文档内容
第四篇 数量关系与资料分析
数量关系 精讲精练3
学习任务：
1.课程内容：几何问题
2.对应讲义：第383～388页
3.重点内容：
（1）掌握几何问题的基本公式及其运用
（2）掌握三角形三边关系、勾股定理、特殊三角形及面积相关知识
（3）掌握相似三角形的判定和性质等
第四节 几何问题
一、基本公式
1.周长公式：
正方形周长=4a 长方形周长=2（a+b）
n°
圆形周长=2πR 圆弧长度=2πR×
360°
2.面积公式：
正方形面积=a2 长方形面积=ab
1 n°
三角形面积= ah 圆形面积=πR2 扇形面积=πR2×
2 360°
1 1
梯形面积= （a+b）h 菱形面积= ×对角线的乘积
2 2
3.表面积公式：
正方体表面积=6a2 长方体表面积=2（ab+bc+ac）
圆柱体表面积=2πR2+2πRh 球体表面积=4πR2
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4.体积公式：
正方体体积=a3 长方体体积=abc
1 4
柱体体积=Sh 锥体体积= Sh 球体体积= πR3
3 3
【例1】（2025 联考）高速公路某路段转向处靠近居民楼，为减少噪声需设置隔
音板（如下图所示），安装隔音板范围为公路转向处的一段圆曲线（即从点A至点B
圆弧），测控人员在过点A、B的两条切线的交点C处，测得从A到B转角α为60°，
若此圆曲线的半径OA=1km，则这段隔音板的安装长度为：
C
α
A B
O
π π
A. km B. km
4 2
2π 3π
C. km D. km
3 4
【例2】（2025 上海）公园打算修建一个横截面为月牙形（如下图所示）的柱体
水池养观赏鱼，其中大圆的半径为4米，小圆内部为休息区，其半径为2米，水池深
2米，等到水池修建好，需要注入大约多少立方米的水？
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A. 57 B. 64
C. 76 D. 88
P15 【例3】（2025 联考）某三层高的露天平台每层可视作圆柱体（如下图所示）。已
知每层高5米，下层直径100米，中层直径80米，上层直径68米，现要对平台的外
表面进行清洁维护，共需要维护多少平方米？
A. 3740 π B. 5256 π
C. 6240 π D. 6496 π
P25 【例4】（2024 联考）甲、乙两个圆柱容器底面积之比为3∶4，分别盛有7厘米
高和10厘米高的液体，现在向两个容器内注入同样多的液体，直至两个容器内液体
的高度相等，问甲容器内液面上升至：
A. 9厘米 B. 12厘米
C. 15厘米 D. 19厘米
【例5】（2022 北京）一个圆形水库的半径为1千米。一艘船从水库边的A点出
发，直线行驶1千米后到达水库边的B点，又从B点出发直线行驶2千米后到达水
库边的C点。则C点与A点的直线距离最短可能为多少千米？
A. 不到1千米 B. 1～1.3千米之间
C. 1.3～1.6千米之间 D. 超过1.6千米
P26
【例6】（2022 联考）兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方500米
处。兔子和乌龟同时出发，均保持匀A速奔跑，且兔子的速度是乌龟的5倍。兔子先向
正东方跑了一会儿后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，速度不变，结果兔子和乌
龟同时到达终点。那么兔子发现跑错方向时已经跑了多少米？
A. 600 B. 1200
B C
C. 2400 D. 3000
E
D
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二、常考结论
1. 底（高）相同的三角形，面积比等于高（底）之比
2.两个图形相似，则周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，体积比等于
相似比的立方
【例1】（2023 国考）公园里有一片四边形草坪，沿对角线修建的小道相交于O
点，O到四个顶点A、B、C、D的距离之比正好为1∶2∶3∶4，一名工人花费
1天正好完成AOB区域的修剪，问第二天至少需要额外增加多少名效率相同的工人
一起工作，才能在当天内完成剩余草坪的修剪？
B
A C
O
D
A. 8 B. 10
C. 11 D. 12
【例2】（2025 天津）某矩形农场ABCD如下图所示，矩形区域ADEF为生产区，
矩形区域BCEF为休闲区。现连接BD将两区域打通，与EF相交于O点。已知AF
和FE的长度分别为600米和400米，问COD围成的三角形阴影区域面积为多少万
平方米？
A F B
O
D E C
A. 12 B. 15
C. 16 D. 18
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【例3】（2025 浙江）一块直角梯形空地ABCD如下图所示，其中AD=AC=2AB。
现准备在图中三角形区域ABC建设特色生态园，并在图中与两条边相切的圆形区域
建设特色花坛。已知D点到圆上任一点最短距离为AB长度的一半，那么特色生态园
与特色花坛的面积比值在以下哪个范围？
A B
D C
A. 小于1 B. 1～1.5
C. 1.5～2 D. 大于2
【例4】（2024 湖北选调）某小区有一块长方形空地。如下图所示，小区将该空
地划为五块。已知2DE=3EC。为美化小区，现将阴影部分种植上草坪。请问阴影部
分面积与原长方形空地面积之比为多少？
A B
F
C D
E
A. 2∶5 B. 2∶7
C. 1∶4 D. 1∶7
【例5】（2025 联考）一个空的倒置的圆锥形容器，倒入1瓶固定容量的水后，水
的高度恰好为容器高度的一半。若要使容器盛满水，则需要再倒入水的瓶数为：
A. 5瓶 B. 7瓶
C. 8瓶 D. 10瓶
【例6】（2025 联考）妈妈将一个圆锥形冰淇淋（如下图所示，顶面是半径为3厘
米的平面）从距离顶面三分之一高的位置平行切开，下面那块给小安，上面那块给小
凡，那么小安吃的冰淇淋分量是小凡的多少倍？
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8 19
A. B.
27 27
19 8
C. D.
8 19
思维导图
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(cid:1948)(cid:5439)(cid:17920)(cid:11096) (cid:1085)(cid:16372)(cid:2121)(cid:3374)(cid:5522)(cid:17820)(cid:2374)(cid:1130)(cid:16372)(cid:2121)(cid:3374)(cid:5522)(cid:1981)(cid:11096)(cid:1948)(cid:5439)
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(cid:2064)
a2(cid:14)b2(cid:32)c2
(cid:1413)
3(cid:451)4(cid:451)5
(cid:19486)
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(cid:20168)
5(cid:451)12(cid:451)13
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30°(cid:451)60°(cid:451)90°(cid:4649)(cid:5316)(cid:1081)(cid:17897)(cid:8708)(cid:1467)(cid:32)1(cid:323) 3 (cid:323)2
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