
，
所以
5
n
n
g T
T
=
=
.
所以
2024
1
( )
2024
5
10120
i
i
g T
=
=
´
=
å
.
故答案为：10120.
11．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若数列
na
满足
2
2
1
n
n
n
S
S
S
+
+
<
×
，则称数列
na
是
“方特数列”.
(1)证明：数列
n 是“方特数列”；
(2)若数列
1
1
1
0
n
a q
a
-
¹
是“方特数列”，求q 的取值范围；
(3)证明：当
0
q >
时，数列
1
n
nq -
是“方特数列”.
【答案】(1)证明见解析
(2)
0,+ ¥
(3)证明见解析
【详解】（1）当
na
n
=
时，
1
1
2
n
S
n n
=
+
，
2
2
1
1
1
1
2
3
1
2
1
2
0
4
2
n
n
n
S
S
S
n
n
n n
n
n
n
n
+
+
é
ù
×
-
=
+
+
+
-
+
+
= -
+
+
<
ë
û
，
∴数列
na
满足
2
2
1
n
n
n
S
S
S
+
+
<
×
，即数列
n 是“方特数列”.
（2）当
1
q = 时，
1
n
S
na
=
，
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
·
2
1
0
n
n
n
S
S
S
na
n
a
n
a
a
+
+
×
-
=
+
-
+
= -
<
，满足条件；
当
1
q ¹ 时，
1 1
1
n
n
a
q
S
q
-
=
-
，
∵数列
1
1
n
a q -
是“方特数列”，
∴
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
0
1
n
n
n
n
n
n
n
a
S
S
S
q
q
q
a q
q
+
+
+
+
é
ù
×
-
=
-
-
-
-
= -
<
ê
ú
ë
û
-
，.
∴
0
n
q >
，∴
0
q >
且
1
q ¹ ，
综上所述，当数列
1
1
1
0
n
a q
a
-
¹
是“方特数列”时，q 的取值范围为
0,+ ¥ .
（3）当
1
q = 时，由（1）知满足条件，
当
0
q >
且
1
q ¹ 时，
1
2
1
,
1
2
3
n
n
n
n
a
nq
S
q
q
nq
-
-
=
= +
+
+
+
L
，
2
3
2
3
n
n
qS
q
q
q
nq
=
+
+
+
+
L
，
∴
2
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
q
nq
q
q S
q
q
q
nq
q
-
-
-
-
-
= +
+
+
+
-
=
-
L
，
∴
2
1
1
1
n
n
n
q
nq
q
S
q
-
-
-
=
-
，
2
2
1
n
n
n
S
S
S
+
+
×
-
=
2
2
2
1
1
4
1
1
1
2
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
q
nq
q
q
n
q
q
q
n
q
q
q
+
+
+
+
é
ù é
ù
é
ù
-
-
-
-
-
+
-
-
-
-
+
-
ë
û ë
û
ë
û
-
2
2
2
1
1
n
n
q
q
n
q
n
q
+
é
ù
-
+
+
+
ë
û
= -
-
，
设
2
2
1
n
g q
q
n
q
n
+
=
-
+
+
+ ，∴
( )
g q
¢
1
2
1
n
n
q +
=
+
-
，
当
1
q >
时，
( )
g q
¢
0, g q
>
单调递增；当0
1
q
<
< 时，
( )
g q
¢
0, g q
<
单调递减，∴
1
0
g q
g
>
=
，
∴
2
2
1
0
n
n
n
S
S
S
+
+
×
-
<
，
综上所述，当
0
q >
时，数列
1
n
nq -
是“方特数列”.
12．（24-25 高三上·福建漳州·阶段练习）已知数列
na
的项数有限，且满足以下两个条件：
①
1
2
0
n
a
a
a
+
+
+
=
L
，②
1
2
1
n
a
a
a
+
+
+
=
L
.称该数列为n 阶好数列.
(1)若
na
为等比数列，写出4 阶好数列的各项(不必说明理由).
(2)若
na
为等差数列，且为2
1
k + 阶好数列，求该数列的通项
na (1
2
1
n
k
£
£
+ ，用n 、k 表示).
(3)记n 阶好数列
na
的前k 项和为
kT ，若存在m (1
m
n
£
£
)满足
1
2
m
T =
，则数列(1
)
kT
k
n
£
£
能否为n 阶好数列?请
说明理由.
【答案】(1) 1
1 1
1
,
,
,
4
4 4
4
-
-
或
1 1
1 1
,
,
,
4 4
4 4
-
-
(2)
1 ,
0
1
1 ,
0
1
n
n
d
k k
k
a
n
d
k k
k
ì
-
>
ï
+
ï
= í
ï-
+
<
ï
+
î
，其中
*
1
2
1,
N
n
k
n
£
£
+
Î
.
(3)不能，理由见解析
【详解】（1）设等比数列的公比为q ，因为
1
2
3
4
0
a
a
a
a
+
+
+
=
，故
1
q ¹ ，
否则
1
2
3
4
0
a
a
a
a
=
=
=
=
，这与
na
为等比数列矛盾.
故
4
1 1
0
1
a
q
q
-
=
-
，而
1
0
a ¹
，故
1
q = - ，
故
1
1
1
n
na
a
-
=
-
，而
1
2
1
n
a
a
a
+
+
+
=
L
，故
1
4
1
a = ，即
1
1
4
a =
或
1
1
4
a = -
，
故4 阶好数列的各项为：1
1 1
1
,
,
,
4
4 4
4
-
-
或
1 1
1 1
,
,
,
4 4
4 4
-
-
.
（2）设等差数列
na
的公差为d ，
由
1
2
2
1
...
0
k
a
a
a
+
+
+
+
= ，得
1
2
2
1
2
1
0
2
k
k
d
k
a
+
+
+
=
，即
1
2
1
0
k
a
kd
+
+
=
，
因2
1
0
k + ¹
，则
1
0
a
kd
+
=
，从而
1
0
ka + =
，
2
ka
d
+ =
.
若
0
d =
，则
na
为常数列且常数为0，这与
1
2
1
n
a
a
a
+
+
+
=
L
矛盾.
当
0
d >
时，因
1
0
ka + =
，
1
2
1
n
a
a
a
+
+
+
=
L
，则有
2
3
2
1
1
...
2
k
k
k
a
a
a
+
+
+
+
+
+
=
，
所以
1
1
2
2
k k
kd
d
-
+
=
，解得
1
1
d
k k
=
+
.
由
1
0
ka + =
得
1
1
0
1
a
k k k
+
×
=
+
，则
1
1
1
a
k
= -
+ .
所以
1
1
1
1
1
1
1
n
n
a
n
k
k k
k k
k
= -
+
-
×
=
-
+
+
+
.
当
0
d <
时，同理可得
1
1
2
2
k k
kd
d
-
+
= -
，即
1
1
d
k k
= -
+
.
由
1
0
ka + =
得
1
1
0
1
a
k k k
-
×
=
+
，则
1
1
1
a
k
=
+ ，
所以
1
1
1
1
1
1
1
n
n
a
n
k
k k
k k
k
æ
ö
=
-
-
× -
= -
+
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
.
综上，
1 ,
0
1
1 ,
0
1
n
n
d
k k
k
a
n
d
k k
k
ì
-
>
ï
+
ï
= í
ï-
+
<
ï
+
î
，其中
*
1
2
1,
N
n
k
n
£
£
+
Î
.
（3）因为
1
2
m
T =
，故
1
2
1
2
1
...
...
2
m
m
m
n
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
= -
+
+
+
=
.
故
1
2
1
2
1
2
...
...
1
...
1
m
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
+ -
+
+
+
= £
+
+
+
= ，
结合绝对值不等式取等的条件可得
0,1
,
0,
1
i
i
a
i
m a
m
i
n
³
£ £
£
+ £ £
.
故
1
2
1
0
2
m
T
T
T
£
£
£
=
L
，
当1
k
n
m
£
£
-
时，
1
2
3
1
1
1
1
1
0
2
2
2
m k
m
m
m k
m
m k
T
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
³
-
=
L
L
，
所以
1
2
1
2
...
...
n
n
T
T
T
T
T
T
+
+
+
=
+
+
+
，
所以
1
2
...
0
n
T
T
T
+
+
+
= 与
1
2
...
1
n
T
T
T
+
+
+
= 不能同时成立，
所以数列
nT
不能为n 阶好数列.
13．（2025·湖南湘潭·一模）在军事信息传输过程中，为了确保信息安全，常常需要对密钥进行复杂的生成和更新
操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法
k
H ，它的作用是在第
*
N
k k Î
轮对密钥片段进行一次变
换．具体变换规则如下：若k 为奇数，则
k
H 将在第k 轮变换中让序列
1
kA - 的奇数项的值增加1，偶数项的值减少
k；若k 为偶数，则
k
H 将在第k 轮变换中让序列
1
kA - 的奇数项的值增加2k，偶数项的值减少2．若初始密钥序列
0
1
0,0,0,0,0,0,0,0,0
n
n
n
A
A
H
A -
=
=
，
*
N
nÎ
，则加密序列
n
A 的所有项之和为
na ．已知数列
nb
的前n 项和为
nT ，且满足 3 nT = 4
1
nb - ．
(1)写出
4
A ，并求出
nb ；
(2)求
na ；
(3)证明：
2
2
1
2
102
n
k
k
k
k
a
a
b
=
+
<
å
【答案】(1)
4
14, 8,14, 8,14, 8,14, 8,14
A =
-
-
-
-
，
1
4n
nb
-
=
；
(2)
2
2
3
7
6
2
3
7
2
n
n
n
n
a
n
n n
ì
-
+
ïï
= í
+
ï
ïî
为奇数
为偶数
；
(3)详见解析；
【详解】（1）
0
0,0,0,0,0,0,0,0,0
A =
，
1
1
0
1, 1,1, 1,1, 1,1, 1,1
A
H
A
=
=
-
-
-
-
，
2
2
1
5, 3,5, 3,5, 3,5, 3,5
A
H
A
=
=
-
-
-
-
，
3
3
2
6, 6,6, 6,6, 6,6, 6,6
A
H
A
=
=
-
-
-
-
，
4
4
3
14, 8,14, 8,14, 8,14, 8,14
A
H
A
=
=
-
-
-
-
；
3
4
1
n
n
T
b
=
- ，
1
1
3
4
1
n
n
T
b
-
-
=
- ，
两式做差，可得：
1
1
3
3
3
4
4
n
n
n
n
n
T
T
b
b
b
-
-
-
=
=
-
；
可得：
1
4
n
n
b
b -
=
，故
nb 为公比为4 的等比数列，
令
1
n = ，
1
1
3
4
1
T
b
=
- ，可得
1
1
b = ，
故
1
4n
nb
-
=
；
（2）当n 为奇数时，
1
4
5
n
n
a
a
n
-
-
= -
+
，
当n 为偶数时，
1
10
8
n
n
a
a
n
-
-
=
- ，
故
na 也为奇偶分段数列，先求
na （n 为奇数，且
3
n ³
）：
1
4
5
n
n
a
a
n
-
-
= -
+
，
1
2
10
18
n
n
a
a
n
-
-
-
=
-
，
2
3
4
13
n
n
a
a
n
-
-
-
= -
+
，
3
4
10
38
n
n
a
a
n
-
-
-
=
-
，
……
5
4
15
a
a
-
= -
，
4
3
32
a
a
-
=
，
3
2
7
a
a
-
= - ，
2
1
12
a
a
-
=
，
等号两边分别求和，
1
12
7
32 15
6
25
6
13
na
a
n
n
-
=
-
+
-
+
+
-
+
-
L
，
等式右边是为首项为5，公差为12的等差数列的前
1
2
n - 项和，
故
2
1
5
6
13
1
3
7
4
2
2
2
n
n
n
n
n
a
a
+
-
-
-
+
-
=
×
=
，
2
2
1
3
7
4
3
7
6
2
2
n
n
n
n
n
a
a
-
+
-
+
=
+
=
，
当
1
n = 时，成立；
当n 为偶数时，
1
n - 为奇数，此时：
2
2
1
3
1
7
1
6
3
7
10
8
10
8
2
2
n
n
n
n
n
n
a
n
a
n
-
-
-
-
+
+
=
- +
=
- +
=
；
故
2
2
3
7
6
2
3
7
2
n
n
n
n
a
n
n n
ì
-
+
ïï
= í
+
ï
ïî
为奇数
为偶数
；
（3）
2
2
2
3 2
7 2
6
7
2
k
k
k
a
k
k
+
=
=
+
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
k
k
k
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
+
=
+
<
+
+ =
+
，
1
4k
kb
-
=
，
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
6
7
6
7
2
2
6
7
1
4
2
n
n
n
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
a
a
k
k
b
-
-
=
=
=
+
+
+
+
+
+
=
<
å
å
å
，
2
2
2
1
2
1
1
1
6
2
43
2
88
6
1
43
1
88
6
7
1
2
2
2
n
n
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
-
-
=
=
æ
ö
-
+
-
+
-
+
-
+
+
+
ç
÷
=
-
ç
÷
è
ø
å
å
（
2
k ³
）；
故
2
1
1
2
3
2
1
6
7
1
88
137
198
271
137
198
14
2
1
2
2
2
2
2
n
k
k
k
k
-
=
+
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
-
+
-
+
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
å
L
2
2
2
2
1
1
6
2
43
2
88
6
1
43
1
88
6
1
43
1
88
102
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
-
-
-
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
+
-
=
-
，
故
2
2
1
2
102
n
k
k
k
k
a
a
b
=
+
<
å
.
14．（2025·福建三明·模拟预测）数列
na
的项数为m ，各项互不相同，
1,2,
,
na
m
Î
L
．设
1,2,
,
i
m
Î
L
，对数列
na
各项作变换：若n
i
m
+ £
，将
na 移到第n
i
+ 项；若n
i
m
+ >
，将
na 移到第n
i
m
+ -
项，得到的新数列记为
1
na
；对
1
na
各项重复上述变换，得到的新数列记为
2
na
；…；依此类推．给定
1,2,
,
r
m
Î
L
，若存在
*
sÎN ，使得
s
na
的第r 项为r ，则称i 是
na
的“ r 关联数”．
(1)若
na
：4，1，3，5，2，给定
2
i =
，写出
2
na
；
(2)给定
9
m =
，证明：对任意
1,2,
,9
k Î
L
，2 和7 都是
na
的“k 关联数”；
(3)已知：若整数
6
p >
，则存在a ，b ，qÎZ ，使得
1
ap
bq
+
= ，其中1
1
q
p
<
<
- ．证明：当
6
m > 时，对任意
1,2,
,
k
m
Î
L
，
na
至少有4 个“k 关联数”．
【答案】(1)
2
:1,3,5,2,4
na
；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由
na
：4，1，3，5，2，
2
i =
，结合题设定义
1
:5,2,4,1,3
na
，则
2
:1,3,5,2,4
na
；
（2）设
j
k
a
=
，
*
|
| N
d
k
j
=
-
Î
，
当k
j
>
时，
若
2
i =
，对
na
做
1
5
2
m + =
次变换，k 从第j 项移到第
1
j + 项，
取
5
s
d
=
，k 在5d 次变换后，从第j 项移到第k 项，
若
7
i =
，对
na
做
1
4
2
m - =
次变换，k 从第j 项移到第
1
j + 项，
取
4
s
d
=
，k 在4d 次变换后，从第j 项移到第k 项，
当k
j
<
时，
若
2
i =
，对
na
做
1
4
2
m - =
次变换，k 从第j 项移到第
1
j - 项，
取
4
s
d
=
，k 在4d 次变换后，从第j 项移到第k 项，
若
7
i =
，对
na
做
1
5
2
m + =
次变换，k 从第j 项移到第
1
j - 项，
取
5
s
d
=
，k 在5d 次变换后，从第j 项移到第k 项，
综上，对任意
1,2,
,9
k Î
L
，2 和7 是
na
的“k 关联数”；
（3）1 与
1
m - 显然是
na
的k 关联数，只需再找两个k 关联数，
由题意，存在整数
1, ,
p a b ，满足
1
1
ap
bm
+
= ，其中
1
1
1
p
m
<
<
- ，
显然
0
a ¹
，只讨论
0
a >
与
0
a <
的情形，
当
0
a >
时，显然
0
b <
，
1
1 bm
a
p
-
=
，
若k
j
>
，对
na
做a 次变换，此时k 一共变换了
1
1
1 (
)
bm
ai
i
b m
p
-
=
= + -
个位置，等价于k 从第j 项移到第
1
j + 项，
所以对
na
做ad 次变换，将k 从第j 项移到第k 项，
若k
j
<
，对
na
做a 次变换，即k 从第j 项移到第
1
j + 项，
所以重复做(
1)
m
a
-
次变换，可以把k 从第j 项移到第
1
j - 项，
所以对
na
做(
1)
m
ad
-
次变换，就将k 从第j 项移到第k 项，
当
0
a <
时，显然
0
b >
，
1
1
bm
a
p
-
- =
，
若k
j
<
，对
na
做a
- 次变换，此时k 一共变换了
1
1
1
bm
ai
i
bm
p
-
-
=
=
- 个位置，等价于k 从第j 项移到第
1
j - 项，
所以对
na
做ad
-
次变换，将k 从第j 项移到第k 项，
若k
j
>
，对
na
做(
1)
m
a
-
+
次变换，即k 从第j 项移到第
1
j + 项，
所以对
na
做(
1)
m
ad
-
+
次变换，就将k 从第j 项移到第k 项，
综上，
1
i
p
=
是
na
的k 关联数，
令
1
i
m
p
=
-
，又
1
1
ap
bm
+
= ，则i 满足
1
(
)(
)
(
)
1
a m
p
a
b m
-
-
+
+
= ，
对i 重复上述讨论过程，得
1
i
m
p
=
-
是
na
的k 关联数，
下证：
1
1
p
m
p
¹
-
，
假设
1
1
p
m
p
=
-
，则
1
1
1
1
2
(
2 )
1
ap
bm
ap
bp
a
b p
+
=
+
=
+
= ，
由,a b 为整数，
1
1
p > ，显然矛盾，
所以
na
至少有4 个k 关联数，分别为
1
1
1,
,
,
1
p m
p m
-
- .
15．（25-26 高三上·北京延庆·阶段练习）已知数列
1
2
:
,
,
,
3
n
A a a
a
n ³
L
，定义：
1
1
1
Γ
n
i
i
i
A
a
a
-
+
=
=
-
å
.从A 中选取第
1i 项､第2i 项､L､第mi 项
1
2
,2
1
m
i
i
i
m
n
<
<
<
£
£
-
L
，则称数列
1
2
,
,
,
i
i
im
a
a
a
L
为A 的长度为m 的子列.若
1
2
:
,
,
,
3
n
A a a
a
n ³
L
为1,2,
,n
L
的一个排列，则称数列A 具有性质P .
(1)已知
:1,3,4,2,5,6
A
，若数列B 是数列A 的长度为5 的子列，写出
Γ B 的最大值和最小值；
(2)已知数列
1
2
6
:
,
,
,
A a a
a
L
具有性质P ，且存在唯一的长度为3 的子列B ，使得
Γ
Γ
B
A
=
，求
Γ A 的最小值；
(3)已知数列
1
2
:
,
,
,
n
A a a
a
L
具有性质P ，且n 为偶数，求
Γ A 的最大值，并直接写出当
Γ A 取得最大值时数列A 的
个数.
【答案】(1)最大值9，最小值5
(2)最小值6
(3)最大值
2
1
2
n - ，这样的数列有
2
2
1 !
2
n
é
ù
æ
ö
-
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
个
【详解】（1）根据绝对值的性质可得当
1
2
,
,
,
k
x x
x
L
为单调递增或单调递减数列时，
1
1
1
1Σ
i
i
i
k
k
x
x
x
x
=
+
-
-
=
-
.
定义数列的极端项为：中间的指不小于左右，或不大于左右的项，第一项，最后一项都是极端项.
设数列A：
1
2
,
,
,
3
n
a a
a
n ³
L
中的极端项依次为
1
2
1,
,
,
,
,
k
j
j
j
n
a a
a
a
a
L
，记
0
1
1,
k
j
j
n
a
a a
a
+
=
=
，
则
1
0
Γ
Σ
i
i
i
j
j
k
A
a
a
+
=
=
-
，其任意的子列
1
2
:
,
,
,
m
i
i
i
B a
a
a
L
,
1
2
,2
1
m
i
i
i
m
n
<
<
<
£
£
-
L
的每个极端项都必然在数列A 的
某两个相邻极端项之间，故其子列B 的相邻极端项的差的绝对值的和不超过数列A 的相邻极端项的绝对值的和，
即
Γ
Γ
B
A
£
.
对于具有性质P 的数列，是1，2，… n 的一个排列，任意相邻两项的差的绝对值都大于等于1，
因此其长度为m 的子列的G 值不小于
1
m - .
数列
:1,3,4,2,5,6
A
，
1
1
1
Γ
Σ
2 1
2
3 1
9
i
i
i
n
A
a
a
=
+
-
=
-
=
+ +
+ + =
.
子序列
:1,4,2,5,6
M
，
Γ
3
2
3 1
9
Γ
M
A
=
+
+ + =
=
，是
Γ B 的最大值，
子序列
:1,3,4,2,6
M
，
Γ
2 1
2
4
9
Γ
M
A
=
+ +
+
=
=
，也是
Γ B 的最大值，
子序列
:1,3,4,5,6
N
，
Γ
2 1 1 1
5
N =
+ + + =
是
Γ B 的最小值.
∴
Γ B 的最大值和最小值分别是9和5 ；
（2）∵已知数列A：
1
2
6
,
,
,
a a
a
L
具有性质P ，则
1
2
6
,
,
,
a a
a
L
是1,2,3,4,5,6 的一个排列，
又∵存在唯一的长度为3 的子列B ，使得
Γ
Γ
B
A
=
，
则子列B 的极端项恰好是数列A 的极端项，且子列B 的极端项只有3 个，
∴数列A 只有3 个极端项，除去两端的极端项，中间只有一个极端项，
这个极端项必为最大项6 或最小项1，
当中间的极端项1 时，两端的极端项有一端为6，另一端记为m ，可能为5，4，3，2，都有可能，
Γ
1 6
1
A
m
=
-
+ -
，其最小值为
2
m =
时取到，最小值为6，
这样的数列的一个例子为2,1,3,4,5,6 .
中间的极端项为6 时，两端的极端项有一端为1，另一端记为m ，可能为5，4，3，2，都有可能，
Γ
1 6
6
A
m
=
-
+
-
，其最小值为
5
m =
时取到，最小值为6，
这样的数列的一个例子为1,2,3,4,6,5 .
∴
T A 的最小值为6；
（3）根据对称性不妨先设
1
2
a
a
<
.首先证明：对于具有性质P 的数A
，当
Γ A 最大时，数A 不存在连续3 项单调递增或递减，
假设具有性质P 的数列A 存在连续3 项单调递增或递减，
即存在
1,2,
,
2
i
n
Î
-
L
使得
1
2
i
i
i
a
a
a
+
+
<
<
或
1
2
i
i
i
a
a
a
+
+
>
>
，
则将
1
ia + 调换到
1a 之前，得到
1
1
2
2
:
,
,
,
,
,
,
,
i
i
i
n
A a
a a
a a
a
+
+
¢
L
L
，
1
1
0
i
a
a +
=
-
>
，与
Γ A 最大矛盾，
因此设
1
2
a
a
<
，对于具有性质P 的数列A ，当
Γ A 最大时，必有
1
2
2
3
3
4
4
5
,
,
,
,
a a a
a a
a a
a L，
∵n 为偶数，数列A 中的数分成2 组：
1,2,3,
,
,
1,
2,
,
2
2
2
n
n
n
M
N
n
ì
ü
ì
ü
=
=
+
+
í
ý
í
ý
î
þ
î
þ
L
L
，M 中的每个数都小于N 中的每个数，
∴
2
1
2
3
4
3
2
1
1
Γ
n
n
n
n
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
=
-
+
-
+
-
+
+
-
+
-
L
2
4
2
3
5
1
1
2
2
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
=
+
+
+
-
+
+
-
+
L
L
,
为了使得
Γ A 取得最大值，
2
4
2
,
,
,
n
a a
a -
L
要尽可能的大，
3
5
1
,
,
,
n
a a
a -
L
要尽可能的小，
在此之下，
na 和
1a 再取剩余数中的最大和最小值，
∴
Γ
2
1
2
1
2 1
2
1
2
2
2
2
n
n
n
n
A
n
n
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
£
+
-
+
+
+
+
+
-
-
+
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
L
L
2
1
2
n
=
- ，
当且仅当
1
2
4
2
3
5
1
,
1,
,
,
,
2,
3,
,
,
,
,
,
1,2,
,
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a a
a
n
a a
a
-
-
ì
ü
ì
ü
=
=
+
=
+
+
=
-
í
ý
í
ý
î
þ
î
þ
L
L
L
L
时取到“等号”，∴
Γ A
的最大值为
2
1
2
n - ，
∵
2
4
2
,
,
,
n
a a
a -
L
有
2 !
2
n -
æ
ö
ç
÷
è
ø 种不同的排列方式，
3
5
1
,
,
,
n
a a
a -
L
也有
2 !
2
n -
æ
ö
ç
÷
è
ø 种不同的排列方式，
∴这样的数列有
2
2
2
1
2
2
2
n
n
n
é
ù
-
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
´
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
！
！
！个，
根据对称性，
1
2
a
a
>
时也有同样的结果，对应的数列也有
2
1
2
n
é
ù
æ
ö
-
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
！，
∴使得
Γ A 最大的数列A 总共有
2
2
1
2
n
é
ù
æ
ö
-
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
！.
1．（25-26 高三上·湖南·开学考试）若双曲线
1
C 与
2
C 关于直线y
x
=
对称，且
1
C 的离心率
1e 与
2
C 的离心率
2e 之积为
常数
(
1
m m > ），则称
1
C 与
2
C 互为m 型双曲线.已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
，则E 的3 型双曲线的渐近线为
（ ）
A．
2
y
x
= ±
B．
2
y
x
= ±
C．y
x
= ±
D．
2
2
y
x
= ±
【答案】D
【详解】由新概念可知，E 的3 型双曲线的方程为
2
2
2
2
1
0,
0
y
x
a
b
a
b
-
=
>
>
，且
3
c
c
a a
×
=
，
所以
2
2
3
c
a
=
，即
2
2
2
3
a
b
a
+
=
，则
2
2
2
b
a
=
，
所以E 的3 型双曲线的渐近线为
2
2
a
y
x
x
b
= ±
= ±
.
故选：D.
2．（2025·上海浦东新·二模）已知圆锥曲线G 的对称中心为原点O ，若对于G 上的任意一点A ，均存在G 上两点
B ，C ，使得原点O 到直线AB ，AC 和BC 的距离都相等，则称曲线G 为“完美曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题
【答案】A
【详解】判断命题①：
已知过椭圆上任意一点A 作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于B ，C 两点，连接BC .
根据直线与圆的位置关系，当BC 与圆相切时，满足给定条件.
当BC 与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近BC ，直到BC 与
圆相切；同理，当BC 与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近BC 直至相切.所以从直线与圆位置关系的动态调
整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得BC 与圆相切，故①正确.
考点三
解析几何新定义问题
判断命题②：
当A 在双曲线顶点时，过A 作圆的切线，交双曲线于另外两点B ，C .
由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段BC ，其
整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的
切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确.
故选：A.
3．（2025·山东淄博·三模·多选）旋转变换是原图上所有的点都绕一个固定的点朝同一方向，转动同一个角度.例
如， 对任意平面向量
,
AB
x y
=
uuur
，把AB
uuur 绕起点A 沿逆时针方向旋转q 角得到向量
cos
sin
sin
cos
AP
x
y
x
y
q
q
q
q
=
-
+
uuur
，
，这一过程叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转 q 角得到点P .已知椭圆
2
2
:
3
2
C x
y
+
=
，绕坐标原点O 逆时针旋转π
4 得到斜椭圆 C¢ ，则下列结论正确的是:（
）
A．已知点
3 2 3
A -
，
，点
3
2 3
B
-
，
，把点B 绕点A 逆时针旋转 3
p 得到点
6,3
P
B．斜椭圆 C¢ 的离心率是
1
2
C．斜椭圆 C¢ 方程是
2
2
1
+
-
=
x
y
xy
D．过斜椭圆 C¢ 在第一象限内的焦点作斜率为
1
- 的直线，与斜椭圆交于点
,
M N ，则
2 2
3
MN =
【答案】ACD
【详解】
2 3, 4 3
AB =
-
uuur
，由新定义可得
1
3
3
1
2 3
4 3
2 3
4 3
6
3,3
2 3
2
2
2
2
AP
æ
ö
=
´
+
´
´
-
´
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
，
，
所以
6,3
P
，A 正确，
由
2
2
:
3
2
C x
y
+
=
，可得
2
2
1
2
2
3
x
y
+
= ，其离心率为：
6
3
e =
，故C¢ 的离心率为
6
3
，B 错误
设
2
2
:
3
2
C x
y
+
=
上任意一点
,
A x y ，绕坐标原点 O 逆时针旋转 π
4 得到
,
A m n
¢
，
由新定义可得：
2
2
2
2
2
2
2
2
m
x
y
n
x
y
ì
=
-
ïïí
ï =
+
ïî
，
所以
2
2
m
n
x
n
m
y
+
ì =
ïïí
-
ï
=
ïî
，代入
2
2
:
3
2
C x
y
+
=
，
可得：
2
2
1
m
n
mn
+
-
= ，
也即斜椭圆 C¢ 方程是
2
2
1
+
-
=
x
y
xy
，C 正确，
2
2
:
3
2
C x
y
+
=
，右焦点坐标为：2 3 ,0
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，绕坐标原点 O 逆时针旋转 π
4 ，
可得第一象限焦点坐标
6
6
,
3
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
此时过焦点斜率为1
- 的直线方程为：
2 6
3
y
x
= - +
，
设与斜椭圆的两交点坐标为
1
1
2
2
,
,
,
x y
x
y
，
联立
2
2
1
+
-
=
x
y
xy
，消去y 可得：
2
9
6 6
5
0
x
x
-
+
=
，
所以
1
2
6
1
6
1
,
3
3
x
x
+
-
=
=
，
所以
1
2
6
1
6
1
,
3
3
y
y
-
+
=
=
，
所以
4
4
2 2
9
9
3
MN =
+
=
，D 正确，
故选：ACD
4．（2025·海南·模拟预测·多选）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694 年，雅各布·伯努
利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到
两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲
线C（如图所示）过坐标原点O，且C 上的点
,
P x y 满足到两个定点
1
,0
F
a
-
，
2
,0 (
0)
F
a
a >
的距离之积为4，
则下列结论正确的是（ ）
A．
2
a =
B．点
,1 (
0)
M x
x >
在C 上，则
1
2 2
MF =
∣
∣
C．点N 在椭圆
2
2
1
6
2
x
y
+
= 上，若
1
2
F N
F N
^
，则N
C
Î
D．过
2F 作x 轴的垂线交C 于A，B 两点，则
2
AB <
∣
∣
【答案】ACD
【详解】由题意，
1
2
4
PF
PF
×
=
，即
2
2
2
2
(
)
(
)
4
x
a
y
x
a
y
+
+
×
-
+
=
，
对于A，因曲线C 过原点O ，将
0,0
O
代入，解得
2
a =
，故A 正确；
对于B，由点
,1 (
0)
M x
x >
在C 上，得
2
2
1
2
(
2)
1
(
2)
1
4
MF MF
x
x
é
ù é
ù
=
+
+
-
+
=
ë
û ë
û
，
化简得
4
2
6
9
0
x
x
-
+
=
，解得
2
1
3,
( 3
2)
1
2 2
x
MF
=
=
+
+
¹
，故B 错误；
对于C ，椭圆
2
2
1
6
2
x
y
+
= 的焦点坐标恰好为
1
2,0
F -
与
2 2,0
F
，则
1
2
2 6
F N
F N
+
=
，
由
1
2
F N
F N
^
，得：
2
2
1
2
16
F N
F N
+
=
，
则
2
2
2
1
2
1
2
1
2
4
2
F N
F N
F N
F N
F N
F N
+
-
+
×
=
=
，N
C
Î
，故C 正确；
对于D，设
2,
A
y ，则
2
AB
y
=
，而A
C
Î
，则
1
4
AF
y
=
，
又根据勾股定理得
2
2
1
16
AF
y
=
+
，则
2
2
16
16
y
y =
+
，化简得
4
2
16
16
0
y
y
+
-
=
，
解得
2
2
4 5
8,
1
4 5
9
0
y
y
=
-
- =
-
<
，因此
1,
2
y
AB
<
<
，故D 正确；
故选：ACD．
5．（2025·北京朝阳·二模）设
0
a >
，过原点O 的直线（不与x 轴重合）与圆
2
2
2
:
(
)
A x
y a
a
+
-
=
交于点P 与直线
2
y
a
=
交于点Q ．过点P 作x 轴的平行线，过点Q 作x 轴的垂线，这两条直线交于点
( , )
M x y ，称y 为x 的箕舌线函
数，记作
y
f x
=
，给出下列四个结论：
①函数
y
f x
=
的图象关于y 轴对称；
②若
1
2
x
x
<
，则
1
2
f x
f x
>
；
③设函数( )
( )
h x
xf x
=
，则( )
h x 的最大值为
2
2a ；
④设函数
2
( )
( )
g x
f x
x
=
+
，则( )
g x 的最小值为2a ．
其中所有正确结论的序号是
．
【答案】①③
【详解】圆
2
2
2
(
)
x
y
a
a
+
-
=
的圆心
0,a 在y 轴上，设圆A 与y 的另一个交点为B ，
设
0,2
Q x
a ，当点Q 不与点B 重合时，直线OQ 的方程为
0
2a
y
x
x
=
，
联立
0
2
2
2
2
0
0
a
y
x
x
x
y
ay
x
ì
=
ï
ïï
+
-
=
í
ï ¹
ï
ïî
，解得
3
2
2
0
8
4
a
y
x
a
=
+
，所以P 点纵坐标为
3
2
2
0
8
4
P
a
y
x
a
=
+
，此时点M
3
0
2
2
0
8
,
4
a
x
x
a
æ
ö
ç
÷
+
è
ø
，
当点Q 与点B 重合时，点M 的纵坐标也满足
3
2
2
8
4
a
y
x
a
=
+
，所以
3
2
2
8
4
a
f x
x
a
=
+
，
对任意的
R
xÎ
，
2
2
4
0
x
a
+
>
，所以
3
2
2
8
4
a
f x
x
a
=
+
的定义域为R ，
对于命题①，因为
3
3
2
2
2
2
8
8
4
4
a
a
f
x
f x
x
a
x
a
-
=
=
=
+
-
+
，所以
f x 是偶函数，故①正确；
对于命题②，因为
3
2
2
2
16
4
a x
f
x
x
a
¢
-
=
+
，当
0
x <
时，
0
f
x
¢
>
，即
f x 在区间
,0
¥
-
上单调递增，
所以当
1
2
,
,0
x x
¥
Î -
时，若
1
2
x
x
<
，则
1
2
f x
f x
<
，所以②错误，
对于命题③，
3
2
2
8
( )
( )
4
a
h
xf x
x
x
x
a
=
=
+
，因为
0
a >
，当
0
x £
时，( )
0
≤
h x
，
当
0
x >
时，
3
2
8
( )
4
a
h x
a
x
x
=
+
，又
2
2
4
2 4
4
a
x
a
a
x
+
³
=
，当且仅当
2
4a
x
x
=
，即
2
x
a
=
时取等号，
所以
3
3
2
2
8
8
( )
2
4
4
a
a
h x
a
a
a
x
x
=
£
=
+
，故③正确，
对于命题④，
3
2
2
2
2
2
2
8
( )
( )
4
4
4
a
g x
f x
x
x
a
a
x
a
=
+
+
+
-
+
=
，令
2
2
2
4
4
t
x
a
a
=
+
³
，
则
3
2
8
4
a
y
t
a
t
= +
-
，易知
3
2
8
4
a
y
t
a
t
= +
-
在区间
3
0, 8a
上单调递减，在区间
3
8
,
a
¥
+
上单调递增，
若
3
2
8
4
a
a
³
，即
1
0, 2
a
æ
ù
Îç
ú
è
û 时，
3
3
3
2
2
2
min
3
8
8
4
4 2
4
8
a
y
a
a
a
a
a
=
+
-
=
-
，
即当
1
0, 2
a
æ
ù
Îç
ú
è
û 时，
g x 的最小值为
3
2
2
4 2
4
a
a
-
，所以④错误，
故答案为：①③.
6．（2025·浙江绍兴·二模）设点
,
P x y 在“笑口”型曲线
2
2
5
7
2
2
x
y
y
+
+
-
=
上，则
2
2
2
5
x
y
y
+
-
的最小值
为
.
【答案】
1
8
-
/-0.125
【详解】当
5
2
y ³
时，
2
2
5
7
2
2
x
y
y
+
+
-
=
，即
2
2
6
x
y
y
+
=
-
，平方得
2
2
2
2
6
36 12
x
y
y
y
y
+
=
-
=
-
+
，即
2
36 12
x
y
=
-
，5
3
2
y
æ
ö
£
£
ç
÷
è
ø
此时
2
2
2
2
2
5
36 12
2
5
2
17
36
x
y
y
y
y
y
y
y
+
-
=
-
+
-
=
-
+
5
3
2
y
£
£
Q
，
2
2
min
2
17
36
2 3
17 3
36
3
y
y
\
-
+
=
´
-
´ +
=
.
当
5
2
y <
时，
2
2
5
7
2
2
x
y
y
æ
ö
+
-
-
=
ç
÷
è
ø
，即
2
2
1
x
y
y
+
= +
，平方得
2
2
2
2
1
1
2
x
y
y
y
y
+
=
+
= +
+
，即
2
1
2
x
y
= +
，
1
5
2
2
y
æ
ö
-
£
<
ç
÷
è
ø
此时
2
2
2
2
2
5
1
2
2
5
2
3
1
x
y
y
y
y
y
y
y
+
-
=
+
+
-
=
-
+
1
5
2
2
y
-
£
<
Q
，
2
2
min
min
3
1
1
2
3
1
2
4
8
8
y
y
y
é
ù
æ
ö
\
-
+
=
-
-
= -
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
综上，
2
2
2
5
x
y
y
+
-
的最小值为
1
8
-
.
故答案为：
1
8
-
.
7．（2025·河南南阳·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
:
1
0
y
C x
b
b
-
=
>
的两条渐近线分别为1 :
3
l
y
x
=
，2 :
3
l
y
x
= -
，若
点A ，B 分别在1l ，2l 上（A ，B 不同于原点O ），且直线AB 是C 的切线，则称
OAB
△
是C 的“渐切三角形”．已知
C 在点
,s t 处的切线方程为
2
1
ty
sx
b
-
= ．
(1)写出C 的一个“渐切三角形”的顶点A ，B 的坐标及切线AB 的方程，并求出其面积；
(2)已知点
1
1
,
A x y
，
2
2
1
2
,
0
B x
y
x x >
分别在1l ，2l 上，
OAB
△
的面积为
3 ，试问
OAB
△
是否是C 的“渐切三角
形”？并说明理由；
(3)若
OAB
△
是C 的“渐切三角形”，AB 与C 相切的切点M 的横坐标大于0，F 为C 的左焦点，证明：
AFB
Ð
为定
值．
【答案】(1)
1, 3 ,
1,
3
A
B
-
，
:
1
AB x = ，
3
OAB
S
=
V
（答案不唯一）；
(2)是，理由见解析；
(3)证明过程见解析.
【详解】（1）由题意可得，双曲线的渐近线方程为
,
0
y
bx b
= ±
>
，故
3
b =
，
则
2
2
:
1
3
y
C x -
= ，且C 在点
,s t 处的切线方程为
1
3
ty
sx -
= ，
不妨取切点为
1,0 ，则切线方程为
1
x = ，此时
1, 3 ,
1,
3
A
B
-
，
则
1 1 2 3
3
2
OAB
S
=
´ ´
=
△
.
（2）若直线AB 斜率不存在，不妨设
:
AB x
m
=
，则
, 3
,
,
3
A m
m
B m
m
-
，
则
2
1
2 3
3
3
2
OAB
S
m
m
m
=
´
´
=
=
V
，得
1
m = ± ，
此时直线
:
1
AB x = ± 与曲线C 相切，即
OAB
△
是C 的“渐切三角形”，
若直线AB 斜率存在，设
:
AB y
kx
m
=
+
，
联立
2
2
0
3
y
kx
m
y
x
=
+
ìïí
-
=
ïî
，得
2
2
2
3
2
0
k
x
kmx
m
-
-
-
=
，
则
2
2
1
2
1
2
2
2
2
3,
,
0
3
3
km
m
k
x
x
x x
k
k
¹
+
=
= -
>
-
-
，即
2
3
k >
，
则
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
12
1
2
4
1
1
3
3
3
m
k
km
m
AB
k
x
x
k
k
k
k
+
æ
ö
=
+
-
=
+
×
+
=
ç
÷
-
-
è
ø
-
，
又点O 到直线AB 的距离
2
1
m
d
k
=
+
，
则
2
2
2
2
2
2
2
12
1
1
1
3
3
2
2
3
1
3
OAB
m
k
m
m
S
AB d
k
k
k
+
=
=
´
´
=
=
-
+
-
V
，
得
2
2
3
k
m
-
=
，
联立
2
2
1
3
y
kx
m
y
x
=
+
ìïí
-
=
ïî
，得
2
2
2
3
2
3
0
k
x
kmx
m
-
-
-
-
=
，
则
2
2
2
2
2
2
Δ
4
4 3
3
12
3
0
k m
k
m
m
k
=
+
-
+
=
-
+
=
，
则直线AB 与曲线C 相切，即
OAB
△
是C 的“渐切三角形”，
综上可得，若
OAB
△
的面积为
3 ，则
OAB
△
是C 的“渐切三角形”.
（3）若切点为
1,0 时，直线AB 的方程为
1
x = ，此时
1, 3 ,
1,
3
A
B
-
，
因
2,0
F -
，则
3
tan
3
AFO
Ð
=
，即
π
6
AFO
Ð
=
，
利用对称性可知
π
3
AFB
Ð
=
；
若切点不为
1,0 ，可设切点为
,
,
0,
0
s t
s
t
>
¹
，则直线
:
1
3
AB
ty
l
sx -
= ，
联立
2
2
1
3
1
3
ty
sx
y
x
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
，得
2
2
2
2
3
6
3
0
t
s
x
sx
t
-
+
- -
=
，
则
2
2
3
0,
t
s
-
¹
由
2
2
2
2
Δ
6
4
3
3
0
s
t
s
t
=
+
-
+
=
，可得
2
2
3
3
s
t
-
=
，
联立
2
2
1
3
0
3
ty
sx
y
x
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
，得
2
2
2
3
6
3
0
t
s
x
sx
-
+
-
=
，即
2
2
1
0
x
sx
-
+ =
，
设点
1
1
,
A x y
，
2
2
1
2
,
0
B x
y
x x >
，则
1
2
1
2
2 ,
1
x
x
s x x
+
=
= ，
则
2
1
2
2
4
4
3
t
x
x
s
-
=
-
=
，
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
9
9
9
3
3 3
3
9
9
3
s x x
s x
x
sx
sx
s
y y
t
t
t
t
-
+
+
-
-
-
+
=
×
=
=
= - ，
则
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
4
AF
BF
y
x
y
x
y
y
k
k
x
x
x x
x
x
+
-
+
-
=
-
=
+
+
+
+
+
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
3
3
2
4
2
4
sx
x
sx
x
s
x
x
t
x x
x
x
t
x x
x
x
-
+
-
-
+
+
-
=
×
=
×
+
+
+
+
+
+
1
2
1
2
2
1
3 2
1
3 2
1
2 3 2
1
3
2
4
5
4
5
4
5
4
5
3
s
x
x
s
s
s
x
x
t
s
s
t
s
s
+
-
+
+
+
-
=
×
=
×
=
´
=
+
+
+
+
，
（说明：由图知，
1
2
x
x
-
与t 始终同号，故
1
2
1
2
x
x
x
x
t
t
-
-
=
成立）
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
2
2
4
4
5
AF
BF
y
y
y y
k
k
x
x
x x
x
x
s
-
=
×
=
=
+
+
+
+
+
+
，
则
tan
tan
tan
tan
1
tan
tan
AFO
BFO
AFB
AFO
BFO
AFO
BFO
Ð
+
Ð
Ð
=
Ð
+ Ð
= -
Ð
×
Ð
2 3 2
1
4
5
3
3
1
1
4
5
AF
BF
AF
BF
s
k
k
s
k
k
s
+
-
+
=
=
=
-
+
+
+
，
因0
AFB
p
< Ð
<
，则
π
3
AFB
Ð
=
，故
AFB
Ð
为定值.
8．（2025·湖北黄冈·二模）已知向量
cos , sin
OP
r
r
q
q
=
uuur
绕着原点O 沿逆时针方向旋转a 角可得到向量
cos
, sin
OP
r
r
q
a
q
a
=
+
¢
+
uuur
.
(1)求点
2,0
T
绕着原点O 沿逆时针方向旋转π
4 得到的点T¢的坐标；
(2)若曲线E 上的所有点绕着原点逆时针方向旋转π
4 得到曲线E¢ 对应的方程为
2
2
5
5
2
24
x
y
x y
¢
¢
¢ ¢
+
-
=
.
（i）求曲线E 的方程；
（ii）设直线l 过定点
2,0
-
与曲线E 交于点
,
A B ，直线m 过定点
2,0 与曲线E 交于点C ，D ，且l
m
^
，求
, ,
,
A B C D 四点构成的四边形面积的最小值.
【答案】(1)
1,1
T ¢
(2)（ⅰ）
2
2
1
6
4
x
y
+
= ；（ⅱ）192
25
【详解】（1）（1）因为
2,0
T
，即
2
2 cos0
0
2 sin 0
ì
=
ïí
=
ïî
，
绕着原点O 沿逆时针方向旋转π
4 得到的点
0
0
,
T
x
y
¢
，
则
0
0
π
2 cos 0
1
4
π
2 sin 0
1
4
x
y
ì
æ
ö
=
+
=
ç
÷
ïï
è
ø
í
æ
ö
ï
=
+
=
ç
÷
ï
è
ø
î
，所以
1,1
T¢
；
（2）（i）将曲线E 绕着原点O 沿逆时针方向旋转π
4 得到曲线E¢ ，
设
,
Q
x y
¢
¢
¢ 为曲线E 上点
,
Q x y 旋转后的对应点，
设
cos
sin
x
r
y
r
q
q
=
ì
í
=
î
，则
π
2
2
cos
cos
sin
4
2
2
π
2
2
sin
cos
sin
4
2
2
x
r
r
r
x
y
y
r
r
r
x
y
q
q
q
q
q
q
ì
æ
ö
=
+
=
-
=
-
ï
ç
÷
ï
è
ø
í
æ
ö
ï
=
+
=
+
=
+
ç
÷
ï
è
¢
î
¢
ø
，
又因为
2
2
5
5
2
24
x
y
x y
¢
¢
¢ ¢
+
-
=
，
所以
2
2
2
2
5
5
24
2
2
x
y
x
y
x
y
-
+
+
-
-
=
，整理得
2
2
1
6
4
x
y
+
= ，
（ii）
由（i）直线l 过定点
2,0
-
与曲线E :
2
2
1
6
4
x
y
+
= 交于
,
A B ，直线m 过定点
2,0 与曲线E :
2
2
1
6
4
x
y
+
= 交于C ，
且l
m
^
， AB 与CD 交点满足
2
2
2
x
y
+
=
，且在椭圆内部，
当AB 与x 重合时
4 6
1
2 6 ,
,
8
3
2
ABCD
AB
CD
S
AB
CD
=
=
=
=
四边形
；·
当AB 与x 不重合时，设直线
1
1
2
2
:
2 ,
,
,
,
l x
t y
A x
y
B x
y
=
-
，
联立
2
2
1
6
4
2
x
y
x
ty
ì
+
=
ïí
ï =
-
î
，整理得
2
2
2
3
4 2
8
0
t
y
ty
+
-
-
=
，
则
1
2
1
2
2
2
4 2
8
,
2
3
2
3
t
y
y
y y
t
t
-
+
=
=
+
+
，
所以AB
2
2
2
2
2
2
4 2
8
1
1
4
96
2
3
2
3
2
3
t
t
t
t
t
t
æ
ö
-
+
=
+
×
- ´
=
×
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
，
同理可得CD
2
2
1
96 2
3
t
t
+
=
×
+
，
1
2
ABCD
S
AB
CD
=
=
四边形
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
192
48
48
25
2
3
2
3
2
3
2
3
2
t
t
t
t
t
t
+
+
×
³
×
=
+
+
æ
ö
+ +
+
ç
÷
è
ø
，
当且仅当
2
2
2
3
2
3
t
t
+
=
+
，即
2
1
t = 时取等号，
因为192
8
25 < ，即
, ,
,
A B C D 四点构成的四边形面积的最小值为192
25 .
9．（2025·湖北·模拟预测）对于椭圆E：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
，定义其“椭圆值函数”
2
2
2
2
,
x
y
f x y
a
b
=
+
.对于平面上
的点
0
0
,
P x
y
，以及
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，若
0
1
2
0
0
0
1
2
0
0
2
,
2
,
x
x
x
f x
y
y
y
y
f x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，则称A，B 关于点P“ f -共轭”，它们互为“ f -
共轭点”；如果A，B 还满足同时在椭圆E 上，则称A，B 为点P 的“
f
E -共轭点对”，对于椭圆E ：
2
2
1
4
x
y
+
= .
(1)已知点
2,2
A
，
3,1
P
，若A，B 关于点P“ f -共轭”，求点B 的坐标；
(2)对椭圆外任意点P，证明：点P 的“
f
E -共轭点对”必存在；
(3)若点P 在直线
4
x =
上运动，
2,0
M
，且A，B 为点P 的“
f
E -共轭点对”，求
MAB
△
面积的最大值.
【答案】(1)
2
18
(
,
)
13
13
B -
-
(2)证明见解析
(3)
3
2
【详解】（1）依题意，
2
2
0
0
0
0
9
13
(
,
1
4
4
4
)
x
f x
y
y
=
+
=
+ =
，
则
0
1
2
8
24
13
13
x
x
x
+
=
=
，
0
1
2
8
8
13
13
y
y
y
+
=
=
，而
1
1
2,
2
x
y
=
=
，
因此
2
2
13
x = -
，
2
18
13
y = -
，所以点
2
18
(
,
)
13
13
B -
-
.
（2）设
0
0
,
P x
y
，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，并记
2
2
0
0
0
0
,
4
x
f
f x
y
y
=
=
+
，
则
0
0
1
2
2
1
0
0
1
2
2
1
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
f
f
y
y
y
y
y
y
f
f
ì
ì
+
=
=
-
ï
ï
ï
ï
Û
í
í
ï
ï
+
=
=
-
ï
ïî
î
，因此
2
2
1
1
2
2
0
0
1
1
4
4
2
2
(
)
4(
)
4
x
y
x
y
x
y
f
f
ì
+
=
ïí
-
+
-
=
ïî
，
即
2
2
1
1
2
2
2
2
0
0 1
0
0
1
1
1
2
2
4
4
4
4
16
16
4
4
x
y
x
x x
y
y y
x
y
f
f
f
f
ì
+
=
ïí
-
+
+
-
+
=
ïî
，
于是
2
2
0
0
0
1
0
1
2
4
16
4
16
0
x
y
x x
y y
f
f
+
+
-
=
，即
0
1
0
1
4
4
x x
y y
+
=
，
因此只要证明方程组
2
2
0
0
4
4
4
4
x
y
x x
y y
ì
+
=
í
+
=
î
有解即可，令X
x
=
，
2
Y
y
=
，
0
0
X
x
=
，
0
0
2
Y
y
=
，
则只要证明方程组
2
2
0
0
4
4
X
Y
X X
Y Y
ì
+
=
í
+
=
î
有解即可，而点P 在椭圆外，则
2
2
0
0
4
4
x
y
+
>
，即
2
2
0
0
4
X
Y
+
>
，
圆
2
2
4
X
Y
+
=
的圆心(0,0) 到直线
0
0
4
X X
Y Y
+
=
的距离
2
2
0
0
4
2
X
Y
+
<
，
因此直线
0
0
4
X X
Y Y
+
=
和圆
2
2
4
X
Y
+
=
相交，即方程组
2
2
0
0
4
4
X
Y
X X
Y Y
ì
+
=
í
+
=
î
有解，
所以存在点A，B 使得它们关于点P 构成“
f
E -共轭点对”.
（3）设
4,
P
t ，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，由（2）知直线AB 的方程为
1
x
ty
+
= ，
由
2
2
1
4
4
x
ty
x
y
+
=
ì
í
+
=
î
消去x 得
2
2
(
4)
2
3
0
t
y
ty
+
-
-
=
，
1
2
1
2
2
2
2
3
,
4
4
t
y
y
y y
t
t
-
-
+
=
=
+
+
，
又
1
1
2
2
(
1,
),
(
1,
)
MA
ty
y
MB
ty
y
= -
-
= -
-
uuur
uuur
，则
1 |
| |
| sin
2
MAB
S
MA
MB
AMB
=
×
Ð
V
uuur
uuur
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
(|
| |
|)
(
)
[(
1)
][(
1)
] [(
1)(
1)
]
2
2
MA
MB
MA MB
ty
y
ty
y
ty
ty
y y
=
×
-
×
=
+
+
+
+
-
+
+
+
uuur
uuur
uuur uuur
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
1
1
2
3
| (
1)
(
1)
|
|
|
(
2
2
2
4
2
12
)
4
4
t
t
t
ty
y
ty
y
y
y
t
t
+
=
+
+
-
+
-
+
=
-
=
=
+
+
2
2
2
1
3
3
t
t
=
+
+
+
，令
2
3
3
u
t
=
+
³
，函数
1
y
u
u
=
+
在[ 3,
)
+¥ 上单调递增，
当
3
u=
时，
min
4
3
y
=
，即当
0
t =
时，
max
3
(
)
2
MAB
S
=
V
，
所以
MAB
△
面积的最大值为
3
2
.
10．（2025·吉林·模拟预测）已知对任意平面向量
,
AB
x y
=
uuur
，把向量AB
uuur 绕其起点沿逆时针方向旋转q 角后得到向量
cos
sin , sin
cos
AP
x
y
x
y
q
q
q
q
=
-
+
uuur
，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转q 角得到点P .
(1)若平面内点
1,2
A
，点
1
2,2
2 2
B
+
-
，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转π
4 后得到点P ，求点P 的坐标；
(2)若双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
绕坐标原点O 逆时针旋转π
3 得到曲线
3
2 3
3
x
y
x
=
+
.
（i）求双曲线E 的标准方程及离心率；
（ii）双曲线E 的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且斜率存在的直线l 交双曲线E 于M ，N 两点，点T 是
AMN
V
的外心，求证：直线OT 与直线l 的斜率之积为定值.
【答案】(1)
0, 1
-
(2)（i）
2
2
1
12
4
x
y
-
= ，2 3
3
；（ii）证明见解析
【详解】（1）设
,
P x y ，则
1,
2
AP
x
y
=
-
-
uuur
，
2, 2 2
AB =
-
uuur
，
将AB
uuur 绕点A 沿顺时针方向旋转π
4 到AP
uuur ，相当于沿逆时针方向旋转7π
4 到AP
uuur ，
则
7π
7π
7π
7π
2 cos
2 2 sin
,
2 sin
2 2 cos
1, 3
4
4
4
4
AP
æ
ö
=
+
-
= - -
ç
÷
è
ø
uuur
，
则
1
1
2
3
x
y
- = -
ì
í -
= -
î
，解得
0
x =
，
1
y = - ，因此点P 的坐标是
0, 1
-
.
（2）（i）在双曲线E 上任取一点
,
M x y ，
将
,
OM
x y
=
uuuur
绕原点O 沿逆时针方向旋转π
3 ，
得到
π
π
π
π
1
3
3
1
cos
sin
, sin
cos
,
3
3
3
3
2
2
2
2
OM
x
y
x
y
x
y
x
y
æ
ö
æ
ö
=
-
+
=
-
¢
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuuur
，
则
1
3
3
1
,
2
2
2
2
M
x
y
x
y
æ
ö
-
+
ççè
¢
÷÷ø
又点
'
M 在曲线
3
2 3
3
x
y
x
=
+
上，则
3
1
3
1
3
2 3
2
2
3
2
2
1
3
2
2
x
y
x
y
x
y
æ
ö
+
=
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
-
，
化简得双曲线E 的标准方程为：
2
2
1
12
4
x
y
-
= ，
则
2 3
a =
，
2
b =
，
2
2
4
c
a
b
=
+
=
，故离心率
2 3
3
c
e
a
=
=
.
（ii）由（i）可知
2 3,0
A -
，
4,0
F
，由题意可知直线l 的斜率存在不为0，
故设直线l 方程为：
4
0
x
my
m
=
+
¹
，
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
联立
2
2
1
12
4
4
x
y
x
my
ì
-
=
ïí
ï =
+
î
，得
2
2
3
8
4
0
m
y
my
-
+
+
=
，
则
2
3
m ¹ ，
0
D >
，
1
2
2
8
3
m
y
y
m
+
= -
-
，
1
2
2
4
3
y y
m
=
-
，
因线段AM 的中点为
1
1
2 3 ,
2
2
x
y
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
1
1
2 3
AM
y
k
x
=
+
，
所以线段AM 的垂直平分线为
1
1
1
1
2 3
2 3
2
2
y
x
x
y
x
y
æ
ö
+
-
-
= -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
即
2
2
1
1
1
1
2
2 3
2
12
0
x
x
y y
y
x
+
+
-
-
-
=
，
又
2
2
1
1
12
3
x
y
-
=
，
1
1
4
x
my
=
+
，
则线段AM 的垂直平分线为
2
1
1
1
4
2 3
2
0
my
x
y y
y
+
+
+
-
=
，
同理线段AN 的垂直平分线为
2
2
2
2
4
2 3
2
0
my
x
y y
y
+
+
+
-
=
，
设
0
0
,
T x
y
，
因点T 是AMN
V
的外心，则有
2
1
0
1
0
1
2
2
0
2
0
2
4
2 3
2
0
4
2 3
2
0
my
x
y y
y
my
x
y y
y
ì
+
+
+
-
=
ïí
+
+
+
-
=
ïî
，
则
1
2
,
y y 是方程
2
0
0
4
2 3
2
0
my
x
yy
y
+
+
+
-
=
，
即
2
0
0
0
2
4
2 3
0
y
x m
y
y
x
-
+
-
+
=
的两个根，
则
0
0
1
2
2
x m
y
y
y
+
+
=
，
0
1
2
4
2 3
2
x
y y
-
+
=
，
故
0
0
2
8
3
2
x m
y
m
m
+
-
=
-
，
0
2
4
2 3
4
3
2
x
m
-
+
=
-
，
两式作商得，
0
0
0
0
0
8
1
4
4
2 3
4
2 3
x m
y
y
m
m
x
x
æ
ö
+
-
=
=
+
ç
÷
-
+
-
+
è
ø，
得
0
0
7
4 3
y
m
x =
+
，则
0
0
1
7
4 3
O
l
T
y
k k
m x
=
×
=
+
，
即直线OT 与直线l 的斜率之积为定值7
4 3
+
.
11．（2025·江西·模拟预测）定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个
顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭
圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.
(1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；
(2)如图，已知椭圆
2
2
1
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
，椭圆
2
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
¢
¢
¢
¢
+
=
>
>
的离心率为
1
,
e C
¢
与
2
C 相似，且
1
C 与
2
C 的相似比为
:1
k
，若
2
AF B
V
的面积为S ，求
1
2
A F F
¢
¢
¢
V
的面积（用e¢ ，k，S 表示）；
(3)若椭圆
2
2
3 :
1
2
x
C
y
+
= ，写出与椭圆
3
C 相似且长半轴长为a ，焦点在x 轴上的椭圆
a
C 的标准方程.若在椭圆
a
C 上存
在两点M，N 关于直线
3
2
x
y =
- 对称，求椭圆
a
C 的“焦顶三角形”的周长的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
2
1
e S
e k
-
¢
¢
(3)(18 2
9
9 3,
)
-
+
+¥
【详解】（1）若两个椭圆是“相似椭圆”，则“焦顶三角形”的三个对应角相等.
如图，以焦点为顶点的三角形内角必为钝角，故
2
AF B
Ð
相等，则
2
AF O
Ð
相等，
所以
2
2
tan
AO
b
AF O
F O
c
Ð
=
=
相等，而
2
2
1
b
a
c
c
=
- ，所以c
a 相等，即离心率相等；
若离心率相等，则c
a 相等，则
|
|
tan
|
|
AO
b
B
ABO
O
a
=
=
∠
相等，则
ABO
Ð
相等；
同理，
2
2
tan
AO
b
AF O
F O
c
Ð
=
=
相等，则
2
AF O
Ð
相等，所以
2
AF B 相等；
所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似，所以两个椭圆是“相似椭圆”.
故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等.
（2）设椭圆
1
C 的半焦距为c .
因为椭圆
2
C 的离心率为e¢ ，椭圆
2
C 与椭圆
1
C 相似，所以椭圆
1
C 的离心率也为e¢ ，
若
2
AF B
V
的面积为S ，又
1
2
AF F
△
的面积与
2
AF B
V
的面积之比为2 :(
)
c
a
c
-
，
所以
1
2
AF F
△
的面积为2cS
a
c
-
．
因为
1
C 与
2
C 的相似比为
:1
k
，
所以
1
2
AF F
△
的面积与
1
2
A F F
¢
¢
¢
V
的面积的比为
2 :1
k
，
所以
1
2
A F F
¢
¢
¢
V
的面积为
2
2
2
2
2
2
(
)
1
1
c S
cS
e S
a
c
a
c k
e k
k
a
=
=
-
-
æ
¢
ö
÷ø
¢
-
çè
．
（3）由离心率相等可知椭圆
a
C 的方程为
2
2
2
2
1(
0)
2
x
y
a
a
a +
=
>
，
如图，设直线MN 的方程为
1
1
2
2
2
,
,
,
,
,
y
x
t M x y
N x
y
MN
= -
+
的中点为
0
0
,
x
y
．
由
2
2
2
2
,
2
,
y
x
t
x
y
a
ì
= -
+
í
+
=
î
消去y 并整理得
2
2
2
9
8
2
0
x
tx
t
a
-
+
-
=
，
则
2
2
2
Δ
64
36 2
0
t
t
a
=
-
-
>
，即
2
2
1
2
0
0
2
4
,
,
9
2
9
9
x
x
t
a
t
x
t y
+
>
=
=
=
，
由MN 的中点在直线
3
2
x
y =
- 上，得
2
3
9
9
t
t
=
- ，解得
27
t =
，
因此
2
162
a >
，而
0
a >
，解得
9 2
a >
，
椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
2
a
x
y
C
a
a
a +
=
>
中，短半轴长
2
2
2
2
a
b
a
=
=
，半焦距
2
2
2
2
c
a
b
a
=
-
=
，
所以椭圆
a
C 的“焦顶三角形”的周长为
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
c
a
b
a
a
a
a
a
æ
ö
+
- +
+
=
+
-
+
+ ç
÷
ç
÷
è
ø
2
6
2
6
2
2
9 2
9 2
9 2
18 2
9
9 3.
2
2
2
2
a
a
a
=
-
+
>
´
-
´
+
´
=
-
+
故椭圆
a
C 的“焦顶三角形”的周长的取值范围是(18 2
9
9 3,
)
-
+
+¥ ．
12．（2025·辽宁·二模）过抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
=
>
上任意一点
1A 能作圆
:
E
2
(
)
(
x
a
y
-
+
-
2
2
)
(
0)
b
r
r
=
>
的两条切
线，与C 交于另外两点
2
A ，
3A ，若直线
2
3
A A 也与E 相切，则称圆E 具有性质P ．已知抛物线
:
C¢
2
4
y
x
=
的焦点为
F ，圆E¢ ：
2
2
2
(
)
(
0)
x
m
y
n
n
-
+
=
>
在C¢ 内部，过C¢上一点Q 作E¢ 的两条切线，分别交C¢于点M ，N ．
(1)若
3
m =
，点
(4,4)
Q
，求cos
QFE¢
Ð
；
(2)若
2
m =
，
2
n =
，判断圆E¢ 是否具有性质P ，并说明理由；
(3)若
3
m =
，圆E¢ 具有性质P ，求n ．
【答案】(1) 3
5
(2)圆E¢ 不具有性质P ，理由见解析
(3)2
【详解】（1）由题意知
(1,0)
F
，
(4,4)
Q
，
(3,0)
E¢
，
则
17
QE¢ =
，|
| 5
QF =
，
2
FE¢ =
，
所以
25
4 17
3
cos
2 5 2
5
QFE
+
-
Ð
¢ =
=
´ ´
；
（2）取
(0,0)
Q
，圆
:
E¢
2
2
(
2)
2
x
y
-
+
=
，
设切线方程为y
kx
=
，
0
k ¹
，
由
2
| 2 |
2
1
k
k
=
+
，解得
1
k = ± ，
将直线y
x
= ± 代入
2
4
y
x
=
，
解得
4
4
x
y
=
ì
í
=
î
或
4
4
x
y
=
ì
í
= -
î
或
0
0
x
y
=
ì
í
=
î
，
假设
(4,4)
M
，
(4, 4)
N
-
，
则直线MN 的方程为
4
x =
，
因为圆心
(2,0)
E¢
到直线MN 的距离
2
2
d =
¹
，
所以直线MN 与圆E¢ 不相切，
所以圆E¢ 不具有性质P ；
（3）取
(0,0)
Q
，圆
:
E¢
2
2
2
(
3)
x
y
n
-
+
=
，
设切线方程为y
k x¢
=
，
0
k¢ ¹
，则
2
3
1
k
n
k
¢
¢
=
+
，①
将直线y
k x¢
=
代入
2
4
y
x
=
，解得
2
4
x
k
=
¢ ，
4
y
k
=
¢ 或
0
x =
，
0
y =
，
假设
2
4
4
,
M
k
k
¢
¢
æ
ö
ç
÷
è
ø ，由对称性可得
2
4
4
,
N
k
k
¢
¢
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
所以直线MN 的方程为
2
4
x
k
=
¢ ，由直线MN 和圆E¢ 相切，可得
2
4
3
n
k
-
=
¢
，②
由①②解得
2 5
5
k¢ = ±
，
2
n =
．
下面证明当
2
n =
时，满足条件．
设
2
0
0
,
4
y
Q
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
2
1
1
,
4
y
M
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
2
2
2
,
4
y
N
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
0
1
2
y
y
y
¹
¹
，
则
0
1
2
2
0
1
0
1
4
4
4
QM
y
y
k
y
y
y
y
-
=
=
+
-
，
所以直线QM 的方程为
2
0
0
0
1
4
4
y
y
y
x
y
y
æ
ö
-
=
-
ç
÷
+
è
ø
，
即
1
0
0
1
4
0
x
y
y
y
y y
-
+
+
=
，
同理得直线QN 的方程为
2
0
0
2
4
0
x
y
y
y
y y
-
+
+
=
，
所以直线MN 的方程为
1
2
1
2
4
0
x
y
y
y
y y
-
+
+
=
．
由直线QM 与圆E¢ 相切，得
0
1
2
1
0
4 3
2
16
y y
y
y
´ +
=
+
+
，
即
2
2
2
0
1
0
1
0
4
16
4
20
0
y
y
y y
y
-
+
-
-
=
，
同理由直线QN 与圆E¢ 相切得
2
2
0
2
0
2
4
16
y
y
y y
-
+
2
0
4
20
0
y
-
-
=
，
所以
1y ，
2y 为方程
2
2
2
0
0
0
4
16
4
20
y
y
y y
y
-
+
-
-
0
=
的两个根，
所以
0
1
2
2
0
16
4
y
y
y
y
+
= -
-
，
2
0
1
1
2
0
4
20
4
y
y y
y
-
= -
-
，
所以圆心
(3,0)
E¢
到直线MN 的距离为
d¢ =
2
2
0
0
1
2
2
2
2
2
1
2
0
0
12
4
4
20
4 3
16
16
4
16
y
y
y y
y
y
y
y
-
-
-
´ +
=
+
+
-
+
2
0
2
0
8
4
2
4
4
y
y
+
=
=
+
，
所以直线MN 与圆E¢ 相切，所以
2
n =
．
1．（24-25 高二上·湖北·期中）在《线性代数》中定义：对于一组向量
1
ar ，
2
ar ，
n
ar
L
存在一组不全为0 的实数
1k ，
2k ，
nk
¼
使得：
1
1
2
2
0
n
n
k
k
k
a
a
a
+
+
+
=
r
r
r
r
L
成立，那么则称
1
ar ，
2
ar ，
n
ar
L
线性相关，只有当
1
2
0
n
k
k
k
=
=
=
时，才能使
1
1
2
2
0
n
n
k
k
k
a
a
a
+
+
+
=
r
r
r
r
L
成立，那么就称
1
ar ，
2
ar ，
n
ar
L
线性无关.若
1
2
3
,
,
a a a
r
r
r
为一组不共面的空间向
量，则以下向量组线性无关的是（ ）
A．
1
2
a
a
+
r
r ，
1
2
3
a
a
a
+
+
r
r
r ，
3
ar
B．
2
ar ，
2
3
a
a
+
r
r ，
2
3
a
a
-
r
r
C．
1
ar ，
1
2
a
a
+
r
r ，
1
2
a
a
-
r
r
D．
1
2
a
a
+
r
r ，
1
2
a
a
-
r
r ，
3
ar
【答案】D
【详解】因为
1
2
3
,
,
a a a
r
r
r
为一组不共面的空间向量，则
1
ar 不能用
2
ar ，
3
ar 线性表示，
即只有当
1
2
3
0
k
k
k
=
=
=
时，
1
2
3
3
1
2
0
k
k
k
a
a
a
+
+
=
r
r
r
r
.
对于A：设
1
1
2
2
1
2
3
3
3
0
k
k
k
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
=
r
r
r
r
r
r
r
，
整理得：
1
2
1
1
2
2
2
3
3
0
k
k
k
k
k
k
a
a
a
+
+
+
+
+
=
r
r
r
r
，
所以有
1
2
2
3
0,
0
k
k
k
k
+
=
+
=
，取
1
3
2
1,
1
k
k
k
=
=
= - ，
所以
1
2
a
a
+
r
r ，
1
2
3
a
a
a
+
+
r
r
r ，
3
ar 线性相关，故A 错误；
对于B：设
1
2
2
2
3
3
2
3
0
k
k
k
a
a
a
a
a
+
+
+
-
=
r
r
r
r
r
r
，
整理得：
1
2
3
2
2
3
3
0
k
k
k
k
k
a
a
+
+
+
-
=
r
r
r
，
所以有
1
2
3
2
3
0,
0
k
k
k
k
k
+
+
=
-
=
，取
1
2
3
2,
1
k
k
k
= -
=
= ，
所以
2
ar ，
2
3
a
a
+
r
r ，
2
3
a
a
-
r
r 线性相关，故B 错误；
对于C：设
1
1
2
1
2
3
1
2
0
k
k
k
a
a
a
a
a
+
+
+
-
=
r
r
r
r
r
r
，
整理得：
1
2
3
1
2
3
2
0
k
k
k
k
k
a
a
+
+
+
-
=
r
r
r
，
所以有
1
2
3
2
3
0,
0
k
k
k
k
k
+
+
=
-
=
，取
1
2
3
2,
1
k
k
k
= -
=
= ，
所以
1
ar ，
1
2
a
a
+
r
r ，
1
2
a
a
-
r
r 线性相关，故C 错误；
对于D：设
1
1
2
2
1
2
3
3
0
k
k
k
a
a
a
a
a
+
+
-
+
=
r
r
r
r
r
r
，
考点四
立体几何新定义问题
整理得：
1
2
1
1
2
2
3
3
0
k
k
k
k
k
a
a
a
+
+
-
+
=
r
r
r
r
，
所以有
1
2
1
2
3
0,
0,
0
k
k
k
k
k
+
=
-
=
=
，解得
1
2
3
0
k
k
k
=
=
=
，
所以
1
2
a
a
+
r
r ，
1
2
a
a
-
r
r ，
3
ar 线性无关，故D 正确.
故选：D
2．（24-25 高二上·北京·期中）给定两个不共线的空间向量ar 与b
r ，定义叉乘运算a
b
´
r
r
，规定：①a
b
´
r
r
为同时与
,a b
r
r
垂直的向量；②, ,
a b a
b
´
r
r
r
r
三个向量构成右手系（如图1）；③|
|
sin
,
a
b
a b
a b
´
=
á
ñ
r
r
r
r
r
r
．如图2，在长方体中
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
2,
4
AB
AD
AA
=
=
=
，则下列说法中错误的是（ ）
A．
1
AB
AD
AA
´
=
uuur
uuur
uuur
B．AB
AD
AD
AB
´
=
´
uuur
uuur
uuur
uuur
C．
1
1
1
AB
AD
AA
AB
AA
AD
AA
+
´
=
´
+
´
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
D．
1 1 1
1
1
ABCD A B C D
V
AB
AD
CC
-
=
´
×
uuur
uuur
uuuur
【答案】B
【详解】对于A，
1
AA
uuur
同时与
,
AB AD
uuur uuur
垂直，
1
sin
,
2 2 sin90
4
AB
AD
AB AD
AB AD
AA
´
=
=
´ ´
=
=
o
uuur
uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur
，
且
1
,
,
AB AD AA
uuur uuur uuur
构成右手系，即
1
AB
AD
AA
´
=
uuur
uuur
uuur
成立，A 正确；
对于B，
1
1
,
AB
AD
AA AD
AB
AA
´
=
´
= -
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
uuur
，则AB
AD
AD
AB
´
¹
´
uuur
uuur
uuur
uuur ，B 错误；
对于C，
1
1
2 2
4 sin90
8 2
AB
AD
AA
AC
AA
+
´
=
´
=
´ ´
=
o
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
1
AC
AA
´
uuur
uuur
与DB
uuur 共线，且方向相同，
1
1
2 4 sin90
8,
AB
AA
AB
AA
´
=
´ ´
=
´
o
uuur
uuur
uuur
uuur
与DA
uuur 共线，且方向相同，
1
1
2 4 sin90
8,
AD
AA
AD
AA
´
=
´ ´
=
´
o
uuur
uuur
uuur
uuur
与AB
uuur 共线，且方向相同，
则
1
1
1
1
8 2,
AB
AA
AD
AA
AB
AA
AD
AA
´
+
´
=
´
+
´
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
与DB
uuur 共线，且方向相同，
因此
1
1
1
AB
AD
AA
AB
AA
AD
AA
+
´
=
´
+
´
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，C 正确；
对于D,
1
2 2 4
16
ABCD ABCD
V
-
=
´ ´
=
，
2
1
1
1
4
16
AB
AD
CC
AA CC
´
×
=
×
=
=
uuur
uuur
uuuur
uuur uuuur
，
因此
1
1
ABCD ABC
V
AB
AD
CC
-
=
´
×
uuur
uuur
uuuur
，D 正确．
故选：B
3．（24-25 高二上·北京通州·期中）如图，空间直角坐标系D
xyz
-
中，点
1
1
1
,
,
N x y z
，
2
2
2
,
,
F x
y
z
，定义
1
2
NF
x
x
=
-
+
1
2
1
2
y
y
z
z
-
+
-
.正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的棱长为3，E 为棱BC 的中点，平面yDz 内两个动点
P，M，分别满足
1
2
PD =
，
AMD
CME
Ð
= Ð
，则PM 的取值范围是（ ）
A．5 2
2,3 5
2
2
é
ù
-
+
ê
ú
ë
û
B．1,
41
2
é
ù
+
ë
û
C．5 2
2, 41
2
2
é
ù
-
+
ê
ú
ë
û
D．1,3 5
2
é
ù
+
ë
û
【答案】A
【详解】根据正方体的特征易知AD ^ 平面
1
1
CDC D ，EC ^ 平面
1
1
CDC D ，
,
CM DM Ì平面
1
1
CDC D ，所以
,
AD
DM CE
CM
^
^
，
又
AMD
CME
Ð
= Ð
，则
2
AD
EC
CM
DM
DM
CM
=
Þ
=
，
如图建立平面直角坐标系yDz ，设
,
M y z ，
则
2
2
2
2
3,0
2
3
C
y
z
y
z
Þ
-
+
=
+
，整理得
2
2
4
4
y
z
-
+
=
，
即M 轨迹为平面yDz 上的圆，以
4,0 为圆心，2 为半径；
因为
1
2
PD =
，则P 轨迹为以
1
D 为中心，
一条对角线长4 且在纵轴上的正方形FGHK ，
如上图所示，
2,3 ,
0,1 ,
2,3 ,
0,5
F
G
H
K
-
，易得
:
1
FG
l
y
x
=
+ ，
过圆心
4,0 作
,
FG KH 的垂线，可知垂线方程为
4
y
x
=
-
易得FG 上的垂足
1
3 5
,
2 2
P æ
ö
ç
÷
è
ø ，显然
1P 在线段FG 上，
而KH 上的垂足
1 9
,
2 2
N æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，显然H 距N 远，
则圆心到FG
l
的距离为
1
min
5
5 2
2
2
2
d
PM
=
Þ
=
-
，
圆心到H 的距离
2
2
2
max
2
4
3
3 5
3 5
2
d
PM
=
- -
+
=
Þ
=
+
.
故选：A
4．（24-25 高三下·广东深圳·阶段练习·多选）莱昂哈德•医拉是历史上最杰出的数学家之一，在数学许多分支上都
可以见到以欧拉命名的常数，公式和定理．在拓扑学中，欧拉公式描述了凸多面体顶点数，棱数和面数之间的关
系：记凸多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则
2
V
E
F
-
+
=
．根据欧拉公式，判断下列说法正确的是
（ ）
注：若多面体上任意两点的连线段都在该多面体内（含表面），则称该多面体为凸多面体
A．若某棱锥的棱数比顶点数多5，则该棱锥为六棱锥
B．存在7 条棱的多面体
C．存在每个面都是五边形或六边形的凸多面体，且任意相邻两个面的边数都不同
D．若某凸多面体每个面都是边长为1 的正方形或正五边形，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均
相同，则面数的所有可能取值为6，7，12
【答案】AD
【详解】A 选项：
5
E
V
=
+ 代入欧拉公式得
7
F =
，故为六棱锥，A 正确；
B 选项：若
7
E =
，则
9
V
F
+
=
，而V，
4
F ³
，故
4
V =
，
5
F =
或
5
V =
，
4
F =
，无论哪种情况都无法形成多面
体，B 错误；
C 选项：任意相邻两个面的边数都不同，因此每个顶点至少连接4 个面，设共有x 个五边形，y 个六边形，则
5
6
4
x
y
V
+
£
（数遍每个五边形的5 个顶点和每个六边形的6 个顶点，则该多面体每个顶点都被至少数了4 遍），考
虑所有多边形的内角和，注意每个顶点所连接的内角之和小于2π，故
5
6
3π
4π
2π
2π
4
x
y
x
y
V
+
+
<
£
，整理得
2
0
x
y
+
<
无解，C 错误；
D 选项：①若每个面都是正方形，则每个顶点连接3 个面（正方形内角为90°），每条棱连接2 个面，故
4
3
F
V =
，
4
2
F
E =
，代入得
6
F =
，此时为正方体，
②若每个面都是正五边形，则每个顶点连接3 个面数（正五边形内角为108°），
每条棱连接2 个面，故
5
3
F
V =
，
5
2
F
E =
，代入得
12
F =
，此时为正十二面体，
③若即存在正方形又存在正五边形，则每个顶点连接3 个面，每条棱连接2 个面，设共有m 个正方形，n 个正五
边形，则
4
5
3
m
n
V
+
=
，
4
5
2
m
n
E
+
=
，F
m
n
=
+
代入欧拉公式得2
12
m
n
+
=
，
因为每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同，故每个顶点要么连接2 个正方形1 个五边形，要么连接
1 个正方形2 个五边形，
（i）若每个顶点连接2 个正方形1 个五边形，则
2
4
V
m =
，
5
V
n =
，解得
5
m =
，
2
n =
，
7
F =
，此时为侧面为正
方形的正五棱柱，
（ii）若每个顶点连接1 个正方形2 个五边形，此时考虑某个五边形，其5 条边每条边相连的面一定是五边形正方
形间隔环形排列，而5 是奇数，不可能；
因此符合题意的简单凸多面体的面数只可能为6，7，12，D 正确.
故选：AD
5．（24-25 高一下·江西九江·期末·多选）球面三角是研究球面三角形的边、角关系的一门科学.从十六世纪起由于
天文学、航海学、测量学等方面的发展，球面三角逐渐形成了独立学科．球面上的三个点，每两点之间用球的大
圆劣弧相连接，三段弧所围成的球面部分称为球面三角形.如图，球O 的半径为1，A，B，C 为球面上三点.平面
ABC
V
中，三内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.球面
ABC
V
中，
BC ，
,
AC AB 的弧长分别记为a b c
) ) )
，，线段
OA，OB，OC 与球面
ABC
V
围成的封闭几何体叫作球面三棱锥，记为球面O
ABC
-
.设
,
,
BOC
AOC
AOB
a
b
g
Ð
=
Ð
=
Ð
=
，则下列结论正确的是（ ）
A．sin
sin
sin
2
2
2
a
b
g
+
>
B．若
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
a
b
c
+
=
，则
2
2
2
a
b
g
+
=
C．若
2
2
2
a
b
c
+
=
，则
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
a
b
c
+
=
D．若
π
ˆ
ˆ
ˆ
3
a
b
c
=
=
=
，则球面O
ABC
-
的体积
2
12
V >
【答案】ABD
【详解】对于A,
2sin
,
2sin
,
2sin
2
2
2
a
b
c
a
b
g
=
=
=
Q
，
\由a
b
c
+
>
，得2sin
2sin
2sin
2
2
2
a
b
g
+
>
，即sin
sin
sin
2
2
2
a
b
g
+
>
，故A 正确；
对于B,
,
,
,
a
b
c
a
b
g
=
=
=
\
)
)
)
Q
由
2
2
2
a
b
c
+
=
)
)
) ，得
2
2
2
a
b
g
+
=
，故B 正确；
对于C，
2
2
2
a
b
c
+
=
Q
，∴
2
2
2
4sin
4sin
4sin
2
2
2
a
b
g
+
=
，
即
2
2
2
sin
sin
sin
2
2
2
a
b
g
+
=
，
又
2
2
2
1 cos
1 cos
1 cos
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
2
a
a
b
b
g
g
-
-
-
=
=
=
，
，
，
∴1 cos
1 cos
1 cos
2
2
2
a
b
g
-
-
-
+
=
，cos
cos
cos
1
a
b
g
+
-
= ，
取
π
π
,
3
2
a
b
g
=
=
=
，满足cos
cos
cos
1
a
b
g
+
-
= ，
此时
2
2
2
2
2
2
2
2
2π
π
,
,
9
4
a
b
c
a
b
c
+
=
=
<
\
+
)
)
)
)
)
)
，故C 错误；
对于D，
π
π
,
,
1
3
3
a
b
c
a
b
c
a
b
g
=
=
=
\
=
=
=
\
=
=
=
)
)
)
Q
，
则平面
ABC
V
的面积为
2
3
3
4
4
a =
，
此时三棱锥O
ABC
-
为边长为1 的正四面体，取BC 的中点D ，连接AD ，
过点O 作OP ⊥平面ABC ，交AD 于点P ，
其中
3
2
AD =
，
2
3
3
3
AP
AD
=
=
，故
2
2
1
1
3
6
3
OP
AO
AP
=
-
=
-
=
，
故O 到平面ABC 的距离
6
3
h =
，
所以三棱锥O
ABC
-
的体积
1
2
3
12
O ABC
ABC
V
S
h
-
=
×
=
V
，
则球面O
ABC
-
的体积
2
12
O ABC
V
V -
>
=
，故D 正确.
故选：ABD.
6．（24-25 高一下·贵州·阶段练习）刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲
性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：
正四面体每个顶点均有3 个面角，每个面角均为π
3 ，则其各个顶点的曲率均为
π
2π
3
π
3
- ´
=
．若正四棱锥
S
ABCD
-
的侧面与底面所成二面角的正切值为2 ，则四棱锥S
ABCD
-
在顶点S 处的曲率为
．
【答案】2π
3
【详解】如图，连接
,
AC BD ，设AC
BD
O
=
I
，连接SO ，则SO ^ 平面ABCD ，
取BC 的中点M ，连接
,
OM SM ，
则由正四棱锥的结构特征可知，
,
OM
BC SM
BC
^
^
，
所以
SMO
Ð
为侧面与底面所成的角，设AB
BC
a
=
=
，
则
2
a
OM =
，在Rt SMO
V
中，tan
2
SO
SMO
OM
Ð
=
=
，
所以
2
2
2
SO
OM
a
=
=
，又
2
2
OB
a
=
，所以
2
2
SB
SO
OB
a
=
+
=
，
所以正四棱锥S
ABCD
-
的每个侧面均为正三角形，所以顶点的每个面角均为π
3 ，
故正四棱锥S
ABCD
-
在顶点S 处的曲率为
π
2π
2π
4
3
3
- ´
=
.
故答案为：2π
3 .
7．（24-25 高一下·浙江嘉兴·期末）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共
面的三条射线
,
,
PA PB PC 构成的图形称为三面角P
ABC
-
，记
,
APC
BPC
Ð
a Ð
b
=
=
，
APB
g
Ð
=
，二面角
A
PC
B
-
-
的大小为q ，则cos
cos
cos
sin
sin
cos
g
a
b
a
b
q
=
+
.已知平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的底面ABCD 为菱
形，
60
BAD
Ð
=
o ，
1
2,
3 3
AB
AA
=
=
.若
1
1
3
cos
cos
4
A AB
A AD
Ð
Ð
=
=
，则二面角
1
A
CC
B
-
-
的余弦值为
.
【答案】3 13
13
/ 3
13
13
【详解】连接
1
1
,
A D A B ，由已知在
1A AD
V
中
2
2
1
1
1
1
1
2
cos
22
A D
A B
A A
AB
A A AB
A AB
=
=
+
-
×
Ð
=
，
又因为O 是
,
AC BD 的中点，所以
1 ,
BD
AO BD
AC
^
^
，
又
1
AC
AO
O
=
I
且都在平面
1A AC 内，所以BD ^ 平面
1A AC ，
所以
1A 在底面ABCD 内的投影在直线AC 上.
在
1A BD
V
中，根据勾股定理得
2
2
1
1
21
AO
A D
DO
=
-
=
，易知
3
AO =
，又
1
3 3
AA =
，
在
1A AO
V
中，由余弦定理可得
2
2
2
1
1
1
1
1
cos
2
2
A A
AO
AO
A AO
A A AO
Ð
+
-
=
=
×
，
所以
1
60
A AC
Ð
=
o ，则
1
120
ACC
Ð
=
o，设二面角
1
A
CC
B
-
-
为q ，
由三面角定理得
1
1
1
1
cos
cos
cos
sin
sin
cos
ACB
ACC
BCC
ACC
BCC
q
Ð
=
Ð
Ð
+
Ð
Ð
，
即
1
1
cos30
cos120
cos
sin120 sin
cos
A AD
A AD
q
=
-
Ð
+
Ð
o
o
o
，
即
3
1
3
3
13
cos
2
2
4
2
4
q
=
´
+
´
´
，所以
3 13
cos
13
q =
.
故答案为：3 13
13
.
8．（24-25 高二上·浙江·开学考试）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ 的一个顶点，定义多
面体G 在点P 处的离散曲率为
1
2
2
3
1
1
1
Φ
1
2π
P
k
k
k
Q PQ
Q PQ
Q
PQ
Q PQ
-
= -
Ð
+ Ð
+
+ Ð
+
L
，其中
1,2,
, ,
3
i
Q i
k k
=
³
L
为多面体G 的所有与点P 相邻的点，且平面
1
2
Q PQ ，平面
2
3,
Q PQ L，平面
1
k
k
Q
PQ
-
，平面
1
k
Q PQ 为多面体G 的所有
以P 为公共点的面．已知平面多边形ABCDE 的外接圆圆心O 为AD 与BE 的交点，如图①，且AB
AE
=
=
2
2
CD =
，将EAD
V
沿AD 翻折到
PAD
△
如图②，连接
,
PB PC ．
(1)求四棱锥P
ABCD
-
在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)已知直线PB 与直线CD 所成角的余弦值为
6
4
．
①求四棱锥P
ABCD
-
在顶点A 处的离散曲率；
②设Q 为线段PD 上的动点（不包括端点），QA与平面ABCD 所成角为a ，二面角Q
AC
D
-
-
的平面角为b ，其
中
π
,
0, 2
a b
æ
ö
Îç
÷
è
ø，求
tan b
a
-
的最大值．
【答案】(1)2
(2)① 7
12 ；②
2
4
【详解】（1）因为PAB
V
，
PBC
△
，
PCD
△
，
PAD
△
内角和均为π，四边形ABCD 内角和为2π，
则四棱锥P
ABCD
-
在各顶点处的离散曲率和为
1
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
5
π
4
2π
2
2π
P
A
B
C
D
+
+
+
+
=
-
´ +
=
；
（2）① 过点B 作
/ /
BF
CD 交AD 于F ，连接PF ，
则
PBF
Ð
即为直线PB 与直线CD 所成角或其补角，
因AB
AE
=
=
2
2
CD =
，平面多边形ABCDE 的外接圆圆心O 为AD 与BE 的交点，
则圆O 的直径
2
2
BE =
，连接OC ，则易得等边三角形OCD ，故有
60
ADC
Ð
=
° ，
所以
2
OP
OB
=
=
，
60
OFB
OFP
Ð
= Ð
=
o ，所以
2
2 6
sin 60
3
PF
BF
=
=
=
o
，
在
PBF
△
中，因
1
6
2
cos
4
PB
PBF
BF
Ð
=
=
，解得
2
6
3
6
2
2
PB =
=
´
．
即AP
AB
PB
=
=
，可得：
π ,
3
PAB
Ð
=
则得
1
1
π
π
7
Φ
1
1
(
2
)
2π
2π 4
3
12
A
PAD
BAD
PAB
= -
Ð
+ Ð
+ Ð
= -
´ +
=
，
即四棱锥P
ABCD
-
在顶点A 处的离散曲率为7
12
②因为
,
OP
AD OB
AD
^
^
，所以
POB
Ð
为二面角P
AD
B
-
-
的平面角，
因为
2
2
2
OP
OB
PB
+
=
，所以
π
2
POB
Ð
=
，则平面PAD ^平面ABCD ．
过Q 作
^
QG
AD 于G ，过G 作GH
AC
^
于H ，连接QH ，
因QG Ì 平面PAD ，平面PAD Ç 平面ABCD
AD
=
，故QG ^ 平面ABCD ，
因AC Ì 平面ABCD ，则QG
AC
^
，
又
,
,
QG
GH
G QG GH
=
Ì
I
平面QGH ，则AC ^平面QGH ，
因QH Ì 平面QGH ，则AC
QH
^
，故
QAG
Ð
为QA与平面ABCD 所成角，
QHG
Ð
为二面角Q
AC
D
-
-
的平面角，则
,
QAG
QHG
a
b
Ð
=
Ð
=
，
因为tan
, tan
QG
QG
AG
GH
a
b
=
=
，所以tan
1
sin
tan
2
GH
DAC
AG
a
b =
=
Ð
=
，
则得tan
2tan
b
a
=
，因
π
0
4
a
<
<
，则0
tan
1
a
<
< ，
故
2
tan
tan
tan
1
1
tan
1
1
tan
tan
1
2tan
2 2
2tan
tan
b
a
a
b
a
b
a
a
a
a
-
-
=
=
=
£
+
×
+
+
，
当且仅当
2
tan
, tan
2
2
a
b
=
=
时，等号成立．
则
tan b
a
-
的最大值为
2
4
．
9．（24-25 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在空间直角坐标系O－xyz 中，已知向量
, ,
n
a b c
=
r
，点
0
0
0
0
(
,
,
)
P x
y
z
．若平面a 以nr 为法向量且经过点
0P ，则平面a 的点法式方程为
0
0
0
(
)
(
)
(
)
0
a x
x
b y
y
c z
z
-
+
-
+
-
=
，一
般式方程可表示为
0
ax
by
cz
d
+
+
+
=
．
(1)若直线l 的方向向量为
2,1,1
a =
r
，平面α 的一般式方程为3
2
1
0
x
y
z
-
+
+ =
，求直线l 与平面α 所成角的正弦
值；
(2)若平面β 经过点
(1,1,2)
A
，点
(2,0,1)
B
，点
( 2,2,1)
C -
，平面γ 的一般式方程为
4
0
y
z
+
-
=
，直线l 为平面β 和平
面γ 的交线，求平面β 的一般式方程，并求直线l 的单位方向向量（写出一个即可）；
(3)已知集合
, ,
1,
1,
1
P
x y z
x
y
z
=
£
£
£
，
,
|
,
Q
x y z
x
y
z
m
=
+
+
£
，记集合Q 中所有点构成的几何体为
1
W ，P
Q
Ç
中所有点构成的几何体为
2
W ．
（ⅰ）若
5
2
m =
，求几何体
1
W 的体积和
2
W 的表面积．
（ⅱ）若
2,3
mÎ
，求几何体
2
W 的体积
V m 关于m 的函数关系式．
【答案】(1)
21
6
(2)
2
1
0
x
y
z
+
-
- =
，
3 11
11
11
,
,
11
11
11
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
或3 11
11
11
,
,
11
11
11
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
（写出其中一个即可）
(3)（ⅰ）125
6 ，21
（ⅱ）
3
4
8
3
,
2,3
3
V m
m
m
=
-
-
Î
【详解】（1）平面α 的一般式方程为3
2
1
0
x
y
z
-
+
+ =
，
则平面α 的一个法向量
1
3, 1,2
n =
-
ur
，设直线l 与平面α 所成角为q ，
所以
1
2,1,1
3, 1,2
21
sin
cos ,
6
6
14
a n
q
×
-
=
=
=
×
ur
r
，
即直线l 与平面α 所成角的正弦值为
21
6
.
（2）
1, 1, 1 ,
4,2,0
AB
BC
=
- -
= -
uuur
uuur
设平面β 的一个法向量
2
2
2
2
,
,
n
x
y
z
=
uur
，
则
2
2
2
2
2
2
2
0
4
2
0
n
AB
x
y
z
n
BC
x
y
ì
×
=
-
-
=
ïí
×
= -
+
=
ïî
uur uuur
uur uuur
，不妨取
2
1
x = ，则
2
2
2,
1
y
z
=
= - ，
此时
2
1,2, 1
n =
-
uur
，
所以平面β 的一般式方程为
2
1
0
x
y
z
+
-
- =
，
又平面γ 的一般式方程为
4
0
y
z
+
-
=
，则平面γ 的一个法向量
3
0,1,1
n =
uur
，
设直线l 的一个方向向量
, ,
b
x y z
=
r
，又直线l 为平面b 和平面γ 的交线，
则
2
3
2
0
0
b n
x
y
z
b n
y
z
ì ×
=
+
-
=
ïí ×
=
+
=
ïî
uur
r
uur
r
，不妨取
1
y = ，则
1,
3
z
x
= -
= - ，
此时
3,1, 1
b = -
-
r
，
所以直线l 的一个单位方向向量为
3 11
11
11
,
,
11
11
11
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
或3 11
11
11
,
,
11
11
11
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
（写出其中一个即可）.
（3）（ⅰ）集合
, ,
1,
1,
1
P
x y z
x
y
z
=
£
£
£
，
所以集合P 是以原点为中心，边长为2 的正方体，
5
2
m =
时，
5
, ,
|
2
Q
x y z
x
y
z
ì
ü
=
+
+
£
í
ý
î
þ，
当
0,
0,
0
x
y
z
³
³
³
时，即
5
2
x
y
z
+
+
£
，
根据题意知
5
2
x
y
z
+
+
=
是平面的一般方程，且过5
5
5
,0,0 , 0,
,0 , 0,0,
2
2
2
æ
ö æ
ö æ
ö
ç
÷ ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø è
ø ，
则
5
2
x
y
z
+
+
£
，
0,
0,
0
x
y
z
³
³
³
形成的是一个三棱锥，如图，
所以
5
, ,
|
2
Q
x y z
x
y
z
ì
ü
=
+
+
£
í
ý
î
þ形成的立体几何图形
1
W 为八面体，
体积
1
1
1
5
125
2
5 5
3
2
2
6
V =
´
´
´ ´ ´
=
，
又在八面体中
1
y = 时的截面是对角线长为3 的正方形，与正方体上底面交点如图，
正方形RSTW 对角线长为3，正方形边MNPQ 边长为2，
1
BC = ，则等腰直角三角形
MAB
△
中，
1
2
MA
MB
=
=
，
所以P
Q
Ç
中所有点构成的几何体为
2
W 如下图所示，
则几何体为
2
W 的表面积
2
1
1
1
6
4
4
21
2
2
2
S
æ
ö
=
´
- ´
´
´
=
ç
÷
è
ø
，
所以
5
2
m =
，几何体
1
W 的体积为125
6 ，
2
W 的表面积21.
（ⅱ）由（ⅰ）知，
2,3
mÎ
时，八面体在正方体六个面的交线都为六边形，
正方形RSTW 对角线长为
2
1
2,4
m -
Î
，正方形边MNPQ 边长为2，
2
1
2
2
4
BC
m
m
=
-
-
=
-
，
则等腰直角三角形
MAB
△
中，
2
2
4
3
2
m
MA
MB
m
-
-
=
=
=
-
，
故几何体
2
W 的体积
3
3
1
1
4
8
8
3
8
3
3
2
3
V m
m
m
=
- ´
´
-
=
-
-
，
即
3
4
8
3
,
2,3
3
V m
m
m
=
-
-
Î
.
10．（2025·山东青岛·模拟预测）在空间直角坐标系O
xyz
-
中，任何一个平面的方程都能表示成
0
Ax
By
Cz
D
+
+
+
=
，其中A ，B ，C ，DÎR ，
2
2
2
0
A
B
C
+
+
¹
，且
, ,
n
A B C
=
r
为该平面的法向量.已知集合
, ,
1,
1,
1
P
x y z
x
y
z
=
£
£
£
∣
，
, ,
2
Q
x y z
x
y
z
=
+
+
£
∣
，
, ,
2,
2,
2
T
x y z
x
y
y
z
z
x
=
+
£
+
£
+
£
∣
.
(1)设集合
, ,
0
M
x y z
z
=
=
∣
，记P
M
Ç
中所有点构成的图形的面积为
1S ，Q
M
I
中所有点构成的图形的面积为
2S ，求
1S 和
2S 的值；
(2)记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为
1V ，P
Q
Ç
中所有点构成的几何体的体积为
2
V ，求
1V 和
2
V 的值：
(3)记集合T 中所有点构成的几何体为W .
①求W 的体积
3
V 的值；
②求W 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W 的面数和棱数.
【答案】(1)
1
4
S =
，
2
8
S =
；
(2)
1
32
3
V =
，
2
20
3
V =
；
(3)①16；②2π
3 ，共有12 个面，24 条棱.
【详解】（1）集合
, ,
0
M
x y z z
=
=
表示xOy 平面上所有的点，
, ,
1,
1,
1
P
x y z
x
y
z
=
£
£
£
表示
1, 1, 1
± ± ±
这八个顶点形成的正方体内所有的点，
而P
M
Ç
可以看成正方体在xOy 平面上的截面内所有的点.
发现它是边长为2 的正方形，因此
1
4
S =
.
对于
, ,
2
Q
x y z
x
y
z
=
+
+
£
，当, ,
0
x y z >
时，
2
x
y
z
+
+
=
表示经过(2,0,0) ，(0,2,0) ，(0,0,2) 的平面在第一象限的部分.
由对称性可知Q 表示
2,0,0
±
(
) ，0, 2,0
±
(
) ，0,0, 2
±
(
)
这六个顶点形成的正八面体内所有的点.
而Q
M
I
可以看成正八面体在xOy 平面上的截面内所有的点.
它是边长为2 2 的正方形，因此
2
8
S =
.
（2）记集合Q ，P
Q
Ç
中所有点构成的几何体的体积分别为
1V ，
2
V ；
考虑集合Q 的子集
, ,
2,
0,
0,
0
Q
x y z x
y
z
x
y
z
=
+
+
£
³
³
³
¢
；
即为三个坐标平面与
2
x
y
z
+
+
=
围成的四面体.
四面体四个顶点分别为(0,0,0) ，(2,0,0) ，(0,2,0) ，(0,0,2) ，
此四面体的体积为
1
1
4
2
2 2
3
2
3
Q
V ¢
æ
ö
=
´ ´
´ ´
=
ç
÷
è
ø
由对称性知，
1
32
8
3
Q
V
V ¢
=
=
考虑到P 的子集P¢ 构成的几何体为棱长为1 的正方体，
即
, ,
0
1,0
1,0
1
P
x y z
x
y
z
=
£
£
£
£
£
£
¢
，
, ,
2,
0,
0,
0
Q
x y z x
y
z
x
y
z
=
+
+
£
³
³
³
¢
，
显然P
Q
¢
¢
I
为两个几何体公共部分，
记
1 1,1,0
Q
，
2 1,0,1
Q
，
3 0,1,1
Q
，
4 1,1,1
Q
.
容易验证
1
Q ，
2
Q ，
3
Q 在平面
2
x
y
z
+
+
=
上，同时也在P¢ 的底面上.
则P
Q
¢
¢
I
为截去三棱锥
4
1
2
3
Q
Q Q Q
-
所剩下的部分.
P¢ 的体积
1 1 1
1
P
V ¢ = ´ ´ = ，三棱锥
4
1
2
3
Q
Q Q Q
-
的体积为
4
1
2
3
1
1
1
1
1 1
3
2
6
Q
Q Q Q
V
-
=
´ ´
´
´
=
.
故P
Q
¢
¢
I
的体积
4
1
2
3
1
5
1
6
6
P
Q
P
Q
Q Q Q
V
V
V
¢
¢
¢
-
=
-
= -
=
I
.
当由对称性知，
2
20
8
3
P
Q
V
V ¢
¢
=
=
I
.
（3）
如图所示，即为T 所构成的图形.
其中正方体ABCD
IJML
-
即为集合P 所构成的区域. E
ABCD
-
构成了一个正四棱锥，
其中E 到面ABCD 的距离为2 ，
1
4
1 2 2
3
3
E ABCD
V -
=
´ ´ ´
=
，
3
4
6
8
6
16
3
P
E ABCD
V
V
V -
=
+
=
+ ´
=
.
由题意面EBC 方程为
2
0
x
z
+
-
=
，由题干定义知其法向量
1
1,0,1
n =
ur
面ECD 方程为
2
0
y
z
+
-
=
，由题干定义知其法向量
2
0,1,1
n =
uur
故
1
2
1
2
1
2
1
cos
,
2
n n
n n
n
n
×
=
=
×
ur uur
ur uur
ur
uur
.
由图知两个相邻的面所成角为钝角.故H 相邻两个面所成角为2π
3 .
由图可知共有12 个面，24 条棱.
