文档文本内容
第38讲 直线的方程
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l
的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 .
2.直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k=tanα.倾斜角
是 的直线没有斜率.
(2)过两点的直线的斜率公式：
经过两点 的直线的斜率公式为 .
3.直线方程的几种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 不含垂直于 轴的直线
斜截式 不含垂直于 轴的直线
两点式 不含垂直于坐标轴的直线
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
4.直线平行与垂直的结论：
(1)斜率存在的两条直线平行与垂直
若 ，
则 ； ； 与 重合 ．
(2)直线的一般式方程中的平行与垂直条件
若直线 (其中 不同时为0， 不同时为0)，
则 且 ； ．
5.三种距离
距离 计算公式
两点间的距离
点 到直线 的距离两条平行直线 与 间的距离
6.直线过定点问题
含有参数的直线方程，可以将参数作为公因式提取出来，再令其系数为0，即可求得直线的定点.
7.常用结论
(1)与直线 平行的直线系方程是 且 .
(2)与直线 垂直的直线系方程是 .
考点一 直接法求直线方程
考点二 待定系数法求直线方程
考点三 求解直线的定点
考点四 已知两直线位置关系求参数值或范围
考点一：直接法求直线方程
例1．若直线 过点 且倾斜角为45°，则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由倾斜角求出斜率，写出直线方程的点斜式，然后化为一般式.
【详解】直线 倾斜角为45°，则斜率为 ，又直线 过点 ，
则直线 的方程为 ，即 .
故选：C.
例2．以 为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据两直线垂直的斜率关系以及点斜式方程求解即可.【详解】 的中点为 ，
，所以 中垂线的斜率为 ,
由点斜式可得 整理得 ，
故选:A.
考点二：待定系数法求直线方程
例3．过点 且平行于直线 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先设出平行于直线 的直线系方程，再将点 代入方程，进而求得所求直线的方
程.
【详解】平行于直线 的直线方程可设为
又所求直线过点
则 ，解之得 ，
则所求直线为
故选：A
考点三：求解直线的定点
例4．不论取任何实数，直线 恒过一定点，则该定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】整理直线方程，根据直线过定点的求法直接求解即可.
【详解】直线方程可整理为： ，则由 得： ，即直线 恒过定点 .
故选：B.
考点四：已知两直线位置关系求参数值或范围
例5．已知直线 ， 且 ，则实数a的值为（ ）
A．5 B．1 C．5或 D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，列出方程求解，再验证判断作答.
【详解】直线 ， ，由 解得 或 ，
当 时，直线 与 重合，不符合题意，
当 时，直线 与 平行，
所以实数a的值为 .
故选：D
一、单选题
1．已知直线 ： 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，且直线 在 轴上的截距为3，则直
线 的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正切二倍角公式，斜截式方程求解即可.
【详解】解：∵直线 ： 的倾斜角为 ，斜率为 ，∴ ，
∵直线 的倾斜角为 ，∴斜率为 ，
∴ 的方程为 ，即 .故选：B．
2．过点 作直线 ，若点 、 到它的距离相等，则直线 的方程为（ ）
A． 或 B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】分两种情况讨论：① ；②直线 过线段 的中点.求出两种情况下直线 的斜率，利用点斜
式可得出直线 的方程.
【详解】分以下两种情况讨论：
①若 ，则直线 的斜率为 ，
此时，直线 的方程为 ，即 ；
②若直线 过线段 的中点 ，则直线 的斜率为 ，
此时，直线 的方程为 ，即 .
综上所述，直线 的方程为 或 .
故选：C.
3．已知直线l与直线 ： ， ： 的夹角相等，且直线l过点 ，则直线l
的方程为（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】D
【分析】设直线l斜率为 有 整理求值，应用点斜式写出直线方程即可.【详解】由题设， 、 的斜率分别为 、 ，若直线l斜率为 ，
所以 ，整理得 ，可得 或 ，
又直线l过点 ，则 或 ，即 或 .
故选：D
4．过点 ，且与原点距离最大的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意确定当直线垂直于点 与原点的连线时，满足条件，由此求出答案.
【详解】原点设为O，直线OP的斜率为 ，
当过点 的直线垂直于点 与原点O的连线时，该直线与原点距离最大，
此时直线方程 ,即 ，
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）把直线 绕原点逆时针旋转 ，再向左平移1个单位，所得的直线方
程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由旋转角度求旋转后的直线方程，再由平移方向和距离求平移后的方程.
【详解】直线 绕原点逆时针旋转 ，直线仍然过原点，斜率变为 ，直线方程为 ，
再向左平移1个单位，所得的直线方程为 ，即 .
故选：B6．若直线 过点 且被圆 截得的弦长为6，则满足条件的直线 的方程为（ ）
A． 或
B． 或
C． 或
D． 或
【答案】B
【分析】考虑直线的斜率是否存在，斜率存在时，设出直线方程，求出圆心到直线 的距离，列出方程，
即可求得答案.
【详解】由题意圆 的圆心为原点，半径为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 与圆相交于 两点，
所以弦长为6，满足题意；
当直线 的斜率存在时，设直线方程为 ，
圆心到直线 的距离 ，由 可得 ，即 ，
所以 ，则直线 的方程为 即 ，
故满足条件的直线 的方程为 或 ，
故选： .
7．（2023·全国·高三专题练习）直线l过点 与圆C： 交于 两点且
，则直线l的方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D【分析】将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，考虑直线的斜率是否存在，分类讨论，结合弦长和
点到直线的距离公式，即可求得答案.
【详解】将圆C： 的方程化为 ，
则圆心C的坐标为 ，半径为2.
当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为 时，代入圆的方程得 ，
解得 ，此时 ，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，
由 ，得圆心C到直线l的距离为 ，
故 ，解得 ，故此时直线的方程为 ，即 ，
综上可得，直线l的方程为 或 ，
故选：D.
8．过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据给定条件，按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解作答.
【详解】依题意，直线过原点时，直线方程为 ，即 ，
当直线不过原点时，设直线方程为 ，则 ，解得 ，直线方程为 ，
所以所求直线方程为 或 .
故选：C9．过点 且垂直于直线 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设垂直于直线 的直线为 ，代入点 得 的值，即得解.
【详解】设垂直于直线 的直线为 ，
代入点 得 ，
则所求直线为 .
故选：A.
10．过点 且与直线 平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.
【详解】由题意设所求方程为 ，
因为直线经过点 ，
所以 ，即 ，所以所求直线为 .
故选：A.
11．设 ，则直线 ： 与圆 的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交
【答案】C
【分析】求出直线恒过的定点，根据定点与圆的关系可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，即直线恒过定点 ；因为点 恰在 上，所以直线和圆的位置关系是相交或相切.
故选：C.
12．过定点M的直线 与过定点N的直线 交于点A（A与M，N不重合），则
面积的最大值为（ ）
A． B． C．8 D．16
【答案】C
【分析】根据题意分析可得点A在以 为直径的圆上，结合圆的性质求 面积的最大值.
【详解】对于直线 ，即 ，
可得直线 过定点 ，
对于直线 ，即 ，
可得直线 过定点 ，
∵ ，则直线 与直线 垂直，即 ，
∴点A在以 为直径的圆上，且 ，
由圆的性质可知： 面积的最大值为 .
故选：C.
13．已知点 ， ，若直线 与线段 有交点，则直线 斜率的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出直线 的定点，再结合图象利用斜率公式计算求解即可.
【详解】由直线 ，变形可得 ，
由 ，解得 ，
可得直线 恒过定点 ，
则 ， ，
若直线 与线段 有交点，则直线 斜率的取值范围为 .
故选：A.
14．直线 ： 经过第一象限的充要条件是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【分析】先确定 所过的定点，再根据直线的斜率确定即可.
【详解】由题意， 即 ，故当 ，即 时恒成立，故
过 ，故若直线 经过第一象限，则直线 的斜率大于0即可，即 ，即
，解得 或 .
故选：B
15．（2023·安徽黄山·统考二模）“ ”是“直线 和直线 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据两直线平行求出参数a，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】∵直线 和直线 平行，
∴ ，解得 或 ，
当 ，两直线分别为 ，两直线平行，符合题意；
当 ，两直线分别为 ，即为 ，
两直线重合，不符合题意；
综上所述： .
故“ ”是“直线 和直线 平行”的充要条件.
故选：C.
16．已知直线 与直线 垂直，则 的值为（ ）
A． B． C．-1 D．1
【答案】A
【分析】根据 ，则 运算求解.
【详解】由题意可得：直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
若直线 与直线 垂直，则 ，解得 .
故选：A.
17．（2023·上海黄浦·统考二模）若直线 与直线 垂直，则实数a的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据两条直线垂直的条件列出等量关系式，求得 的值.
【详解】直线 与直线 垂直，
则 ，解得 ，
故选：B.
18．若直线 与 互相垂直，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由两直线垂直可得出关于 的等式，解之即可.
【详解】因为 ，则 ，解得 .
故选；A.
19．直线 与直线 互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a的值
为（ ）
A．1 B．3 C．－1 D．－3
【答案】C
【分析】根据两直线垂直，列出关于a的方程，求得其值，结合两直线交点在第三象限，即可确定答案.
【详解】由直线 与直线 互相垂直，
可得 ，解得 或3，
当 时，联立 ，解得交点坐标为 ，不合题意；
当 时，联立 ，解得交点坐标为 ，合乎题意，
故实数a的值为 ，
故选:C
