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数量关系三色笔记................................................................... 1
一、解题思想..................................................... 1
（一）代入排除思想..............................................1
（二）倍数特性思想..............................................2
（三）余数特性思想..............................................4
（四）奇偶特性思想..............................................6
（五）赋值思想..................................................7
（六）极限思想..................................................8
（七）逆向推理思想..............................................9
（八）整除思想.................................................10
（九）十字交叉.................................................11
（十）方程思想.................................................13
二、核心题型解题方法............................................ 15
（一）工程问题.................................................15
（二）行程问题.................................................16
（三）经济利润问题.............................................17
（四）几何问题.................................................18
（五）排列组合及概率问题.......................................21
（六）溶液问题.................................................22
（七）和定最值问题.............................................25
（八）容斥问题.................................................26
（九）计算问题.................................................27
1
数量关系三色笔记
一、解题思想
（一）代入排除思想
1.使用范围
（1）看题型：多位数、年龄、余数、不定方程。
（2）看选项：
（3）选项信息充分；选项为一组数。（问法：分别/各）
（4）剩两项：只代其中一个。
2.使用方法
（1）先排除：奇偶、倍数、尾数。
（2）再代入：
①从简原则：方便计算的数，整十、整百的数。
②最值原则：问最大，从最大开始代入；问最小，从最小开始代入。对于生活中的问题，注意用生
活思维。
随笔练习
1.一群学生分小组在户外活动，如3人一组还多2人，5人一组还多3人，7人一组还多4人，则该群学
生的最少人数是（
）。
A.23
B.53
C.88
D.158
※【答案】B。解析：题干正面计算复杂，使用代入排除法。求的最少从最小的开始代入。代入A
项：当学生人数为23时，23-4=19，不是7的倍数，不满足题意，排除。代入B项：当学生人数为53
时，53-2=51，可以被3整除；53-3=50，可以被5整除；53-4=49，可以被7整除，满足题干所有条件，
当选。故本题选B。
2.两件快递的重量之比是3：2，去除包装之后的重量之比是9：5。若包装重量都是120克，则两件
快递的重量分别是（
）。
A.390 克、260 克
B.480 克、320 克
C.540 克、360 克
D.630 克、420 克
※【答案】B。解析题干条件清晰，使用代入排除法。
2
代入A项：
；不符合题干，排除；
代入B项：
；符合题干，当选。
故本题选B。
（二）倍数特性思想
1.整除型
如果A=B×C（B、C均为整数），那么A能被B整除，且A能被C整除。
使用范围：平均分配物品、平均数。
三量关系（A=B×C）：行程问题、工程问题、经济利润问题。
2.余数型
若总数=ax＋b，则（总数-b）一定能被a整除。（a，x均为整数）
3.比例型
若
a
b =
�
n（m、n互质），则a是m的倍数，b是n的倍数；
若a=
�
nb（m、n互质），则a是m的倍数，b是n的倍数；
若a=�
nb（m、n互质），则a= �
m+n（a+b）。
3
比例型适用于：
题干特征：分数、百分数、比例、倍数。
对象特征：描述对象为不可分割的整体，整数才有意义。如人、车、年龄等。
随笔练习
1.如下图，一个正方体的表面上分别写着连续的6个整数，且每个相对面上的两个数的和都相等，
则这6个整数的和为（
）。
A.53
B.52
C.51
D.50
※【答案】C。解析：相对面数字和相等，六面体共有三个相对面，所以加和一定是3的倍数，每
组相对面的和相等，设其为n，则总和为3n，即为3的倍数；或者6个连续的整数之和为3的倍数。只
有C符合。
2.在某公司年终晚会上，所有员工分组表演节目。如果按7男5女搭配分组，则只剩下8名男员工；
如果按9男5女搭配分组，则只剩下40名女员工。该公司员工总数为（
）名。
A.446
B.488
C.508
D.576
※【答案】B。解析：假设两次分组的组数分别为X和Y，总人数为T则：T=12X+8，T=14X+40，虽然
三个未知数两个方程没法解，不过根据倍数特性，我们只要求的总人数，T-8后是12的倍数，T-40
后是14的倍数，只有B选项满足条件。
4
（三）余数特性思想
同余问题核心口诀“最小公倍数作周期，余同加余，和同加同，差同减差”
余同加余：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，这个数是60n+1；
和同加和：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，这个数是60n+7；
差同减差：“一个数除以4余3，除以5余4，除以6余5”，这个数是60n-1。
在这里，60为（4、5、6的最小公倍数），n的取值范围为整数，可以为正数也可以是取负数。
在题干中看到“某物按x个分组还余y个”的条件，这种分组、分类有余的题目就是典型的余数特性
题目。
5
随笔练习
1.一群学生分小组在户外活动，如3人一组还多2人，5人一组还多3人，7人一组还多4人，则该群学
生的最少人数是（
）。
A.23
B.53
C.88
D.158
※【答案】B。解析：即该数需满足减2为3的倍数，减3为5的倍数，减4为7的倍数。A项：23-4=19，
不能被7整除排除；B项：53-2=51，53-3=50，53-4=49，分别能被3、5、7整除，符合题干要求的是
B选项。故正确答案为B。
2.一个盒子里有乒乓球100多个，如果每次取5个出来最后剩4个，如果每次取4个最后剩3个，如果
每次取3个最后剩2个，那么如果每次取12个最后剩多少个？（
）
A.11
B.10
C.9
D.8
※【答案】A。解析：由题干条件“每次取5个最后剩4个”可知乒乓球的总数加1是5的倍数，同理，
乒乓球的总数加1是4的倍数，乒乓球的总数加1是3的倍数，即乒乓球的总数加1应同时是5、4、3
的倍数，因此乒乓球的总数=60n-1。由于乒乓球有100多个，即100＜60n-1＜200，所以解得n=2或3。
当n=2时，乒乓球的数量=60×2-1=119，每次取12个最后会剩余11个；当n=3时，乒乓球的数量
=60×3-1=179，每次取12个最后也会剩余11个。故本题选A。
3.学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。如果排成5排则少2人；排成7排则少4人；则学
生人数是多少？（
）
A.102
B.98
C.104
D.108
6
※【答案】D。解析：人数除以5余3，除以7余3，利用“最小公倍数作周期，同余加余”，5×7=35，
这个数为35n+3，n=3时人数为35×3+3=108人，故本题选D。
（四）奇偶特性思想
1.在乘法中
若因子中存在偶数，则结果为偶数；无偶数则结果为奇数。
①奇数×奇数=奇数
②偶数×偶数=偶数
③奇数×偶数=偶数
若几个整数的和（或差）为奇（或偶）数，则这几个整数的差（或和）为奇（或偶）数。
2.在加减法中
两个因子奇偶性相同，则结果为偶数。两个因子奇偶性不同，则结果为奇数。
①奇数±奇数=偶数
②偶数±偶数=偶数
③奇数±偶数=奇数
随笔练习
1.20人乘飞机从甲市前往乙市，总费用为27000元。每张机票的全价票单价为2000元，除全价票之
外，该班飞机还有九折票和五折票两种选择。每位旅客的机票总费用除机票价格之外，还包括170
元的税费。则购买九折票的乘客与购买全价票的乘客人数相比为：（
）
A.两者一样多
B.买九折票的多1 人
C.买全价票的多2 人
D.买九折票的多4 人
※【答案】A。解析：设购买全价票、九折票、五折票的人数分别为a、b、c，由题意得
2000a+0.9×2000b+0.5×2000c+20×170=27000①；a+b+c=20②；解方程组可得5a+4b=18。此时只
能分析式子，因为4b，18为偶数，则由奇偶特性可知，a为偶数，只有a=2，b=2时满足上式，所以
7
购买全价票与九折票的人数一样多。故本题选A。
2.某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位，甲教室每排可
坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月共培训
1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训？（
）
A.8
B.10
C.12
D.15
※【答案】D。解析：根据题干意思，我们可以设甲教室举办x次，乙教室举办y次，根据题意我们
可以得到二元一次方程：①50x+45y=1290，②x+y=27，同样根据数的奇偶性，在①式中50x为偶数，
1290也为偶数，那么45y也必须为偶数，则y必然为偶数，再根据②式我们知道x必然为奇数，仅有D
选项为奇数。故正确答案为D。
（五）赋值思想
工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程问题、几何问题、经济利润问
题都常用到“赋值思想”。
当题目所给信息中未涉及到某个具体数量的大小，通常出现“倍数”“分数”“百分数”“比例”，
并且该数量的大小不影响最终所求结果，可赋值。观察题目所给的数值（分数、百分比、比例），
赋值数多为这些数的公倍数。
随笔练习
1.要折叠一批纸飞机，若甲单独折叠要半个小时完成，乙单独折叠需要45分钟完成。若两人一起折，
8
需要多少分钟完成？（
）
A.10
B.15
C.16
D.18
※【答案】D。解析：此题不知道总工程量的值，赋总工程量为30和45的最小公倍数为90，则甲效
率为3，乙效率为2。则合作效率为5，一共需90÷5=18分钟完成。
2.师徒两人3天加工的零件总数分别为240个和150个，已知师徒二人每天加工的零件个数为整数且
彼此不相等。其中师傅加工零件数最少的那天比徒弟加工零件数最多的那天多了10个。问师傅加工
最多的一天至多比徒弟加工最少的一天多多少？（
）
A.42
B.54
C.68
D.72
※【答案】C。解析：由题目可知，师徒二人平均每天的加工量分别为80、50。师傅最多那天比徒
弟最少那天多加工了10个，则取中间值分别为70、60。求师傅至多一天比徒弟最少一天多多少，则
师傅前两天生产70、71个，徒弟前两天生产60、59个。差值=240-70-71-（150-60-59）=68个。故
正确答案为C。
3.某人银行账户今年底余额减去1500元后，正好比去年底余额减少了25%，去年底余额比前年底余
额的120%少2000元。则此人银行账户今年底余额一定比前年底余额（
）。
A.少10%
B.多10%
C.少1000 元
D.多1000 元
※【答案】A。解析：假设前年底余额为5000元，则去年底余额为5000×120%-2000=4000（元），
今年底余额则为4000×75%+1500=4500（元），因此今年底余额比前面底余额少（5000-4500）
÷5000=10%。
（六）极限思想
出现“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”等字眼时，我们要有“极值
思想”。
“极值思想”是分析题目条件后，构造出满足题意的最极端情况，是极值在构造法中的运用形式。
题目提问中有“至少……才能保证……”那么“保证”后面的情况是必然发生的情况。即：最不利
情况数+1。
9
随笔练习
1.在一个不透明的布袋里有若干条四种不同颜色的围巾，其中白色3条，红色5条，蓝色8条，彩色4
条。如果每次取出一条，至少要取（
）次才能保证取得白色围巾。
A.20
B.18
C.16
D.13
※【答案】B。解析：由题干的问法可知，本题需要考虑最不利情况，最不利情况为所有其他颜色
都取完了，剩下的全为白色的，再取一次即可，故所求为5+8+4+1=18次。本题选择B选项。
2.某个社区老年协会的会员都在象棋、围棋、太极拳、交谊舞和乐器五个兴趣班中报名了至少一项。
如果要在老年协会中随机抽取会员进行调查，至少要调查多少个样本才能保证样本中有4名会员报
的兴趣班完全相同？（
）
A.93
B.94
C.96
D.97
※【答案】B。解析：题目中出现“至少…保证…”，构造最不利情况。老年协会的会员在五个兴
趣班中报名至少一项，则报名不同的情况数为�5
1+�5
2+�5
3+�5
4+�5
5=5+10+10+5+1=31。考虑最不利原则，
有4名会员报兴趣班相同，最不利值为3，则至少要调查31×3+1=94人才能保证有4名会员报的兴趣
班完全相同。故正确答案为B。
3.用18厘米长的警戒线围成各种长方形，要求场和宽的长度都是厘米数，则围成的长方形的面积最
大是多少？（
）
A.18 平方厘米
B.20 平方厘米
C.25 平方厘米
D.40 平方厘米
※【答案】B。解析：由题意可知长+宽=9，要使得面积最大、长和宽尽可能接近，长=5、宽=4，
面积=5×4=20，选B。
（七）逆向推理思想
①逆向推导：将过程颠倒，形成与之相反的运算过程从后往前获得所求值。
10
②正反互补：当所求情况过多、计算复杂时，可以考虑用整体减去与之相反的情况来求解，简化计
算过程。
随笔练习
1.某数加上5再乘以5再减去5再除以5，最终结果还是5，这个数是多少？（
）
A.0
B.1
C.-1
D.5
※【答案】B。解析：典型的逆推法题目。题干已经给出了正面运算的步骤，我们将步骤倒推即可
得出原数。即（5×5+5）÷5-5=1，所以这个数是1。故正确答案为B。
2.某市公安局从辖区2个派出所分别抽调2名警察，将他们随机安排到3个专案组工作，则来自同一
派出所的警察不在同一组的概率是？（
）
A.
2
3
B.
1
4
C.
1
3
D.
1
2
※【答案】A。解析：首先算出总的情况数，从4 人中选2 人，即�4
2=6。随机安排到三个工作组，
必然是2、1、1 的分组形式，则�3
3=6，总情况数=6×6=36 种。由于和自己来自同派出所的仅一人，
不同派出所的有两人，所以同派出所在一组的情况更少，我们可以用1 减掉在同一组概率求解。则
P=1-�2
1�3
3÷36=
2
3。故正确答案为A。
（八）整除思想
在含有类似于“倍数”、“分数”、“百分数”、“比例”的题目中也可以很好的利用整除的思想。
1.特殊数字整除判定
2（5）整除：观察数字的末位数字能否被2（5）整除。
4（25）整除：观察数字的末两位数能否被4（25）整除。
8（125）整除：观察数字的末三位数能否被8（125）整除。
3（9）整除：观察各位数字之和能否被3（9）整除。
2.普通数字整除判定
11
普通数字的整除判定，一般采用分解因式的方法进行快速判断。例如：判断一个数字能否被6整除，
6=2×3，则只需要判定该数能否被2和3整除；判定531能否被47整除，可以将531分解为（470+61）
进行判断。
随笔练习
1.车间领到一批电影票和球票发放给车间工人，电影票数是球票数的2倍。如果每个工人发3张球票，
则富余2张，如果每个工人发7张电影票，则缺6张，问车间领到多少张球票？（
）
A.32
B.30
C.64
D.60
※【答案】A。解析：球票总数减去2能被3整除，结合选项代入验证只有32满足。故正确答案为A。
2.某单位原拥有中级及以上职称的职工占职工总数62.5%。现又有2名职工评上中级职称，之后该单位
拥有中级及以上职称的人数占总人数
7
11。则该单位原来有多少名职称在中级以下的职工？（
）
A.68
B.66
C.64
D.60
※【答案】B。解析：正面计算比较繁琐。题干出现百分数和比例关系，考虑整除思想，中级及以
上开始时是62.5%即
5
8，则中级以下占
3
8，所以中级以下的人数为3的倍数。观察选项排除A、C。当2
人被评上中级职称后，中级以下占
4
11，原来中级以下人数减2为4的倍数。故选B项。
（九）十字交叉
十字交叉法最先是从溶液混合问题衍生而来的。若有两种质量分别为A与B的溶液，其浓度分别为a
与b，混合后浓度为r，则由溶质质量不变可列出下式Aa+Bb=（A+B）r，对上式进行变形可得
A/B=r-b/a-r，在解题过程中一般将此式转换成如下形式：
①用来解决两者之间的比例关系问题。
12
②得出的比例关系是基数的比例关系。
③总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
除了典型的溶液混合问题，还能应用在两部分混合增长率问题、平均分数、平均年龄等问题。比值
可以是“平均数”“比重”“浓度”“利润率”“折扣”等。
随笔练习
1.学校体育部采购一批足球和篮球，足球和篮球的定价分别为每个80元和100元。由于购买数量较
多，商店分别给予足球25%、篮球20%的折扣，结果共少付了22%。问购买的足球和篮球的数量之比
是多少？（
）
A.4：5
B.5：6
C.6：5
D.5：4
※【答案】B。解析：典型A，B的混合题型，因此采用十字交叉法如下：
即足球价格总额与篮球价格总额之比为2：3。设足球共买了x个，篮球共买了y个，则可列式为80x：
100y=2：3，解得x：y=5：6。故本题选B。
2.某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占人数的30％，且音乐系男女生人
数之比为1：3，美术系男女生人数之比为2：3，问音乐系和美术系的总人数之比为多少？（
）
A.5：2
B.5：1
C.3：1
D.2：1
※【答案】D。解析：音乐系男女人数之比为1：3，可得男生人数占比为25%，美术系男女人数之
比为2：3可得男生人数占比40，则有：
显然音乐系和美术系男生人数之比为2：1，故本题选D。
3.某商店花10000进了一批商品，按期望获得相当于进价25%的利润来定价。结果只销售了商品总量
的30%。为尽快完成资金周转，商店决定打折销售，这样卖完全部商品后，亏本1000元。问商店是
13
按定价打几折销售的？（
）
A.九折
B.七五折
C.六折
D.四八折
※【答案】C。解析：商品的定价有2种情况，一种是按照进价的25%来定价，另一种是打折之后来
进行定价，而题目中告诉我们亏本是1000元，相当于利润率为1000/10000=-10%,
根据题意，由十字交叉法，
也就是说，原来进价100元的商品，若按期望获得相当于进价25%的利润来定价，则价格为125元，
而打折后的价格100×（1-25%）=75元，则75÷125=0.6,所以打了六折。
本题答案选C。
（十）方程思想
1.基本方程
掌握基本的设元方法，准确找出题目中的等量关系进行列式，是数学运算中最重要的方法。
2.不定方程
除了基本方程外，在我们的解题过程中，经常会遇到含有1个未知数的方程，也可能遇到含有2个未
知数2个方程的方程组，或者3个未知数3个方程的方程组，这些方程或者方程组一般都有确定的解。
解不定方程问题常用的解法：综合利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、
余数特性、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。
3.不等式
在设元求解的过程中，根据题意所得方程可能是等式方程，也可能是不等式方程。即所求的值是一
个数量区间，而非一个定值。相较于等式方程能求出精确值，不等式方程还需要我们对取值区间做
出判断。
随笔练习
14
1.某地鼓励农户种植果树，规定每个自然年末种植果树面积比年初增加5亩，农民可得到2000元奖
金，且超出5亩后每增加1亩可额外获得x元奖金。已知每个自然年种植的果树，从下一自然年起每
亩每年可获得y元的果树收入。某农户第一年开始种植果树，当年种植10亩，获奖金3500元；第二
年种植面积扩大16亩；第三年种植面积又扩大15亩，年收入比第一年的16倍多1000元。则以下哪个
不等式能准确描述x与y的关系？（
）（注：年收入=奖金+果树收入）
A.x＜0.2y
B.0.2y≤x＜0.5y
C.0.5y≤x＜y
D.x≥y
※【答案】A。解析：根据第一年的奖金情况可列式3500-2000=5x，解得x=300，即超出5亩后每亩
可额外获得300元奖金。由此可知第三年总收入=2000+10×300+10y+16y→5000+26y，比第一年收入
的16倍多1000，则3500×16+1000=5000+16y，解得y=2000。代入A项验证，300＜2000×0.2。故正
确答案为A。
2.甲车间的生产效率是乙车间的1.5倍，分别生产1200件相同的产品，甲车间所需时间比乙车间少
10天。问甲、乙两个车间合作生产3000件相同的产品需要多少天？（
）
A.20
B.25
C.30
D.35
※【答案】C。解析：设甲车间的生产效率为3x，乙车间的生产效率为2x，由题意可知，
1200÷2x-1200÷3x=10，解得x=20。即甲车间每天生产3×20=60件，乙车间每天生产2×20=40件。
故题干所求为3000÷（60+40）=30天。故本题选C。
3.小张从甲地出发匀速前往乙地，同时小李和小王从乙地出发匀速前往甲地，小张和小李在途中的
丙地相遇，小张和小王在途中的丁地相遇。已知小张的速度比小李快一半，小王的速度比小李慢一
半，则丙、丁两地之间的距离与甲、乙两地之间的距离之比为：（
）
A.2：15
B.1：4
C.3：20
D.1：15
※【答案】C。解析：设甲、乙两地的距离为s，小张、小李、小王的速度分别为3x、2x、x，由下
图可知，小张和小李相遇时用时t1=s÷（3x+2x）=
�
5x，小张和小王相遇时用时t2=s÷（3x+x）=
�
4x，
则小张经过丙、丁两地路程用时t2-t1=
�
4x −
�
5x，所以丙、丁两地之间的路程S丙丁=3x×（
�
4x −
�
5x）=
3�
20，
故题干所求为
3�
20：s=3：20。故本题选C。
4.某工厂生产过程中需要用到A、B、C三种零件，工厂仓库中原有三种零件的数量比为1：2：3，现
在采购部门新购进一批零件，新购进三种零件的数量比是3：2：4，工厂每天使用的三种零件数量
15
相同，当A零件用完的时候，B零件还剩下10个，C零件还剩下170个，请问工厂仓库中原有A、B、C
零件各多少个？（
）
A.40，80，120
B.50，100，150
C.60，120，180
D.70，140，210
※【答案】C。解析：设原有三种零件的数量分别为x、2x、3x，再次购买的数量分别为3y、2y、
4y，由于每天使用的三种零件数量相同，所以A、B、C三种零件使用的总量相同。当A零件用完时，
一共用了x+3y，则B、C两种零件也用了x+3y。由题意可得方程组：
（2x+2y）-（x+3y）=10，①
（3x+4y）-（x+3y）=170，②
解得x=60，y=50。所以原有三种零件的数量分别为60、120、180。选C。
二、核心题型解题方法
（一）工程问题
1.基础知识
（1）工作量=工作效率×工作时间
（2）工作效率=工作量÷工作时间
2.解题思路：
（1）条件只给岀时间的具体值：通过给总量赋值，一般将总量设为时间的公倍数，从而计算出给
出条件的效率。
（2）条件中不仅有时间，而且有关于效率的比例关系，通常给效率赋值，通过公式计算出工作总
量。
（3）题目中有效率、时间、总量三个中的任意两个的具体值，则代入公式计算出第三个即可。
随笔练习
1.现有一批零件，甲师傅单独加工需要4小时，乙师傅单独加工需要6小时。两人一起加工这批零件
的50%需要多少个小时？（
）
A.0.6
B.1
C.1.2
D.1.5
※【答案】C。解析：题中给出4和6两个完工时间，因此赋值工程总量为4和6的最小公倍数12，甲
的效率为：12÷4=3，乙的效率为：12÷6=2，一起合作加工零件的50%需要的时间为：12×50%÷（
3+2）=1.2小时。故正确答案为C。
16
2.某浇水装置可根据天气阴晴调节浇水量，晴天浇水量为阴雨天的2.5倍。灌满该装置的水箱后，
在连续晴天的情况下可为植物自动浇水18天。小李6月1日0：00灌满水箱后，7月1日0：00正好用完。
问6月有多少个阴雨天？（
）
A.10
B.16
C.18
D.20
※【答案】D。解析：由题目所给出的晴天浇水量与阴雨天浇水量之比，可假设晴天浇水量为5，
阴雨天浇水量为2，则可得水箱总容量为5×18=90。已知6月整月共有30天，设阴雨天数为a，晴天
数为（30-a），则5（30-a）+2a=90，解得a=20。故正确答案为D。
（二）行程问题
1.基础知识：
基本公式：路程=速度×时间
相遇问题：路程和=（大速度+小速度）×时间
追及问题：路程差=（大速度－小速度）×时间
顺水行船：路程=（船速+水速）×时间
逆水行船：路程=（船速-水速）×时间
火车过桥（隧道）：路程=火车车身长度+桥长（隧道长度）=火车速度×过桥速度（过隧道速度）
2.解题思路：
根据题干先判断出题型，尽量能画出简易图，根据各个量之间的关系代入上述对应的公式即可。
3.补充知识：
①时间一定，路程和速度成正比；
②路程一定，速度和时间成反比；
③速度一定，路程和时间成正比。
④当行程中某一个量为定值，且出现比例时，可以考虑用比例求解。
随笔练习
1.一辆汽车第一天行驶了5个小时，第二天行驶了600公里，第三天比第一天少行驶200公里，三天
共行驶了18个小时。已知第一天的平均速度与三天全程的平均速度相同，问三天共行驶了多少公里
？（
）
A.800
B.900
C.1000
D.1100
17
※【答案】B。解析：本题属于基本行程问题，利用基本公式。设第一天的平均速度为ν，第一天
路程为5v，第三天路程为5v-200。由全程平均速度与第一天相同，可得方程：5v+600+5y-200=18ν，
解得v=50，则三天共行驶18×50=900公里。故正确答案为B。
2.甲、乙、丙、丁四人同时同地出发，绕一椭圆形环湖栈道行走。甲顺时针行走，其余三人逆时针
行走。已知乙的行走速度为60米/分钟，丙的速度为48米/分钟。甲在出发6、7、8分钟时分别与乙、
丙、丁三人相遇，求丁的行走速度是多少？（
）
A.31 米/分钟
B.36 米/分钟
C.39 米/分钟
D.42 米/分钟
※【答案】C。解析：由题意可知，甲与乙相遇，甲与丙相遇均为两人合走完一个环湖的全程。根
据总路程相等，可得方程（v甲+60）×6=（v甲+48）×7，解方程得v甲=24米/分钟。同理，甲与乙
相遇，甲与丁相遇时的路程也相等，（24+60）×6=（24+V丁）×8，解得v丁39米/分钟。故正确答案
为C。
3.有A、B两家工厂分别建在河流的上游和下游，甲、乙两船分别从A、B港口出发前往两地中间的C
港口。C港与A厂的距离比其与B厂的距离远10公里。乙船出发后经过4小时到达C港，甲船在乙船出
发后1小时出发，正好与乙船同时到达。已知两船在静水中的速度都是32公里/小时，问河水流速是
多少公里/小时？（
）
A.4
B.5
C.6
D.7
※【答案】C。解析：由题意可得，甲船比乙船多行驶10公里，甲船用时4-1=3小时。设河水流速
为ν公里/小时，则有3×（32+v）-4×（32-v）=10，解得v=6。故正确答案为C。
（三）经济利润问题
1.基础知识
（1）利润=售价-进价
（2）利润率=利润÷进价=（售价-进价）÷进价
（3）售价=进价×（1+利润率）
2.解题思路
根据上述公式列方程。若题干中未出现具体单位，可以利用赋值法求解。在解题中，可以利用数字
特性快速求解。
随笔练习
18
1.小李四年前投资的一套商品房价格上涨了50%，由于担心房价下跌，将该商品房按市价的9折出售，
扣除成交价5%的相关交易费用后，比买进时赚了56.5万元。那么，小李买进该商品房时花了多少万
元？（
）
A.200
B.250
C.300
D.350
※【答案】A。解析：设买进该商品房时成本为x万元，则现在市价为1.5x万元，实际售价为
1.5x×0.9=1.35x万元。利润：（1-5%）×135x-x=56.5，解得x=200。故正确答案为A。
2.枣园每年产枣2500公斤，每公斤固定盈利18元。为了提高土地利用率，现决定明年在枣树下种植
紫薯（产量最大为10000公斤），每公斤固定盈利3元。当紫薯产量大于400公斤时，其产量每增加n
公斤将导致枣的产量下降0.2n公斤。问该枣园明年最多可能盈利多少元？（
）
A.46176
B.46200
C.46260
D.46380
※【答案】B。解析：当紫薯产量大于400公斤时，每增加n公斤将导致枣的产量下降0.2n公斤。假
设紫薯的产量为（400+n）公斤，则此时枣的产量为（2500-0.2n）公斤。则总盈利为18×（2500-0.2n）
+3×（400+n）=（46200-0.6n）元，要让总盈利最大，则n取0，此时总盈利为46200元。故正确答
案为B。
（四）几何问题
1.基础知识
（1）基本公式
平面图形
周长公式
面积公式
长方形
（长+宽）×2
长×宽
正方形
边长×4
边长×边长
三角形
—
底×高÷2
平行四边形
—
底×高
梯形
—
（上底+下底）×高÷2
圆
π·直径=2π·半径
π·半径
2
扇形
—
（弧长×半径）÷2
立体图形
19
表面积公式
体积公式
长方体
（长×宽+长×高+宽×高）×2
长×宽×高
正方体
棱长×棱长×6
棱长×棱长×棱长
圆柱体
上、下底面积+侧面积
底面积×高
圆锥体
—
底面积×高÷3
球
4π·半径
2
（4π·半径
3）÷3
（2）常用三角函数
30°
45°
60°
sin
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tan
3
3
1
3
（3）三角形常用知识点
①两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
②三角形内角和为180°。
③勾股定理：a
2+b
2=c
2（常用勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13）
2.解题思路
（1）规则图形，按照相对应的公式列方程或直接计算；
（2）不规则图形，通过割、补、平移等方法转化成规则图形，再按照相对应的公式列方程或直接
计算。
随笔练习
1.某学校准备重新粉刷升国旗的旗台，该旗台由两个正方体上下叠加而成，边长分别为1米和2米，
问需要粉刷的面积为：（
）
A.30 平方米
B.29 平方米
C.26 平方米
D.24 平方米
※【答案】D。解析：小正方体每个面的面积为12=1m
2，大正方体每个面的面积为22=4m
2，两个正
方体的总面积为6×1+6×4=30m
2，其中重合部分为两个小正方体的面，面积为2×1=2m
2，而大正方
20
体作为旗台，其底面不用粉刷，故需要粉刷的面积为30-2-4=24m
2。故正确答案为D。
2.现要在一块长25公里、宽8公里的长方形区域内设置哨塔，每个哨塔的监视半径为5公里。如果要
求整个区域内的每个角落都能被监视到，则至少需要设置多少个哨塔？（
）
A.7
B.6
C.5
D.4
※【答案】C。解析：如下图所示：
根据直角三角形勾股定理有52-42=32，则每个圆形可覆盖一个宽为3×2=6 公里的长方形。要达到
完全覆盖，故需要
25
6 ≈4.17 个，至少5 个。故正确答案为C。
3.一艘非法渔船作业时发现其正右方有海上执法船，于是沿下图所示方向左转30°后，立即以15
节（1节=1海里/小时）的速度逃跑，同时执法船沿某一直线方向匀速追赶，并正好在某一点追上。
已知渔船在被追上前逃跑的距离刚好与其发现执法船时与执法船的距离相同，问执法船的速度为多
少节？（
）
A.20
B.30
C.10 3
D.15 3
※【答案】D。解析：
21
根据题意可知，非法渔船和执法船的行驶路线为上图所示，非法渔船在A点被追上。由于非法渔船
的逃跑距离和发现执法船时其与执法船的距离相同，假设距离为a，即OA=OB=a；渔船左转30°，即
∠AOB=120°。又因为△AOB为等腰三角形，故∠OBA=∠OAB=30°。过点O作OC垂直AB于点C，根据
△OCB为直角三角形，且∠OBA=30°可得CB=
3
2 ，OB=
3
2 a，因此AB=2×CB=2×
3
2 a= 3a。渔船从O到A，
执法船从B到A，行驶时间相同，假设执法船速度为ν节，则有= �
15 =
3�
�，解得v=15 3。
故正确答案为D。
（五）排列组合及概率问题
1.基础知识
加法原理：分类用加法
乘法原理：分步用乘法
排列：与顺序有关
组合：与顺序无关
排列公式：��
�=
�!
�−�!=n（n−1）（n−2）…（n−m+1）
组合公式：Cn
m=Cn
n−m=
n!
n−m !m！=
n n−1
n−2 … n−m+1
m m−1
m−2 …2∗1
概率公式：概率=
满足要求的情况数
总的情况数
（不要硬算，上下约分巧算）
2.特殊方法
当题目中要求某些主体必须排在一起时，考虑捆绑法。
当题目中要求某些主体不能相邻时，考虑插空法。
相同的物品分给多个主体时，要求每个主体至少分N个，就可以考虑插板法。先给每个主体少分一
个（即N-1个），剩下的物品必须给每个主体至少再分1个才能满足要求，此时将剩下的物品插板分
堆即可，插板数量=主体个数-1。
当题目中要求不能一一对应时，比如：N把钥匙对应N个锁，要求每个锁和一把不能打开它的钥匙放
进一个信封，这就是错位排列。错位排列用D，表示，Dn就表示N个数字的错位排列。
D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44。
3.解题思路
当题干中有特殊要求时，按照对应的特殊方法求解。没有特殊要求的，按照基础知识列式求解即可。
22
随笔练习
1.一次会议某单位邀请了10名专家，该单位预定了10个房间，其中一层5间、二层5间。已知邀请专
家中4人要求住二层，3人要求住一层，其余3人住任一层均可，那么要满足他们的住房要求且每人1
间，有多少种不同的安排方案？（
）
A.43200
B.7200
C.450
D.75
※【答案】A。解析：先安排有要求的专家，再安排没有要求的专家，即分步进行安排即可。首先
安排需要住二层的人，从5间二层房间中选出4间，安排4名专家的方法有�5
4种；再安排需要住一层
的人，从5间一层房间中选出3间，安排3名专家的方法有�5
3种；最后安排剩下的3人，无任何要求，
安排方法有�3
3种。分步用乘法，安排方法共有�5
4�5
3�3
3=43200种。故正确答案为A。
2.某集团企业5个分公司分别派出1人去集团总部参加培训，培训后再将5人随机分配到这5个分公司，
每个分公司只分配1人。问5个参加培训的人中，有且仅有1人在培训后返回原分公司的概率：（
）
A.低于20%
B.在20%~30%之间
C.在30%~35%之间
D.大于35%
※【答案】D。解析：5个人任意分配到5个分公司的总情况数为�5
5=5×4×3×2×1=120；满足只有
1人培训后返回原分公司的情况数为：5×D4=45（先在5人中任选1人返回原分公司，共有�5
1=5种选
择；再将剩下4人错位排列，D4=9）。则所求概率=
满足要求的情况数
总的情况数
=
45
120=
3
8=37.5%>35%，故正确答案为D。
3.为加强机关文化建设，某市直属机关在系统内举办演讲比赛。3个部门分别派出3、2、4名选手参
加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内
？（
）
A.小于1000
B.1000～5000
C.5001～20000
D.大于20000
※【答案】B。解析：3个部门分别派出3、2、4名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺
序必须相连。可先对每个部门内部的选手进行全排列，然后将3个部门的顺序进行全排列。则总共
的排列顺序有：�3
3+�2
2+�4
4+�3
3=6×2×24×6=1728种，属于1000～5000的范围。故正确答案为B。
（六）溶液问题
1.基本公式
23
溶质的质量=溶液的质量×浓度
2.溶液混合问题——十字交叉法
（1）溶液混合问题，指两种不同浓度、不同质量的溶液混合在一起，形成新的浓度。这是溶液问
题中基本题型，常用解法为十字交叉法。
步骤为：
①写两个部分量的浓度；
②写整体浓度；
③十字交叉作差（大数-小数）；
④写差值最简比；
⑤最简比对应两部分溶液的质量之比。
（2）十字相乘法使用时要注意几点：
①用来解决两者之间的比例关系问题。
②得出的比例关系是基数的比例关系。
③总均值放中央，对角线，大数减小数，结果放对角线上。
3.十字交叉模型
注：a＞r＞b
（1）三组计算关系：
第一列和第二列交叉作差得到第三列（大数减小数）。
第三列、第四列和第五列的比值相等。
第一列的差等于第三列的和。
（2）最简比（实际量之比）为比值的分母之比。
24
随笔练习
1.要将浓度分别为20%和5%的A、B两种食盐水混合配成浓度为15%的食盐水900克。问5%的食盐水需
要多少克？（
）
A.250
B.285
C.300
D.325
※【答案】C。解析：
方法一：方程法
A食盐水的记为A溶液B食盐水记为B溶液
则
A溶质的质量×20%+B溶质的质量×5%
A溶质的质量+B溶质的质量
=15%，化简得：A.溶液的质量×5%=B.溶液的质量×10%。设A、B两种
溶液的质量分别为900-x、x克，根据等量关系可得方程5%（900-x）=10%x，解得x=300。
方法二：十字交叉法
将相应数据填入括号内
可知A、B溶液的质量比为2∶1，混合后溶液的质量对应3份，为900克，则需要B溶液的质量为
1
3×900=300克。
2.甲容器中有浓度4%的盐水150克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，若从乙容器中取出450克盐水
放入甲中混合成浓度为10%的盐水，问乙容器中盐水的浓度是多少？（）
A.11%
B.12%
C.14%
D.16%
※【答案】B。解析：此题为溶液混合问题，设乙容器中盐水的浓度为x%，应用十字交叉法如下：
25
因此，有
，解得x%=12%，故正确答案为B。
（七）和定最值问题
1.基础知识
如何来判断一个题目是否属于和定最值问题，我们需要按以下两个条件去排除：
（1）几个数的和一定；
（2）问题是求其中某个量的最大值或者最小值。
2.题型特点
题干或问法中出现“最大或最小、最多或最少、至多或至少”等，我们首先要考虑是和定值问题。
和定最值：多个数的和一定，求其中某个量的最大或最小值的问题。
3.解题原则
（1）求某个量的最大值，让其余量尽可能小，从最小开始分析。
（2）求某个量的最小值，让其余量尽可能大，从最大开始分析。
随笔练习
1.要把21 棵桃树栽到街心公园里5 处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数
要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪最多栽多少棵桃树？（
）
A.7
B.8
C.10
D.11
※【答案】D。解析：存在“和”。“和”为21。所求为最大量的最大值。要使面积最大的草坪栽
种的桃树最多，则其他草坪栽种的桃树应尽可能的少。设面积最大的草坪栽了x棵，其他四个草坪
栽种的桃树棵数分别为1、2、3、4，则x+4+3+2+1=21棵，解得x=11。
2.期末考试中前六名学生成绩的平均分是92.5分，且6人的成绩是互不相同的整数，最高分是99分，
则第三名至少得多少分？（
）
A.91
B.93
C.96
D.97
※【答案】A。解析：存在“和”。“和”为92.5×6=555。所求为第三名的最小值。要使第三名
的分数尽可能低，则其他人分数应尽量高。第一、二名最高可为99、98分，设第三名为x分，则第
四、第五、第六依次为x-1、x-2、x-3分，99+98+x+x-1+x-2+x-3=555，解得x=91分。
3.6名同学参加一次百分制考试，已知6人的分数是互不相同的整数。若6名同学的总分是513分，求
分数最低的最多得了多少分？（
）
26
A.83
B.84
C.85
D.86
※【答案】A。解析：存在“和”。“和”为513。所求为最小量的最大值。要想分数最低的同学
得分最多，则其他同学的得分应尽可能的少。设分数最低的同学得了x分，其他5个同学的得分分别
为x+1、x+2、x+3、x+4、x+5，则x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5=513分，解得x=83。
（八）容斥问题
1.两者容斥
如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现即是A类又是B类的
部分重复计算了一次，所以要减去。如下图所示。
【记忆口诀】总数=两集合之和+两集合之外数-两集合公共数
2.三者容斥
三集合标准型公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数－都不满足
三集合非标准型公式：A+B+C－满足两项－2×满足三项=总数－都不满足
解题步骤分三步走：①画文氏图；②弄清楚图形中没一部分所代表的含义；③代入公式（A+B+C-A∩B-
A∩C-B∩C+A∩B∩C）进行求解
3.容斥极值
公式：（A∩B）min=A+B-1
推广：（A∩B∩C）min=A+B+C-21
随笔练习
1.某公司组织歌舞比赛，共68人参赛。其中，参加舞蹈比赛的有12人，参加歌唱比赛的有18人，45
人什么比赛都没有参加。问同时参加歌舞比赛的有多少人？（
）
A.7
B.8
C.9
D.10
27
※【答案】A。解析：总人数=参加舞蹈比赛人数+参加歌唱比赛人数-两项比赛都参加人数+两项比
赛都未参加人数。所以两项比赛都参加的人数为12+18-（68-45）=7人。
2.某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可
溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都
不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？（
）
A.34
B.35
C.36
D.37
※【答案】A。解析：在将低温柔度不合格、可溶物含量不达标、接缝剪切性能不合格的产品数相
加时，两项同时不合格的产品数被计算了两次，需减掉一次；三项同时不合格的产品数被计算了三
次，需减掉两次。设三项全合格的建筑防水卷材产品有x种，根据容斥原理可得，8+10+9-7-2×1+x=52，
解得x=34。
3.阅览室有100本杂志。小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借
阅过的杂志最少有多少本？（
）
A.5
B.10
C.15
D.30
※【答案】A。解析：本题出现了三个概念，分别是小赵借阅、小刘借阅、小王借阅，概念间存在
交叉关系。根据三个集合交集最小值的公式，三人都借阅的至少有75+70+60-2×100=5本。
（九）计算问题
1.等差数列
（1）基础知识
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。例如：1，3，5，7，9……。
数列的第一项叫做首项a1表示，数列的最后一项叫做末项用an表示。
相邻两项的差值叫做共差d表示。前项和用Sn表示。
（2）基本公式
①通项公式
��= �1 + �−1 �= ��+ �−��
②求和公式
Sn=
�1+���
2
= ��1 +
��−1
2
�
28
2.周期循环
解题关键：寻找最小循环周期。
（1）找周期：找准周期的起点和终点，确定总数
（2）算余数：总数÷每个周期的个数=周期数量……余数（n）
（3）做等价：余数n就等价于该周期的第n项（余几数几）
3.整除
（1）核心
通过题干中所给的信息，判断结果应具备的整除特性，从而排除错误选项。
（2）应用环境
题干文字描述中出现“整除、每、平均、倍数”等字眼时能用利用整除解题题干中出现分数、百分
数、比例等数据时能够利用整除解题。
随笔练习
1.某剧院共25排座位，后一排均比前一排多2个座位，已知最后一排有80个座位，问这个剧院一共
有多少个座位？（
）
A.1200
B.1300
C.1400
D.1500
※【答案】C。解析：第一排座位数为32，剧院共有1400个座位。因a25=80，根据a25=a1+（25−1）
×2，得a1=32，再根据Sn=
×n，可得S25=
×25=1400。
2.书架的某一层上有136本书，且是按照“3本小说、4本教材、5本工具书、7本科技书、3本小说、
4本教材……”的顺序循环从左至右排列的。问该层最右边的一本是什么书？（
）
A.小说
B.教材
C.工具书
D.科技书
※【答案】A。解析：一个完整的循环是“3本小说+4本教材+5本工具书+7本科技书”共19本书，
所以最小循环周期为19。136÷19=7……3，所以有7个完整的循环周期。还多3本，正好多3本小说，
最后一本为小说。
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3.学校有足球和篮球的数量比为8∶7，先买进若干个足球，这时足球与篮球的比变为3∶2，接着又
买进一些篮球，这时足球与篮球数量比为7∶6。已知买进的足球比买进的篮球多3个，原来有足球
多少个？（
）
A.48
B.42
C.36
D.30
※【答案】A。解析：由题意可知，原来足球的个数能被8整除。只有A项能够被8整除。
