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专题18 洛必达法则
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题型01 洛必达法则的直接计算...............................................................................................................................1
题型02 洛必达法则解决最值问题...........................................................................................................................3
题型01 洛必达法则的直接计算
【解题规律·提分快招】
一、前言
在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个
无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们
的比值，就需要运用到洛必达法则。
二、洛必达法则定义
在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。
三、法则形式
1、法则1（
型）：若函数
和
满足下列条件：
（1）设当
时，
及
；
（2）在点
处函数
和
的图像是连续的，即函数
和
在点
处存在导数；
（3）
；则：
.
2、法则2（
型）： 若函数
和
满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点
处函数
和
的图像是连续的，即函数
和
在点
处存在导数；
(3)
，则：
.
1
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3、法则3（
型）：若函数
和
满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点
处函数
和
的图像是连续的，即函数
和
在点
处存在导数；且
；
(3)
，则：
=
.
【特别提醒】
（1）将上面公式中的
换成
洛必达法则也成立。
（2）洛必达法则可处理
型。
（3）首先要检查是否满足
型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个
前提条件时，就不能用洛必达法则
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
（5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。
四、适用类型的转化
（1）
型的转化：
或
；
（2）
型的转化：
（3）
、
型的转化：幂指函数类
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24 高三下·吉林长春·期中）1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，
用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再
求极限来确定未定式值的方法.如：
，按此法则有
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-2
2．我们把分子、分母同时趋近于0 的分式结构称为
型，比如：当
时，
的极限即为
型.两个
无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法则：在一定条件下通过
2
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对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：
，
则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
二、填空题
3．
年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数
之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：
，按此方法则有
．
题型02 洛必达法则解决最值问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2024 高三·全国·专题练习）
恒成立,求
的取值范围
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．当
时
，求
的取值范
围．
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，如果当
，且
时，
，
求
的取值范围．
4．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若
函数
，
的导函数分别为
，
，且
，则
.
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对任意
，均有
成立，且
，则称函数
为区间
上的k 阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断
是否为区间
上的2 阶无穷递降函数；
3
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(2)计算：
；
(3)证明：
，
.
一、单选题
1．（23-24 高三下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，
为此，洛必达在1696 年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定
式值的方法，如
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．（23-24 高三下·新疆伊犁·期中）我们把分子分母同时趋近于
､
0 的分式结构称为
型，比如：当
时，
的极限即为
型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出
洛必达法则：在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法
､
.如：
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
二、解答题
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，当
时，
，求实数a 的取值范
围.
4．（2024 高三·全国·专题练习）
，
恒成立，求
的取值范围
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，若当
时，恒有
成立，求实
数
的取值范围．
6．（2024 高三·全国·专题练习）设函数
，
(1)若
，
（
为常数），求
的解析式；
(2)在（1）条件下，若当
时，
，求
的取值范围．
4
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7．（23-24 高三下·山东泰安·期中）①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果
，
，则
，
，若B≠0，则
；ii)洛必达法则：若函数
，
的导函数分别为f
′ (x)，
，
，
，则
；
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对
，均有
成立，则称函数
为区间(0,a)上的k 阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题；
(1)计算：①
；
②
；
(2)试判断
是否为区间
上的2 阶无穷递降函数；并证明：
，
.
8．（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式
型或
型极限的一种重
要方法，其含义为：若函数
和
满足下列条件：
①
且
（或
，
）；
②在点
的附近区域内两者都可导，且
；
③
（
可为实数，也可为
），则
．
(1)用洛必达法则求
；
(2)函数
（
，
），判断并说明
的零点个数；
(3)已知
，
，
，求
的解析式．
参考公式：
，
．
5
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