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理论讲练-数学运算1 （笔记） 主讲教师：王义 授课时间：2025.08.13 粉笔事考·官方微信 1 理论讲练-数学运算1（笔记） 【答案汇总】 倍数特性法：整除型：B；余数型1-2：CB；比例型1-5：AACAD 方程法1-3：CCC 赋值法1-3：BAB 【注意】 1.数学运算整体分为四节直播课，本节课讲解倍数特性法、方程法和赋值法， 这三类方法解决的问题叫和差倍比问题，给出几个主体之间的关系，要求计算另 外一个主体的值，是联考每年基本上必考的题。倍数特性是快速解法，方程法是 基础方法，赋值法往往是题目的突破口。 2.从下节课开始进入具体的题型，只要参加全国联考，题量均为5 题，每道 题的具体分值官方没有给，练习时按照1 分/题计算。要求6 分钟做对3 题，这 样数学这个模块就不会给你拖后腿，这个模块的平均正确率为40%，即5 道题对 2 题，如果上了考场会发现，可能还没看到数学运算的题在哪里，就已经交卷了， 数学运算都是随便蒙的，大家基本上只能蒙对1 题，期望目标是通过学习对3题， 从现在考试的情况来看，目前整体难度有所下降，5 道题中一定有简单题，听完 理论课后一定能做出来。数学运算讲解识别和对应的方法，课上要跟紧老师，数 量可能一个地方不听，后面就都跟不上了。 3.老师抖音账号：@粉笔王义，会持续更新数量的秒杀方法。 第一节 和差倍比问题 2 一、倍数特性法 （一）整除型倍数特性 （二）余数型倍数特性 （三）比例型倍数特性 二、方程法 三、赋值法 【注意】倍数特性法分为三种倍数进行讲解。 一、倍数特性法 利用条件中的倍数，排除答案 例：5 人一组打游戏，人数刚好够分……总人数（ ）？ A.10 B.11 C.12 D.13 【注意】 1.倍数特性法即利用条件中的倍数，排除答案，重点在于“排除”，倍数特 性是一种排除的思路。 2.例：要求总人数，列式：总人数=5*组数，现在不知道组数，能够知道的 是总人数=5*一个数→5 的倍数，B、C、D 项均不是5 的倍数，这就是根据倍数特 性排除。若选C 项，意味着分了2.4 组，这不可能，答案选A 项，但考试不会这 么直接。 （一）整除型倍数特性： 如果A=B*C，且B 和C 都是正整数，则A 就是B 的倍数，也是C 的倍数 例：5 人一组打游戏，人数刚好够分……总人数（ ）？ A.10 B.11 C.12 D.13 【注意】 1.整除型：如果A=B*C，且B 和C 都是正整数，则A 就是B 的倍数，也是C 的倍数。 3 2.如总人数=5*组数→答案是5 的倍数，这就是整除型。 3.注意：常见形式为平均分，正好分完，即能够被均分，题目中有这样的条 件，就可以考虑整除型倍数特性。 4.5 的倍数相对比较好看、好排除，如10、11、12、13，只有10 是5 的倍 数，数字相对比较小，也比较好看。 拓展：常用倍数判定口诀 3 的倍数、9 的倍数看各位数字加和 324 是3 的倍数吗？ 482 是3 的倍数吗？ 882 是9 的倍数吗？ 349 是9 的倍数吗？ 2 的倍数、5 的倍数看末一位 4 的倍数、25 的倍数看末两位 8 的倍数、125 的倍数看末三位 【注意】 1.3 的倍数、9 的倍数有特定的判定方法，即看各位数字加和。 （1）如判断324 是否为3 的倍数，看各位数字加和，3+2+4=9，9 是3 的倍 数，则324 是3 的倍数。 （2）各位数字加和为4+8+2=14，14 不是3 的倍数，则482 不是3 的倍数。 （3）各位数字加和为8+8+2=18，18 是9 的倍数，则882 是9 的倍数。 （4）各位数字加和为3+4+9=16，16 不是9 的倍数，则349 不是9 的倍数。 2.2 的倍数、5 的倍数看末一位。 （1）2 的倍数必然是偶数，故尾数一定为偶数，如371 肯定不是2 的倍数， 尾数即最后一位数字。 （2）5 的倍数要么尾数为0，要么尾数为5，如5、10、15、20……。 3.4 的倍数、25 的倍数看末两位： （1）如判断784 是否为4 的倍数，看末两位，84 是4 的倍数（84 是4 的21 倍），则784 是4 的倍数，末两位是4 的倍数，则该数是4 的倍数。 （2）如判断1308 是否为4 的倍数，看末两位，08 即8，8 是4 的倍数，则 1308 是4 的倍数。 4 （3）如判断1375 是否为25 的倍数，看末两位，75 是25 的倍数，则1375 是25 的倍数。 （4）原理：4*25=100，说明整百的部分肯定既是4 的倍数，又是25 的倍数， 压根不用管，上千的数同理，故只需要判定整百以后的部分，即十位和个位（末 两位）。 （5）1375=13*100+75=13*4*25+75，故1300 肯定是4 的倍数和25 的倍数， 不用管，只需要看末两位。 4.8 的倍数、125 的倍数看末三位： （1）8*125=1000，整千的部分既是8 的倍数、又是125 的倍数，这部分不 用管，只需要看千位往后的百位、十位和个位。 （2）如判断11808 是否为8 的倍数，看末三位，808 是8 的倍数，则11808 是8 的倍数。 5.常考3、9、5、4 的倍数，3、9 看加和，5 看末一位，4 看末两位。 【例】（2024 联考）企业招聘了100 多名应届毕业生，其中13 人被分配到 总部工作，剩下的人正好能被平均分配到7 个分公司，也能被平均分配到9 个分 公司工作。问企业招聘了多少名应届毕业生？（ ） A.126 B.139 C.176 D.189 【解析】例.数学运算又称数量关系，需要先理清楚主体之间的关系，再做 题。题干一开始说明招聘了很多人，即给出招聘总数，这堆人招进来之后，有13 人被分配到总部工作，剩下的人去了分公司，去了分公司的人能平均分配到7 个 分公司，意味着分公司的总人数是7 的倍数，同时也能平均分配到9 个分公司， 意味着分公司的总人数也是9 的倍数，列式：招聘总数=总部人数+分公司人数。 分公司的人数既是7 的倍数，同时又是9 的倍数，找最小公倍数，7 和9 无法再 约分，直接相乘，故分公司的人数是7*9=63 的倍数。 A 项：对应分公司的人数为126-13=113 人，不是63 的倍数，排除。 B 项：对应分公司的人数为139-13=126 人，是63 的倍数，保留。 C 项：对应分公司的人数为176-13=163 人，不是63 的倍数，排除。 5 D 项：对应分公司的人数为189-13=176 人，不是63 的倍数，排除。【选B】 【注意】整除型只是铺垫，题目不一定正好平均分完，可能剩了，也可能不 够分了。 （二）余数型倍数特性： 常见形式：平均分，有剩余/缺少 答案=ax 士b，那么（答案干b）能被a 整除（a、x 均为整数） 【例1】一堆苹果平均每人分10 个，还剩3 个，则苹果有多少个？ A.117 B.120 C.123 D.126 【例2】一堆苹果平均每人分10 个，还缺3 个，则苹果有多少个？ A.117 B.120 C.123 D.126 多退少补： 多退：多几个/余几个/剩几个 多几个在总数上退几个，正正好好 少补：少几个/缺几个/不够几个 少几个在总数上补几个，正正好好 【注意】 1.常见形式（识别）：平均分，有剩余/缺少，最终求总数。 2.方法：答案=ax±b，那么（答案∓b）能被a 整除（a、x 均为整数）。 3.例： （1）要求苹果的总数，每人分10 个，最终还剩3 个，考虑将剩下的3 个直 接扔到垃圾桶中，相当于总数-3，减完3 个后剩余的苹果每人分10 个刚好分完， 故总数-3 是10 的倍数，选项给的是总数，选项-3 依次为114、117、120、123， 仅C 项-3 后是10 的倍数，当选。“多退”解决的是在平均分的过程中最终多几 个/余几个/剩几个，考虑退回去（减），多几个就在总数上减几个，减完后正好 分完。 6 （2）每人分10 个，分到最后1 个人时发现少3 个，要想解决这个问题，可 以去楼下的超市立刻买3 个苹果，即总数+3=10*人数，即在总数上补充3 个，每 人分10 个就正好分完，选项给的是总数，要求分别+3，加完3 后需要是10 的倍 数，A 项当选。“少补”解决的是少几个/缺几个/不够几个，考虑补回来（加）， 在总数上加，少3 个就在总数上加3 个，得到的效果是正好分完。 4.怎么用：多退少补。 【例1】（2021 福建）某高校的学生数在一千至五千之间，如果让所有学生 按10 人一排列队，即每10 人排一队，这样最后剩下一个学生。同理，如果分别 按9 人、8 人、7 人、6 人、5 人、4 人、3 人、2 人一排列队，排到最后都是剩下 一个学生，问该校一共有多少个学生？（ ） A.1683 B.1891 C.2521 D.3024 【解析】1.选项均满足在一千至五千之间；已知每10 人排一队，最后剩下 一个学生，剩1 个对应的含义即多1 个，最终求总数，考虑用余数型倍数特性， 多1 个则减1 个，总数-1=10*队数→总数-1 是10 的倍数，边分析边排除，选项 给的是总数，选项-1 依次为1682、1890、2520、3023，根据“-1”后应为10 的 倍数排除A、D 项，剩余B、C 项。 梳理题意：若9 人一队，最终多1 人；若8 人一队，最终也多1 人。此处容 易理解错误，并不是按照9 人、8 人、7 人、6 人、5 人、4 人、3 人、2 人进行分 队，最终剩1 人。 考虑看2 的倍数，总数-1 是2 的倍数→尾数为0，B、C 项均符合，无法排 除。 考虑看3 的倍数，总数-1 是3 的倍数，B 项-1=1890，各位数字加和为 1+8+9+0=18，18 是3 的倍数，则1890 是3 的倍数；C 项-1=2520，各位数字加和 为2+5+2+0=9，9 是3 的倍数，则2520 是3 的倍数，仍然无法排除。 考虑看4 的倍数，总数-1 是4 的倍数，4 的倍数看末两位（90 和20），90 不 是4 的倍数，排除B 项，C 项当选。【选C】 7 当堂联系（2022 陕西）某幼儿园组织春游，该园共有不超过一百名小朋友， 9 人一组剩7 人，11 人一组剩9 人。问该幼儿园有多少小朋友？（ ） A.95 B.96 C.97 D.98 【解析】拓展.没有一个选项超过100，故首句无意义；9 人一组剩7 人→多 7 人，考虑退回去，故总数-7=9*组数，意味着答案-7 是9 的倍数，选项-7 依次 为88、89、90、91，仅C 项满足。后续条件不需要使用，根据一个条件已经排除 了三个选项，后续的条件不用管；若只能排除一个选项或两个选项，再看后面的 条件。【选C】 【例2】（2024 公务员）某社区计划组织志愿者为社区内的独居老人提供服 务。按已有志愿者的数量，如果每位志愿者服务10 位老人，则有5 位老人无人 提供服务；如果增加2 位志愿者，则每位志愿者最多服务8 位老人就能为所有老 人提供服务。那么该社区最多有多少位独居老人？（ ） A.50 B.55 C.60 D.65 【解析】2.问老人的数量，梳理条件，已知每位志愿者服务10 位老人，则 有5 位老人无人提供服务→多出5 位老人，则老人总数=志愿者人数*10+5→老人 总数-5=志愿者人数*10、是10 的倍数，意味着选项-5 应为10 的倍数，选项-5 依次为45、50、55、60，排除A、C 项；已知增加2 位志愿者，则每位志愿者最 多服务8 位老人就能为所有老人提供服务，与前文表述形式不一致，有别的意 思，当先排除后还选不出答案时，再考虑代入选项（将选项代回到完整的题干中）。 问最多，应该从大的选项开始代，若代入55 发现符合要求，也不敢选B 项，因 为问的是最多，若D 项满足应该选D 项。 D 项：独居老人为65 人，则原来的志愿者人数为60/10=6 人，增加2 人后， 现在的志愿者人数变为6+2=8 人，每位志愿者最多服务8 位老人，则一共最多可 以服务8*8=64 位老人，所有老人为65 人，无法为所有老人提供服务，该项不符 合要求，排除，B 项当选。【选B】 8 【注意】 1.验证B 项（考试不需要）：独居老人为55 人，则原来的志愿者有50/10=5 人，增加2 人后，现在的志愿者人数变为5+2=7 人，每位志愿者最多服务8 位老 人，则一共最多可以服务7*8=56 位老人，可以为所有老人提供服务，满足题意， 当选。 2.总结：倍数特性，先排除，若能排除三项则直接选答案，排除不了的再代 入；代入的时候，问最多，从大的开始代，问最小，从小的开始代（最值原则）； 哪个选项比较好算就先算哪个（好算原则）；剩余两项，代入一项即可得到答案， 即剩二代一，必出答案。如本题，代入D 项，D 项不行选B 项，行则选D 项。 （三）比例型倍数特性：分数、百分数、比例、倍数 （1）男女生人数之比是3：5（比例） （2）男生是女生人数的3/5（分数） （3）男生是女生人数的60%（百分数） （4）男生是女生人数的0.6 倍（倍数） 已知某班级学生：男生/女生=3/5，问： ①男同学人数是（ ）的倍数 ②女同学人数是（ ）的倍数 ③同学总数是（ ）的倍数 ④女同学和男同学相差（ ）的倍数 已知A 事物/B 事物=m/n（最简整数比） ①A 事物是m 的倍数 ②B 事物是n 的倍数 ③A+B 是m+n 的倍数 ④A-B 是m-n 的倍数 【注意】比例型：是本节课最重要的一个方法，从2022 年联考一直到2025 年联考，每年基本上都会考到比例型倍数特性。联考分A、B、C、D、E 类，一起 考查，每一类的数量都是5 道题，若每一类的数量均不相同，则一共要出25 道 题，出1 道题都费劲，若2025 年上半年一共出了8 道数量题，每一类各抽5 题， 9 资料分析同理，可能一共出了4 篇，A 类抽3 篇，B、C、D、E 类均抽2 篇，甚至 有时候可能一共就只出了3 篇，故各类之间可能是重复的、一样的题，比例型倍 数特性是目前考试最流行的考法。 1.比例形式：分数、百分数、比例、倍数。 （1）男女生人数之比是3：5（比例）：男生/女生=3/5。 （2）男生是女生人数的3/5（分数）：男生=女生*（3/5）→男生/女生=3/5。 （3）男生是女生人数的60%（百分数）：男生=女生*60%=女生*（60/100）= 女生*（3/5）→男生/女生=3/5。 （4）男生是女生人数的0.6 倍（倍数）：男生=女生*0.6=女生*（0.6/1）= 女生*（6/10）=女生*（3/5）→男生/女生=3/5。 （5）3：5=3/5=0.6=60%、4：5=4/5=0.8=80%，在数量、资料中可以相互转 化，以上均为比例的形式。 2.已知某班级学生：男生/女生=3/5，给比例，问具体的人数，男生可能是 3 人，女生为5 人，也可能男生为30 人，女生为50 人，还可能男生为300 人， 女生为500 人，以上均满足3/5 的关系。 （1）男同学人数是3 的倍数。 （2）女同学人数是5 的倍数。 （3）同学总数是3+5=8 的倍数，3+5=8、30+50=80、300+500=800，均为8 的 倍数。 （4）女同学和男同学相差5-3=2 的倍数，数量和资料中，“相差”指的都是 “大-小”。 （5）记忆：左边分子对应右边分子（分子对分子），左边分母对应右边分母 （分母对分母），左边分子+左边分母对应右边分子+右边分母（相加对相加），左 边分子、分母相减对应右边分子、分母相减（相减对相减）。 （6）研究的都是正整数，不研究负数，因此是“大-小”。 3.甲、乙手中的苹果数量为7：9，则甲手中的苹果数为7 的倍数，乙手中的 苹果数为9 的倍数，两人手中的苹果数之和为7+9=16 的倍数，乙比甲多的苹果 数为9-7=2 的倍数。 4.等号右侧的分数3/5 或7/9 有一个要求——最简整数比，即不能再约分， 10 一定要化简到底。如男生/女生=60/100，不能直接说男生是60 的倍数，必须化 成最简形式3/5 后再用结论。 （三）、比例型倍数特性：总结。 1.什么时候考虑使用比例型倍数特性：题目出现分数、百分数、比例、倍数。 2.怎么使用：整理成最简整数比。 3.四条结论：分子对分子、分母对分母、相加对相加、相减对相减。 【注意】出现分数或百分数或比例或倍数（4 者形式出现其一即可），就可以 考虑比例型倍数特性，不管给的是什么形式，都要整理成最简形式，分子对分子、 分母对分母、相加对相加、相减对相减。 【例1】（2024 陕西）小丽和妹妹两人共带了400 元去商场挑选礼品，买完 礼品后两人剩下的钱数相等，已知小丽花去的钱数与她原来的钱数的比是3：7， 妹妹花去的钱数与她原来的钱数的比是9：13。那么小丽花了多少钱？（ ） A.60 元 B.70 元 C.80 元 D.100 元 【解析】1.出现3：7、9：13，说明题干中有比例的形式，考虑比例型倍数 特性，两个比例均有相关的结论，用哪个比例，需要看问啥，问小丽，3：7 指的 是小丽花去的钱数与原来钱数之比，主语为小丽，9：13 的主体为小丽的妹妹， 根据问题选比例，应该看“3：7”。整理成最简整数比，小丽花去的钱数/小丽原 来的钱数=3/7，问小丽花去的钱数，分子对分子，则答案是3 的倍数，排除B、 C、D 项，A 项当选。【选A】 【注意】思路梳理： 1.识别：题目中出现比例3：7。 2.整理成最简整数比：小丽花去的钱数/小丽原来的钱数=3/7。 3.对应结论： （1）小丽花去的钱数是3 的倍数。 （2）小丽原来的钱数是7 的倍数。 11 （3）小丽花去的钱数+原来的钱数是10 的倍数。 （4）小丽原来的钱数-花去的钱数是4 的倍数。 4.根据一个条件排除三个选项，其他条件不需要管（是给用方程法的同学提 供的，如果用方程法求解，必须用到题目中的所有条件，倍数特性的优越点在于 不需要用）。 5.比例是“爹”，问题是“妈”，二者结合在一起看，全家才能笑哈哈，通过 问题结合相关比例解题就会非常快。 【当堂练习】（2025 公务员联考）某绿色有机农场把61600 平方米耕地划分 为玉米、大豆、稻谷三个作物区，玉米和大豆的面积比是7：2，大豆和稻谷的面 积比是6：1，则玉米的面积是多少平方米？ A.46200 B.47200 C.48200 D.49200 【解析】拓展.问玉米的面积，应该看“7：2”，玉米/大豆=7/2→玉米的面 积是7 的倍数，7 的倍数没有口诀，直接除，“00”不用管，462/7=66，保留； 472/7 无法除尽，排除；482/7 无法除尽，排除；492/7 无法除尽，排除。A 项当 选。【选A】 【例2】（2022 联考）某幼儿园的育才班和育人班两个班级的图书数量比为 7：9，当育人班拿出18 本书给育才班后，育才班和育人班两个班级的图书数量 比为9：7。问两个班级共有图书多少本？（ ） A.144 B.153 C.171 D.189 【解析】2.出现比例的形式（7：9、9：7），7：9 本身就是最简整数比，列 式：育才班的图书数量/育人班的图书数量=7/9，不用再约分；比例是“爹”，问 题是“妈”，要求“共”，考虑相加对相加，故答案是7+9=16 的倍数。 方法一：直除，必须除以16 能整除，144/16=9。 方法二：结合16 的倍数分析，16*1=16、16*2=32、16*3=48、16*4=64、 16*5=80……，枚举后发现均为偶数，A 项当选，原理是奇偶特性。 12 方法三：考虑拆分，根据100 +、16 的倍数，优先想到160，144=160-16，160、 16 均为16 的倍数，则144 是16 的倍数；153=160-7，7 不是16 的倍数，排除； 171=160+11，11 不是16 的倍数，排除；189=160+29，29 不是16 的倍数，排除。 A 项当选。【选A】 【注意】思路梳理： 1.识别：题目中出现比例。 2.整理成最简整数比：育才班的图书数量/育人班的图书数量=7/9。 3.对应结论： （1）育才班的图书数量是7 的倍数。 （2）育人班的图书数量是9 的倍数。 （3）育人班+育才班的图书数量是16 的倍数。 （4）育人班-育才班的图书数量是2 的倍数。 4.若看8 的倍数，需要看末三位，选项一共只有三位，看末三位跟没看一样； 8 的倍数不一定是16 的倍数，如3*8=24，24 是8 的倍数，但不是16 的倍数。 5.看“9：7”也是一样的，育人班拿出18 本书给育才班，则（原来的育才 班+18）/（原来的育人班-18）=9/7，要求两个班级共有多少书，相加对相加， 原来的育才班+18+原来的育人班-18=原来的育才班+原来的育人班=9+7=16 的倍 数。 当堂练习（2024 广东）一个袋子里放着各种颜色的小球，其中红球占三分之 一，后来又往袋子里放了8 个红球，这时红球占总数的五分之三、则原来袋子里 有（ ）个小球。 A.10 B.12 C.16 D.20 【解析】拓展.原来的红球/原来的总数=1/3，要求原来袋子里有多少个小球， 对应分母，为3 的倍数，B 项当选。【选B】 【注意】 13 1.在原来红球的基础上再放8 个球，这8 个球是从外部放进来的，故总数也 应在原来总数的基础上+8，列式：（原来红球+8）/（原来总数+8）=3/5→原来总 数+8 是5 的倍数→答案+8 是5 的倍数，选项+8 依次为18、20、24、28，仅20 是5 的倍数，B 项当选。 2.注意，选项给的就是原来的总数。 【例3】（2025 联考）某厂购进一批染料，分别为红色和蓝色，该厂每天消 耗红色染料3 桶，蓝色染料2 桶，7 天后检查发现剩余染料中红色是蓝色的3 倍。 问该厂共购进至少多少桶染料？（ ） A.36 B.37 C.39 D.43 【解析】3.购进一批染料，每天消耗3 桶红色、2 桶蓝色，则7 天共消耗了 7*（2+3）=35 桶染料。 方法一：还有一些剩余的染料，剩余红色/剩余蓝色=3/1。要求该厂共购进 至少多少桶染料，染料被分为两部分，列式：35+剩余=总数，要想让总数至少， 35 是固定的，只要剩余染料少即可。3/1 的关系，最少为剩3 桶红色、1 桶蓝色， 所求=35+4=39，对应C 项。 方法二：剩余红色/剩余蓝色=3/1→剩余总数是3+1=4 的倍数（相加对相加）， A 项：剩余36-35=1 桶，1 不是4 的倍数，排除；B 项：剩余37-35=2 桶，2 不是 4 的倍数，排除；C 项：剩余39-35=4 桶，4 是4 的倍数，保留；D 项：剩余43- 35=8 桶，8 是4 的倍数，保留。问至少，选小的，C 项当选。【选C】 【注意】5 道题如果听了理论，一定能做出2 题。 【例4】（2024 公务员）大学生创业主要集中在高科技、智力服务、连锁加 盟和自媒体运营四个领域。某学院今年选择创业的大学毕业生不到50 人，其中 选择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒体运营领域的分别占1/7、1/2 和1/3。 那么该学院今年选择高科技领域创业的大学毕业生有多少人？（ ） A.1 B.3 14 C.5 D.7 【解析】4.数量关系，先理清关系，已知大学毕业生总数不到50 人，总人 数分成四部分，给了前三个主体的占比，要求第四个主体的人数，如果只会方程 法，会发现条件不够，无法求解。题干给出分数，考虑比例型倍数特性，列式： 智力服务领域/大学毕业生=1/7、连锁加盟领域/大学毕业生=1/2、自媒体运营领 域/大学毕业生=1/3，这三个条件中都有的量为大学毕业生人数，根据这三个比 例可知选择创业的大学毕业生总数既是7 的倍数、又是2 的倍数、还是3 的倍 数，找最小公倍数，7、2、3 两两之间无法约分，直接相乘，则大学毕业生人数 是7*2*3=42 的倍数，结合选择创业的大学毕业生不到50 人（1～49 人之间）， 则总人数为42 人。选择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒体运营领域的人数 分别为42*（1/7）=6 人、42*（1/2）=21 人、42*（1/3）=14 人，问第四个领域 的人数，所求=42-6-21-14=42-41=1 人，对应A 项。【选A】 【注意】给了三个领域的占比，可以求得高科技人数/大学毕业生=1-1/7- 1/2-1/3，会涉及大通分，找7、2、3 的最小公倍数，原式=42/42-6/42-21/42- 14/42=1/42，总人数不到50 人，则只能为42 人。这种方式也可以，但不建议用 这个方法，这是一类固定的考法，只有这道题能够用这个方法做，因为给的条件 比较特殊，重点学习课上老师讲解的方法，因为这类问题的考法非常固定，老师 讲的方法可以解决所有的这类问题。 【考法总结】 识别：题目中出现比例型（分数/百分数/比例/倍数） 总人数是范围：70～90 人 不到50 人 60 多人 方法：用倍数特性确定总人数 【注意】 1.题目中出现比例型（分数/百分数/比例/倍数）。 2.总人数是范围，在最近的考法中比较火热，如70～90 人，可以是70、 15 71、……、89、90 人；又如不到50 人，在所有真题中，对这句话的理解是1～ 40 人均可（可以是2 人），如不到2 万，可以是2 千；60 多人指的是61～69 人， 必须十位是6。用比例型倍数特性确定总人数。 当堂练习（2025 重庆）某单位计划组织团建活动，共有ABCD 四个方案，并 对全体70 余名员工进行了意愿调查，其中4%的员工选择了弃权。在收到的有效 问卷中，选择A 方案的占全体员工总数的20%，比选择B 方案的少2 人，比选择 C 方案的多1 人。问选择D 方案的员工有多少人？（ ） A.24 B.26 C.28 D.30 【解析】拓展.总人数是范围值，且为70 余人、70 多人，指的是71～79 人 之间。总人数分成了5 个主体，总人数是范围值且出现比例形式，考虑用比例型 倍数特性确定总人数，4%和20%均涉及总人数。 方法一：弃权/总人数=4%=1/25→总人数是25 的倍数，已知总人数介于71～ 79 人之间，则总人数为75 人。 方法二：选择A 方案/总人数=20%=1/5→总人数是5 的倍数，已知总人数是 70 多人，则总人数只能为75 人。 弃权=75*4%=3 人，选择A 方案=75*（1/5）=15 人，已知选择A 方案的比选 择B 方案的少2 人→选择B 方案=15+2=17 人，选择A 方案的比选择C 方案的多 1 人→选择C 方案=15-1=14 人，则选择D 方案=75-（3+15+17+14）=75-49=26 人， 对应B 项。【选B】 【注意】 1.这种考法在公务员、事业单位等考试中都在考。 2.读题难理解是因为读得少，本题与例4 的出题逻辑相同，总人数为范围值 16 且给出相关的占比，求最后一个主体具体的人数，两道题大概是一个思路。 【例5】（2025 湖北选调）甲、乙、丙三个单位共有100 多名职工，甲单位 职工比乙单位多14%；丙单位职工比甲单位少3 人。问三个单位共有多少人？ （ ） A.158 B.159 C.160 D.161 【解析】5.2025 年事业单位出了1 道题，与本题考法基本一致，总人数给 出范围值，题干给出比例形式（14%），如果不知道总人数，没办法求解，考虑用 比例型倍数特性确定总人数。写成最简整数比，甲是乙的14%则甲/乙=14%。 方法一：题干说的是甲比乙多14%，甲相当于现期、乙相当于基期，应列式： （甲-乙）/乙=14%→甲/乙-1=14%→甲/乙=1+14%=1.14=114/100=57/50。 方法二：将“比”字之后当100 来表示，如本题，将乙当成100，则甲=100* （1+14%）=114，故甲/乙=114/100=57/50。 已知这三个单位一共100 多人，甲+乙=57+50=107 的倍数，意味着107 的倍 数+丙=100 +，则甲+乙只能为107 人（不能是2 倍），甲只能是57 人，乙只能是 50 人，丙是57-3=54 人，所求=50+57+54=尾1，D 项当选。【选D】 【注意】 1.A 比B 多+%：（A-B）/B，相当于增长率计算公式。 2.100 多人，可以超过100，因为不是几十多；60 多指的是61～69，100 多 指的是百位为1，指的是101～199，不可能是200。60 多指的是十位为6，200 多指的是百位为2。 17 【注意】 1.整除型：倍数判定的方式要记住。 2.余数型：平均分组有剩余或又缺少，方法为多退少补。 3.比例型倍数特性：总人数是范围，有比例出现，用倍数特性确定总人数， A 比B 多出+%，整理成最简形式，再用倍数，如A 比B 多出37%，将“比”字后 的B 当成100，A 比100 多37%，即多了100 的37%、多了37，则A/B=137/100。 二、方程法 方程（设、找、列、解） 设未知数技巧 ①条件中有比例设份数：甲：乙=3：4 ②设“是”字、“比”字之后：甲是乙的两倍 ③条件中有多个关系：设中间量，方便列式：甲是乙的1.5 倍，丙是乙的3 倍 【注意】方程法是比较常用的方法，没有太多的技巧性，当倍数特性用不了 18 时，只能老老实实用方程，设未知数→找等量关系→列式求解。 1.条件中有比例设份数（联考中出现较多）：如甲：乙=3：4，说明甲是3 份、 乙是4 份，设每份为x，x 本身没含义，甲为3 份、是3x，乙为4 份、是4x。 2.条件中出现“是”或“比”字，设“是”字、“比”字之后：如甲是乙的两 倍，设“是”后的乙为x（因为好表示），则甲为2x。 3.条件中有多个关系：设中间量，方便列式。如甲是乙的1.5 倍，丙是乙的 3 倍，两个关系中均有乙，设乙为x，乙为中间量，则甲为1.5x、丙为3x。 【例1】（2024 重庆）甲、乙两个单位职工人数之比为3：4。现从甲单位调 出15 人到其他基层单位，再从乙单位调动25 人到甲单位，则两个单位职工人数 相同。问原来两个单位共有多少名职工？（ ） A.不到200 人 B.在200～230 人之间 C.在231～260 人之间 D.超过260 人 【解析】1.出现比例型倍数特性，可知总人数是3+4=7 的倍数，选项为范围 值，无法确定答案。当倍数特性行不通时，只能老老实实用方程，出现比例3： 4，可以设份数，设甲单位原来的职工人数为3x，乙单位为4x；甲单位先调走15 人，再从乙单位调25 人到甲单位，则现在甲单位职工人数为3x-15+25，乙单位 职工人数为4x-25，此时两个单位的人数相等，根据题意列式：3x-15+25=4x-25 →3x+10=4x-25→10=x-25→x=35，所求=3x+4x=7x=7*35=245 人，对应C 项。【选 C】 【注意】联考2024 年、2025 年的题就这个难度，甚至有的题不需要列方程 就能做出来；也有难题，后续会讲解，但听完理论后，5 道题中至少能做出2～ 3 题。 【例2】（2024 联考）2024 年，某家庭大女儿的年龄是小女儿年龄的2 倍， 2028 年，小女儿的年龄是2024 年时的2 倍，2029 年，两个女儿的年龄之和是母 亲年龄的一半。问母亲比大女儿大几岁？（ ） A.29 B.30 19 C.31 D.32 【解析】2.题干说了三个人之间的事，属于多个主体，涉及多个时间段，可 以列表分析，根据题目表述的逻辑（联考的逻辑很清楚）。设2024 年，“是”后 小女儿年龄为x 岁，则大女儿年龄为2x 岁；4 年后为2028 年，大女儿、小女儿 均长4 岁，此时小女儿的年龄为x+4 岁，大女儿年龄为2x+4 岁，根据题意列式： x+4=x*2→x=4，故2024 年小女儿为4 岁，大女儿为8 岁；2028 年小女儿为4+4=8 岁，大女儿为2*4+4=12 岁；2029 年大女儿为12+1=13 岁，小女儿为8+1=9 岁， 母亲为（13+9）*2=22*2=44 岁，所求=44-13=31 岁，对应C 项。【选C】 【注意】 1.多个主体、多个时间段，列表、列方程。 2.题干没有问具体哪一年，因为不管在哪一年，两个人的年龄差都保持不变。 如今年，甲为30 岁，乙为51 岁，则乙比甲大21 岁（年龄差为21 岁），10 年后， 甲为40 岁，乙为61 岁，乙仍然比甲大21 岁，无论在哪一年，甲、乙之间的年 龄差值保持不变、均为21 岁。又如本题，母亲和大女儿的年龄差保持不变，因 此不用管是哪一年。 【例3】（2022 公务员）某单位四个党史宣讲小组各有若干组员，现增加2 人并重新分配，使得四个小组人数相等。此时与原先相比，第一小组人数增加10 人，第二小组人数减少1 人，第三小组人数增加一倍，第四小组人数减半。则原 先人数最多的小组与人数最少的小组之间相差（ ）。 A.15 人 B.21 人 C.24 人 D.32 人 【解析】3.本题较难，一共4 个小组，这4 个小组有总人数；总人数增加2 20 人（并不是每组增加2 人）后进行重新分配，此时这4 组的人数相等。题干没有 出现比例型，无法通过倍数求解，只能通过方程求解，先思考给谁设成未知数， “现在4 组的人数相等”，是中间量（与其他量均相关的量）、共同量、相同量， 设此为未知数，能够表示的量最多。设现在每组有x 人，总人数为4x 人，则原 来的总人数为4x-2 人（+2 后为20，原来为18；+2 后为100，原来是98），原先 第一小组有x-10 人（+10 后才变为x）、第二小组有x+1 人（减少1 后变为x）、 第三小组有x/2 人（10 增加1 倍变为20，30 增加1 倍变为60，增加1 倍即“*2”、 变为原来的2 倍，多1 倍=原来的2 倍）、第四小组有2x 人（除以2 后为x）。4 组人数加和为总人数，根据题意列式：x-10+x+1+x/2+2x=4x-2→4.5x-9=4x-2→ 0.5x=7→x=14。原先第一小组有14-10=4 人、第二小组有14+1=15 人、第三小组 有14/2=7 人、第四小组有2*14=28 人，原来的总人数不需要计算，因为问的是 这4 组之间的事，人数最多的是28 人，人数最少的为4 人，所求=28-4=24 人， 对应C 项。【选C】 【注意】本题最核心的点为4 组的人数相等，这是中间量，设它为未知数。 三、赋值法 什么是赋值法？ 不影响结果的前提下，一些未知量用具体数来表示，实现快速解题，但不能 对答案赋值。 所有的题目都可以赋值吗？ 不可以，特定题目才可以赋值。 【注意】赋值法：在2025 年的考试中考得非常多，故在理论讲练部分添加 了赋值法。 1.赋值法：不影响结果的前提下，一些未知量用具体的数来表示，实现快速 解题，但不能对答案赋值。令题目中的某一个主体是多少，它就是多少，如赋值 工作总量为60 份，即认为这份工作就是60 份的工作，让它是多少就是多少。 2.不是所有题都可以赋值，只有特定的题才可以赋值，有两种情况可以赋值。 21 什么题目可以赋值？ 1.题目中没有具体的数值，给比例求比例 2.三量关系，只给出一个量 怎么赋值？ 为了好算，根据比例赋值，或者赋值相同的量（找公倍数） ①题目中没有具体的数值，给比例求比例。根据比例赋值，或者赋值相同的 量（找公倍数） 例：一个长方形的长和宽之比为4：3，现长增加1/4 后，面积变为原来的多 少倍？ 【注意】 1.什么题目可以赋值？ （1）题目中没有具体的数值，给比例求比例。 （2）三量关系，只知其一。 2.原则上赋多少都可以，为了好算，可以根据比例赋值，或者赋值相同的量 （找公倍数）。 3.第一类：题目中没有具体的数值，给比例求比例，考虑赋值，根据比例赋 值。 4.例：题干给的都是比例，无具体数值（没有说长为8 厘米或宽为6 厘米或 面积为12 平方厘米等），最终求的是倍数，也是比例，属于给比例、求比例；根 据比例赋值，若有比例则赋比例，根据4：3 赋值，赋值原来的长为4、宽为3， 则原来的面积为4*3=12；现在的长为4+4*（1/4）=5，宽不变、仍为3，现在的 面积为5*3=15，所求=15/12=5/4=1.25 倍。 5.若引例用常规方法求解，设原来的长为4x、宽为3y，则现在的长为5x， 宽不变、仍为3y，面积=长*宽，原来的面积为12xy，现在的面积为15xy，所求 =15xy/12xy，最终xy 被约去，说明这类题x、y 的值对结果无影响，最终都能被 22 约去，故给比例求比例，可以赋值，赋值为多少都可以；有比例则根据比例赋值， 这样好算。 【例1】（2022 联考）水质实验室已有烧杯和三角瓶的数量比为7：4，若再 买进若干个烧杯，这时烧杯与三角瓶的数量比变成3：1，接着又买进相同数量的 三角瓶，此时烧杯与三角瓶的比为4：3。问实验室原有三角瓶的个数是新增三角 瓶个数的多少倍？（ ） A.0.5 B.0.8 C.1.25 D.2 【解析】1.给的都是比例，最终求比例，考虑赋值，题干论述的是烧杯和三 角瓶之间的事，已知原来烧杯和三角瓶的数量比为7：4，有比例则直接赋值，赋 值原来的烧杯为7 个，三角瓶为4 个；买进若干个烧杯后，烧杯变多了，但三角 瓶的数量没有发生改变、仍为4 个，根据“3：1”的关系可知现在的烧杯有4*3=12 个，则烧杯新买了12-7=5 个；接着又买进5 个三角瓶，所求=4/5=0.8，对应B 项。【选B】 【注意】 1.“此时烧杯与三角瓶的比为4：3”，这句话没用，不给也行，给不给都知 道烧杯是12 个、三角瓶是9 个。 2.比例=“是”前/“是”后。 3.给比例，求比例，直接根据比例赋值。 【例2】（2025 山东）某次选举规定，候选人需要获得超过总票数的5/6 才 能当选，在统计了4/5 的选票后，候选人甲已获得了当选所需票数的4/5，问甲 还需获得剩余选票的几分之几以上才能成功当选？（ ） A.5/6 B.4/5 C.3/4 D.2/3 【解析】2.给比例、无具体数值，求比例，可以赋值。根据题意列式：当选 需要的票数/总票数=5/6、已经统计的票数/总票数=4/5，这两个比例中均有的量 23 为总票数，故总票数为共同量，赋值相同的量，找5 和6 的公倍数，则赋值总票 数为5*6=30。当选所需票数为30*（5/6）=25 张票才能当选，现在已经统计了 30*（4/5）=24 张票，甲现在已经获得了25*（4/5）=20 张票；总票数为30 票， 已经统计了24 票，则剩余30-24=6 张票未统计，甲当选需要25 票，统计到24 票时甲已经获得20 票，还需要25-20=5 张票当选，所求=5/6，对应A 项。【选A】 【注意】 1.第一个4/5 是总票数的4/5，第二个4/5 指的是25 票的4/5=20 票。 2.题目溯源（2024 公务员联考）：在一次选举中，候选人需要获得超过总票 数的3/5 才能当选，在统计了2/3 的选票后，他已获得了当选所需票数的5/6， 他若能当选还要得到剩下选票中的？与例2 一模一样，只是略有不同，整体是有 延续性、借鉴性的，因此可以做一些公务员的题目，推荐难度相仿的真题，数量 可以做内蒙古、黑龙江、辽宁、吉林（这4 个地方用一套卷子）、云南、贵州、 青海，与事业单位联考的数量关系整体难度差不多。 三量关系，只给出一个量 根据比例赋值，或者赋值相同的量（找公倍数） 例：景点有若干游客准备过河，若用一艘大船8 次正好运完，若用一艘小船 12 次正好运完。如果同时使用3 艘小船和2 艘大船，则（ ）次可以运完？ 游客总数=每艘船运走人数*次数 【注意】 1.三量关系，只知其一（只给出一个量），找共同的量，赋成公倍数。 2.例：要求将游客运完，游客总数=每艘大船运走人数*8 次=每艘小船运走 人数*12 次，本题需要用到一个三量关系（三个量之间的关系）“游客总数=每艘 船运走人数*次数”，题干没有给总人数、每艘船运的人数，只给了次数，属于三 24 量关系只给出一个量，这样的问题就可以赋值。可以赋相同的量，无论是大船还 是小船，装走的总人数是相同的、为若干游客，故对总人数进行赋值，总人数应 为8 的倍数且为12 的倍数，赋值总人数为8 和12 的公倍数24，则大船每次运 24/8=3 人，小船每次运24/12=2 人。同时使用3 艘小船和2 艘大船，一次可以 运3*2+2*3=6+6=12 人，所求=24/12=2 次。 3.16 不是12 的倍数。 【例3】（2021 广东）某商店采购了三种不同的坚果，所花费金额相等。已 知这三种坚果每斤价格分别为15 元、20 元、30 元。若将这批坚果全部混合后， 则每斤坚果成本价格为（ ）元。 A.19 B.20 C.21 D.22 【解析】3.每斤的价格*斤数=采购价→单价*数量=总价，已知三种坚果的单 价分别为15 元、20 元、30 元，这三种坚果花费的金额相同→总价相同，15*坚 果A 的斤数=总价、20*坚果B 的斤数=总价、30*坚果C 的斤数=总价。三量关系， 只给出每斤的价格，即只给出单价，可以考虑赋值，这三种坚果采购时花费的金 额相等，赋值相同的总价为15、20、30 的最小公倍数，用短除法，同时除以5， 剩余3、4、6，3 和6 同时除以3，剩余1 和2，4 不行、直接落下来，4 和2 同 时除以2，剩余2 和1，1 不行、直接落下来，化简到两两之间不能再约分，将最 外围数字相乘，就得到最小公倍数为5*3*2*1*2*1=60，能直接看出来的可以直 接看，看不出来的用短除法；观察15、20、30，只要是30 的倍数就是15 的倍 数，故不用管15，只用看20 和30 的公倍数，为60，也可以看成600。三种坚 果最初的采购价均为60 元，则坚果A 买了60/15=4 斤，坚果B 买了60/20=3 斤， 坚果C 买了60/30=2 斤，全混合为4+3+2=9 斤，一共花费60+60+60=180 元，所 求=这批坚果的总价格/这批坚果的总斤数=180/9=20 元/斤，对应B 项。【选B】 25 【注意】 1.比例型倍数特性是考试的重点，方程法是联考的特点，以上两种题型每年 都会考查。 2.总价相同，但是多少没有说，需要赋出来，才能算单价。 26 遇见不一样的自己 Be your better self
