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导图梳理-数资1 （笔记） 主讲教师：王义 授课时间：2025.09.11 粉笔事考·官方微信 1 导图梳理-数资1（笔记） 【注意】今天是导图数资的第一节课，梳理的是数学运算第一节课，先梳理 相关知识点，说一下题型之间的关系，还会讲一下高频形式有哪些。 【注意】和差倍比问题： 1.倍数特性法： （1）整除型：若A=B*C，则A 能被B、C 整除；前提：B、C 均为整数。 （2）余数型： ①特征：平均分配，有剩余或有缺少，求总数。方法：多退少补。 ②方法：若答案=ax+b，则答案-b 能被a 整除；若答案=ax-b，则答案+b 能 被a 整除。 ③前提：a、x 均为整数。 （3）比例型：若A/B=m/n，则A 是m 的倍数，B 是n 的倍数，A±B 是m±n 的倍数。前提：A、B 均为整数，m/n 是最简整数比。 2 2.方程法：设未知数。 （1）一般情况下：求谁设谁，避免陷阱。 （2）条件中有“是”字、“比”字：通常设“是”字、“比”字后的主体为 未知数。 （3）条件中有比例关系：根据比例设份数，减少计算。 （4）条件中有多个关系：设中间量，方便列式。 3.赋值法： （1）何时赋值： ①题干所给条件全是比例。 ②三量关系中只知其一。 （2）怎么赋值： ①赋为公倍数。 ②赋为简单数字。 【注意】倍数特性法： 1.整除型：平均分组刚好分完。若A=B*C，则A 能被B、C 整除；前提：B、 C 均为整数。 2.余数型： （1）特征：平均分配，有剩余或有缺少，求总数。方法：多退少补。 （2）方法：若答案=ax+b，则答案-b 能被a 整除；若答案=ax-b，则答案+b 能被a 整除。 3 （3）前提：a、x 均为整数。 3.比例型（重点）：比例的形式包括分数、百分数、比例、倍数（如3/5、 60%、3：5、0.6 倍），化为最简形式（约分至不能再约分）。若A/B=m/n，则A 是m 的倍数，B 是n 的倍数，A±B 是m±n 的倍数。前提：A、B 均为整数，m/n 是最简整数比。如甲/乙=3/5，甲是1 的倍数，乙是5 的倍数，甲+乙是3+5=8 的倍数，乙-甲=5-3=2 的倍数。 倍数特性法重点高频：比例型倍数特性的考法汇总 考法一：直接给比例，直接用 （2025 公务员）某绿色有机农场把61600 平方米耕地划分为玉米、大豆、 稻谷三个作物区，玉米和大豆的面积比是7：2，大豆和稻谷的面积比是6：1， 则玉米的面积是多少平方米？ A.46200 B.47200 C.48200 D.49200 考法二：借助其他主体的比例关系 （2023 河北）……其中乙档人数比甲档人数的3 倍少2 人……甲档人数是 丁档人数的1.5 倍，则这个旅行团中年龄属于乙档的人数为 A.25 B.26 C.27 D.28 考法三：给出多出来的比例 （2022 福建）……已知这4 个盒子中红色小球的总个数比黄色小球多1.2 倍，则这4 个盒子中红色小球的总个数至少有（ ）个 A.30 B.32 C.33 D.40 考法四：比例的逆运用 （2024 重庆）甲、乙两个工厂分别有180 名和120 名工人，甲厂每名工人 的生产效率是乙厂的1.25 倍，现两厂分批次安排工人参加脱产培训，培训后每 人的生产效率都将提升20%，已知最后一批50 名工人参加培训期间，两厂剩余 人员的总体生产效率已经与培训之前的总生产效率相同。问最后一批培训的工人 4 中，甲、乙两厂的人数比为（ ）。 A.3：1 B.2：1 C.3：2 D.4：3 考法五：总人数是范围，有比例型出现 （2024 公务员）某居民楼居住人数介于90 和110 之间，其中50 岁及以上 居民占1/12，女性占7/16…… 【注意】倍数特性法重点高频：由简单到难。 1.直接给比例，直接用。 例： （2025 公务员）某绿色有机农场把61600 平方米耕地划分为玉米、大豆、 稻谷三个作物区，玉米和大豆的面积比是7：2，大豆和稻谷的面积比是6：1， 则玉米的面积是多少平方米？ A.46200 B.47200 C.48200 D.49200 答：已知“玉米和大豆的面积比是7：2，大豆和稻谷的面积比是6：1”， 直接给出比例，问“玉米的面积是多少平方米”，玉米/大豆=7/2，玉米的面积 是7 的倍数，都有2 个“0”，可以先不看，400 多的数字中最先想到490 是7 的 倍数，则A 项：462=490-28，490、28 都是7 的倍数，则A 项是7 的倍数；B 项： 472=490-18，18 不是7 的倍数，排除；C 项：482=490-8，8 不是7 的倍数，排 除；D 项：492=490+2，2 不是7 的倍数，排除；对应A 项。 2.借助其他主体的比例关系： 例：（2023 河北）……其中乙档人数比甲档人数的3 倍少2 人……甲档人数 是丁档人数的1.5 倍，则这个旅行团中年龄属于乙档的人数为？ A.25 B.26 C.27 D.28 答：“乙档人数比甲档人数的3 倍少2 人”，乙的人数=甲*3-2→乙的人数 =3 的倍数-2；问“旅行团中年龄属于乙档的人数”，选项为乙的人数，则答案 +2=3 的倍数，选项+2 依次为A.27、B.28、C.29、D.30，排除B、C 项；“甲档人 数是丁档人数的1.5 倍”，甲/丁=1.5=3/2，甲的人数是3 的倍数，乙的人数=3 的倍数*3-2=9 的倍数-2，答案+2 为9 的倍数，只有A 项满足。 5 3.给出多出来的比例。 例： （2022 福建）……已知这4 个盒子中红色小球的总个数比黄色小球多1.2 倍，则这4 个盒子中红色小球的总个数至少有（ ）个。 A.30 B.32 C.33 D.40 答：“红色小球的总个数比黄色小球多1.2 倍”等价于“红色小球是黄色小 球的2.2 倍” ，红色/ 黄色=2.2/1 ，要整理成最简形式，红色/ 黄色 =2.2/1=22/10=11/5，红色小球总数是11 的倍数，只有C 项满足。 4.比例的逆运用：正常→A/B=2/7，A+B 是9 的倍数。 例：（2024 重庆）甲、乙两个工厂分别有180 名和120 名工人，甲厂每名工 人的生产效率是乙厂的1.25 倍，现两厂分批次安排工人参加脱产培训，培训后 每人的生产效率都将提升20%，已知最后一批50 名工人参加培训期间，两厂剩 余人员的总体生产效率已经与培训之前的总生产效率相同。问最后一批培训的工 人中，甲、乙两厂的人数比为（ ）。 A.3：1 B.2：1 C.3：2 D.4：3 答：问“最后一批培训的工人中，甲、乙两厂的人数比”，“已知最后一批 50 名工人参加培训期间”，只有甲厂和乙厂，没有出现第三种，则最后一批培 训的工人总数是50 人（甲厂和乙厂人数之和为50），A 项：甲/乙=3/1，甲+乙是 4 的倍数，但50 不是4 的倍数，排除；B 项：甲/乙=2/1，2+1=3 的倍数，50 不 是3 的倍数，排除；C 项：甲/乙=3/2，3+2=5 的倍数，对应C 项。 5.总人数是范围，有比例型出现。 例：（2024 公务员）某居民楼居住人数介于90 和110 之间，其中50 岁及以 上居民占1/12，女性占7/16……，问总人数。 答：“50 岁及以上居民占1/12”，总人数为12 的倍数；“女性占7/16”， 总人数为16 的倍数，总人数既是12 的倍数、又是16 的倍数，找最小公倍数（利 用短除法）：12、16 同时除以4 得到3、4，此时两两互质，即总人数是4*3*4=48 的倍数，还要满足“居住人数介于90 和110 之间”，总人数只能是96 人。 6 【注意】方程法（基础）：设未知数。 1.一般情况下：求谁设谁，避免陷阱。 2.条件中有“是”字、“比”字：通常设后者。 3.条件中有比例关系：根据比例设份数，减少计算。 4.条件中有多个关系：设中间量，方便列式。 【注意】赋值法： 1.何时赋值： （1）题干所给条件全是比例（给比例求比例）。 （2）三量关系中只知其一。比如工程问题，W=P*t。 2.怎么赋值： （1）赋为公倍数。 （2）赋为简单好算的数字。 给完工时间型：赋工作总量 （2025 天津）一项工程甲单独完成需要6 小时，乙单独完成需要8 小时， 现为提高效率，甲乙两人合作完成这项工程。两人在共同工作了2 个小时后，甲 休息了一段时间，其间乙一直在工作，甲休息结束后与乙一起工作了1 个小时就 完成了工程，问…… 给效率比例型：赋效率 7 （2024 浙江）有甲、乙、丙三支工程队，已知甲、乙效率比为5：4，甲、 乙效率之和是丙效率的0.9 倍。某项工程开始先由甲、丙合作8 天，剩余工程由 乙单独再做20 天完成。如果该工程先由甲、乙合作10 天，那么…… 给比例求比例：赋值 （2024 军队文职）某超市对商品按照利润率30%定价，节日期间打折促销， 超市仍获得4%的利润，则商品的折扣为（ ）。 A.6 折 B.7 折 C.8 折 D.9 折 【注意】 1.给完工时间型：赋工作总量。 例： （2025 天津）一项工程甲单独完成需要6 小时，乙单独完成需要8 小时， 现为提高效率，甲乙两人合作完成这项工程。两人在共同工作了2 个小时后，甲 休息了一段时间，其间乙一直在工作，甲休息结束后与乙一起工作了1 个小时就 完成了工程，问……。 答：工程问题，工作量=效率*时间，整个题干只给出时间，相当于三量关系 只知时间，可以考虑赋值。不同的完工时间对应同一个工作总量，因此赋总量更 方便，赋值总量为完工时间的公倍数。 2.给效率比例型：赋效率。 例：（2024 浙江）有甲、乙、丙三支工程队，已知甲、乙效率比为5：4，甲、 乙效率之和是丙效率的0.9 倍。某项工程开始先由甲、丙合作8 天，剩余工程由 乙单独再做20 天完成。如果该工程先由甲、乙合作10 天，那么……。 答：三量关系只知时间，没有总量和效率，可以对工作量或效率赋值，但题 目直接给出效率比例，赋值效率求解会更方便。 3.给比例求比例：赋值。 例：（2024 军队文职）某超市对商品按照利润率30%定价，节日期间打折促 销，超市仍获得4%的利润，则商品的折扣为（ ）。 A.6 折 B.7 折 C.8 折 D.9 折 答：题干给的都是比例，求的也是比例，可以考虑赋值法；经济利润问题， 8 往往赋值成本为100，定价=100*（1+30%）=130，售价=100*（1+4%）=104，所 求=104/130=80%，折扣为8 折，对应C 项。 【注意】工程问题： 1.给完工时间型：≥2 个完工时间。 （1）先赋总量（公倍数）。 （2）再算效率=总量/时间。 （3）根据工作过程列式子或方程。 2.给效率比例型：直接给、间接、特殊给（多少人、多少机器）。 （1）先赋效率（满足比例即可）。 （2）再算总量=效率*时间。 （3）根据工作过程列式子或方程。 3.给具体单位型（给出工作量或效率的数值单位）：设未知数，找等量关系 列方程。 1.一项工程，若由甲单独干需要6 小时完成；若由甲乙合作需要4 小时完 成…… 2.一项工程，甲单独干3 小时后，乙加入又干2 小时完成…… 3.已知甲的效率是乙的3 倍…… 4.甲3 小时的工作量和乙4 小时的工作量相等 5.某工厂有50 名工人…… 9 6.甲、乙共同完成500 件礼品包装…… 【注意】 1.一项工程，若由甲单独干需要6 小时完成；若由甲乙合作需要4 小时完 成……。 答：给出2 个完工时间（6 小时、4 小时），属于给完工时间型；赋总量：赋 值总量为完工时间6 和4 的公倍数12。算效率：P 甲=12/6=2，P 甲+P 乙=12/4=3，P 乙=3-2=1。 2.一项工程，甲单独干3 小时后，乙加入又干2 小时完成……。 答：3 小时、2 小时都没有把活干完，因此都不是完工时间。 3.已知甲的效率是乙的3 倍……。 答：直接给出效率比例，赋值P 甲=3、P 乙=1。 4.甲3 小时的工作量和乙4 小时的工作量相等。 答：间接给效率比例。P 甲*3=P 乙*4→P 甲/P 乙=4/3。 5.某工厂有50 名工人……。 答：特殊的给效率比例型（题目中给出多个人或多台机器）。赋值每名工人 的效率为1。 6.甲、乙共同完成500 件礼品包装……。 答：出现“500 件”，给出工作量的数值单位，属于给具体单位型，利用方 程法。 考法：给具体数值单位型，多个题型特征冲突，方程法优先 （2022 四川）甲、乙两人加工一批配件，已知甲单独加工需要15 小时才能 完成，甲和乙的工作效率之比为4：3。现在甲、乙两人一起加工了5 小时，还 剩下200 个配件未加工，则这批配件的总数是（ ）个。 A.480 B.450 C.420 D.390 【注意】给具体数值单位型，多个题型特征冲突，方程法优先。2023 年武 汉、2024 年全国联考、陕西的单独命题，包括2025 年出的题目都有出现过。 例：（2022 四川）甲、乙两人加工一批配件，已知甲单独加工需要15 小时 10 才能完成，甲和乙的工作效率之比为4：3。现在甲、乙两人一起加工了5 小时， 还剩下200 个配件未加工，则这批配件的总数是（ ）个。 A.480 B.450 C.420 D.390 答：“甲和乙的工作效率之比为4：3”，看着是直接给效率比例，想要赋 值效率，赋值P 甲=4、P 乙=3，“甲、乙两人一起加工了5 小时，还剩下200 个配 件未加工”，出现具体带单位的工作量（200 个），属于给具体单位型工程问题， 要利用方程法求解。 方法一：多个题型特征冲突，方程法优先。如果赋效率求解，P 甲=4、P 乙=3， “甲单独加工需要15 小时才能完成”，W=15*4=60，此时就相当于对答案赋值。 有比例设份数，设P 甲=4x，P 乙=3x，“甲单独加工需要15 小时才能完成”， W=15*4x=60x，“现在甲、乙两人一起加工了5 小时”，5 小时完成的工作量= （4x+3x）*5=35x，“还剩下200 个配件未加工”，35x+200=60x，25x=200，解 得x=8，所求=60x=60*8=480，对应A 项。 方法二：“甲、乙两人一起加工了5 小时”，已知“甲和乙的工作效率之比为 4：3”，时间相同，则W 甲/W 乙=4/3，W 已完成=4+3=7 的倍数，5 小时完成的量为7 的倍数，还剩余200 个零件未加工，7 的倍数+200=答案，则“答案-200”是7 的倍数，选项-200 依次为A.280、B.250、C.220、D.190，只有A 项（280 是7 的倍数）满足。 【注意】经济利润问题： 11 1.基础公式： （1）利润=售价-进价。 （2）利润率=利润/进价（成本）。 （3）售价=进价*（1+利润率）。 （4）打折率=折后价/折前价。比如原来的价格是200，打八折为200*80%=160； 如果原来是200，现在是120，则折扣=小数/大数=120/200。 （5）总价=单价*数量。 2.基础经济：方程法（考得多，给具体数值单位：如多少钱、多少件，考虑 列方程）、赋值法（给比例、求比例；如果只提到“钱”，只赋值成本为100；如 果既提到钱、又提到数量：如卖了总量的20%，此时可以赋值2 个→成本为100、 总量为10 个）。 3.函数最值：考查较少。 （1）特征：售价/利润与销量此消彼长，问何时销售额/总利润最高。 （2）方法：两点式。 考法：给具体数值单位的经济利润，多个主体、多个时间售卖，列表列方程 （2025 浙江）2017 年，老王花费5 万元购买了甲、乙2 件艺术品。到2020 年，甲的价格下降20%，乙的价格变为原来的2 倍。今年，2 件艺术品价格均比 2020 年上涨50%，老王卖出这2 件艺术品共盈利4.6 万元。问老王购买时甲的价 格比乙（ ）。 A.高1 万元 B.低1 万元 C.高0.6 万元 D.低0.6 万元 【注意】 1.给具体数值单位的经济利润，多个主体、多个时间售卖，列表列方程。如 果一批布娃娃一天就卖完，定价10 元/个，成本6 元/个，卖了10 个，题目不好 出，直接算即可，因此编不出来题，则会出现多个主体、多个时间售卖。 2.（2025 浙江）2017 年，老王花费5 万元购买了甲、乙2 件艺术品。到2020 年，甲的价格下降20%，乙的价格变为原来的2 倍。今年，2 件艺术品价格均比 2020 年上涨50%，老王卖出这2 件艺术品共盈利4.6 万元。问老王购买时甲的价 12 格比乙（ ）。 A.高1 万元 B.低1 万元 C.高0.6 万元 D.低0.6 万元 答：给出3 个时间段（2017 年、2020 年、今年），涉及2 个主体（甲、乙）， 考虑列表、列方程求解。“花费5 万元购买了甲、乙2 件艺术品”，2 件艺术品的 总成本为5 万元，假设2017 年甲的价格为x、乙的价格为5-x，“到2020 年， 甲的价格下降20%，乙的价格变为原来的2 倍”，2020 年：甲的价格为0.8x， 乙的价格为2*（5-x）；“今年，2 件艺术品价格均比2020 年上涨50%”，今年： 甲的价格=0.8x*（1+50%）=1.2x，乙的价格=2*（5-x）+（5-x）=3*（5-x），“（今 年）老王卖出这2件艺术品共盈利4.6万元”，1.2x+3*（5-x）-5=4.6，10-1.8x=4.6， 1.8x=5.4，解得x=3，则2017 年时甲的价格为3 万元、乙的价格为2 万元，甲 比乙高1 万元。 四、行程问题 13 【注意】行程问题：联考数量是考5 题，包括陕西、湖北、内蒙古，需要注 意直线相遇、追及和环形相遇、追及的公式，不需要看火车过桥、流水行船问题。 浙江、江苏、福建、广东、重庆、四川要关注所有的东西。 1.普通行程： （1）路程=速度*时间（S=V*t）。 （2）火车过桥（注意路程）： ①火车完全通过桥：路程=桥长+车长。 ②火车完全在桥上：路程=桥长-车长。 （3）流水行船（注意速度）：顺流速度=船速+水速，逆流速度=船速-水速。 2.相对行程： （1）相遇追及（重点）： ①直线相遇：S 和=V 和*t 遇。 ②直线追及：S 差=V 差*t 追。 （2）多次运动：n 次*每圈的长度=V 和或V 差*t。 ①环形同点出发第n 次相遇（重点）：n 圈长度=V 和*t 遇。 ②环形同点出发第n 次追及（重点）：n 圈长度=V 差*t 追。 ③直线两端同时出发、第n 次相遇：S 和=（2n-1）*S=V 和*t 遇。 行程问题重点高频： 考法：多个主体、多个运动过程，分开看、列方程组 （2024 公务员）甲乙二人在同一条环形跑道上各自匀速慢跑健身。已知甲 按顺时针跑，若乙按逆时针跑时每3 分钟和甲相遇一次，若乙按顺时针跑时每 12 分钟追上甲一次，问甲跑一圈需要多少分钟？ A.7 B.8 C.9 D.10 【注意】行程问题重点高频： 1.考法：多个主体、多个运动过程，分开看、列方程组。 2.例：（2024 公务员）甲乙二人在同一条环形跑道上各自匀速慢跑健身。已 知甲按顺时针跑，若乙按逆时针跑时每3 分钟和甲相遇一次，若乙按顺时针跑时 14 每12 分钟追上甲一次，问甲跑一圈需要多少分钟？ A.7 B.8 C.9 D.10 答：已知“甲按顺时针跑，若乙按逆时针跑时每3 分钟和甲相遇一次”，属 于环形相遇；第1 次相遇用3 分钟，每圈的长度设为S，代入公式，1*S=（V 甲+V 乙）*3；已知“甲按顺时针跑，……，若乙按顺时针跑时每12 分钟追上甲一次”， 属于环形追及；代入公式，1*S=（V 乙-V 甲）*12。行程问题，S=V*t，题目中只给 出t（3 分钟、12 分钟）→三量关系只知其一，可以赋值；若赋值速度，不确定 是赋值V 甲、还是V 乙；考虑赋值每圈的长度为3、12 的公倍数12，整理可得，V 甲+V 乙=4、V 乙-V 甲=1，形成方程组，二者相加→2*V 乙=5，解得V 乙=2.5、V 甲=1.5。 问甲跑一圈需要多少分钟，所求=12/1.5=24/3=8，对应B 项。 五、几何问题 15 【注意】几何问题： 1.公式运用类： （1）周长（平面公式）： ①正方形：4a。 ②长方形：2*（a+b）。 ③圆形：2π R。 ④弧长（需要注意）：2π R*（n°/360°）。圆的一圈为2π R，n°/360°为 扇形所占的比重。 （2）面积（平面公式）： ①正方形：a²。 ②长方形：ab。 ③三角形：ah/2。 ④圆形（需要注意）：π R²。 ⑤扇形（需要注意）：π R²*（n°/360°），n 是圆心角。 ⑥梯形：1/2*（a+b）*h。 16 ⑦菱形：对角线乘积/2。 （3）表面积（立体几何公式）： ①正方体：6a²。 ②长方体：2*（ab+bc+ac）。 ③圆柱体：2π R²+2π Rh。 ④球体（需要注意）：4π R²。 （4）体积（立体几何公式）： ①正方体：a³。 ②长方体：abc。 ③柱体（需要注意）：Sh。 ④锥体（需要注意）：1/3*Sh。 ⑤球体（需要注意）：4/3*π *R³。 2.结论技巧类： （1）勾股定理：a²+b²=c²，记住常考勾股数（3、4、5）；（6、8、10）；（5、 12、13）。30°的直角三角形三边之比为1：2： ；45°的直角三角形三边之比 为1：1： 。 （2）相似几何：边长比或高之比等于相似比，面积比等于相似比的平方， 体积比等于相似比的立方。 （3）底（高）相等的三角形，面积比等于高（底）之比。 （4）两点之间，线段最短。 几何问题重点高频： 考法一：平面几何，给图，不能直接套公式，用结论 （2023 福建）如图，某考古队在一个土坡下发现了一个古墓，位置在图中 点C 处，考古队从土坡两侧同一水平线上的A、B 两点进行探测。已知A、B 两点 17 的直线距离为40 米，探测线AC、BC 与水平线AB 的夹角分别是30°和45°，那 么古墓所在点C 与水平线AB 的距离为（ ）米。 A.20 B.20（ +1） C.20（ +1） D.20（ -1） 考法二：立体几何，不给图，空间立体搭建清楚，能直接套公式 （2025 联考）有长为150mm，直径分别为90mm 和120mm 的两根铜柱，以此 为原料最多可以熔铸直径为100mm 的铜球多少个？ A.3 B.5 C.8 D.11 【注意】几何问题重点高频：近五年都成立。 2.考法一：平面几何，给图，不能直接套公式，用结论。 例：（2023 福建）如图，某考古队在一个土坡下发现了一个古墓，位置在图 中点C 处，考古队从土坡两侧同一水平线上的A、B 两点进行探测。已知A、B 两点的直线距离为40 米，探测线AC、BC 与水平线AB 的夹角分别是30°和45°， 那么古墓所在点C 与水平线AB 的距离为（ ）米。 A.20 B.20（ +1） 18 C.20（ +1） D.20（ -1） 答：给图可以看图，求“C 与水平线AB 的距离”，作垂线CD⊥AB，已知“A、 B 两点的直线距离为40 米，探测线AC、BC 与水平线AB 的夹角分别是30°和45°”， 设CD 为x。如图所示，CD=x，结合45°→DB=x。 方法一：结合45°→CD=DB，A 项对应40 的一半，排除A 项；结果＜20，B 项≈20*2.4、C 项≈20*2.7，排除B、C 项，对应D 项。 方法二：30°角的直角三角形，三边之比为1： ：2，则AD= x，故 x+x=40 →（ +1）*x=40→x=40/（ +1），考虑分母有理化，分子和分母同时乘以“ -1” →40*（ -1）/[（ +1）*（ -1）]=40*（ -1）/（3-1）=20*（ -1），对 应D 项。 3.考法二：立体几何，不给图，空间立体搭建清楚，能直接套公式。 例：（2025 联考）有长为150mm，直径分别为90mm 和120mm 的两根铜柱，以 此为原料最多可以熔铸直径为100mm 的铜球多少个？ A.3 B.5 C.8 D.11 答：已知“直径分别为90mm 和120mm”，则二者的半径分别为45mm 和60mm。 问“以此为原料最多可以熔铸直径为100mm 的铜球多少个”，在这个过程中体积 19 不变，数量=V 总/V 每个球=（π *45*45*150+π *60*60*150）÷（4/3*π *50*50*50） =（45*45*150+60*60*150）÷（4/3*50*50*50）=（45*45*3+60*60*3）÷（4/3 *50*50）=（9*45*3+12*60*3）÷（4/3*10*50）=（9*9*3+12*12*3）÷（4/3*1 0*10）=（81*3+144*3）÷（4/3*100）=225*3÷（4/3*100）=27÷（4/3*4）= （27*3）/（4*4）=81/16=5 +，对应B 项。 六、排列组合与概率问题 【注意】排列组合与概率问题： 1.基础概念： （1）区分运算符号：分类用加法（要么……要么……），分步用乘法（既…… 又……）。 （2）有序用排列（改变顺序，结果变化），无序用组合（改变顺序，结果不 变）。 2.经典题型： （1）必须相邻：捆绑法（重点），先捆再排 （2）不能相邻：插空法（重点），先排再插。 （3）错位重排（每个主体不能排在原来的位置）：D3=2、D4=9、D5=44。 （4）同素分堆：隔板法，把m 个相同的物品分给n 个人→C（m-1,n-1）。 3.概率问题： （1）给情况求概率（重点）：满足条件的情况数/总情况数。 （2）给概率求概率：分类用加法（要么……要么……），分步用乘法（既…… 20 又……）。 排列组合与概率重点高频： 考法一：排列组合问题，捆绑法和插空法同时使用 （2025 江苏公务员）一场演出的节目有舞蹈《水韵江苏》、歌曲《让世界充 满爱》和《绣红旗》、小品《幸福一家人》、魔术《奇幻之旅》、杂技《力量》。若 要求两首歌曲分别作为开头曲和结尾曲，舞蹈与杂技相邻演出，小品和魔术不能 相邻演出，则节目演出的排列顺序有（ ）。 A.8 种 B.12 种 C.18 种 D.24 种 考法二：概率问题，给情况数求概率 （2025 山东）甲和乙周日去参观某博物馆展览，该馆有1～7 号7 个展厅， 由于时间有限，他们都只参观三个展厅，已知甲必须参观1 号、2 号展厅，乙必 须参观3 号展厅，其余展厅随机，问甲乙参观展厅都不相同的概率是多少？（ ） A.16% B.18% C.20% D.24% 【注意】排列组合与概率重点高频： 1.考法一：排列组合问题，捆绑法和插空法同时使用，考得非常多，近两年 至少有10 题是这种考法。 例：（2025 江苏公务员）一场演出的节目有舞蹈《水韵江苏》、歌曲《让世 界充满爱》和《绣红旗》、小品《幸福一家人》、魔术《奇幻之旅》、杂技《力量》。 若要求两首歌曲分别作为开头曲和结尾曲，舞蹈与杂技相邻演出，小品和魔术不 能相邻演出，则节目演出的排列顺序有（ ）。 A.8 种 B.12 种 C.18 种 D.24 种 答：要求两首歌曲分别作为开头曲和结尾曲，2首歌排在2个位置，为A（2,2） =2。要求舞蹈与杂技相邻演出，用捆绑，2 个节目捆在一起，为A（2,2）=2。此 时刚好剩下小品和魔术，要求小品和魔术不能相邻演出，可以插空；只有中间的 2 个位置可以插空，将小品和魔术插入2 个空中，为A（2,2）=2。分步用乘法， 21 所求=2*2*2=8，对应A 项。 2.考法二：概率问题，给情况数求概率。 例：（2025 山东）甲和乙周日去参观某博物馆展览，该馆有1～7 号7 个展 厅，由于时间有限，他们都只参观三个展厅，已知甲必须参观1 号、2 号展厅， 乙必须参观3 号展厅，其余展厅随机，问甲乙参观展厅都不相同的概率是多少？ （ ） A.16% B.18% C.20% D.24% 答：给情况数求概率，公式→P=满足要求的情况数/总的情况数。总的情况 数：已知甲必须参观1 号、2 号展厅，一共参观三个展厅，甲还需在3～7 号展 厅（共5 个）中选1 个→C（5,1）；乙必须参观3 号展厅，一共参观三个展厅， 乙还需在1～2 号、4～7 号展厅（共6 个）中选2 个→C（6,2）；“既……又……” →用乘法，总情况数=C（5,1）*C（6,2）=5*6*5/2=75。满足要求的情况数：要 求甲乙参观展厅都不相同，由于乙必须参观3 号展厅，则甲不能参观3 号展厅， 甲需要在4～7 号展厅中选1 个→C（4,1），假设甲选4 号；乙不能参观1 号、2 号、4 号展厅，乙在剩余的3 个展厅（5 号、6 号、7 号）中选2 个→C（3,2）， 满足要求的情况数=C（4,1）*C（3,2）=12。所求=12/75=4/25=16/100=16%，对 应A 项。 七、数列问题 22 【注意】数列问题： 1.等差数列： （1）通项公式（：an=a1+（n-1）*d。 （2）求和公式（考得比较多）：Sn=（a1+an）/2*n=中位数*项数，当n 为奇 数，S7 的中位数是a4，则S7=a4*7，如果要求S29，正中间的是第（29+1）/2=15 项，则S29=a15*29。 2.等比数列（考查较少）：通常可以通过枚举解题，考得比较多的是公比为 2 或1/2 的等比数列。 （1）通项公式：an=a1*q n-1。 （2）求和公式（了解即可，不怎么考）：Sn=a1*（1-q n）/（1-q），q≠1。 数列问题重点高频： 考法：等差数列求和公式 【例】（2025 联考）某果园每天最多可采摘10 箱水果，每箱水果每天的保 存成本为10 元。该果园接到一笔75 箱水果的订单并要求一次性交付（交付当天 不计保存成本）。问保存成本最低为多少元？（ ） A.2100 B.2450 C.2650 D.2800 【注意】数列问题重点高频： 1.考法：等差数列求和公式。 2.例（2025 联考）：某果园每天最多可采摘10 箱水果，每箱水果每天的保 存成本为10 元。该果园接到一笔75 箱水果的订单并要求一次性交付（交付当天 不计保存成本）。问保存成本最低为多少元？（ ） 23 A.2100 B.2450 C.2650 D.2800 答：已知“某果园每天最多可采摘10 箱水果，每箱水果每天的保存成本为 10 元”，若采摘10 箱、不卖，第1 天的保存费用=10*10=100；第2 天继续采摘 10 箱、若不卖，第2 天的保存费用=（10+10）*10=20*10=200；第3 天继续采摘 10 箱、若不卖，第3 天的保存费用=（10+10+10）*10=30*10=300，这30 箱最终 一次性交付。该果园接到一笔75 箱水果的订单并要求一次性交付，要求保存成 本最低，则天数尽量少；至少需要8 天才能一次性交付（其中7 天每天采摘10 箱、另外1 天采摘5 箱），为了保证保存费用尽量低，则让这5 箱放在前面、其 余7 个10 箱放在后面，保存费用=50+150+250+350+450+550+650，第八天不需要 保存费用、直接交上去；这7 项构成等差数列，所求=a4*7=350*7=2450，对应B 项。 3.Sn=中间项*项数。 （1）当m 为奇数，中间项是第“（n+1）/2”项，如果是S93，则中间项=（93+1） /2=94/2=47，则S93=a47*93。 （2）当n 为偶数，中间项是中间两项的平均数，比如a1、a2……a6，要求 S6，则S6=（a3+a4）*6/2。如果项数比较多不好找，实际是“第n/2 和第n/2+1 的平均数”，比如S90=（a45+a46）*90/2，但一般用不到，如果n 为偶数，一般用 原始公式。 24 数列问题重点考频： 答疑/学习笔记分享 抖音：公考王义讲数资 25 遇见不一样的自己 Be your better self
