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2025 年高考数学押题预测卷
高三数学·参考答案
一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
A
D
B
B
C
C
A
A
B
二、填空题：本题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11．18
12．2 或
13． 8 70
14．1
15．①②④
三、解答题：本题共6 小题，共85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题13 分）
【详解】（1）因为三棱柱
为直三棱柱，
所以
⊥平面
，
又
平面
，所以
⊥
，
因为
⊥
，
，
平面
，
所以
⊥平面
，
因为
平面
，所以
⊥
，
因为
，
，
平面
，
所以
平面
；...............................6 分
（2）由（1）知，
两两垂直，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
1
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则
，
设
，
，
因为
，所以
，
解得
，则
，
由（1）知，平面
的一个法向量为
，
又
，
设直线
与平面
所成角的大小为
，
则
故直线
与平面
所成角正弦值为
√15
15
................................13 分
17．（本小题13 分）
【详解】（1）由点
的纵坐标为
，
，可知
，
又
，所以
；................................4 分
（2）因为
，
，所以
，
于是由
，可得
．
2
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=
，
=
，故点
的坐标为
．................................8 分
（3）
，
．因
，故
．
因
为平行四边形，故
．
(
)．
当
时，
取最大值
．................................13 分
18．（本小题14 分）
【详解】（1）
的所有可能取值为0，1，2，且
服从超几何分布．
的分布列为
0
1
2
的数学期望
．................................5 分
（2）（ⅰ）记
“每位员工经过培训合格”，
“每位员工第轮培训达到优秀”（
），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
3
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即每位员工经过培训合格的概率为
．................................11 分
（ⅱ）记
两部门开展DeepSeek 培训后合格的人数为
，则
，
，则
（万元）
即估计
两部门的员工参加DeepSeek 培训后为公司创造的年利润为1100 万元．................................14 分
19．（本小题15 分）
【详解】（1）设
（
），由
的离心率为
，得
，
，①
在
中，令
，得
，
则当垂直于
轴时，
，②
由①，②，解得
，则
，
，
∴
的方程为
．................................4 分
（2）由题意，知
，
，
显然与
轴不重合，可设：
，设
，
，
联立
，消去x 并整理，得
，
由韦达定理，得
，
，
则
，
则
面积
，
4
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而
，当且仅当
，即
时等号成立，∴
面积的最
大值为
．................................9 分
（3）设
，
，
，
直线
与椭圆联立可得，
，
根据韦达定理可得，
，∴
，
，
即
，同理，
，
根据对称性，直线
过定点
，
则
，∵
，
，
∴
，∴
，解得
，
即直线
过定点
．................................15 分
20．（本小题15 分）
【详解】（1）函数
的定义域是
，
，
又
，则
，令
，解得：
，令
，解得：
，
5
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所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.................................4 分
（2）因为
，
要证曲线
在曲线
的上方，即证
恒成立，
即证
，令
，则
，
当
时，
，当
，
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
则
，所以
恒成立，又
恒成立，
，
所以
恒成立，即曲线
在曲线
的上方................................8 分
（3）因为
，
又因为导函数
在
上存在零点，所以
在
上有解，
则有
，即
，
又当
时，
，则
在区间
上单调递减，
当
时，
，则
在区间
上单调递增，
所以
，
设
，
，则
，
令
，
，则
，
所以
在区间
上单调递减，又
，则
在区间
恒成立，
所以
在区间
上单调递减，
6
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又
，所以
，
则根据不等式的传递性可得，当
时，
................................15 分
21．（本小题15 分）
【详解】（1）由题意得
，
所以
．...............................4 分
（2）由题得
，
所以
，
，
，
，
因此
中的数对
必由
中的数对
经运算得到，
中的数对
必由
中的0 或数对
经运算得到，
因为
是
数组，其中有一半的项为0，即
个0，经过两次运算能在
中产生
个数对
，
因为
中数对
的个数为
个，经过两次运算能在
中产生
个数对
，
所以
，即
，
所以
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列．...............................8 分
（3）当
为奇数时，
，
累加得
，
7
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因为
，所以
（
为奇数）．
当
为偶数时，
，
累加得
，
因为
，所以
（
为偶数）．
所以
，
故
．
因为当
且
为偶数时，
.
①当
时，
；
②当
且
为奇数时，
；
③当
且
为偶数时，因为对任意的
都有
，
所以
8
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综上所述，对任意的
都有
．................................15 分
9
