文档内容
强化练习-数学运算 2
（讲义+笔记）
主讲教师：钱敏
授课时间：2021.01.30
粉笔公考·官方微信强化练习-数学运算 2（讲义）
1.某家电商场售有一种微波炉，现在进行促销活动，若按原销售价打九折出
售，则每台可盈利 215元，若按原销售价打八折出售，则每台会亏损 125元，问
这种微波炉每台原销售价是多少元？（ ）
A.2845 元 B.3060元
C.3400 元 D.3680元
2.某水果店进一批时令水果，在运输过程中腐烂 1/4，卸货时又损失 1/5，
剩下的水果当天售出，发现还获利 10%，则这批水果的售价是进价的（ ）倍。
A.1.6 B.1.8
C.2 D.2.2
3.自来水收费标准为：每户每月用水 5 吨以下为 2.2 元/吨，超过 5 吨时，
超出部分为3.2元/吨。某月，张、李两户共交 70元水费，用水量李是张的 1.5
倍，问张比李少交水费多少元？（ ）
A.16 B.15
C.14 D.12
4.某客户拟采购 8 台设备，若按原订价格厂家可获利 3200 元。现客户提出
单台设备厂家每让利 50 元就多采购 4 台。那么厂家若要获利最大，每台设备应
降价多少元？（ ）
A.250 B.200
C.150 D.100
5.某单位由 2 名领导（1 男 1 女）和 8 名普通职工（6 男 2 女）组成。根据
工作需要选派一个学习小组参加业务培训，要求学习小组包含 1 名领导和2名普
通职工，并要求不能全部为男性，则该学习小组的选派方法有（ ）种。
A.12 B.28
1C.41 D.56
6.三个三口之家一起观看演出，他们购买了同一排的 9张连座票，现要求一
家人必须坐在一起，问有多少种不同的坐法？（ ）
A.362880 B.1296
C.648 D.216
7.某电影院空着一排相邻的 8个座位，现有 4名观众就座，恰好没有连续空
位的就座方式有（ ）种。
A.48 B.120
C.640 D.1440
8.某市共有 5 个县，其位置如图所示，现用红、黄、绿、蓝 4种颜色给地图
上色，要求任意相邻的两个县的颜色不同，问共有多少种不同的上色方法？（ ）
A.32 B.64
C.96 D.144
9.某单位举行抽奖活动，在一个箱子里放了 10个球（2个红球，8个白球），
职工从中同时抽出 2个球，至少有一红球为中奖，则中奖概率是多少？（ ）
A.17/45 B.28/45
C.1/5 D.4/5
10.某人参加某项职业资格考试，有三次参考机会，预计他能通过第一次考
试的概率是 40%；若第一次没通过，第二次通过考试的概率是 60%；前两次没通
2过，第三次通过考试的概率是 70%。他能通过考试的概率是（ ）。
A.约 87% B.约90%
C.约 93% D.约96%
11.边长为 6 的正方体，由若干个边长为 1 的正方体组成，现将该大正方体
表面涂上色，请问仅有一面着色的小正方体与仅有两面着色的小正方体个数之差
为多少？（ ）
A.36 B.48
C.54 D.64
12.如下图所示，四边形 ABCD 的对角线 BD 被 E，F 两点三等分，且四边形
AECF的面积为 15 平方厘米，则四边形ABCD 的面积是（ ）平方厘米。
A.30 B.45
C.50 D.60
13.一菱形土地面积为√3平方公里，菱形的最小角为 60°，如果要将这一菱
形土地向外扩张变成一正方形土地，则正方形土地边长最小为（ ）公里。
A.√2 B.√3
C.√6 D.2√6
14.某市实验小学在全校开展“最美少先队员”民主推选活动，全校师生在
10 名候选人中选择了 2 名进行投票。投票结束后发现，没有任何一种候选人的
组合得到了超过 12 票，问该校参与投票的师生最多有多少人？（ ）
3A.495 B.496
C.540 D.541
15.某班级共有 48人，其中38人喜欢数学，35人喜欢语文，42人喜欢英语，
40人喜欢物理，那么这个班级中至少有多少人这四门科目都喜欢？（ ）
A.11 人 B.9人
C.7 人 D.5人
16.有 4 支队伍进行 4 项体育比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名
分别得到 5、3、2、1 分。每队的 4 项比赛的得分之和算作总分，如果已知各队
的总分不相同，并且 A队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多
少分？（ ）
A.8 B.9
C.10 D.11
17.11²+22²+33²+44²+55²的值是（ ）。
A.6165 B.3630
C.5840 D.6655
18.某班举行一分钟跳绳比赛，已知男生的平均成绩是 160 个，女生的平均
成绩是120个，且男生跳的总个数刚好与女生相同。问该班全体学生的平均成绩
最接近以下哪个选项？（ ）
A.136 个 B.137个
C.138 个 D.139个
19.把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789……
2005，这个多位数除以 9余数是多少？（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
420.产品质量检测站的工作人员小林需要配制某种浓度为 25%的药水，但检
测站只有甲、乙两种浓度分别为 35%、20%的该种药水，则小林配制所需药水所
用甲、乙两种药水的使用量比例为（ ）。
A.2：1 B.1：2
C.1：3 D.1：4
21.参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要
使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少 33 人。则参加团体操表演的运动
员有（ ）人。
A.269 B.279
C.289 D.296
22.某地迎来连续暴雨天气，水库水量以均匀速度增长，现已超过警戒线。
为保证堤坝安全，政府安全部门决定开闸泄洪，若同时打开 15 个闸门，水位恢
复警戒线以下需要 10小时，若同时打开 18个闸门，水位恢复警戒线以下需要 8
小时，但天气预报显示暴雨随时有增大的可能，必须在 4小时内将水位恢复到警
戒线以下，那么需要同时打开（ ）个闸门。
A.33 B.34
C.35 D.36
5强化练习-数学运算 2（笔记）
【注意】强化课程说明：
1.课程目标：通过题目，回顾与强化理论课知识点，温故知新。
2.课程设置：每节课约 2.5～3小时，课中休息一次，休息时间 5～6 分钟。
（1）数学运算 1：代入排除+数字特性+方程法+工程+行程+容斥+其他。
（2）数学运算 2：经济利润+排列组合与概率+几何+最值+计算+其他。经济
利润、排列组合与概率、最值都是在理论课中学过的。
（3）资料分析：结合 6篇完整资料，全面巩固。
3.课堂要求：课前预习；积极互动。
4.课后答疑：课前 10分钟+课间+课后答疑。
【知识点】经济利润：属于中等难度，题型容易区分。
61.基础经济：
（1）公式：
①利润=售价-成本；利润率=利润/成本，利润率是为了评估利润情况，利润
率是一个百分数。如一条裙子的进价为50 元，售价为200元，利润=200-50=150
元，利润率=150/50=300%。
②定价=成本*（1+利润率）；折扣=折后价/折前价。
③总价=单价*个数、总利润=单利*销量。
（2）方法：
①给具体带单位的数值（如给出“元/件”），方程法。
②无具体带单位的数值（如给出“利润率、打几折”），赋值法。赋值时尽量
赋值整十、整百的数据。
2.分段计费：
（1）水电费、出租车费（起步价、单公里收费）、税费、快递费等。
（2）分段计算、汇总求和。如出租车费，先算起步价，再算超出部分的价
格。
3.函数最值：
（1）识别：单价或单利和数量此消彼长，求总价或总利润最大。
（2）方法：两点式。设提价或降价次数为 x。注：无论问谁，设的都是提、
降价次数为x。
①列方程：总价/总利润=（ ）*（ ），总价=单价*个数、总利润=单利*
销量。令总价/总利润为 0，解得x、x。
1 2
②当 x=（x+x ）/2时，取得最值。
1 2
1.某家电商场售有一种微波炉，现在进行促销活动，若按原销售价打九折出
售，则每台可盈利 215元，若按原销售价打八折出售，则每台会亏损 125元，问
这种微波炉每台原销售价是多少元？（ ）
A.2845 元 B.3060元
C.3400 元 D.3680元
【解析】1.涉及售价、打折，经济利润问题，出现具体单位，用方程法。
7方法一：“盈利 215 元”即利润为 215 元，利润=售价-成本，设微波炉每台
原销售价为x元、成本为 y元，根据题意列式：0.9x-y=215①，0.8x-y=-125②，
两个式子中y的系数相等，可以直接求x的值，①-②得：0.9x-0.8x=215-（-125），
0.1x=340，解得x=3400，对应C项。
方法二：不管如何打折，成本不变，以成本不变为等量关系。设微波炉每台
原销售价为x元，列式：0.9x-215=0.8x+125，解得x=3400，对应 C 项。【选 C】
2.某水果店进一批时令水果，在运输过程中腐烂 1/4，卸货时又损失 1/5，
剩下的水果当天售出，发现还获利 10%，则这批水果的售价是进价的（ ）倍。
A.1.6 B.1.8
C.2 D.2.2
【解析】2.题中没有具体数值，考虑赋值法。赋值进价为 10、这批水果的
数量为 20。总进价=10*20=200，总售价=200*（1+10%）=220。已知“在运输过
程中腐烂 1/4，卸货时又损失 1/5”，则剩下的数量=20-20*（1/4）-20*（1/5）
=20-5-4=11，单个售价=220/11=20，所求=20/10=2，对应C项。【选C】
【注意】
1.为什么赋值这批水果的数量为 20？
答：“在运输过程中腐烂 1/4”，赋值数量为 4 的倍数好算一些。“卸货时又
损失1/5”，赋值数量为 5的倍数好算一些。所以赋值数量为 4、5的最小公倍数
20。
2.可以列方程，设进价为 x、数量为 y，根据题干条件求出总售价、剩余数
量，最后求出单个售价，未知数可以约掉。
3.自来水收费标准为：每户每月用水 5 吨以下为 2.2 元/吨，超过 5 吨时，
超出部分为3.2元/吨。某月，张、李两户共交 70元水费，用水量李是张的 1.5
倍，问张比李少交水费多少元？（ ）
A.16 B.15
C.14 D.12
8【解析】3.分为 5吨以下和超过5吨，分段计费问题，要想求钱数，需要知
道用水量。先分析两户的用水量与 5吨之间的关系，假设张用水量为 5吨，水费
=5*2.2=11；李用水量为 5*1.5=7.5吨，水费=5*2.2+（7.5-5）*3.2=19，合计水
费=11+19=30＜70，说明张、李两户用水量均超过 5 吨。设张用水量为 x 吨，则
李用水量为1.5x 吨，张的水费=5*2.2+（x-5）*3.2，李的水费=5*2.2+（1.5x-5）
*3.2，即 5*2.2+（x-5）*3.2+5*2.2+（1.5x-5）*3.2=70，22+3.2*（2.5x-10）
=70，3.2*（2.5x-10）=48，2.5x-10=15，2.5x=25，解得 x=10。求的是张比李
少交的水费，张、李水费的差别在（x-5）*3.2、（1.5x-5）*3.2，即（1.5x-5）
*3.2-（x-5）*3.2=0.5x*3.2=5*3.2=16，对应 A项。【选A】
【注意】总结：
1.分段点为 5 吨，分段计费问题，方法：先分开算，再加和。
2.严谨分析：判定两家用水量是否超过 5吨。若张家用水5 吨，则李家用水
7.5吨，总水费=2.2*5+2.2*5+2.5*3.2=30＜70，所以两家用水量均超过 5吨。
3.设张家用水 x 吨，李家用水 1.5x 吨。总水费为 2.2*5+3.2*（x-5）
+2.2*5+3.2*（1.5x-5）=70，解得x=10，则张比李少交水费为（15-10）*3.2=16
元。
4.某客户拟采购 8 台设备，若按原订价格厂家可获利 3200 元。现客户提出
单台设备厂家每让利 50 元就多采购 4 台。那么厂家若要获利最大，每台设备应
降价多少元？（ ）
A.250 B.200
C.150 D.100
【解析】4.数量和单利之间此消彼长，使获利最大，函数最值问题。“拟采
购 8 台设备，若按原订价格厂家可获利 3200 元”，即原来单利=3200/8=400。设
降价x次，则单利少 50x元，数量多4x 台，此时单利=400-50x，数量=8+4x。设
总获利为 y，总获利=单利*数量，即y=（400-50x）*（8+4x），令 y=0，400-50x=0，
解得x=8，8+4x=0，解得 x=-2，x=（x+x ）/2=（8-2）/2=3时，取最值。降价
1 2 1 2
3次，每次降价50 元，一共降价50*3=150 元，对应C项。【选 C】
9【知识点】排列组合与概率：很多同学在高中没有学过，现在学可能有些吃
力，掌握基本方法即可。
1.排列组合：
（1）基础概念：
①分类用加法（要么……要么……，一步完成），如从南京到北京，可以选
择火车、飞机、大巴，从 3种类别中选一种就可以到达目的地，火车有 6趟、飞
机有 3 班、大巴有 10 趟，即从南京到北京一共有 6+3+10=19 种选择；分步用乘
法（既……又……，分步骤），如从南京到北京，先从南京到济南，再从济南到
北京。从南京到济南的班次有4班，从济南到北京的班次有2班，分步相乘，即
从南京到北京一共有 4*2=8种选择。
②有序用排列（打乱顺序有影响），从 n 个人中挑选 m 个人，挑选时有顺序
影响，A（n,m）=n*（n-1）*……*（n-m+1）；无序用组合（打乱顺序无影响），
从 n 个人中挑选 m 个人，只挑人，C（n,m）=[n*（n-1）*……*（n-m+1）]/[m*
（m-1）*……*1]。
a.如从 197个人中挑 2人请老师吃饭。如挑出的是圆圆同学和耳朵同学，不
管先挑谁，都是这两人请老师吃饭，没有顺序，C（197,2）=（197*196）/（2*1）。
b.如从 197 个人中挑 2 人，第一个人老师请他吃饭，第二个人请老师吃饭。
假设第一个挑的是慢慢同学，第二个挑的是俞涵同学，老师请慢慢吃饭，俞涵请
老师吃饭，如果调换顺序，第一个挑的是俞涵同学，第二个挑的是慢慢同学，老
师请俞涵吃饭，慢慢请老师吃饭，结果不同，有顺序，为 A（197,2）=197*196。
（2）常用方法：
10①捆绑法：
a.特征：必须相邻。
b.方法：先捆绑，再排列组合。
c.如 6 个人去看电影，6 人中有一对情侣，情侣要坐一起。“坐一起”即要
相邻，将这对情侣圈在一起，看成一个整体，这个整体和其他四人排序，情侣之
间要考虑内部顺序。电影票有几排几号，说明有顺序影响，有序用 A。先将情侣
捆在一起，男生在左、女生在左不一样，有顺序，为A（2,2）；情侣看成一个“大
胖子”和剩下4人排序，5个主体排序为 A（5,5），即A（2,2）*（5,5）。
②插空法：
a.特征：不能相邻。
b.方法：先排列组合，再插空。
c.如 6个人去看电影，6人中有一对情侣，情侣吵架了，不能坐在一起。先
安排其余4个人，会产生空隙，再将情侣 2人插到空隙中。4个人排列为A（4,4），
4个人形成5个空，从 5个空中任意挑2 个插入一对情侣，为A（5,2），即A（4,4）
*A（5,2）。
③正难则反（逆向）：满足条件的=总数-不满足条件的。题中出现“至少有
几个”的表述，用逆向思维做。
例：6 个人看电影，其中 4 个男生、2 个女生，从中挑出 2 人去买可乐，问
挑选的2人中至少有一名男生的情况数。
答：至少有一名男生，分类讨论：有一名男生、有两名男生，正面做麻烦，
考虑反面，“至少有一名男生”的反面为没有男生，至少有一名男生的情况数=
总数-没有男生的情况数。总数：从 6 人中挑 2 人，为 C（6,2）；没有男生的情
况：挑选的2人均为女生，从 2个女生中挑 2人，为C（2,2），即至少有一名男
生的情况数=C（6,2）-C（2,2）。
2.概率：
（1）给情况数求概率：概率=满足要求的情况数/总情况数。
11（2）给概率求概率：分类用加法，分步用乘法。
（3）正难则反（逆向）：概率=1-不满足条件的概率。
5.某单位由 2 名领导（1 男 1 女）和 8 名普通职工（6 男 2 女）组成。根据
工作需要选派一个学习小组参加业务培训，要求学习小组包含 1 名领导和2名普
通职工，并要求不能全部为男性，则该学习小组的选派方法有（ ）种。
A.12 B.28
C.41 D.56
【解析】5.要求不能全部为男性，即至少有 1名女生，需要讨论有几名女生，
且还需要分析领导是女生还是职工是女生，正面求解麻烦。出现“至少……”，
可以用逆向思维做，用“总数-反面情况数”。总数：从2名领导中选 1人，为C
（2,1），从8名职工中选2人，为C（8,2），分步相乘，总数=C（2,1）*C（8,2）；
反面情况：“不能全部为男性”的反面为全部为男性，领导只能选男性，为 C（1,1），
从6名男性职工中选 2人，为C（6,2），分步相乘，反面情况数=C（1,1）*C（6,2）。
所求=C（2,1）*C（8,2）-C（1,1）*C（6,2）=2*[（8*7）/（2*1）]-（6*5）/
（2*1）=56-15=41，对应C项。【选C】
【注意】总结：
1.排列组合问题——“不能全部/都”——优先考虑反面。
2.总数-全部为男性=C（2,1）*C（8,2）-1*C（6,2）
3.分步选人，用乘法；选人没有顺序，用组合 C。
6.三个三口之家一起观看演出，他们购买了同一排的 9张连座票，现要求一
家人必须坐在一起，问有多少种不同的坐法？（ ）
A.362880 B.1296
C.648 D.216
【解析】6.看到“连座票”，说明有顺序，用 A。出现“必须坐在一起”，用
捆绑法。（1）先捆：第一组家庭的三人捆在一起为 A（3,3），第二组家庭的三人
捆在一起为 A（3,3），第三组家庭的三人捆在一起为 A（3,3）；（2）再排：此时
12有三组人，看成三个“大胖子”，三个“大胖子”排序为 A（3,3）。分步相乘，
即A（3,3）*A（3,3）*A（3,3）*A（3,3）=64=36²=1296，对应 B项。【选B】
【注意】总结：
1.排列组合问题——“必须坐在一起”——捆绑法：注意捆绑内部有无顺序。
2.先捆再排，先将每家的 3口捆绑，再将分别捆好的 3家排序。
3.座位有顺序，用排列 A。
7.某电影院空着一排相邻的 8个座位，现有 4名观众就座，恰好没有连续空
位的就座方式有（ ）种。
A.48 B.120
C.640 D.1440
【解析】7.出现“恰好没有连续空位”，即空位不相邻，用插空法。一共 8
个座位，先让 4 名观众就座（可以在 8 个座位中任意挑选），4 名观众坐 4 个座
位，为A（4,4）；4人就座之后还剩下 4个空座位，要求这4个空座位不相邻。4
名观众形成 5 个空隙，从 5 个空隙中选 4 个空隙插入 4 个空座位，空位是空气，
不需要考虑顺序，为 C（5,4）=5。分步相乘，即 A（4,4）*C（5,4）
=4*3*2*1*5=24*5=120，对应B项。【选B】
8.某市共有 5 个县，其位置如图所示，现用红、黄、绿、蓝 4种颜色给地图
上色，要求任意相邻的两个县的颜色不同，问共有多少种不同的上色方法？（ ）
A.32 B.64
C.96 D.144
【解析】8.要逐个分析，先看相邻县最多的那个县，即先看 D。D：最先考
13虑D，没有限制条件，有4种选择；A：不能与 D的颜色相同，剩 3种颜色可选；
C：不能与 A、D 颜色相同，剩 2 种颜色可选；B：不能与 A、D 颜色相同，剩 2
种颜色可选；E：不能与 B、D 颜色相同，剩 2 种颜色可选。分步相乘，
3*2*2*4*2=12*8=96，对应C项。【选C】
【注意】总结：
1.排列组合问题——分类分步。
2.优先从最多限制条件的部分入手。
3.分步用乘法。
【知识点】概率：
1.给情况数求概率：概率=满足要求的情况数/总情况数。
例：袋子中有 4个红球、3个白球，问摸出 2个球为红球的概率。
答：P=满足要求的情况数/总情况数。总情况：一共 4+3=7 个球，从 7 个球
中摸2个，为C（7,2）；满足要求情况：要摸出2个红球，从4个红球中摸2个，
14为C（4,2），即P=C（4,2）/C（7,2）。
2.给概率求概率：分类用加法，分步用乘法。
3.正难则反（逆向思维）：概率=1-不满足条件的概率。
9.某单位举行抽奖活动，在一个箱子里放了 10个球（2个红球，8个白球），
职工从中同时抽出 2个球，至少有一红球为中奖，则中奖概率是多少？（ ）
A.17/45 B.28/45
C.1/5 D.4/5
【解析】9.方法一：P=满足要求的情况数/总情况数。满足要求的情况：要
求“至少有一红球”，分类讨论：有 1个红球、有 2个红球。
（1）有 1 个红球：从 2 个红球中抽 1 个，为 C（2,1），从 8 个白球中抽 1
个，为 C（8,1），即 C（2,1）*C（8,1）；总情况：从 10 个球中抽出 2 个，为 C
（10,2）。P =C（2,1）*C（8,1）/C（10,2）。
有1个红球
（2）有2个红球：从 2 个红球中抽2 个，为C（2,2）。P有2 个红球=C（2,2）
/C（10,2）。
所求=[C（2,1）*C（8,1）]/C（10,2）+C（2,2）/C（10,2）。
方法二：出现“至少有一个”，用逆向思维，反面求解。“至少有一红球”的
反面为0个红球（全为白球）。P=1-P =1-C（8,2）/C（10,2）=1-28/45=17/45，
反（0个红球）
对应A项。【选A】
【注意】总结：
1.给情况数求概率——P=满足情况数/总情况数。
2.正面做：两种情况，抽到一红一白、抽到两个红球；反面做：1-抽到两个
白球的概率。
3.抽球没有顺序，用组合 C。
4.C（8,2）/C（10,2）=[（8*7）/（2*1）]÷[（10*9）/（2*1）]。
10.某人参加某项职业资格考试，有三次参考机会，预计他能通过第一次考
试的概率是 40%；若第一次没通过，第二次通过考试的概率是 60%；前两次没通
15过，第三次通过考试的概率是 70%。他能通过考试的概率是（ ）。
A.约 87% B.约90%
C.约 93% D.约96%
【解析】10.给出了每种情况的概率，属于给概率求概率，分类讨论：
（1）第一次通过考试：概率=40%=0.4。
（2）第一次没通过、第二次通过：概率=（1-40%）*60%=0.6²=0.36。
（3）第一次、第二次没通过、第三次通过：概率=（1-40%）*（1-60%）
*70%=0.24*0.7。
分类相加，P=0.4+0.36+0.24*0.7=0.76+0.16x=0.92x，对应 C项。【选C】
【注意】通过第一次考试的概率是 40%，则第一次考试没通过的概率为
1-40%=0.6；第二次通过考试的概率是 60%，则第二次考试没通过的概率为
1-60%=0.4。
16【注意】高频几何：考频不太高，比较简单。
1.几何公式：
（1）周长：正方形：4a；长方形：2*（a+b）；圆形：2πR；弧长：2πR*
（n°/360°）。
（2）面积：正方形：a²；长方形：ab；三角形：1/2*ah；圆形：πR²；扇
形：πR²*（n°/360°）；梯形：1/2*（a+b）*h；菱形：对角线乘积/2。
（3）表面积：正方体：6a²；长方体：2*（ab+bc+ac）；圆柱体：2πR²+2
πRh；球体：4πR²。
（4）体积：正方体：a³；长方体：abc；柱体：Sh；锥体：1/3*Sh，S表示
底面积；球体：4/3*πR³。
2.公式类：
（1）规则图形：直接用公式，考得最多的是面积。
（2）不规则图形：通过割补平移转化为规则图形后再用公式。
3.计数类：
（1）平面：按顺序数，不重不漏。
（2）立体（正方体涂色）：
①三面涂色：8个。
②两面涂色：12*（n-2）个。
③一面涂色：6*（n-2）²个。
④未涂色：（n-2）³个。
17【知识点】涂色类（结论需要背下来）：有一个大正方体，每条棱有 n 个边
长为1的小正方体，把这个大正方体外面涂色，问这些小正方体中：
1.三面涂色的有几个？蓝色（8个顶点）：8个。
2.两面涂色的有几个？黄色（棱上，除去两个顶点）：12（n-2）个。假设
n=5，黄色部分为 12*（5-2）=12*3=36个。
3.一面涂色的有几个？红色（面的中间）：6（n-2）²个。假设 n=5，一个面
有红色3*3个，6 个面，共有6*3²=54个。
4.未被涂色的有几个？内部：（n-2）³个。
11.边长为 6 的正方体，由若干个边长为 1 的正方体组成，现将该大正方体
表面涂上色，请问仅有一面着色的小正方体与仅有两面着色的小正方体个数之差
为多少？（ ）
A.36 B.48
C.54 D.64
【解析】11.直接利用结论。仅有一面着色（与面相关）的小正方体有 6（n-2）
²=6*4²=96个；仅有两面着色（与棱相关）的小正方体有 12（n-2）=12*4=48个，
所以所求差为96-48=48个，对应B项。【选 B】
12.如下图所示，四边形 ABCD 的对角线 BD 被 E，F 两点三等分，且四边形
AECF的面积为 15 平方厘米，则四边形ABCD 的面积是（ ）平方厘米。
18A.30 B.45
C.50 D.60
【解析】12.平面几何问题。因为不是规则图形，所以考虑割补平移，按图
用 EF 将四边形 AECF 分割成两部分。因为四边形 ABCD 的对角线 BD 被 E，F 两点
三等分，所以BE=EF=FD，S =（1/2）*底*高，过A点作EF的垂线交 EF于O点，
△
△ABE、△AEF、△ADF的高均为 AO，所以三个三角形为等底同高的三角形，S =S
△ABE
=S ，即 S =（1/3）S ；同理 S =S =S ，S =（1/3）S 。所以
△AEF △ADF △AEF △ABD △DCF △FCE △ECB △EFC △BCD
（1/3）S =S +S =15平方厘米，S =3*15=45平方厘米，对应 B项。
四边形ABCD △AEF △FCE 四边形ABCD
【选B】
13.一菱形土地面积为√3平方公里，菱形的最小角为 60°，如果要将这一菱
形土地向外扩张变成一正方形土地，则正方形土地边长最小为（ ）公里。
A.√2 B.√3
C.√6 D.2√6
【解析】13.菱形的四边相等。如图，∠BAD=60°，AB=AD，所以△ABD为正
三角形。将这一菱形土地向外扩张变成一正方形土地且正方形边长最小，即用菱
形长的对角线 AC 作为正方形的对角线。因为△ABD 为正三角形，所以 AC⊥BD，
设BO长为 x公里，则AO为√3x公里，BD为 2x公里，S =S /2=√3/2=（1/2）
△ABD 菱形ABCD
19*BD*AO=（1/2）*2x*√3x=√3x²，解得 x=√2/2。所以 BD=√2，AC=2AO=√6。因为
正方形对角线为边长的√2倍，所以AE=√6/√2=√3，对应B项。【选 B】
【注意】记住结论：
1.若要求扩张成的正方形土地边长最小，只需要正方形的面积最小。
2.面积最小的正方形的对角线为菱形较长的那条对角线。
【知识点】最值问题：
1.构造数列（求某个主体排名）：
（1）题型特征：最（最大/小量）……最（最多/少）……，排名第几……
最……（大/小）。
（2）解题思路：排序定位（求谁，设谁为 x）——反向构造数列（求最多
为多少，即让其他值尽可能少）——加和求解。
（3）注意事项：
①主体是否各不相同。如果没说各不相同，就默认可以相同。
②非整数时，最少向上取整、最多向下取整（记结论）。
2.最不利构造：
20（1）题型特征：至少……保证（希望一件事情必然发生）。
（2）解题思路：最不利情况+1。比如买早饭，买了 2个菜包，1个肉包，1
个豆沙包，问至少吃几个能保证吃到肉包，最不利情况为先吃了 2个菜包，1个
豆沙包，最后吃到肉包。
（3）方法（直接用结论）：
①要保证同种情况至少 n 个，应每种情况各取（n-1）个（如果有不够 n-1
的，有多少取多少），最后再加 1。
②要保证所有情况各至少 n 个，应先把多的全取，再把少的情况取（n-1）
+1=n个。
14.某市实验小学在全校开展“最美少先队员”民主推选活动，全校师生在
10 名候选人中选择了 2 名进行投票。投票结束后发现，没有任何一种候选人的
组合得到了超过12 票，问该校参与投票的师生最多有多少人？（ ）
A.495 B.496
C.540 D.541
【解析】14.10 名候选人中选择了 2 名，没有顺序，共有C（10,2）=（10*9）
/（2*1）=45种选法。当每种选法投票最多时，参与的师生人数最多。因为没有
任何一种候选人组合得到了超过 12 票，超过 12 票为票数＞12 的意思，反向为
≤12，所以每种组合最多得 12 票，参与投票的师生最多有 45*12 人，利用尾数
法，45*12 的尾数为 0，对应C项。【选C】
15.某班级共有 48人，其中38人喜欢数学，35人喜欢语文，42人喜欢英语，
40人喜欢物理，那么这个班级中至少有多少人这四门科目都喜欢？（ ）
A.11 人 B.9人
C.7 人 D.5人
【解析】15.多集合反向构造问题。先求出每科不喜欢的人数，不喜欢数学
的为 48-38=10 人；不喜欢语文的为 48-35=13 人；不喜欢英语的为 48-42=6 人；
不喜欢物理的为48-40=8人。要让四门课都喜欢的学生最少，那么要让不喜欢各
科目的学生人数尽可能多，即不喜欢各科目的学生没有重复，都喜欢的=总人数-
21不喜欢的，所以四个科目都喜欢的至少有（48-10-13-6-8）人，利用尾数法，所
求尾数=尾数8-尾数 0-尾数3-尾数6-尾数 8=尾数1，对应A项。【选 A】
【注意】
1.“至少……都”——多集合反向构造问题。
2.方法（记结论）：
（1）反向。
（2）加和。
（3）作差。
16.有 4 支队伍进行 4 项体育比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名
分别得到 5、3、2、1 分。每队的 4 项比赛的得分之和算作总分，如果已知各队
的总分不相同，并且 A队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多
少分？（ ）
A.8 B.9
C.10 D.11
【解析】16.出现了最……最……，为构造数列问题。设四支队伍按排名分
别为 1、2、3、4 队，根据题意可知，A 队获得了三项比赛的第一名，所以 A 队
为总分第一的队伍，即 1队。问总分最少的队伍最多得多少分，要想总分最少的
队伍分最多，那么其他队应该尽可能少，所以 1队第四项得分为 1分，其总分为
5*3+1=16 分。4 支队伍 4 项比赛的总分为 4*（5+3+2+1）=44 分。求谁设谁，设
4队为x 分，3队最少为（x+1）分，2队最少为（x+2）分，列式：x+x+1+x+2+16=44，
解得x=8.X，问最多，向下取整，x最大为 8，对应A项。【选A】
【注意】
1.除了 A 队，其他队伍最多可以三项比赛都得 3 分，最后一项得 5 分，共
3*3+5=14 分，小于 A队的16分，所以A 队一定是第一名。
2.最后得出 x=8.X，即x最多为8.X→x ≤8.X，且x 为整数，所以 x 取 8。
max
2217.11²+22²+33²+44²+55²的值是（ ）。
A.6165 B.3630
C.5840 D.6655
【解析】17.观察选项，尾数有不同，考虑尾数法。原式尾数=尾数 1+尾数
4+尾数 9+尾数 6+尾数 5=尾数 5，排除 B、C 项。式子 5 项均有公因数 11，所以
结果应该是11的倍数。只有 6655是11 的倍数，对应D项。【选 D】
【注意】也可以提出 11²计算。原式=11²*（1²+2²+3²+4²+5²）=121*
（1+4+9+16+25）=121*55=6655，对应D 项。
18.某班举行一分钟跳绳比赛，已知男生的平均成绩是 160 个，女生的平均
成绩是120个，且男生跳的总个数刚好与女生相同。问该班全体学生的平均成绩
最接近以下哪个选项？（ ）
A.136 个 B.137个
C.138 个 D.139个
【解析】18.根据题意可知，男生跳的总个数刚好与女生相同，跟给完工时
间型工程问题有相似之处（相当于给了工作总量），考虑赋值法，赋男生跳的总
个数为160和120 的最小公倍数480个，即女生跳的总个数也为 480个。男生人
数=总个数/平均个数=480/160=3人；女生人数=总个数/平均个数=480/120=4人。
全班学生的平均成绩=总个数/总人数=（480+480）/（4+3）=960/7≈137个，对
应B项。【选 B】
【注意】
1.也可以设总量为 x个，但是会有分数，计算麻烦。
2.当给出了 m=A*B（m不变，给A求 A）的情况时，可以考虑赋值法。
19.把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789……
2005，这个多位数除以 9余数是多少？（ ）
A.0 B.1
23C.2 D.3
【解析】19.方法一：判定一个多位数除以 9 的余数，即各位数字之和除以
9 的余数。所以计算数字之和，根据等差数列求和公式：1+2+3+……+2005=
（1+2005）/2*2005=1003*2005=2011015，2011015除以9的余数为 1，所以多位
数123456789……2005，除以9的余数为 1，对应B项。
方法二：将1～2005分成1，（2，2005），（3，2004），……，（1003，1004），
每组数相加之和为 2007，能被9整除，只剩下一个 1，所以该多位数除以9余1，
对应B项。【选 B】
【注意】
1.判定一个多位数除以 9的余数，即各位数字之和除以 9的余数。
2.严谨分析（推导）：
（1）2004/9……6；20040000/9……6。所以一个数*整 10 倍，除以 9 余数
不变。
（2）20042005=20040000+2005 和按位数拆分将 20042005 写成 2004+2005
除以9余数相同。所以数字依次写下来得到的多位数，与数字依次相加之和，除
以9的余数相同。
（3）多位数 123456789……2005与 1+2+3+……+2005除以 9的余数相同。
【注意】小题型补充：
1.溶液问题。
2.方阵问题。
3.牛吃草问题。
20.产品质量检测站的工作人员小林需要配制某种浓度为 25%的药水，但检
测站只有甲、乙两种浓度分别为 35%、20%的该种药水，则小林配制所需药水所
用甲、乙两种药水的使用量比例为（ ）。
A.2：1 B.1：2
C.1：3 D.1：4
24【解析】20.方法一：方程法。设甲乙两种药水的浓度分别为 x、y，混合前
后溶质质量不变，列出等式：0.35x+0.2y=0.25（x+y），整理得 0.1x=0.05y，所
以x/y=1/2，对应 B项。
方法二：线段法。距离之比为（35%-25%）：（25%-20%）=2：1，量之比为距
离的反比，所以量之比为 1：2，对应B项。【选 B】
【注意】
1.溶液问题核心公式：浓度=溶质/溶液；溶质=溶液*浓度。
2.方法：抓住溶质总量不变列式求解。
21.参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要
使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少 33 人。则参加团体操表演的运动
员有（ ）人。
A.269 B.279
C.289 D.296
【解析】21.方阵问题。设每行人数为 n，一行一列的人数为 2n-1（行列交
叉有 1 人重复，所以要-1），因为如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则
要减少33人，所以2n-1=33，解得n=17，所以参加团体操表演的运动员有17²=289
人，对应C项。【选 C】
25【注意】实心方阵问题拓展（记结论，第 1个考的最多）：
1.方阵总数=外层边个数*外层边个数=n²。
2.每层总数=四边个数之和-4=4n-4。
3.相邻两层每边个数差 2。
4.相邻两层总数差 8。
【知识点】牛吃草类型（记结论）：
1.补例：一片青草每天匀速生长的牧场，可供 12 头牛吃 4 天，可供 9 头牛
吃6天，可供多少头牛吃 2天？
A.20 B.21
C.22 D.23
答：有排比句句式，涉及有多少牛吃几天，这种题为牛吃草问题。
2.公式：原有草量=（牛数-草每天长的量）*天数。
3.公式推导：
（1）一片草地一共有 100 棵草且不再生长，一头牛每天吃 2 棵草，几天会
吃光这片草地的草？
答：100=2*天数，即天数=100/2=50。
（2）一片草地一共有 100 棵草且每天会长出一颗新的草，一头牛每天吃 2
棵草，几天会吃光这片草地的草？
答：设 t 天会吃光这片草地。根据题意列出等式：100（原有的）+t（新长
的）=2t（吃的），即 100=（2-1）*t，100 为原有草量，用 Y 表示；2 为每天吃
的草，用N表示；1为草每天长的量，用 X表示；t为天数，用 T表示。
4.简写：Y=（N-X）*T。Y：原有草量；N：牛每天吃的量（=牛数）；T：吃完
26时间；X：草每天长的量。
5.题型判定：
（1）常见排比句（A头牛a天吃完，B头牛b天吃完）。
（2）总量在增长（草在长）且其他在消耗（牛在吃）。
22.某地迎来连续暴雨天气，水库水量以均匀速度增长，现已超过警戒线。
为保证堤坝安全，政府安全部门决定开闸泄洪，若同时打开 15 个闸门，水位恢
复警戒线以下需要 10小时，若同时打开 18个闸门，水位恢复警戒线以下需要 8
小时，但天气预报显示暴雨随时有增大的可能，必须在 4小时内将水位恢复到警
戒线以下，那么需要同时打开（ ）个闸门。
A.33 B.34
C.35 D.36
【解析】22.根据题意可以，有排比句，有总量的变化，为牛吃草问题。公
式为 Y=（N-X）*T。Y 为原来的水量，N 为打开闸门数，X 为每小时水的增长量，
列出等式：（15-X）*10=（18-X）*8=（N-X）*4，解得X=3，N=33，对应A项。【选
A】
【注意】
1.识别送分题（优先）：代入排除（秒杀）、数字特性（秒杀）、高频几何（公
式）、基础计算（尾数/倍数）。
2.拿稳套路题（其次）：基础方程、工程问题（赋值）、经济利润、最值问题
（方法）、概率问题（给概率求概率）。
3.功课薄弱题：行程问题（画图）、排列组合、其他题型。
4.前两种题目 5题里面挑3题，剩下 2题合理猜测。
5.老师微博：粉笔钱敏。
【答案汇总】1-5：CCACC；6-10：BBCAC；11-15：BBBCA；16-20：ADBBB；
21-22：CA
27遇见不一样的自己
Be your better self
28
