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§9.4 列联表与独立性检验
课标要求 1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其应用.
1.分类变量
为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为
分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.
2.列联表与独立性检验
(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：
X
Y
合计
Y＝0
Y＝1
X＝0
a
b
a+b
X＝1
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
n＝a+b+c+d
n(ad-bc) 2
(2)计算统计量χ2＝ ，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
χ2独立性检验.
如表为5个常用的小概率值和相应的临界值.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数.( )
(2)事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响.( )
(3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量.( )
(4)在2×2列联表中，若|ad－bc|越小，则说明两个分类变量之间关系越强.( )
2.一个2×2列联表如表所示，则表中a，c处的值分别为( )
y y 合计
1 2
x a 25 73
1
x 21 b c
2
合计 d 49
A.98，28 B.28，98
C.48，45 D.45，48
3.想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设H 为( )
0
A.男性喜欢参加体育活动
B.女性不喜欢参加体育活动
C.喜欢参加体育活动与性别有关
D.喜欢参加体育活动与性别无关
4.(2024·哈尔滨模拟)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得χ2＝2.826，依据α＝0.05的独立性检验，
结论为( )
参考值：
α 0.1 0.05 0.01
x 2.706 3.841 6.635
α
A.x与y不独立
B.x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C.x与y独立
D.x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误.题型一 列联表及等高堆积条形图
例1 (1)为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才.某学校在不加重学生负担的前提下，
提供个性、全面的选修课程.为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高
二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高堆积条形图，根据条形图，下列结论正确的是(
)
A.样本中不愿意选该门课的人数较多
B.样本中男生人数多于女生人数
C.样本中女生人数多于男生人数
D.该等高堆积条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数
(2)假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x ，x }和{y ，y }，其2×2列联表为
1 2 1 2
Y
y y 合计
1 2
X
x 10 18 28
1
x m 26 m+26
2
合计 m+10 44 m+54
则当整数m取 时，X与Y的关系最弱( )
A.8 B.9 C.14 D.19
思维升华 利用2×2列联表分析两个分类变量间关系的步骤
(1)根据题中数据获得2×2列联表；
a c ( b d )
(2)根据频率特征，即将 与 或 与 的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互
a+b c+d a+b c+d
影响.跟踪训练1 (2024·成都模拟)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下
为非优秀统计成绩，得到列联表：
优秀 非优秀
甲班 10 b
乙班 c 30
n(ad-bc) 2
附：χ2＝ (n＝a+b+c+d).
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.05 0.01 0.005
x 3.841 6.635 7.879
α
2
已知在全部的105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 ，则下列说法正确的是( )
7
A.甲班人数少于乙班人数
B.甲班的优秀率高于乙班的优秀率
C.表中c的值为15，b的值为50
D.根据表中的数据，若依据α＝0.05的独立性检验，能认为“成绩优秀率与班级有关系”
题型二 列联表与独立性检验
例2 随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的
人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从
参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统
计表：
平均每周进行 不大于 3天或 不少于
长跑训练天数 2天 4天 5天
人数 30 130 40
若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与
者”.
n(ad-bc) 2
附：χ2＝ (n为样本容量).
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
(1)经调查，该市约有3万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数；(2)根据表中数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否
认为马拉松的“热烈参与者”与性别有关？
热烈参与者 非热烈参与者 合计
男 140
女 55
合计
思维升华 独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据制成2×2列联表.
n(ad-bc) 2
(2)根据公式χ2＝ 计算.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断.
跟踪训练2 某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用
题’得分率的作用”的试验，其中甲班为试验班(加强“语文阅读理解”训练)，乙班为对比班(常规教
学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束
后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如表所示：
60分 61~ 71~ 81~ 91~
以下 70分 80分 90分 100分
甲班(人数) 3 11 6 12 18
乙班(人数) 7 8 10 10 15
现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀.
(1)计算两个班级的优秀率；
(2)根据以上统计数据填写下面2×2列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为加强“语
文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助？
优秀人数 非优秀人数 合计甲班
乙班
合计
参考公式及数据：
n(ad-bc) 2
χ2＝ ，n＝a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.05 0.01 0.001
x 3.841 6.635 10.828
α
题型三 独立性检验的综合应用
例3 (2024·拉萨模拟)为促进中华戏曲文化的传承与发展，某校开展了戏曲进校园文艺活动，从全校学
生中随机抽取60名男生和60名女生参加戏曲知识竞赛，并按得分(满分：100分)统计，分别绘制成频
率分布直方图，如图所示.
(1)现有10张某戏剧的演出票送给得分在80分以上(含80分)的同学，根据男生组和女生组得分在80分
以上(含80分)的人数，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，则男生组、女生组分别得多少张该戏
剧的演出票？(2)假设学生竞赛成绩在80分以上(含80分)被认定为这名学生喜爱戏曲.将参加竞赛的学生成绩及性别
制成下列2×2列联表：
男生 女生 合计
喜爱戏曲
不喜爱戏曲
合计
将列联表补充完整并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为学生喜爱戏曲与性别有关？
参考公式及数据：
n(ad-bc) 2
χ2＝ (其中n＝a+b+c+d).
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.05 0.01 0.001
x 3.841 6.635 10.828
α
思维升华 独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题的求解往往按各小题及提
问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解答的，考查单纯的独立性检验往往用小题的形式，而且χ2的公
式一般会在原题中给出.
跟踪训练3 (2024·赤峰模拟)随着中国科技的迅猛发展和进步，中国民用无人机行业技术实力和国际竞
争力不断提升，市场规模持续增长.为了适应市场需求，我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无
人机，为测试其性能，对其飞行距离与核心零件损坏数进行了统计，数据如下：
飞行距离x
56 63 71 79 90 102 110 117
(千公里)
核心零件损
61 73 90 105 119 136 149 163
坏数y(个)
^ ^ ^ ^ ^
(1)若建立y关于x的回归模型为 y＝bx+a ，求y关于x的经验回归方程(b 精确到0.1， a 精确到1)；(2)为了检验核心零件报废是否与保养有关，该公司进行第二次测试，从所有同型号民用无人机中随机
选取100台进行等距离测试，测试前对其中60台进行核心零件保养，测试结束后，有20台无人机核心
零件报废，其中保养过的占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值α＝0.01的独
立性检验，能否认为核心零件的报废与保养有关？
保养 未保养 合计
报废 20
未报废
合计 60 100
n
Σ (x -x)(y - y)
i i
^ ^ ^
^ i=1
^ ^
附：经验回归方程y＝bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式b＝ ，a＝y－bx，
n
Σ (x -x) 2
i
i=1
n(ad-bc) 2
χ2＝ ，n＝a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.1 0.05 0.01 0.001
x 2.706 3.841 6.635 10.828
α
8 8
参考数据：x＝86，y＝112， Σ xy＝82 743， Σ
x2
＝62 680.
i i i
i=1 i=1答案精析
落实主干知识
自主诊断
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.C [由2×2列联表知，
a+25＝73，b+25＝49，b+21＝c，
解得a＝48，b＝24，c＝45.]
3.D [独立性检验是一种假设性检验，假设有反证法的意味，应假设两类变量无关，在该假设下构造的随
机变量χ2应该很小，如果χ2很小，则不能肯定或否定假设，反之，则在一定程度上说明假设不合理，即认
为两个变量在一定程度上有关，所以想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设
H ：喜欢参加体育活动与性别无关.]
0
4.C [零假设为H ：x与y独立，由χ2＝2.826<3.841，依据α＝0.05的独立性检验，可得H 成立，故可以
0 0
认为x与y独立.]
探究核心题型
例1 (1)B [由图乙可知，样本中男生，女生都大部分愿意选择该门课，则样本中愿意选该门课的人数较
多，A错误；由图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大，所以可以确定，样本中男生人数
多于女生人数，B正确，C，D错误.]
(2)C [在两个分类变量的列联表中，当|ad－bc|的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小.
令|ad－bc|＝0，得10×26＝18m，
解得m≈14.4，
又m为整数，
所以当m＝14时，
X与Y的关系最弱.]
10+c 2
跟踪训练1 D [由条件知10+b+c+30＝105， ＝ ，
105 7
故b+c＝65，10+c＝30，
所以b＝45，c＝20，故C错误；
由于甲班人数为10+b＝10+45＝55，乙班人数为c+30＝20+30＝50<55，故A错误；
10 2 20 2 2
由于甲班优秀率为 ＝ ，乙班优秀率为 ＝ > ，故B错误；
55 11 50 5 11
105×(10×30-45×20) 2
由于χ2＝ ≈6.109>3.841，故D正确.]
55×50×30×75
例2 解 (1)s＝100+80＝180，t＝80+70＝150.
80 4
(2)∵ ＝ ，
180 9
4
∴p的估计值为 .
9
(3)零假设H ：药物A对预防疾病B无效.
0
根据列联表中的数据可得
400×(100×70-80×150) 2
χ2＝
250×150×180×220
2 000
＝ ≈6.734>6.635＝x .
297 0.01
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H 不成立，
0
即认为药物A对预防疾病B有效.
跟踪训练2 解 (1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，
甲班优秀人数为30人，
30
优秀率为 ＝0.6＝60%，
50
乙班优秀人数为25人，
25
优秀率为 ＝0.5＝50%，
50
所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.
(2)补全2×2列联表如下所示.
优秀人数 非优秀人数 合计
甲班 30 20 50
乙班 25 25 50
合计 55 45 100
零假设为H ：加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率没有帮助.
0
100×(25×30-25×20) 2
由χ2＝ ≈1.01<3.841，
55×45×50×50
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H 不成立，因此认为H 成立，即加强“语文阅读
0 0
理解”训练对提高“数学应用题”得分率没有帮助.
例3 解 (1)由频率分布直方图得，
男生组得分在80分以上(含80分)的有(0.010+0.005)×10×60＝9(人)，
女生组得分在80分以上(含80分)的有(0.025+0.010)×10×60＝21(人)，9
所以男生组分得票数为 ×10＝3，
9+21
21
女生组分得票数为 ×10＝7，
9+21
所以男生组、女生组分别得3张和7张该戏剧的演出票.
(2)由(1)知，男生组得分在80分以上(含80分)的有9人，80分以下的有51人；女生组得分在80分以上(含
80分)的有21人，80分以下的有39人，
所以补充2×2列联表：
男生 女生 合计
喜爱戏曲 9 21 30
不喜爱戏曲 51 39 90
合计 60 60 120
零假设为H ：学生喜爱戏曲与性别无关.
0
根据列联表中数据计算，
120×(9×39-21×51) 2
得χ2＝
60×60×30×90
32
＝ ＝6.4<6.635，
5
根据临界值表可知，没有充分证据推断H 不成立，即学生喜爱戏曲与性别无关.
0
8 8
Σ (x -x)(y - y) Σ x y -8x y
i i i i
^ i=1 i=1 82 743-8×86×112
跟踪训练3 解 (1)依题意，b＝ ＝ ＝ ≈1.6，
8 8 62 680-8×862
Σ (x -x) 2 Σ x2-8x2
i i
i=1 i=1
^ ^
a＝y－bx＝112－1.6×86≈－26，
所以y关于x的经验回归方程为
^
y＝1.6x－26.
(2)依题意，核心零件报废的无人机中保养过的有20×30%＝6(台)，未保养的有20－6＝14(台)，
则2×2列联表如下：
保养 未保养 合计
报废 6 14 20未报废 54 26 80
合计 60 40 100
零假设为H ：核心零件的报废与保养无关，
0
100×(6×26-14×54) 2
则χ2＝ ＝9.375>6.635，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，
20×80×60×40
推断H 不成立，即认为核心零件报废与保养有关，此推断犯错误的概率不超过0.01.
0
