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2025 年高考数学押题预测卷
高三数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．抛物线
的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
，
、
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知直线：
与圆
：
交于
，
两点，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．2
5．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．在
中，角
的对边分别为
，若
，
，则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰非等边三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形
7．2023 年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS
（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek 的算力每年增长
．截止至2025 年，其算力已提
升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek 的算力预计在哪一年首次突破
7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：
，
，
）
A．
年
B．
年
C．
年
D．
年
8．若向量
在向量
上的投影向量为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．图①中的“马头墙”是我国江南传统民居建筑的重要特色之一，它的顶部称之为垛．每只垛的结构如图
②，可近似看成由一个正三棱柱和两个完全相同的正四面体构成的几何体．已知
，
，
，现计划覆以小青瓦，覆盖面为“前”“后”两面，“前面”如图③阴影部分，则小青瓦所要覆
盖的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知数列
的前n 项和为
，
且
，则（ ）
A．数列
是等比数列B．
C．
D．数列
是等比数列
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题：本题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11．
．
12．双曲线C：
的离心率为 ．
13．在
的展开式中，第7 项为常数，则
，最大的二项式系数是 ．
14．已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则
，函数
的所有零点之和为 .
15．已知数列
满足
，
，且
，若记数列
的前
项的积为
，
，
的前
项和为
，则下列结论正确的有
①．数列
是等比数列
②．
1
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③．当
为奇数时，
④．当
为偶数时，
三、解答题：本题共5 小题，共85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题13 分）如图，在直三棱柱
中，
，
，
⊥
，
交
于点
，
为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值．
17．（本小题满分13 分）如图，点
是单位圆与
轴正半轴的交点，点
和点
都在单位圆上，且点
的
纵坐标为
，
，
，
，
．
(1)求
和
的值；
(2)若
，求点
的坐标；
(3)若四边形
为平行四边形且面积为，求
的最大值．
18．（本小题满分14 分）DeepSeek 是由中国杭州的DeepSeek 公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求
索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek 主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模
态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．
为提高DeepSeek 的应用能力，某公司组织A，B 两部门的50 名员工参加DeepSeek 培训．
(1)此次DeepSeek 培训的员工中共有6 名部门领导参加，恰有3 人来自
部门．从这6 名部门领导中随机选
取2 人，记
表示选取的2 人中来自
部门的人数，求
的分布列和数学期望；
(2)此次DeepSeek 培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为
，每轮
培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek 培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30 万元，不合格的员工
每人每年平均为公司创造利润20 万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3 万元的其他成本和
费用．试估计该公司
两部门培训后的年利润（公司年利润
员工创造的利润-其他成本和费用）．
19．（本小题满分15 分）已知椭圆
的离心率为
，右焦点为
，过
的直线与椭
圆
交于
两点，当直线垂直于
轴时，
．
(1)求
的方程；
(2)记
的左顶点为
，求
面积的最大值；
(3)设
，直线
分别交
于
两点，证明：直线
过定点．
20．（本小题满分15 分）设函数
，其中
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)在（1）的条件下，证明曲线
在曲线
的上方；
(3)已知导函数
在区间
上存在零点,证明：当
时，
．
21．（本小题满分15 分）已知数列
中每一项
（其中
，
）构成
数组
.定义运算如下：
，其中当
时，
，
；当
时，
，
；用
表示
层嵌套运算
，
.现取
，记
中相邻两项组成的数对
满足
的数对个数为
.
(1)写出
，
，以及
，
；
(2)证明：数列
是等比数列；
(3)若
，证明：对任意的
都有
.
2
