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专题05 抛体运动
[-考点-03-] 小船渡河模型
[典例1]
答案 (1)20 s 20 m (2)25 s (3)不能
解析 (1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水
流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短
时间为t＝＝ s＝20 s.
如图甲所示，当船到达对岸时，船沿平行于河岸方向也发生了位移，由几何知识可得，船
的位移为l＝，由题意可得x＝v2t＝3×20 m＝60 m，代入得l＝20 m.
(2)当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1＝5 m/s，
大于水流速度v2＝3 m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示，设船斜指向
上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v1cos θ＝v2，cos θ＝＝0.6，则sin θ＝＝0.8，
船的实际速度v＝v1sin θ＝5×0.8 m/s＝4 m/s，所用的时间为t＝＝ s＝25 s.
(3)当水流速度v2′＝6 m/s 时，则水流速度大于船在静水中的速度v1＝5 m/s，不论v1方向
如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河.
[典例2]
答案 D
解析 设冲锋舟以最小速度v1和最短时间的冲锋舟速度v2分别从A 运动到B，冲锋舟最小
速度v1垂直于AB 连线，且v1＝vsin 30° ，最短时间的冲锋舟速度v2垂直于平直河岸，且
v2＝vtan 30°，可知＝cos 30°＝，故选项D 正确．
1.答案 A
解析 船头始终垂直于河岸，河宽一定，若水流速度减小，为保持航线不变，根据运动的
合成，船的速度必须减小，再根据t＝，可知渡河的时间变长，故选A.
2.答案 AD
解析 当船头垂直河岸时，船沿着垂直于河岸方向的分速度最大，此时过河的时间最短，
且与水速无关，为t＝＝50 s，故A 正确，C 错误；小船以最短时间过河，其位移为x＝＝
250 m，故B 错误；因为静水船速大于水流速度，则合速度方向可能垂直于河岸，即小船
过河的实际速度可以垂直于河岸，故D 正确．
3.答案 B
1
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解析 从轨迹曲线的弯曲形状可知，加速度的方向水平向左，知由M 到N 水流速度减小，
即越靠近对岸水速越小．故选B.
4.答案 B
解析 设题图甲中的小船船头方向与上游成θ 角，由于合速度垂直河岸，故有v0cos θ＝
v1，解得v0>v1，选项A 错误；当船头垂直河岸过河时，其过河时间最短，B 正确；由于题
图丙中的小船船头指向与水速成锐角，其合速度是这三种情况中最大的，故C 错误；若题
图甲、丙中的船头方向与垂直河岸方向的夹角相等(船沿垂直河岸方向的分速度相同)，则
它们过河时间就相同，故D 错误．
5.答案 BD
解析 蓝队要到达正对岸，则合速度方向应该指向正对岸，则应使船头方向朝着对岸偏上
游方向划船，选项A 错误；红队要以最短时间到达对岸，则船头应该指向正对岸，即应使
船头朝着正对岸划船，选项B 正确；蓝队完成任务到达对岸用时t1＝＝＝ s＝50 s，选项C
错误；红队完成任务到达对岸的最短时间为t2＝＝ s＝40 s，选项D 正确．
6.答案 D
解析 因为AB、AC 与河岸垂线方向的夹角相等，则船在垂直于河岸方向上的分速度相等，
渡河时间t＝，所以两次渡河时间相等．设AB、AC 与河岸的夹角为θ，船头向着AB 方向
行驶时，沿河岸方向v1＝v 静cos θ＋v，船头向着AC 方向行驶时，沿河岸方向v2＝|v－v 静
cos θ|＜v1，则沿河岸方向上的位移x1＞x2，根据平行四边形定则，l1＞l2，故D 正确，A、
B、C 错误．
7.答案 C
解析 小船刚好避开危险区域时，小船合运动方向与水流方向的夹角设为θ，则tan θ＝
＝，则θ＝30°，当船头垂直合运动方向渡河时，小船在静水中的速度最小，在静水中的最
小速度vmin＝v 水sin 30°＝2 m/s，C 正确.
8.答案 B
解析 如图所示，当小船在静水中的速度v2与其在河流中的速度v 垂直时，小船在静水中
的速度v2最小，则最小值为v1sin 30°＝1 m/s，A、C、D 错误，B 正确．
9.答案 C
解析 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t＝ s＝20 s，故A 错误；
由于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能是直线
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故B 错误；船在最短时间内渡河，则船运动到河的中央时所用时间为10 s，水的流速在x＝
0 到x＝50 m 之间均匀增加，则a1＝ m/s2＝0.4 m/s2，同理x＝50 m 到x＝100 m 之间a2＝
m/s2＝－0.4 m/s2，则船在河水中的加速度大小为0.4 m/s2，故C 正确；船在河水中的最大速
度为v＝ m/s＝ m/s，故D 错误．
10.答案 (1)①船头应朝垂直河岸方向 36 s 90 m ②船头与上游河岸成60°角 24 s
180 m
(2)船头应朝上游与河岸成53°角方向 150 s 300 m
解析 (1)若v2＝5 m/s，船速大于水速．欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向；
当船头垂直河岸时，如图所示
tmin＝＝ s＝36 s
v 合＝＝ m/s
x1＝v 合tmin＝90 m
②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，如图所示
有v2sin α＝v1
得α＝30°
所以当船头与上游河岸夹角为60°时航程最短
x2＝d＝180 m
t＝＝＝24 s
(2)若v2′＝1.5 m/s，船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方
向夹角为θ，则航程x3＝
欲使航程最短，需使θ 最大，如图丙所示，以v1矢量末端为圆心，v2′大小为半径作圆，
出发点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v 合″与水平方向夹角最大，应使v 合″与
圆相切，即v 合″⊥v2′
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sin θ＝＝
得θ＝37°
所以船头应朝上游与河岸夹角为53°方向
t′＝＝＝150 s
v 合″＝v1cos 37°＝2 m/s
x3＝＝300 m.
11.答案 (1)20 s (2)20 m
解析 (1)皮筏方向垂直于水流方向时时间最短，t＝
解得t＝20 s.
(2)由题意知皮筏垂直水流方向的位移大小x1＝d＝20 m
沿水流方向的位移大小x2＝v2t
解得x2＝40 m
由几何关系知x＝
解得x＝20 m.
12.答案 (1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m
解析 (1)小船从A 点出发，若船头指向河正对岸的C 点，则此时v1方向的位移为d，
故有v1＝＝ m/s＝0.25 m/s.
(2)设AB 与河岸上游成α 角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C 点，故v1沿河岸方
向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α，此时渡河时间为t＝，所以
sin α＝＝0.8，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s.
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCD＝v2tmin＝72 m.
13.答案 B
解析 要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则运动员射出的箭速度v2的方向与
OA 线段平行，运动员骑马奔驰的速度v1和运动员相对静止时射出的箭速度v2的合速度v3
的方向指向固定目标(如图所示)，箭射到靶的最短时间为，运动员放箭处到目标的距离为l
＝t＝d，故选B.
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14.答案 BD
解析 根据速度的合成与分解及数学知识可知，渡河时间t＝，与v 水无关，选项A、C 错
误，B 正确；当α＋θ＝90°时，渡河时间最短，为tmin＝，选项D 正确．
15.答案 BC
解析 依题意，乙船恰好能直达正对岸的A 点，根据速度合成与分解可知v＝2u，将甲、
乙两船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，根据分运动和合运动具有等时性
知甲、乙两船到达对岸的时间相等，渡河的时间均为t＝，可得甲船沿河岸方向上的位移为
x＝(u＋vcos 60°)t＝L<2L，即甲船在A 点左侧靠岸，显然甲、乙两船不可能在未到达对岸前
相遇，故B、C 正确，A、D 错误．
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