统计与概率：事件的独立性、条件概率、全概率公式与贝叶斯公式专项训练
考点目录
事件的独立性
条件概率
全概率公式与贝叶斯公式
1．（24-25 高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知事件A ，B 满足
0.5
P A =
，
0.2
P B =
，则（ ）
A．若B
A
Í
，则
0.5
P AB =
B．若A 与B 相互独立则
0.7
P A
B
+
=
C．若A 与B 相互独立，则
0.9
P AB =
D．若A 与B 互斥，则
0.7
P A
B
+
=
【答案】D
【详解】对于A，若B
A
Í
，则
0.2
P AB
P B
=
=
，所以A 错误；
对于B，若A 与B 相互独立，不互斥，所以B 错误；
对于C，若A 与B 相互独立，可得A 与B 相互独立，
所以
1 0.5 1 0.2
0.4
P AB
P A
P B
=
×
=
-
-
=
，所以C 错误；
对于D，若A 与B 互斥，则
0.7
P A
B
P A
P B
+
=
+
=
，所以D 正确.
故选：D.
2．（25-26 高二上·黑龙江大庆·开学考试）在一次校园安全知识竞赛中，甲､乙､丙同时回答一道题，每人回答问题
正确与否相互独立，甲答对的概率是2
3 ，甲､乙两人都答对的概率是
1
2 ，乙､丙两人都答错的概率是1
20 ，则甲､乙､
丙三人中，至少有一人答对该题的概率为（ ）
A．13
16
B．15
16
C．59
60
D．63
64
【答案】C
【详解】记事件A ：甲答对这道题；事件B :乙答对这道题；事件C ：丙答对这道题.
由题可知：事件, ,
A B C 相互独立，且
2
1
1
,
,
3
2
20
P A
P AB
P BC
=
=
=
,
所以
1
1
.
3
P A
P A
= -
=
因为
P AB
P A P B
=
，所以
1
3
3
2
2
4
P AB
P B
P A
=
=
´
=
,所以
1
1
.
4
P B
P B
= -
=
因为事件, ,
A B C 相互独立，所以事件
,
,
A B C 相互独立.
考点一
事件的独立性
所以
,
P BC
P B P C
=
所以
1
1
4
20
5
P BC
P C
P B
=
=
´
=
.
所以
1
1
1
1 ,
3
4
5
60
P ABC
P A P B P C
=
=
´
´
=
即没有人答对该题的概率为：1 .
60
所以至少有一人答对该题的概率为：59 .
60
故选：C.
3．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知事件A 和事件B 相互独立，B 为事件B 的对立事件．若
( )
( )
0.4
P A
P B
=
=
，则
(
)
P A
B
+
=（ ）
A．0.24
B．0.56
C．0.76
D．0.84
【答案】C
【详解】由
( )
0.4
P B =
得
( )
1 0.4
0.6
P B = -
=
，
由
( )
0.4
P A =
以及事件A 和事件B 相互独立得
(
)
( ) ( )
0.4 0.6
0.24
P AB
P A P B
=
=
´
=
，
所以
(
)
( )
( )
(
)
0.4
0.6
0.24
0.76
P A
B
P A
P B
P AB
+
=
+
-
=
+
-
=
.
故选：C.
4．（25-26 高二上·云南·开学考试）甲、乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为X .已知甲、乙投篮命中的概率分
别为2
3 ，4
5 ，且甲、乙投篮命中的结果相互独立，则
1
X = 的概率是（ ）
A．1
5
B．2
5
C．13
30
D．17
30
【答案】B
【详解】由题意，
1
X = 表示甲乙只有一人投中，
所以
2
1
1
4
6
2
1
3
5
3
5
15
5
P X =
=
´
+
´
=
=
.
故选：B
5．（24-25 高一下·湖南衡阳·期末）如图，已知电路中4 个开关每个断开的概率都是1
3 ，且是相互独立的，则灯亮
的概率为（ ）
A．3
16
B．5
81
C．76
81
D．13
16
【答案】C
【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，丙丁2 个都开且甲乙2 个中有一个开另一个闭，
这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，
所以灯泡不亮的概率为1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
81
æ
ö
æ
ö
´
´
´
+
´
´
´
-
+
´
´
-
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以灯泡亮的概率为
1
1
5
76
81
8
-
=
.
故选：C.
6．（25-26 高二上·河北张家口·开学考试）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现
的点数大于4”为事件B，则下述正确的是（ ）
A．A 与B 对立
B．A 与B 互斥
C．A 与B 相互独立
D．
P A
B
P A
P B
+
=
+
【答案】C
【详解】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：
1,2,3,4,5,6 ；
事件A 包含的结果是：
2,4,6 ；
事件B 包含的结果是：
5,6 .
因为A
B
U
没包含所有可能结果（如1，3 没包含在内），A 与B 不对立，故A 错误；
因为
6
A
B =
¹ Æ
I
，A 与B 不互斥，故B 错误；
因为
1
6
P AB =
，
1
1
1
( )
( )
(
)
2
3
6
P A
P B
P AB
×
=
´
=
=
，
因此A 与B 相互独立，故C 正确；
3
1
6
2
P A =
=
，
2
1
6
3
P B =
=
，而
4
2
(
)
6
3
P A
B
+
=
=
，故D 错误.
故选：C.
7．（25-26 高二上·山东日照·开学考试·多选）设
,
A B 为两个事件，且
0.5,
0.3
P A
P B
=
=
，下列说法正确的有
（ ）
A．若
,
A B 互斥，则
0.15
P AB =
B．若
,
A B 互斥，则
0.8
P A
B
È
=
C．若
,
A B 独立，则
0.15
P AB =
D．若
,
A B 独立，则
0.65
P A
B
È
=
【答案】BCD
【详解】对于A，若
,
A B 互斥，则
0
P AB =
，A 错误；
对于B，若
,
A B 互斥，则
0.5
0.3
0.8
P A
B
P A
P B
È
=
+
=
+
=
，B 正确；
对于C，若
,
A B 独立，则
0.5 0.3
0.15
P AB
P A P B
=
=
´
=
，C 正确；
对于D，若
,
A B 独立，则
( )
( )
(
)
0.5
0.3
0.15
0.65
P A
B
P A
P B
P AB
È
=
+
-
=
+
-
=
，D 正确，
故选：BCD
8．（24-25 高一下·贵州遵义·阶段练习·多选）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A 表示“第1 枚正面向上”，事
件B 表示“第2 枚反面向上”，事件C 表示“恰有1 枚正面向上”，事件D 表示“两枚都正面向上”，则（ ）
A．A 与B 相互独立
B．A 与C 相互独立
C．A 与D 相互独立
D．B 与D 互斥
【答案】ABD
【详解】先后抛掷两枚硬币出现的结果有：正正，正反，反正，反反四种情况，
则事件A 包含正正，正反两种情况；事件B 包含正反，反反两种情况；
事件C 包含正反，反正两种情况；事件D 包含正正一种情况；
所以
1
1
,
2
4
P A
P B
P C
P D
=
=
=
=
，
显然
1
4
P A
B
P A P B
Ç
=
=
，
1
4
P A
C
P A P C
Ç
=
=
，
1
4
P A
D
P A P D
=
¹
I
，
0
P D
B =
I
，即ABD 正确.
故选：ABD
9．（25-26 高二上·安徽·阶段练习·多选）已知
,
A B 是随机事件，且
0.6,
0.5
P A
P B
=
=
，则下列说法正确的有
（ ）
A．A 与B 可能为互斥事件
B．若
0.3
P A
B =
I
，则A 与B 相互独立
C．若B
A
Í
，则
0.5
P AB =
D．若A 与B 相互独立，则
0.6
P A
B =
U
【答案】BC
【详解】选项A：因为
1.1
1
P A
P B
+
=
> ，所以A
B ¹ Æ
I
，A 与B 不可能为互斥事件，A 说法错误；
选项B：因为
0.6 0.5
0.3
P AB
P A P B
=
=
´
=
，所以若
0.3
P A
B
Ç
=
，则A 与B 相互独立，B 说法正确；
选项C：若B
A
Í
，则
0.5
P AB
P B
=
=
，C 说法正确；
选项D：若A 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立，证明如下：
因为AB 与AB 互斥，且A
AB
AB
=
U
，
所以
P A
P AB
P AB
P A P B
P AB
=
+
=
+
，
所以
1
P AB
P A
P A P B
P A
P B
P A P B
é
ù
=
-
=
-
=
ë
û
，即A 与B 也相互独立，
所以
P A
B
P A
P B
P AB
P A
P B
P A P B
È
=
+
-
=
+
-
，
因为
0.5
P B =
，所以
1
0.5
P B
P B
= -
=
，
代入得
0.6
0.5
0.6 0.5
0.8
P A
B
È
=
+
-
´
=
，D 说法错误；
故选：BC
10．（25-26 高二上·福建南平·开学考试）甲､乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为X .已知甲､乙投篮命中的概
率分别为2 4
,
3 5 且甲､乙投篮命中的结果相互独立，则
1
X = 的概率是
.
【答案】2
5 /0.4
【详解】由题意可得
2
4
2
4
6
2
1
1
1
3
5
3
5
15
5
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
´
-
+
-
´
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
故答案为：2
5
11．（25-26 高二上·河北邢台·开学考试）张华和李明二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获
胜，并可以获得1000 元奖金．已知张华、李明二人在每局比赛中获胜的可能性均相同．已知当张华连赢两局，李
明一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛．现将1000 元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，
则张华应该分得 元．
【答案】875
【详解】由题意，如果比赛继续，李明需要连赢三局才能获胜，
因张华和李明二人在每局比赛中获胜的可能性均相同，
则李明连赢三局获胜的概率为1
1
1
1
2
2
2
8
´
´
=
，张华获胜的概率为
1
7
1
8
8
-
=
，
所以张华应分得奖金的7
8 ，李明应分得奖金的1
8 ，即张华应该分得7 1000
875
8 ´
=
元．
故答案为：875
12．（25-26 高二上·安徽·阶段练习）已知甲､乙两人参加闯关活动，活动一共设置两关.甲每关闯关成功的概率均为
4
5 ，乙每关闯关成功的概率均为3
4 ，且甲､乙两人闯关成功与否互不影响，则甲､乙两人总共至少有三关闯关成功
的概率是
.
【答案】39
50 /0.78
【详解】设事件
=
iA
“甲有i 关闯关成功”，
iB = “乙有i 关闯关成功”，
0,1,2
i =
，
则
1
4
1
1
4
8
5
5
5
5
25
P A
=
´
+
´
=
，
2
4
4
16
5
5
25
P A
=
´
=
，
1
3
1
1
3
3
4
4
4
4
8
P B
=
´
+
´
=
，
2
3
3
9
4
4
16
P B
=
´
=
，
设甲、乙两人总共至少有三关闯关成功的事件为C ，则
1
2
2
1
2
2
C
A B
A B
A B
=
+
+
，
1
2
2
1
2
2
8
9
16
3
16
9
39
25
16
25
8
25
16
50
P C
P A B
P A B
P A B
\
=
+
+
=
´
+
´
+
´
=
.
故答案为：39
50 .
13．（2025·福建三明·模拟预测）甲、乙两人进行抛硬币比赛．两人分别抛掷一枚均匀硬币，如果抛出“正面朝
上”，则得1 分，如果抛出“反面朝上”，则得0 分．甲和乙分别抛掷3 次后，如果两人得分相差大于1 分，比赛终
止；如果两人分数相差不大于1 分，则由乙再进行一次抛掷后比赛终止，该次抛掷若为“正面朝上”，则乙得分不
变，若为“反面朝上”，则乙得分减1 分．按照规定，比赛终止时甲得分高于乙的概率为
．
【答案】1
2 /0.5
【详解】抛掷3 次，得0 分的概率
0
1
1
1
1
2
2
2
8
P =
´
´
=
，得1 分的概率
1
1
3
1
1
1
3
C
2
2
2
8
P =
´
´
´
=
，
得2 分的概率
2
2
3
1
1
1
3
C
2
2
2
8
P =
´
´
´
=
，得3 分的概率
3
1
1
1
1
2
2
2
8
P =
´
´
=
，
甲和乙分别抛掷3 次后，分为两人分数差大于1 分和不大于1 分两种情况，
当两人分数差大于1 分时，甲得分高于乙包括“甲得3 分乙得0 分”、“甲得3 分乙得1 分”、“甲得2 分乙得0 分”三
种情况，
总的概率为
4
3
0
3
1
2
0
1
1
1
3
3
1
7
8
8
8
8
8
8
64
P
P
P
P
P
P
P
=
´
+
´
+
´
=
´
+
´
+
´
=
，
当两人分数差不大于1 分时，乙再进行一次抛掷后甲得分高于乙包括“得分差为0，乙投反面”、
“甲的得分比乙的得分高1 分，此时无论乙再次抛掷的结果如何，甲的得分都将高于乙”两种情况，
总的概率
5
0
0
1
1
2
2
3
3
1
0
2
1
3
2
1
2
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
=
´
+
´
+
´
+
´
´
+
´
+
´
+
´
1
1
3
3
3
3
1
1
1
3
1
3
3
3
1
25
8
8
8
8
8
8
8
8
2
8
8
8
8
8
8
64
æ
ö
æ
ö
=
´
+
´
+
´
+
´
´
+
´
+
´
+
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以比赛终止时甲得分高于乙的概率
4
5
7
25
32
1
64
64
64
2
P
P
P
=
+
=
+
=
=
.
故答案为：
1
2 .
14．（25-26 高三上·山东·开学考试）电视台组织有奖答题活动，指定了三道题目，选手有两种答题方案可选.
方案一：回答这三道题目，至少有两道答对则获得奖金；
方案二：在三道题中，随机选两道，这两道题都答对则获得奖金.
假设小明对三道指定题目答对的概率分别为, ,
a b c （均不为1），且三道题目是否答对相互之间没有影响.
(1)分别求小明选择方案一和方案二时获得奖金的概率；
(2)要想使获得奖金的可能性更大，小明应选择哪种答题方案?请根据数据计算说明.
【答案】(1)答案见解析；
(2)选择第一种答题方案.
【详解】（1）设小明选择方案一获得奖金的概率为
1P ，
则
1
1
1
1
2
P
ab
c
ac
b
bc
a
abc
ab
ac
bc
abc
=
-
+
-
+
-
+
=
+
+
-
，
设小明选择方案二获得奖金的概率为
2P ，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
C
C
C
1
C
C
C
3
P
ab
ac
bc
ab
ac
bc
=
+
+
=
+
+
，
（2）由
1
2
1
2
2
2
3
3
P
P
ab
ac
bc
abc
ab
ac
bc
ab
ac
bc
abc
-
=
+
+
-
-
+
+
=
+
+
-
2
2
3
3
3
ab
ac
bc
abc
ab
abc
ac
abc
bc
abc
=
+
+
-
=
-
+
-
+
-
2
1
1
1
3 ab
c
ac
b
bc
a
=
-
+
-
+
-
é
ù
ë
û ，
因为
, ,
0,1
a b cÎ
，所以
1
,1
,1
0,1
a
b
c
-
-
- Î
，
即
1
2
2
1
1
1
0
3
P
P
ab
c
ac
b
bc
a
-
=
-
+
-
+
-
>
é
ù
ë
û
，
则
1
2
P
P
>
，
故小明应选择第一种答题方案.
15．（25-26 高三上·江西·阶段练习）某知识竞赛中有, ,
A B C 三类问题.参赛者从这三类问题中抽取两个问题进行回
答，要求这两个问题属于不同类别.回答正确一个A，B，C 类问题分别得30 分，20 分，10 分，回答错误得0 分.
已知甲参与了该竞赛，且甲能正确回答, ,
A B C 类问题的概率分别为0.5,0.6,0.8，每道问题回答正确与否相互独立，
设甲的累计得分为X .
(1)若甲从
,
A B 两类问题中各抽取一个问题回答，求X 的分布列及期望；
(2)为使得累计得分更高，试分析，甲应该从哪两类问题中抽取问题回答.
【答案】(1)分布列见详解，
(
)
27
E X =
.
(2)从
,
A B 两类问题中抽取问题回答得分更高.
【详解】（1）设甲回答A 类问题正确为事件A ，回答B 类问题正确为事件B ，
则
( )
0.5,
( )
0.6
P A
P B
=
=
. 累计得分X 可以取以下几种情况：0,20,30,50 ，
0
1
(1
( ))
0.5 0.4
0.2
P X
P A
B
P A
P B
=
=
Ç
=
-
-
=
´
=
，
20
1
( ))
( )
0.5 0.6
0.3
(
P X
P A
B
P A
P B
=
=
Ç
=
-
´
=
´
=
，
30
(1
( ))
0.5 0.4
0.2
P X
P A
B
P A
P B
=
=
Ç
=
×
-
=
´
=
，
(
50)
(
)
( )
( )
0.5 0.6
0.3
P X
P A
B
P A P B
Ç
=
=
=
=
´
=
g
，
所以X 的分布列为：
X
0
20
30
50
P
0.2
0.3
0.2
0.3
所以
(
)
0 0.2
20 0.3
30 0.2
50 0.3
27
E X =
´
+
´
+
´
+
´
=
.
（2）从,
A C 两类问题中抽取一个问题回答， 设甲回答C 类问题正确为事件C ，
则
( )
0.8
P C =
. 累计得分Y 可以取以下几种情况：0,10,30,40 ，
0
1
(1
( ))
0.5 0.2
0.1
P Y
P A
C
P A
P C
=
=
Ç
=
-
-
=
´
=
，
10
1
( ))
( )
0.5 0.8
0.4
(
P Y
P A
C
P A
P C
=
=
Ç
=
-
´
=
´
=
，
30
(1
( ))
0.5 0.2
0.1
P Y
P A
C
P A
P C
=
=
Ç
=
×
-
=
´
=
，
(
40)
(
)
( )
( )
0.5 0.8
0.4
P Y
P A
C
P A P C
Ç
=
=
=
=
´
=
g
，
所以Y 的分布列为：
Y
0
10
30
40
P
0.1
0.4
0.1
0.4
所以
( )
0 0.1 10 0.4
30 0.1
40 0.4
23
E Y =
´
+
´
+
´
+
´
=
.
从,
B C 两类问题中抽取一个问题回答， 累计得分Z 可以取以下几种情况：0,10,20,30 ，
0
1
(1
( ))
0.4 0.2
0.08
P Z
P B
C
P B
P C
=
=
Ç
=
-
-
=
´
=
，
10
1
( ))
( )
0.4 0.8
0.32
(
P Z
P B
C
P B
P C
=
=
Ç
=
-
´
=
´
=
，
20
(1
( ))
0.6 0.2
0.12
P Z
P B
C
P B
P C
=
=
Ç
=
×
-
=
´
=
，
(
30)
(
)
( )
( )
0.6 0.8
0.48
P Z
P B
C
P B P C
=
=
=
=
´
Ç
=
g
，
所以Z 的分布列为：
Z
0
10
20
30
P
0.08
0.32
0.12
0.48
所以
0 0.08 10 0.32
20 0.12
30 0.48
20
E Z =
´
+
´
+
´
+
´
=
.
结合(1)，因为20
23
27
<
<
，所以甲应该从
,
A B 两类问题中各抽取问题回答.
16．（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球
赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3 次，每次抽中纪念品的概率均为
1
2 ．若前2 次未抽中纪念品，则第3 次无论抽中与否均获得纪念品．
(1)求某球迷恰好获得1 个纪念品的概率；
(2)记x 为某球迷获得第1 个纪念品时的抽奖次数，求x 的数学期望
E x ．
【答案】(1)
1
2
(2) 7
4
【详解】（1）设每次抽中纪念品为事件A ，未抽中为事件A ，且
1
2
P A =
，
1
2
P A =
.
记B 为“恰好获得1 个纪念品”，则有以下可能情况：
第1 次中，第2 次未中，第3 次未中：
1
1
1
1
1
2
2
2
8
P
P A P A P A
=
=
´
´
=
；
第1 次未中，第2 次中，第3 次未中：
2
1
1
1
1
2
2
2
8
P
P A P A P A
=
=
´
´
=
；
第1、2 两次均未中，则第3 次必得：
3
1
1
1
2
2
4
P
P A P A
=
=
´
=
；
所以
1
2
3
1
1
1
1
8
8
4
2
P B
P
P
P
=
+
+
=
+
+
=
.
（2）记x 为某球迷获得第1 个纪念品时的抽奖次数，则x 的可能取值为1,2,3.
1
1
2
P x
P A
=
=
=
；
1
1
1
2
2
2
4
P x
P A
P A
=
=
×
=
´
=
；
1
1
1
3
2
2
4
P x
P A
P A
=
=
×
=
´
=
.
分布列
x
1
2
3
p
1
2
1
4
1
4
1
1
1
7
1
2
3
2
4
4
4
E x = ´
+ ´
+ ´
=
.
17．（25-26 高三上·北京顺义·开学考试）近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱
动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机
器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进
行了测试，获得数据如下表：
甲款机器人
乙款机器人
丙款机器人
测试次数
50
100
100
成功次数
20
60
80
假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲款机器人单次送餐成功的概率；
(2)若让这三款机器人分别执行1 次送餐任务，求恰好成功两次的概率；
(3)若让这三款机器人分别执行10 次送餐任务，设成功的次数分别为
1x ，
2x ，
3
x ，直接写出方差
1
Dx ，
2
Dx ，
3
Dx
的大小关系.
【答案】(1) 2
5
(2) 58
125
(3)
3
1
2
D
D
D
x
x
x
<
=
【详解】（1）设甲款机器人单次送餐成功的概率为
1p ，则
1
20
2
50
5
p =
=
；
（2）设乙款机器人单次送餐成功的概率为
2p ，设丙款机器人单次送餐成功的概率为
3p ，
所以
2
3
60
3
80
4
,
100
5
100
5
p
p
=
=
=
=
，
所以恰好成功两次的概率为
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
1
1
p p
p
p
p
p
p
p p
-
+
-
+
-
2
3
1
2
2
4
3
3
4
58
5
5
5
5
5
5
5
5
5
125
=
´
´
+
´
´
+
´
´
=
；
（3）由题意有
1
2
3
2
3
4
10,
,
10,
,
10,
5
5
5
B
B
B
x
x
x
æ
ö
æ
ö
æ
ö
~
~
~
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ，
所以
1
2
3
2
3
12
3
2
12
4
1
8
10
,
10
,
10
5
5
5
5
5
5
5
5
5
D
D
D
x
x
x
=
´
´
=
=
´
´
=
=
´
´
=
，
所以
3
1
2
D
D
D
x
x
x
<
=
.
18．（25-26 高二上·浙江·开学考试）2025 年6 月23 日雷霆队以大比分4:3战胜步行者队捧起奥布莱恩杯.众所周
知，NBA 总决赛采取7 场4 胜制，当两队大比分战成2: 2 ，第5 场比赛被称为“天王山之战”.现假设甲乙两支队伍
闯入NBA 总决赛，首战甲获胜的概率为2
3 ，每场结束后，败方在下一场获胜的概率提高为2
3 ，每场比赛结果相互
独立.
(1)求两场后双方战成1:1的概率；
(2)若首战乙胜，求再战三场双方战至2: 2 后甲在“天王山之战”中获胜的概率；
(3)求甲乙不需要进行第七场比赛的概率.
【答案】(1) 2
3
(2) 2
9
(3) 137
243
【详解】（1）设事件
=
iA
“第i 场比赛甲获胜”，事件
iB = “第i 场比赛乙获胜”，
事件C = “两场后双方战成1：1”，
所以
1
2
1
2
C
A B
B A
=
U
故有
1
2
1
2
2
2
1
2
2
3
3
3
3
3
P C
P A B
P B A
=
+
=
´
+
´
=
.
（2）记所求事件为D ，包含的所有结果：
2
3
4
5
2
3
4
5
2
3
4
5
,
,
B A A A A B A A A A B A
所以
2
3
4
5
2
3
4
5
2
3
4
5
( )
P D
P B A A A
P A B A A
P A A B A
=
+
+
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
9
=
´
´
´
+
´
´
´
+
´
´
´
=
（3）记
iP 为只进行
4,5,6
i i =
场比赛的概率
①只进行四场比赛的结果：
1
2
3
4
1
2
3
4
,
A A A A B B B B 则对应的概率为
4
2 1 1 1
1 1 1 1
1
3 3 3 3
3 3 3 3
27
P =
×
×
×
+
×
×
×
=
②只进行五场比赛甲获胜的结果：
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
,
,
,
B A A A A A B A A A A A B A A A A A B A ，
乙获胜的结果：
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
,
,
,
A B B B B B A B B B B B A B B B B B A B P
3
3
3
3
3
3
5
5
5
5
2
2
2
2
2
1
2
2
2
42
2
3
3
3
2
3
243
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
=
+
+
´
+
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
③只进行六场比赛甲获胜的结果：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
,
,
,
B B A A A A B A B A A A B A A B A A B A A A B A ，
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
,
,
A B B A A A A B A B A A A B A A B A ，
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
,
A A B B A A A A B A B A ，
1
2
3
4
5
6
A A A B B A ，
乙获胜的结果：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
,
,
,
A A B B B B A B A B B B A B B A B B A B B B A B ，
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
,
,
B A A B B B B A B A B B B A B B A B ，
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
,
B B A A B B B B A B A B ，
1
2
3
4
5
6
B B B A A B ，
6 场比赛甲获胜的概率
6
6
6
6
6
2
8
8
8
8
32
32
8
32
8
26
120
146
3
3
3
3
3
P
+ + +
+
+
+ +
+
=
+
=
+
=
对应乙获胜的概率
6
6
6
26
1
120
112
2
3
2
3
3
P =
´
+
´
=
所以
6
6
258
86
3
243
P =
=
综上，甲乙不需要进行第七场比赛的概率为
4
5
6
9
42
86
137
243
243
243
243
P
P
P
+
+
=
+
+
=
1．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）一个体育队有4 名女运动员和3 名男运动员，现从队伍抽样尿检，每次从中抽
选1 个运动员，抽出的运动员不再检查，则在第1 次抽到女运动员的条件下，第2 次抽到男运动员的概率为
（ ）
A．1
6
B．3
10
C．
1
2
D．3
4
【答案】C
【详解】用事件A 表示“第1 次抽到女运动员”，事件B 表示“第2 次抽到男运动员”，
第1 次抽到女运动员包括第1 次女第2 次男：
1
1
3
4
C C
12
=
种，两次均为女
2
4
A
12
=
种，
共12 12
24
+
=
种，
从所有运动员中依次取2 名共有
2
7
A
42
=
种，
则
24
42
P A =
，
12
42
P AB =
，则
12
42
1
42
24
2
P AB
P B A
P A
=
=
´
=
，
则在第1 次抽到女运动员的条件下，第2 次抽到男运动员的概率为
1
2 .
故选：C
2．（25-26 高三上·山东青岛·开学考试）盒中装有3个红球和1个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两人先后从盒
中随机取出1个球，记录颜色后放回．已知两人取出的球颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为（ ）
A．1
16
B．1
12
C．1
10
D．1
9
【答案】C
【详解】记事件
:
A 两人取出的球颜色相同，事件
:
B 两人取出的球同为蓝色，则B
A
Í
，
则
3 3 1 1
10
n A = ´ + ´ =
，
1 1
1
n AB
n B
=
= ´ = ，
由条件概率公式可得
1
10
n AB
P B A
n A
=
=
，
故选：C.
3．（2024·江苏南通·模拟预测）已知A ，B 是样本空间W 中的随机事件，
0
1
P B
<
< ，若
3
8
P A =
，
1
( | )
2
P AB =
，
1
(
|
)
3
P A B =
，则
P B =（ ）
A．1
4
B．1
3
C．
1
2
D．2
3
【答案】A
考点二
条件概率
【详解】因为
1
( | )
2
P AB
P AB
P B
=
=
Þ
1
2
P AB
P B
=
，
1
|
3
P AB
P A B
P B
=
=
Þ
1
1 1
3
3
P AB
P B
P B
é
ù
=
=
-
ë
û .
又
P A
P AB
P AB
=
+
，
所以
1
1
3
1
2
3
8
P B
P B
+
-
=
é
ù
ë
û
Þ
1
4
P B =
.
故选：A
4．（24-25 高二下·重庆沙坪坝·期末）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班
同学中阅读过《红楼梦》的占80%，阅读过《三国演义》的占60% ，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占
95%，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（ ）
A．0.8
B．0.6
C．0.45
D．0.75
【答案】D
【详解】设事件A：阅读过《红楼梦》；事件B：阅读过《三国演义》，
则
0.8,
0.6
P A
P B
=
=
，则
0.95
P A
B =
U
，
而
P A
B
P A
P B
P A
B
=
+
-
U
I
，即
0.95
0.8
0.6
P A
B
=
+
-
I
，
故
0.45
P A
B =
I
，
故
0.45
|
0.75
0.6
P A
B
P A B
P B
Ç
=
=
=
，
即现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为0.75，
故选：D
5．（25-26 高三上·广东·开学考试）某校积极开展社团活动，学期结束时，社团老师对参加社团的同学进行选择性
考核．某社团有小明、小刚等5 位同学参加，现选3 位同学参加考核，则在小明被选中的条件下，小刚被选中的
概率为（ ）
A．1
3
B．
1
2
C．2
5
D．2
3
【答案】B
【详解】设事件A 为“小明被选中参加考核”，事件B 为“小刚被选中参加考核”，
则
2
4
3
5
C
3
C
5
P A =
=
，
1
3
3
5
C
3
C
10
P AB =
=
,
所以
3
1
10
3
2
5
P AB
P B A
P A
=
=
=
,
故选：B .
6．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知随机变量
,
X Y 均服从两点分布，且
1
2
1
,
1
2
3
P X
P Y
=
=
=
=
，若
3
0
5
P XY =
=
，则
1
0
P Y
X
=
=
=
∣
（ ）
A．2
5
B．3
5
C．7
15
D．8
15
【答案】D
【分析】由两点分布分别求得X
0
=
的概率，再
1
0,
1
1,
1
P Y
P X
Y
P X
Y
=
=
=
=
+
=
=
，由求出
0,
1
P X
Y
=
=
，由条件概率公式计算.
【详解】Q随机变量
,
X Y 均服从两点分布，
1
0
1
1
2
P X
P X
\
=
= -
=
=
，
2
1,
1
1
1
0
5
P X
Y
P XY
P XY
=
=
=
=
= -
=
=
，
又
2
2
1
0,
1
1,
1
0,
1
5
3
P Y
P X
Y
P X
Y
P X
Y
=
=
=
=
+
=
=
=
=
=
+
=
Q
，
4
0,
1
15
P X
Y
\
=
=
=
，由条件概率公式
4
0,
1
8
15
1
0
1
0
15
2
P X
Y
P Y
X
P X
=
=
=
=
=
=
=
=
∣
，
故选：D.
7．（25-26 高三上·广东·开学考试·多选）掷一枚质地均匀的骰子，可等可能的得到1~6 点，现投掷一次这枚骰子，
记得到1 点或2 点或3 点为事件A ，事件B ，C 与A 为两两互不相同的随机事件，且
0
P B ¹
，
0
P C ¹
，则
（ ）
A．存在事件B，使得
0
P AB =
B．存在事件C，使得
1
P AC =
C．存在事件B，C，使得
1
2
P C B =
D．存在事件B，C，使得
P ABC
P A
P B
P C
=
×
×
【答案】ACD
【详解】若事件B ：4 点；事件C ：5 点，则事件AB 为不可能事件，则
0
P AB =
，故A 正确；
因事件AC
A
Í
，则
3
1
6
P AC
P A
£
=
< ，故B 错误；
若事件B ：4 点或5 点；事件C ：5 点，则事件BC ：5 点，
则
1
2
P BC
n BC
P C B
P B
n B
=
=
=
，故C 正确；
若事件B ：1 点或2 点或4 点；事件C ：2 点或3 点或5 点或6 点，则事件ABC ：2 点，
则
3
1
6
2
P A =
=
，
3
1
6
2
P B =
=
，
4
2
6
3
P C =
=
，
1
6
P ABC =
，
则
P ABC
P A
P B
P C
=
×
×
，故D 正确.
故选：ACD
8．（23-24 高二下·云南丽江·期末·多选）已知甲口袋中装有3 个红球，1 个白球，乙口袋中装有2 个红球，1 个白
球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出1 个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1 个球．记从甲口
袋中取出的球是红球、白球分别为事件
1A 、
2
A ，从乙口袋中取出的球是红球为事件B ，则下列结论正确的有
（ ）
A．
2
3
4
P A
=
B．
2
1
2
P B A
=
C．
1
9
16
P A B =
D．
2
2
11
P A B =
【答案】BCD
【详解】对于A，由于甲口袋中装有4 个球，其中有1 个白球，所以
2
1
4
P A
=
，故A 错误；
对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2 个红球，2 个白球，
从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为
2
1
2
P B A
=
，故B 正确；
对于C，由于甲口袋中装有4 个球，其中有3 个红球，所以
1
3
4
P A
=
，
若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3 个红球，1 个白球，
从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为
1
3
4
P B A
=
，
所以
1
1
1
3
3
9
(
)
4
4
16
P A B
P B A P A
=
=
´
=
，故C 正确；
对于D，结合以上分析，
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
(
) (
)
(
)
2
2
4
3
3
1
1
( )
(
) (
)
(
) (
)
11
4
4
2
4
P B A P A
P A B
P A B
P B
P B A P A
P B A P A
´
=
=
=
=
+
´
+
´
，故D 正确.
故选：BCD.
9．（2025·江苏南通·模拟预测·多选）某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6 位男生，4 位女生进入
决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A 表示“第一位出场的是女生”，事件B 表示“第二位出场的是女生”，则
（ ）
A．
3
5
P AB =
B．
1
3
|
P B A =
C．
P A
P B
=
D．
4
5
P A
B
+
=
【答案】BC
【分析】根据题意求解概率，即可结合条件概率以及并事件的概率公式求解.
【详解】由题意可得
4
2
4 3
6 4
2
,
10
5
10 9
5
P A
P B
´ + ´
=
=
=
=
´
，故C 正确，
4 3
2
10 9
15
P AB
´
=
=
´
，则
1
|
3
P AB
P B A
P A
=
=
，故B 正确，A 错误，
2
2
2
2
( )
( )
(
)
5
5
15
3
P A
B
P A
P B
P AB
+
=
+
-
=
+
-
=
，故D 错误，
故选：BC
10．（25-26 高三上·江苏镇江·开学考试）若
0.4,
0.6,
0.5
P A
P B
P B A
=
=
=
∣
，则
P A B =
∣
.
【答案】1
3
【详解】由
0.4,
0.6,
0.5
P A
P B
P B A
=
=
=
∣
，得
0.5
P AB
P B A
P A
=
=
∣
,
即
0.4
0.5
0.2
P AB
P A P B A
=
=
´
=
∣
，
故
0.2
1
0.6
3
P AB
P A B
P B
=
=
=
∣
,
故答案为：1
3
11．（25-26 高三上·江苏·开学考试）已知
0.6,
0.5,
0.2
P A
P B
P AB
=
=
=
，则
(
)
P A B =
∣
.
【答案】4
5 /0.8
【详解】因为
0.6,
0.5,
0.2
P A
P B
P AB
=
=
=
，
所以
1 0.5
0.5,
0.6
0.2
0.4
P B
P AB
P A
P AB
= -
=
=
-
=
-
=
，
故
(
)
0.4
4
(
)
( )
0.5
5
P AB
P A B
P B
=
=
=
∣
，
故答案为：4
5
12．（25-26 高三上·天津红桥·开学考试）袋中大小相同的3 个红球，5 个白球，从中不放回地依次摸取2 球，在已
知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是
．
【答案】4
7
【详解】设事件A 为第一次取出白球，事件B 为第二次取出白球，
因袋中一共有8 个球，第一次取出白球的概率
5
8
P A =
，此时袋中还剩下7 个球，其中白球4 个，
那么第一次和第二次都取出白球的概率为
5
4
5
8
7
14
P AB =
´
=
，
由条件概率公式，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是
5
5
8
4
14
P
|
5
14
5
7
8
P AB
B A
P A
=
=
=
´
=
.
故答案为：4
7
13．（25-26 高三上·天津东丽·开学考试）某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过
初赛，共7 人进入决赛，其中高一年级2 人，高二年级3 人，高三年级2 人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设
事件A 为“高一年级2 人不相邻”，事件B 为“高二年级3 人相邻”，则
P B A =
.
【答案】3
25 /0.12
【详解】由题意，先将高二和高三年级的5 个人全排列，有
5
5
A 种排法，将高一年级2 人进行插空，有
2
6
A 种排法，
所以事件A “高一年级2 人不相邻”的排法有
5
2
5
6
A
A
3600
n A =
´
=
种排法.
将高二年级3 人进行全排列，有
3
3
A 种排法，再将高二年级3 人看作一个整体，和高三年级的2 人进行全排列，有
3
3
A 种排法，
排好后，将高一年级的2 人进行插空，有
2
4
A 种排法，所以事件A
B
Ç
共有
3
3
2
3
3
4
A
A
A
432
´
´
=
种排法.
所以，
432
3
3600
25
n AB
P B A
n A
=
=
=
.
故答案为：3
25 .
14．（24-25 高二下·河北秦皇岛·期中）溺水是指人淹没于水或其他液体中，水与污泥、杂草等物堵塞呼吸道和肺
泡，或因咽喉、气管发生反射性痉挛，引起窒息和缺氧，肺泡失去通气、换气功能，使机体处于危急状态，由此
导致呼吸、心搏停止而致死亡.某校为了普及防溺水安全教育知识，在全校组织了一次防溺水安全教育知识竞赛，
经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3 人）进入了决赛.规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10 分，
答错者得0 分.假设甲队中3 人答对的概率分别为3 3 1
,
,
4 4 2 ，乙队中每人答对的概率均为2
3 ，且各人回答正确与否相
互之间没有影响.
(1)记随机变量X 为甲队的总得分，求X 的分布列和数学期望；
(2)在甲、乙两队总得分之和等于30 分的条件下，求甲队得分不低于乙队得分的概率.
【答案】(1)分布列见解析，期望为20
(2) 99
191
【详解】（1）X 的所有可能取值为0，10，20，30，
2
3
1
1
1
1
0
1
1
4
2
16 2
32
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
-
×
-
=
×
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
2
3
3
1
3
1
3 1
1
1
7
10
2
1
1
1
4
4
2
4
2
8 2
16 2
32
P X
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
=
×
-
×
×
-
+
-
×
=
×
+
×
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
2
3
1
1 3
3
9
1
3 1
15
20
1
2
1
4
2
2 4
4
16 2
4 4
32
P X
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
=
×
-
+ ×
×
×
-
=
×
+
×
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
2
3
1
9
1
9
30
4
2
16 2
32
P X
æ
ö
=
=
×
=
×
=
ç
÷
è
ø
，
所以X 的分布列为：
X
0
10
20
30
P
1
32
7
32
15
32
9
32
X 的数学期望为
1
7
15
9
70
300
270
0
10
20
30
20
32
32
32
32
32
E X
+
+
=
×
+
×
+
×
+
×
=
=
；
（2）设甲、乙两队总得分之和等于30 分为事件A ，甲队得分不低于乙队得分为事件B ，
设随机变量X 为甲队的总得分，随机变量Y 为乙队的总得分，随机变量Z 为甲、乙两队总得分之和，
则Z
X
Y
=
+
，
而X 的所有可能取值为0，10，20，30，Y 的所有可能取值为0，10，20，30，
由题意
30
Z
X
Y
=
+
=
，
30
X
Y
Y
=
-
³
，
所以
15
Y £
，由（1）知，
15
20
32
P X =
=
，
9
30
32
P X =
=
，
则
0,
30
10,
20
P AB
P Y
X
P Y
X
=
=
=
+
=
=
3 0
0
3 1
1
0
1
3
3
2
2
9
2
2
15
C
1
C
1
3
3
32
3
3
32
-
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
×
+
-
×
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
1
9
6
15
1
10
11
27 32
27 32
96
96
96
=
×
+
×
=
+
=
，
0,
30
10,
20
20,
10
30,
0
P
P
P Y
X
P Y
X
P Y
X
A
X
Y
=
=
+
=
=
+
=
=
=
+
=
=
3 2
3 3
3
3
2
3
2
3
7
2
11
2
2
2
2
1
C
1
C
1
96
3
3
32
3
3
3
-
-
æ
ö
=
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
-
×
+
-
×
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
11
12
1
99
84
8
191
96
27 32
27 32
864
864
7
8
+
+
=
+
×
+
×
=
=
，
故所求为
11
99
96
|
191
191
864
P AB
P B A
P A
=
=
=
.
15．（25-26 高三上·天津·阶段练习）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3 面小红旗.一局比赛后输者需给赢者
一面小红旗，若是平局不需要给小红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6 面小红旗者最终获胜，根据以
往的两人比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的概率为0.5，乙胜的概率为0.4．
(1)若第一局比赛后甲的小红旗个数为X，求X 的分布列和数学期望；
(2)若比赛一共进行五局，求第一局是乙胜的条件下，甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）．
【答案】(1)分布列见解析，期望为3.1；
(2)0.48
【详解】（1）X 的可能取值为2,3,4，
2
0.4
P X =
=
，
3
1 0.5
0.4
0.1
P X =
= -
-
=
，
4
0.5
P X =
=
，
故分布列如下：
X
2
3
4
P
0.4
0.1
0.5
数学期望为
2 0.4
3 0.1 4 0.5
3.1
EX =
´
+ ´
+ ´
=
；
（2）设比赛一共进行五局，第一局是乙胜为事件A ，
比赛一共进行五局，甲最终获胜为事件B ，
则事件AB 表示第一局乙胜，剩下四局均为甲胜，
其中事件A 包含三种情况，①第二，三，四局中，乙胜一局，平两局，第五局乙胜，
②第二，三局中，乙胜一局，甲胜一局，第四，五局乙胜，③第二，三，四，五局甲胜，
则
2
2
4
2
1
3
2
0.4 C
0.1
0.4 0.4
0.4 C
0.4 0.5
0.4
0.4
0.5
0.05252
P A =
´
´
´
+
´
×
´
´
+
´
=
，
其中
4
0.4
0.5
0.025
P AB =
´
=
，
故
0.025
0.48
0.05252
P AB
P B A
P A
=
=
»
16．（25-26 高三上·浙江·开学考试）某商场推出购物抽奖活动，盒子里放有10 个相同小球，其中4 个红球，6 个
蓝球，顾客从盒中不放回地抽取3 个球，若恰好抽到3 个红球为一等奖，奖金为100 元，恰好抽到2 个红球为二
等奖，奖金为50 元，其余不设奖.
(1)在抽取的前两个球为1 个红球1 个蓝球的条件下，则该次抽奖获得二等奖概率是多少？
(2)求抽奖一次获得奖金的期望.
【答案】(1) 3
8
(2) 55
3
【详解】（1）在抽取的前两个球为1 个红球1 个蓝球的条件下，
要使该次抽奖获得二等奖，则抽取的第3 个球一定为红球，
而此时总共有8 个球，其中有3 个红球，5 个蓝球，
因此，在抽取的前两个球为1 个红球1 个蓝球的条件下，该次抽奖获得二等奖概率是3
8 .
（2）设抽奖一次获得奖金为X ，则X 的取值为0,50,100，
所以
3
4
3
10
C
1
100
C
30
P X =
=
=
，
2
1
4
6
3
10
C C
3
50
C
10
P X =
=
=
，
则
1
3
2
0
1
100
50
1
30
10
3
P X
P X
P X
=
= -
=
-
=
= -
-
=
，
则
1
3
2
55
100
50
0
30
10
3
3
E X =
´
+
´
+ ´
=
.
17．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）一批零件共有12 件，其中有3 件次品，现不放回地随机抽取4 件进行检
验.
(1)求抽到的次品数X 的分布列；
(2)若已知抽到的4 件中至少有1 件次品，求恰好有2 件次品的概率.
【答案】(1)分布列见解析
(2)12
41
【详解】（1）X 的可能取值为0,1,2,3，
0
4
1
3
3
9
3
9
4
4
12
12
C C
C C
14
28
0
,
1
C
55
C
55
P X
P X
=
=
=
=
=
=
，
2
2
3
1
3
9
3
9
4
4
12
12
C C
C C
12
1
2
,
3
C
55
C
55
P X
P X
=
=
=
=
=
=
，
故X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
14
55
28
55
12
55
1
55
（2）记事件A = “抽到的4 件中至少有1 件次品”，事件B = “恰好有2 件次品”，
12
2
12
55
14
1
41
1
55
P AB
P X
P B A
P A
P X
=
\
=
=
=
=
³
-
∣
，
故已知抽到的4 件中至少有1 件次品，恰好有2 件次品的概率为12
41 .
18．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）一批零件共有12 件，其中有3 件次品，现不放回地随机抽取4 件进行检
验．
(1)求抽到的次品数X 的分布列；
(2)若已知抽到的4 件中至少有1 件次品，求恰好有2 件次品的概率．
【答案】(1)分布列见解析
(2)12
41
【详解】（1）由题意，次品数X 的可能取值为0,1,2,3，
则
0
4
3
9
4
12
C C
14
0
C
55
P X =
=
=
，
1
3
3
9
4
12
C C
28
1
C
55
P X =
=
=
，
2
2
3
9
4
12
C C
12
2
C
55
P X =
=
=
，
3
1
3
9
4
12
C C
1
3
C
55
P X =
=
=
.
故X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
14
55
28
55
12
55
1
55
（2）记事件A = “抽到的4 件中至少有1 件次品”，事件 B = “恰好有2 件次品”，
则
12
2
12
55
14
1
41
1
55
P AB
P X
P B A
P A
P X
=
=
=
=
=
³
-
.
1．（24-25 高二下·湖南株洲·期中）某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采
纳的概率为8
9 ，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为1
3 ．已知输入的问题表达不清晰的
概率为1
4 ．则智能客服的回答被采纳的概率为（ ）
A．2
3
B．3
4
C．4
5
D．5
6
【答案】B
【详解】设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件B ，
则
1
3
1
4
4
P A = -
=
，
1
4
P A =
，
8
(
|
)
9
P B A =
，
1
|
3
P B A =
，
根据全概率公式，
3
8
1
1
3
(
|
)
|
4
9
4
3
4
P B
P A P B A
P A P B A
=
+
=
´
+
´
=
．
故选：B．
2．（2025·湖南湘潭·一模）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级
中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现
从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ）
A．0.35
B．0.32
C．0.45
D．0.36
【答案】A
【详解】设事件A 表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件
1
2
3
,
,
B B B 分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年
级”，
∵三个年级的教师人数之比为3:3:4，
∴
1
2
3
3
3
3
3
4
4
,
,
3
3
4
10
3
3
4
10
3
3
4
10
P B
P B
P B
=
=
=
=
=
=
+ +
+ +
+ +
，
∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，
∴
1
2
3
(
|
)
40%
0.4
(
|
)
30%
0.3
(
|
)
35%
0.35
P A B
P A B
P A B
=
=
=
=
=
=
，
，
,
根据全概率公式
1
1
2
2
3
3
3
3
4
(
|
)
(
|
)
(
|
)
0.4
0.3
0.35
0.12
0.09
0.14
0.35
10
10
10
P A
P B P A B
P B
P A B
P B
P A B
=
+
+
=
´
+
´
+
´
=
+
+
=
，
故选：A.
3．（25-26 高三上·湖南长沙·阶段练习）两兄弟玩一种自定义游戏赢礼物，约定先由弟弟掷一枚质量均匀的骰子，
若弟弟掷出的点数为6，则获得礼物；若掷出其他点数，则记下该点数（假设为k ），然后从哥哥开始两人轮流掷
这枚骰子，直至任意一方掷出点数k 或者6，该游戏结束.若掷出的是k ，则弟弟获得礼物；若掷出的是6，则哥哥
考点三
全概率公式与贝叶斯公式
获得礼物.该游戏中弟弟能获得礼物的概率为（ ）
A．5
24
B．5
12
C．3
8
D．7
12
【答案】D
【详解】第一次掷骰子的概率：掷出的点数为6，概率为1
6 ，弟弟获得礼物；掷出的点数不为6，概率为5
6 ，记下
点数
1,2,3,4,5
k k =
，进入后续阶段.
后续阶段的概率：设哥哥掷骰子时弟弟获得礼物的概率为p ，弟弟掷骰子时弟弟获得礼物的概率为q .
若哥哥掷骰子：掷出k ，概率为1
6 ，弟弟获得礼物；掷出6，概率为1
6 ，哥哥获得礼物；其他点数，概率为4
6 ，轮
到弟弟掷骰子，此时概率为q ，有
1
1
4
1
0
6
6
6
p
q
=
´ +
´ +
，①
若弟弟掷骰子：掷出k ，概率为1
6 ，弟弟获得礼物；掷出6：概率为1
6 ，哥哥获得礼物；其他点数，概率为4
6 ，轮
到哥哥掷骰子，此时概率为p ，有
1
1
4
1
0
6
6
6
q
p
=
´ +
´ +
，②
联立①②两式，可得
1
2
p
q
=
=
，即后续阶段弟弟获得礼物的概率为5
1
5
6
2
12
´
=
，则该游戏中弟弟能获得礼物的概率
为1
5
7
6
12
12
+
=
.
故选：D.
4．（24-25 高三上·四川德阳·阶段练习）某汽车4S 店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100 辆
进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S 店购买了一台
此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（ ）
A．2：3：5
B．10：12：5
C．5：12：10
D．5：4：1
【答案】B
【详解】设事件
1,2,3
iA i =
分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，
则
1
2
3
5
4
1
,
,
10
10
10
P A
P A
P A
=
=
=
，
事件 B 表示智驾出现故障，
则由全概率公式得
1
1
2
2
3
3
P B
P A P B A
P A
P B A
P A
P B A
=
+
+
（）
∣
∣
∣
5
2
4
3
1
5
27
10
100
10
100
10
100
1000
=
´
+
´
+
´
=
，
由贝叶斯公式得
1
1
1
10
27
P A P B A
P A B
P B
=
=
∣
∣
（）
，
2
2
2
12
27
P A
P B A
P A
B
P B
=
=
∣
∣
（）
，
3
3
3
5
27
P A
P B A
P A
B
P B
=
=
∣
∣
（）
，
所以甲乙丙要承担的责任比为1012 5
：：.
故选：B.
5．（25-26 高二上·陕西西安·开学考试）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的
200 名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查
中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如
实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，
回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（ ）
A．0.035
B．0.14
C．0.10
D．0
【答案】B
【详解】抛掷两枚骰子，基本事件有6 6
36
´
=
个，其中和为偶数的基本事件有
1
1
1
1
3
3
3
3
C
C
C
C
18
×
+
×
=
个，和为奇数的
基本事件有36 18
18
-
=
个.
所以学生回答第一、第二个问题的概率均为
1
2 .
第一个问题中，第一颗骰子的点数比第二颗大的概率为15
5
36
12
=
.
设该地区中学生吸烟人数的比例约为p ，
由题意：
1
5
1
200
57
2
12
2 p
æ
ö
´
+
=
ç
÷
è
ø
，解得
0.14
p »
.
结合选项，最接近的是0.14 （选项B）
故选：B
6．（24-25 高二下·新疆乌鲁木齐·期末·多选）已知某工厂甲、乙，丙三个车间同时生产同种元器件：甲、乙、丙车
间一天生产的元器件个数分别为600、300、100 件，且生产中造成的次品率分别为3%、2%、1%；现在在这三个
车间生产的产品中任意取一件产品质检，下列叙述正确的有（ ）
A．此件产品是次品的概率为0.02
B．此件产品是次品的概率为0.025
C．此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率是来自于乙车间概率的2 倍
D．此件产品是次品的情况下，此件产品来自于丙车间的概率为0.04.
【答案】BD
【详解】对于AB，该产品是次品的概率为60% 3%
30% 2% 10% 1%
2.5%
0.025
´
+
´
+
´
=
=
， A 错误，B 正确；
对于C，此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率
1
60% 3%
0.025
P
´
=
，
来自于乙车间的概率
2
30% 2%
0.025
P
´
=
，则
1
2
3
P
P = ，C 错误；
对于D，此件产品是次品的情况下，来自于丙车间的概率
3
10% 1%
0.04
0.025
P
´
=
=
，D 正确.
故选：BD
7．（24-25 高二下·云南·期末·多选）
,
,
,
,
A B C D E 五人进行丢骰子游戏，最后统计每人所丢骰子的点数之和，点数
之和最大的获胜．已知每人每次丢完后都等可能地随机传向另外4 人中的1 人．第1 次由A 将骰子传出，记第n
次传骰子之后骰子在D 或E 手上的概率为
na ，记第n 次传骰子之后骰子在C 手上的概率为
nb ，则（ ）
A．
1
1
2
a =
B．
2
1
3
a =
C．
1
1
1
2
10
4
5
n
na
-
æ
ö
=
´ -
+
ç
÷
è
ø
D．
1
1
1
1
20
2
5
n
nb
-
æ
ö
=
´ -
+
ç
÷
è
ø
【答案】AC
【详解】由题意可得，第1 次由A 将骰子传出，传到D 或E 手上的概率为
1
1
2
a =
，故A 正确；
设第
*
1
2,
n
n
n
-
³
ÎN
次传到D 或E 手上的概率为
1
na - ，则n 次传到D 或E 手上的概率为
na ，
则
1
1
1
1 1
4
2
n
n
n
a
a
a
-
-
=
+
-
，即
1
1
1
4
2
n
n
a
a -
= -
+
，
因为
1
2
1
2
5
4
5
n
n
a
a -
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
è
ø ，
所以数列
2
5
na
ì
ü
-
í
ý
î
þ 是以1
10 为首项，
1
4
-
为公比的等比数列，
所以
1
2
1
1
5
10
4
n
na
-
æ
ö
-
=
´ -
ç
÷
è
ø
，即
1
1
1
2
10
4
5
n
na
-
æ
ö
=
´ -
+
ç
÷
è
ø
，故C 正确；
当
2
n =
时，
2
1
1
2
3
10
4
5
8
a
æ
ö
=
´ -
+
=
ç
÷
è
ø
，故B 错误；
同理第
*
1
2,
n
n
n
-
³
ÎN
次传到C 手上的概率为
1
nb - ，则n 次传到C 手上的概率为
nb ，
则
1
1
1
0
1
4
n
n
n
b
b
b
-
-
=
´ +
-
´
，即
1
1
1
4
4
n
n
b
b -
= -
+
，
因为
1
1
4
b =
，
1
1
1
1
5
4
5
n
n
b
b -
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
è
ø，
所以数列
1
5
nb
ì
ü
-
í
ý
î
þ 是以1
20 为首项，
1
4
-
为公比的等比数列，
所以
1
1
1
1
5
20
4
n
nb
-
æ
ö
-
=
´ -
ç
÷
è
ø
，即
1
1
1
1
20
4
5
n
nb
-
æ
ö
=
´ -
+
ç
÷
è
ø
，故D 错误.
故选：AC
8．（24-25 高二下·甘肃兰州·期末·多选）某比赛共进行
2n n
+
ÎN
局，每局比赛没有平局，2n 局比赛结束后赢得n
局以上的一方获胜．甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p ，每局比赛的结果相互独立，记甲在该
比赛中获胜的概率为
2n
P ，下列结论正确的是（ ）
A．若
1
3
p =
，则
2
4
P
P
=
B．若
1
6
p =
，则当2
2
n =
时，
2n
P 最大
C．若
5
6
p =
，则当2
2
n =
时，
2n
P 最小
D．若
7
16
p =
，则当2
6
n =
时，
2n
P 最大
【答案】ABC
【详解】对于A，
2
2
1
1
( )
3
9
P =
=
，
1
3
4
4
4( )
( )
1
2
1
1
C
3
3
3
9
P =
×
+
=
，
2
4
P
P
=
，A 正确；
当
2
n ³
时，记事件A = “甲在该比赛中获胜”，B = “第一局甲赢”，C = “第二局甲赢”，
2
( )
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
(
))
n
P
P A
P BC P A BC
P BC P A BC
P BC P A BC
P BC P A BC
=
=
+
+
+
，
当事件BC 和BC 发生时，要使得甲在该比赛中获胜，则在后续的2
2
n -
局比赛中
至少要赢n 局，则
2
2
(
)
(
)
n
P A BC
P A BC
P
-
=
=
；
当事件BC 发生时，要使得甲在该比赛中获胜，则在后续的2
2
n -
局比赛中赢的局数
大于
1
n - 或恰好赢了
1
n - 局，因此
1
1
1
2
2
2
2
(
)
C
(1
)
n
n
n
n
n
P A BC
P
p
p
-
-
-
-
-
=
+
-
；
当事件BC 发生时，要使得甲在该比赛中获胜，则在后续的2
2
n -
局比赛中赢的局数大于n ，
可看成事件“在后续的2
2
n -
局比赛中赢的局数大于
1
n - ”与事件“在后续的2
2
n -
局比赛中
恰好赢了n 局”的差事件，所以
2
2
2
2
2
(
)
C
(1
)
n
n
n
n
n
P A BC
P
p
p
-
-
-
=
-
-
，
则
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 (1
)
[
C
(1
)
]
(1
) [
C
(1
)
]
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
p
p P
p P
p
p
p
P
p
p
-
-
-
-
-
-
-
-
-
=
-
+
+
-
+
-
-
-
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
[2 (1
)
(1
) ]
C
(1
)
C
(1
)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
p
p
p
p
P
p
p
p
p
-
+
-
-
-
-
=
-
+
+
-
+
-
-
-
1
2
2
(
(2
2)!
1
)
(
1) 1
)]
!
[
1)!
(
(
n
n
n
n
P
p
p
np
n
p
n n
-
-
-
=
+
-
-
-
-
-
1
2
2
(2
2)!
(1
)
1
(1 2 )
!(
1)!
n
n
n
n
P
p
p
p
p n
n n
-
-
-
=
+
-
-
-
-
-
，
即
1
2
2
2
(2
2)!
1
)
1
(1 2 ) ]
!(
1)!
(
[
n
n
n
n
n
P
P
p
p
p
p n
n n
-
-
-
-
=
-
-
-
-
-
，
对于B，若
1
6
p =
，则
5
1
(1 2 )
6
2
n
p
p n
-
-
-
=
-
，当
2
n ³
时，5
0
6
2
n
-
<
，即
2
2
2
0
n
n
P
P
-
-
<
，
则当2
2
n =
时，
2n
P 最大，B 正确；
对于C，若
5
6
p =
，则
1
2
1
(1 2 )
6
3
n
p
p n
-
-
-
=
+
，当
2
n ³
时，1
2
0
6
3
n
+
>
，即
2
2
2
0
n
n
P
P
-
-
>
，
则当2
2
n =
时，
2n
P 最小，C 正确；
对于D，若
7
16
p =
，则
9
1
(1 2 )
6
8
1
1
p
p n
n
-
-
-
=
-
，当
4
n £
时，
0
1
9
16
8 n
-
>
，当
5
n ³
时，
0
1
9
16
8 n
-
<
，
即当
4
n £
时，
2
2
2
n
n
P
P
-
>
，当
5
n ³
时，
2
2
2
n
n
P
P
-
<
，则当2
8
n =
时，
2n
P 最大，D 错误.
故选：ABC
9．（24-25 高二下·福建三明·阶段练习）有3 台车床加工同一型号的零件，第1 台加工的次品率为6%，第2，3 台
加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3 台车床加工的零件数分别占总数的25%，
30%， 45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，取到的零件是次品，且是第3 台车床加工的概率为
【答案】3
7
【详解】记
iA 为事件“零件为第
1,2,3
i i =
台车床加工”，B 事件“任取一个零件为次品”，
则
1
0.25
P A
=
，
2
0.3
P A
=
，
3
0.45
P A
=
，
1
2
3
|
0.06,
|
|
0.05
P B A
P B A
P B A
=
=
=
，
所以
1
1
2
2
3
3
P B
P B A P A
P B A
P A
P B A
P A
=
+
+
0.25 0.06
0.3 0.05
0.45 0.05
=
´
+
´
+
´
0.0525
=
，
所以取到的零件是次品，且是第3 台车床加工的概率为：
3
3
3
3
P B A
P A
P A B
P A B
P B
P B
=
=
0.45 0.05
3
0.0525
7
´
=
=
.
故答案为：3
7 .
10．（25-26 高三上·安徽蚌埠·开学考试）现有
*
2,
N
n n
n
>
Î
个箱子，每个箱子均有
30
n +
个小球，第
1,2,3,
,
k k
n
=
个箱子中有
10
k +
个白球，其余为黑球，在这n 个箱子中任取一个箱子，再从该箱子中依次选出
3 个小球，若第3 次选出的小球恰为黑球的概率是8
13 ，则n = ．
【答案】9
【详解】记“选到第k 个箱子”为事件
1,2,3,
,
kA
k
n
=
，
“从箱子中依次选出3 个小球且第3 个小球是黑球”为事件B ，则
1
k
P A
n
=
，
每个箱子均有
30
n +
个小球，第k 个箱子中有
10
k +
个白球和
20
n
k
-
+
个黑球，
又因为从箱子中依次选出3 个小球，每次选到黑球的概率相等，
所以第3 次选出的小球恰为黑球和第1 次选出的小球为黑球的概率都是
20
30
k
n
k
P B A
n
-
+
=
+
∣
，
由全概率公式，
1
1
1
20
(
|
)
30
n
n
k
k
k
k
n
k
P B
P A
P B A
n
n
=
=
-
+
æ
ö
=
=
×
ç
÷
+
è
ø
å
å
1
(
19
20)
(
20)
39
8
2
(
30)
(
30)
2(
30)
13
n
k
n n
n
k
n
n n
n n
n
=
+
+
-
+
+
=
=
=
=
+
+
+
å
,
解得
9
n =
．
故答案为：9.
11．（24-25 高二下·湖北武汉·期末）A、B 两个箱子中各装有3 个产品，其中A 箱子中是2 个正品和1 个次品，B
箱子中是3 个次品.现从A、B 两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，重复n 次这样的操作，记A 箱子中正
品个数为
n
X ，恰有2 个正品的概率为
np ，恰有1 个正品的概率为
nq ，则
2p =
，
n
X 的数学期望
n
E X
=
.（用n 表示）
【答案】
7
27
1
1
3
n
æ
ö +
ç
÷
è
ø
【详解】经过第一次操作得：
1
1
3
p =
，
1
2
3
q =
，
经过第二次操作得：
2
1
1
1
2
1
7
3
3
3
27
p
p
q
=
+
´
=
；
2
1
1
2
2
2
1
1
16
3
3
3
3
3
27
q
p
q
æ
ö
=
+
´
+
´
=
ç
÷
è
ø
.
根据全概率公式可知：
1
1
2
1
1
2
3
3
3
3
9
n
n
n
n
n
p
p
q
p
q
+ =
+
´
=
+
，
1
2
2
2
1
1
2
1
2
1
3
3
3
3
3
3
9
3
n
n
n
n
n
n
q
p
q
p
q
q
+
æ
ö
=
+
´
+
´
+
-
-
= -
+
ç
÷
è
ø
，
两式相加可得
1
1
2
1
2
1
2
2
2
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
n
p
q
p
q
p
q
+
+
+
=
+
+
=
+
+
，
则：
2
n ³
，
*
N
nÎ
时，
1
1
1
2
2
2
3
3
n
n
n
n
p
q
p
q
-
-
+
=
+
+
，
所以，
1
1
1
2
2
3
1
1
n
n
n
n
p
q
p
q
-
-
+
+
=
-
-
，
因为
1
1
1
2
1
3
p
q
+
- =
，数列
2
1
n
n
p
q
+
-
是首项为1
3 ，公比为1
3 的等比数列，
所以
1
2
1
3
n
n
n
p
q
æ
ö
+
- = ç
÷
è
ø
，即
1
2
1
3
n
n
n
p
q
æ
ö
+
=
+
ç
÷
è
ø
，
所以
1
2
0
1
1
3
n
n
n
n
n
n
E X
p
q
p
q
æ
ö
=
+
+ ´
-
-
=
+
ç
÷
è
ø
.
故答案为：①
2
7
27
p =
；②1
1
3
n
æ
ö +
ç
÷
è
ø
.
12．（25-26 高三上·北京·开学考试）某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在
某市随机调查了300 名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）．
车型
低收入群体（< 20 万/
年）
中收入群体（20 万/年-50
万/年）
高收入群体（>50 万/
年）
愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
EV
70
30
70
50
40
40
PHEV
20
80
60
60
60
20
假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率．
(1)从该市全体消费者中随机抽取1 人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率p ；
(2)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2 人，记X 为这4 人中愿意购买插电混动版（PHEV）的
人数，求X 的分布列和数学期望
E X ；
(3)假设该市C 社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为3:1:1，从C 社区的全体消费者中随机抽取1
人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为
A
p ，试比较
A
p 与p 的大小．
【答案】(1) 3
5
(2)分布列见解析，5
2
(3)
A
p
p
>
【详解】（1）由表可知300 名调查者中愿意购买纯电动版人数为180 人，频率为180
3
300
5
=
，
用频率估计概率，从顾客中随机抽取1 人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为3
5 ；
（2）用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1 人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率估计
60
1
60
60
2
=
+
，从全市高收入群体中随机抽取1 人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率
60
3
60
20
4
=
+
，
由题意X 的可能取值为0，1，2，3，4
2
2
1
3
1
0
1
1
2
4
64
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
-
´
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
2
2
2
1
1
2
2
1
3
1
3
3
1
1
C
1
C
1
2
4
2
4
4
8
P X
æ
ö æ
ö
æ
ö æ
ö
=
=
-
+
-
´
=
ç
÷ ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
è
ø è
ø
，
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
3
1
3 3
1
3
11
2
1
C
C
1
2
4
2
4 4
2
4
32
P X
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
=
´
-
+
-
+
´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
´
．
2
2
2
1
1
2
2
1
3
3
1
3
3
3
C
1
C
2
4
4
2
4
8
P X
æ
ö
æ
ö
æ
ö æ
ö
=
=
´
-
´
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø è
ø
2
2
1
3
9
4
2
4
64
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
1
64
1
8
11
32
3
8
9
64
1
1
11
3
9
5
0
1
2
3
4
64
8
32
8
64
2
E X =
´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
．
（3）低收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为70
7
100
10
=
；
中收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为70
7
120
12
=
；
高收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为40
1
80
2
=
．
利用全概率公式可得：
3
7
1
7
1
1
191
3
5
10
5
12
5
2
300
5
A
p
p
=
´
+
´
+
´
=
>
=
．
13．（2025·广东·模拟预测）在数字通信中，信号是由数字0 和1 组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素
的干扰，发送的信号0 或1 有可能被错误地接收为1 或0.发送0 时，收到1 的概率为
0
1
a
a
<
<
，收到0 的概率
为1 a
-
；发送1 时，收到0 的概率为
0
1
b
b
<
<
，收到1 的概率为1
b
-
.假设发送信号0 和1 是等可能的.
(1)若
0.1
a =
，
0.05
b =
，求接收的信号为0 的概率；
(2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1 次，三次传输是指每个信号重复发
送3 次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出
现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
（i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1 的概率；
（ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由.
【答案】(1)0.475
(2)（i）
2
1
b
b
-
；（ii）答案见解析
【详解】（1）设A = “发送的信号为0”，B = “接收的信号为0”，
则A = “发送的信号为1”，B = “接收的信号为1”.
由题意可得
0.5,
1 0.1
0.9,
0.05
P A
P A
P B A
P B A
=
=
= -
=
=
∣
∣
.
0.5 0.9
0.5 0.05
0.475.
P B
P AB
AB
P A P B A
P A P B A
=
È
=
+
=
´
+
´
=
∣
∣
（2）（i）三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，
此时依次收到1，0，1 的概率为
2
1
1
1
.
P
b b
b
b
b
=
-
-
=
-
（ii）记三次传输，发送1，依次收到0，1，1 为
1
M ，依次收到1，0，1 为
2
M ，
依次收到1，1，0 为
3
M ，依次收到1，1，1 为
4
M ，且事件
1
2
3
4
,
,
,
M M
M
M 相互互斥.
2
1
2
3
1
.
P M
P M
P M
b
b
=
=
=
-
3
4
1
.
P M
b
=
-
对于三次传输，记发送1，译码为1 为事件M ，
2
3
2
1
2
3
4
3
1
1
1
1
2
.
P M
P M
P M
P M
P M
b
b
b
b
b
=
+
+
+
=
-
+
-
=
-
+
记单次传输发送1，译码为1 为事件N ，则
1
P N
b
= -
.
2
1
1
2
1
1
1 2
.
P M
P N
b
b
b
b
b
b
-
=
-
+
-
-
=
-
-
因为0
1
b
<
< ，所以
0,1
0
b
b
>
-
>
.
当
1
0
2
b
<
<
时，有
0
P M
P N
-
>
，即
P M
P N
>
，此时选用三次传输方案.
当
1
2
b =
时，有
0
P M
P N
-
=
，即
P M
P N
=
，选用哪种传输方案都可以.
当1
1
2
b
<
< 时，有
0
P M
P N
-
<
，即
P M
P N
<
，此时选用单次传输方案.
14．（25-26 高三上·福建泉州·阶段练习）有3 台车床加工同一型号的零件，第1 台加工的次品率为6%，第2，3
台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3 台车床加工的零件数分别占总数的25%、
30%，45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额.
【答案】(1)0.0525
(2)第1，2 台车床操作员应分别承担2
7 的份额，第3 台车床操作员应承担3
7 的份额.
【详解】（1）设B = “任取一零件为次品”，
=
iA
“零件为第i 台车床加工”(
1,2,3)
i =
，
则
1
2
3
A
A
A
W =
U
U
，且
1A ，
2
A ，
3A 两两互斥，根据题意得，
1
(
)
0.25
P A =
，
2
(
)
0.3
P A
=
，
3
(
)
0.45
P A
=
，
1
(
|
)
0.06
P B A =
，
2
|
0.05
P B A
=
，
3
|
0.05
P B A
=
，
由全概率公式得
1
1
2
2
3
3
( )
(
) (
|
)
(
) (
|
)
(
) (
|
)
P B
P A P B A
P A P B A
P A P B A
=
+
+
0.25 0.06
0.3 0.05
0.45 0.05
=
´
+
´
+
´
0.0525
=
；
（2）“次品为第(
1, 2, 3)
i i =
台车床所加工的概率”，就是计算在B 发生的条件下，事件
iA 发生的概率，
1
1
1
1
(
)
(
) (
|
)
0.25 0.06
2
(
|
)
( )
( )
0.0525
7
P A B
P A P B A
P A B
P B
P B
´
=
=
=
=
；
2
2
2
2
(
)
(
) (
|
)
0.3 0.05
2
(
|
)
( )
( )
0.0525
7
P A B
P A P B A
P A
B
P B
P B
´
=
=
=
=
，
3
3
3
3
(
)
(
) (
|
)
0.45 0.05
3
(
|
)
( )
( )
0.0525
7
´
=
=
=
=
P A B
P A P B A
P A
B
P B
P B
，
故第1，2 台车床操作员应承担2
7 的份额，第3 台车床操作员应承担3
7 的份额.
15．（25-26 高三上·河南新乡·开学考试）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80 周年，某校组织相
关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予5 分的初始积分，每答对一题加1 分，每答错一题减1 分.已知小明每道
题答对的概率为2
3 ，答错的概率为1
3 ，且每道题答对与否互不影响.
(1)求小明答4 道题后积分小于5 的概率.
(2)设小明答5 道题后积分为X ，求
E X .
(3)若小明一直答题，直到积分为0 或10 时停止，记小明的积分为
0,1,2,
,10
i i =
时最终积分为10 的概率为
iP ，
则
0
10
0,
1
P
P
=
= .
（i）证明：
1
0,1,2,
,9
i
i
P
P i
+ -
=
为等比数列；
（ii）求
5P 的值.
【答案】(1) 1
9 ；
(2) 20
3 ；
(3) 32
33 .
【详解】（1）小明答4 道题后积分小于5，则小明4 题都答错，或答对1 题，答错3 题，
故所求概率为
4
3
1
4
1
2
1
1
C
3
3
3
9
æ
ö
æ
ö
+
´
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
（2）设小明答对的题数为Y ，则他答错的题数为5
Y
-
，
所以
5
(5
)
2
X
Y
Y
Y
=
+
-
-
=
．
由题意知
2
~
5, 3
Y
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，所以
2
10
( )
5
3
3
E Y =
´
=
，所以
20
(
)
2 ( )
3
E X
E Y
=
=
．
（3）（i）当小明的积分为(
1,2,
,9)
i i =
时，若小明接下来一题答对，
则积分变为
1
i + ，若小明接下来一题答错，则积分变为
1
i - ．
由全概率公式有
1
1
2
1
3
3
i
i
i
P
P
P
+
-
=
+
．
整理可得
1
1
1
2
i
i
i
i
P
P
P
P
+
-
-
=
-
．
又
1
0
1
0
P
P
P
-
=
¹
，所以
1
(
0,1,2,
,9)
i
i
P
P
i
+ -
=
为等比数列．
（ii）由（i）可得
1
1
1
2
i
i
i
P
P
P
+ -
=
，
所以
1
10
10
10
9
9
8
2
1
1
1
1
1
1023
2
1
512
1
2
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
=
-
+
-
+
+
-
+
=
=
-
，
又
10
1
P = ，所以
1
512
1023
P =
．
所以
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
=
-
+
-
+
-
+
-
+
1
5
1
1
512
31
32
2
1
1023
16
33
1
2
P æ
ö
-
ç
÷
è
ø
=
=
´
=
-
16．（25-26 高三上·河北·开学考试）甲､乙两人参加射击比赛，规则如下：每轮由1 人射击两次，若全中则此轮的
射击者赢得比赛，比赛结束，否则进行下一轮射击，由另外的人射击两次，如此类推.经过抽签，第1 轮甲射击，
已知甲､乙每次射击命中的概率分别为
1
2 ，p ，各次射击互不影响.
(1)若
1
2
p =
，记X 为比赛结束时的轮数，证明：
*
1
1
P X
n
X
n
P X
n
>
+
>
=
>
ÎN
∣
；
(2)若
1
3
p =
，记事件
=
iA
“比赛在第i 轮时未结束”，B = “甲赢得比赛”，
（i）写出
1
i
P A +
与
i
P A 的关系式并求
i
P A ；
（ii）求
P B .
（参考：对于任意0
1
p
<
< ，当n 趋于无穷大时，
0
n
p =
）
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）答案见解析；（ii）
3
4
P B =
【详解】（1）
1
X > 表示第1 轮甲射击没有全中，则
2
1
3
1
1
2
4
P X
æ
ö
>
= -
=
ç
÷
è
ø
，
1
2
p =
，故每一轮，甲乙射击没有全中的概率均为
2
1
3
1
2
4
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
故X
n
>
表示前n 轮射击没有出现全中，则
3
4
n
P X
n
æ
ö
>
= ç
÷
è
ø
，
同理知
1
3
1
4
n
P X
n
+
æ
ö
>
+
= ç
÷
è
ø
，
所以
1,
1
3
1
1
4
P X
n
X
n
P X
n
P X
n
X
n
P X
P X
n
P X
n
>
+
>
>
+
>
+
>
=
=
=
=
>
>
>
∣
；
（2）（i）解法一：甲在奇数轮时射击，乙在偶数轮数时射击，
记事件C = “甲两次射击没全中”，事件D =“乙两次射击没全中”，
则
2
2
1
1
3
1
8
1
,
1
2
4
3
9
P A
P C
P D
æ
ö
æ
ö
=
= -
=
= -
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
当i 为偶数，第
1
i + 轮由甲射击，
1
iA + 发生等价于
iA 发生且甲两次射击没全中，
即
1
i
i
A
AC
+ =
，又各次射击互不影响，
iA 与C 独立，
所以
1
3
4
i
i
i
i
P A
P AC
P A P C
P A
+
=
=
=
①，
当i 为奇数，第
1
i + 轮由乙射击，同理
1
8
9
i
i
i
P A
P D P A
P A
+
=
=
②，
由①②知，当i 为奇数时，
2
1
3
3
8
2
4
4
9
3
i
i
i
i
P A
P A
P A
P A
+
+
=
=
´
=
.
所以当i 为奇数时
i
P A
是首项为3
4 ，公比为2
3 的等比数列，
1
2
3
2
4
3
i
i
P A
-
æ
ö
=
´ç
÷
è
ø
.
当i 为偶数，
2
2
2
1
8
8
3
2
2
9
9
4
3
3
i
i
i
i
P A
P A
-
-
æ
=
ö
æ
ö
=
=
´
´ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
综上知
1
2
2
3
2
,
2
1,
N
4
3
2
,
2 ,
N
3
i
i
i
i
k
k
P A
i
k k
-
*
*
ì
æ
ö
ï ´
=
-
Î
ç
÷
ï
è
ø
= í
ïæ
ö
=
Î
ïç
÷
è
ø
î
，
解法二：甲在奇数轮时射击，乙在偶数轮数时射击，
记事件C = “甲两次射击没全中”，事件D =“乙两次射击没全中”，
则
2
2
1
1
3
1
8
1
,
1
2
4
3
9
P A
P C
P D
æ
ö
æ
ö
=
= -
=
= -
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
当i 为偶数，第
1
i + 轮由甲射击，由全概率公式知
1
1
1
1
( )
( )
( )
i
i
i
i
P A
P C P A
C
P C P A
C
P C P A
C
+
+
+
+
=
+
=
∣
∣
∣
.
在甲两次射击没全中的前提下比赛在第
1
i + 轮未结束等价于比赛在第i 轮未结束，
所以
1
i
i
P A
C
P A
+
=
∣
，即
1
3
4
i
i
i
P A
P C P A
P A
+
=
=
①，
当i 为奇数，第
1
i + 轮由乙射击，同理
1
8
9
i
i
i
P A
P D P A
P A
+
=
=
②，
由①②知，当i 为奇数时，
2
1
3
3
8
2
4
4
9
3
i
i
i
i
P A
P A
P A
P A
+
+
=
=
´
=
.
所以当i 为奇数时
i
P A
是首项为3
4 ，公比为2
3 的等比数列，所以
1
2
3
2
4
3
i
i
P A
-
æ
ö
=
´ç
÷
è
ø
.
当i 为偶数，
2
2
2
1
8
8
3
2
2
9
9
4
3
3
i
i
i
i
P A
P A
-
-
æ
=
ö
æ
ö
=
=
´
´ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
综上知
1
2
2
3
2
,
2
1,
N
4
3
2
,
2 ,
N
3
i
i
i
i
k
k
P A
i
k k
-
*
*
ì
æ
ö
ï ´
=
-
Î
ç
÷
ï
è
ø
= í
ïæ
ö
=
Î
ïç
÷
è
ø
î
；
（ii）解法一：甲只可能在奇数轮时获胜，
则
*
1
2
3
4
5
2
2
1 ,
k
k
B
A
A A
A A
A A
k
+
=
È
È
ȼÈ
ÎN ，
2
2
1
k
k
A A
+ 表示比赛在第2k 轮未结束，在2
1
k + 轮结束，
所以
2
1
2
1
4
k
k
P A
A
P C
+
=
=
∣
，
所以
2
2
1
2
2
1
2
1
2
4
3
k
k
k
k
k
k
P A A
P A
P A
A
+
+
æ
ö
=
=
´ç
÷
è
ø
∣
，
又因为事件
2
2
1
k
k
A A
+ 两两互斥，
所以
1
2
3
4
5
2
2
1
k
k
P B
P A
P A A
P A A
P A A
+
=
+
+
+¼+
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
3
1
2
4
3
3
3
4
4
4
3
1
3
3
3
k
k
k
+
+
é
ù
æ
ö
-
ê
ú
ç
÷
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
è
ø
ê
ú
=
´
+
+
+
+
=
´
=
-
´
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
-
ê
ú
ë
û
，
因为
1
2
0
3
k+
æ
ö
®
ç
÷
è
ø
，所以
3
4
P B =
；
解法二：注意到若前2 轮比赛仍未分出胜负，后续与刚开始比赛时完全一样，即“遗忘”了前2 轮的结果，
从第3 轮开始甲获胜的概率仍然为
P B ，即
2
P B A
P B
=
∣
，体现无记忆性，
所以
1
2
1
2
1
2
2
P B
P A
A B
P A
P A B
P A
P A
P B A
é
ù
=
È
=
+
=
+
ë
û
∣
1
2
P A
P A
P B
=
+
，
即
1
3
8
4
4
9
P B
P B
=
+
´
，解得
3
4
P B =
.
17．（25-26 高三上·广西柳州·开学考试）一个盒子中有大小和质地均相同的6 个球，其中有3 个白球和3 个黑
球．从中任取1 个球，若取出白球，则将该白球放回盒中，若取出黑球，则将该黑球换成1 个大小和质地均相同
的白球放回盒中，这样的过程称为一次操作．记第(
N )
n n
+
Î
次操作后，盒中白球的个数为
n
X ，期望为
(
)
n
E X
．
(1)求
2
(
4)
P X =
．
(2)当
3
n ³
时，证明：
1
3
4
(
3
)
(
3
)
(
2
)(
1,2,3)
6
6
n
n
n
m
m
P X
m
P X
m
P X
m m
+
+
-
=
+
=
=
+
+
=
+
=
．
(3)求
(
)
n
E X
.
【答案】(1) 7
12 ；
(2)证明见解析；
(3)
5
(
)
6
3 ( )
6
n
n
E X
=
- ×
.
【详解】（1）依题意，
1
1
3
1
(
3)
(
4)
6
2
P X
P X
=
=
=
=
=
，
所以
2
1
1
3
4
7
4)
3)
(
4)
6
6
12
(
(
P X
P X
P X
=
=
=
+
=
=
.
（2）每次操作后盒中球的总个数始终是6．
第
1
n + 次操作后盒中有3
m
+
个白球的情况有两种：
①第n 次操作后盒中有3
m
+
个白球，即盒中有3
m
+
个白球、3
m
-
个黑球，
第
1
n + 次取出的是白球，其发生的概率为
3
(
3
)
6
n
m
P X
m
+
=
+
´
；
②第n 次操作后盒中有2
m
+
个白球，即盒中有2
m
+
个白球、4
m
-
个黑球，
第
1
n + 次取出的是黑球，其发生的概率为
4
(
2
)
6
n
m
P X
m
-
=
+
´
，
所以当
3
n ³
时，
1
3
4
(
3
)
(
3
)
(
2
)(
1,2,3)
6
6
n
n
n
m
m
P X
m
P X
m
P X
m m
+
+
-
=
+
=
=
+
+
=
+
=
.
（3）由（1）知
1
1
2
(
5)
(
6)
0, (
6)
0
P X
P X
P X
=
=
=
=
=
=
，
1
1
1
1
1
1
1
(
3 (
3)
4 (
4)
3 (
3)
4 (
4)
5
5)
6 (
)
)
6
(
E X
P X
P X
P X
P X
P X
P X
=
=
+
=
=
=
+
=
+
=
+
=
，
2
2
2
2
(
)
3 (
3)
4 (
4)
5 (
5)
E X
P X
P X
P X
=
=
+
=
+
=
2
2
2
2
3 (
3)
4 (
4)
5 (
)
6
5
(
6)
P X
P X
P X
P X
=
+
=
=
+
=
+
=
，
当
3
n ³
时，
1
+
n
X
的可能取值为3，4，5，6，
1
1
(
3)
(
3)
2
n
n
P X
P X
+ =
=
=
，由（2）得
1
2
1
(
4)
(
4)
(
3)
3
2
n
n
n
P X
P X
P X
+ =
=
=
+
=
，
1
1
5
1
1
(
5)
(
5)
(
4),
(
6)
(
6)
5)
(
6
3
6
n
n
n
n
n
n
P X
P X
P X
P X
P X
P X
+
+
=
=
=
+
=
=
=
=
+
=
，
当
1
n = 或2 时，上述4 个等式也成立，
因此
1
1
1
1
1
(
)
3 (
3)
4 (
4)
5 (
5)
6 (
6)
n
n
n
n
n
E X
P X
P X
P X
P X
+
+
+
+
+
=
=
+
=
+
=
+
=
1
2
1
5
1
3
(
3)
4[
(
4)
(
3)]
5[
(
5)
(
4)]
2
3
2
6
3
n
n
n
n
n
P X
P X
P X
P X
P X
= ´
=
+
=
+
=
+
=
+
=
1
7
13
31
6[ (
6)
(
5)]
(
3)
(
4)
(
5)
6
6)
6
2
3
6
(
n
n
n
n
n
n
P X
P X
P X
P X
P X
P X
+
=
+
=
=
=
+
=
+
=
+
=
5[3 (
3)
4 (
4)
5 (
5)
6 (
6)]
(
3)
(
4)
6
n
n
n
n
n
n
P X
P X
P X
P X
P X
P X
=
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
5
(
5)
(
6)
(
) 1
6
n
n
n
P X
P X
E X
+
=
+
=
=
+ ，
由
1
5
(
)
(
) 1
6
n
n
E X
E X
+
=
+ ，得
1
5
(
)
6
[ (
)
6]
6
n
n
E X
E X
+
-
=
-
，
因此数列{ (
)
6}
n
E X
-
是首项为
1
5
(
2
)
6
E X
-
= -
，公比为5
6 的等比数列．
则
1
5 5
(
6
( )
2 6
)
n
n
E X
-
-
= -
，
所以
5
(
)
6
3 ( )
6
n
n
E X
=
- ×
.
