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重难16 机械振动和机械波（机械振动、机械波、弹簧振子 模型、单摆模型、图像问题等） 高考指导方向标 近三年考查趋 势分析 近三年高考中，本专题考查频率较高，通常以选择题形式出现，分值约6-10 分。命题注 重对振动与波动基本概念、图像及规律的理解与应用，常结合生活实例（如单摆测重力 加速度、水波干涉）和科技情境进行考查。 命题特点： 突出图像分析与转换：重点考查振动图像（单个质点位移-时间）与波动图像（多个质点 位移-空间）的辨识、信息读取及相互推导。 聚焦单摆模型与应用：围绕单摆周期公式 T=2πL/g，考查周期计算、等效摆长与等效重 力加速度的理解，以及与超失重、天体运动的结合。 强化波的传播规律：涉及波的传播方向与质点振动方向的判断（如“上下坡法”）、波 长、波速与频率的关系，以及波的多解问题（时间周期性、空间周期性）。 查波的叠加与干涉：理解干涉产生的条件（频率相同、相位差恒定），掌握振动加强点 与减弱点的判断方法（公式法或图像法）。 核心方法聚焦 图像分析：明确振动图像（横轴为时间）与波动图像（横轴为位置）的根本区别，掌握 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难技巧突破 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难点的核心方法论与实战技巧 重难保分练 稳扎稳打 必拿分数：聚焦可稳拿分数题目，确保重难点基础分值 重难抢分练 突破瓶颈 争夺高分： 聚焦于中高难度题目，争夺关键分数 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战高考压轴题，养成稳定攻克难题的“题感” 从波动图像推断质点振动方向（或反之）的方法。 模型应用：熟练运用单摆周期公式，并能处理竖直面内、超失重等情境下的等效模型。 波的多解问题处理：针对波的传播方向不确定性及周期性，通常需列出通解 x=nλ+Δx 或 t=nT+Δt 进行分析。 备考指导建议 透彻理解概念与图像：清晰区分振动与波动，能熟练从两种图像中提取振幅、周期（频 率）、波长、波速等信息。 掌握典型模型与推论：吃透单摆周期公式及其变式，理解弹簧振子中各物理量（位移、 回复力、加速度、速度、能量）的变化关系。 强化波动过程分析：重点练习波的传播、叠加、干涉问题，提升对空间波形变化和质点 振动关联的分析能力。 注重与实际结合：了解声波、水波等常见机械波现象，能将实际问题抽象为简谐运动或 波的模型进行分析。 1. 振动图像和波动图像 图像类型 振动图像 波的图像 研究对象 一个质点 波传播方向上的所有质点 研究内容 某质点位移随时间的变化规律 某时刻所有质点在空间分布的规律 图示 横坐标 表示时间 表示各质点的平衡位置 物理意义 某质点在各时刻的位移 某时刻各质点的位移 图像信息 质点振动周期。 质点振幅。 各时刻质点位移。 各时刻速度、加速度方向。 波长、振幅 任一质点在该时刻的位移 任一质点在该时刻的加速度方向 传播方向、振动方向的互判 振动方向的判断 (看下一时刻的位移) (同侧法) Δt 后的图形 随时间推移，图像延伸，但已有 形状不变。 随时间推移，图像沿波的传播方向平移， 原有波形做周期性变化。 形象比喻 记录着一个人一段时间内活动的 录像带。 记录着许多人某时刻动作、表情的集体照 片。 联系 纵坐标均表示质点的位移。 纵坐标的最大值均表示振幅。 波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动。 【注意】“一分、一看、二找”巧解波的图象与振动图象综合类问题 (1)分清振动图象与波的图象．只要看清横坐标即可，横坐标为x 则为波的图象，横坐标为t 则为振动 图象。 (2)看清横、纵坐标的单位．尤其要注意单位前的数量级。 (3)找准波的图象对应的时刻。 (4)找准振动图象对应的质点。 2. 弹簧振子模型 1. 弹簧振子：我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，有时也简称为振子。弹簧振子是一种理想模型 2. 平衡位置：振子原来静止时的位置。位于平衡位置时，小球所受合力为0。经过平衡位置时，小球速度 最快。 【注意】：弹簧振子的平衡位置不一定在弹簧的原长位置，比如弹簧振子竖直放置的时候，用手把钢球向 上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动，其振动的平衡位置不在弹簧的原长位置，而是在弹力与重 力的合力为零的位置。 弹簧振子运动情景分析： 上图的运动情景导致各物理量的变化情况如下表所示。 由表格可得： ①在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步 调相反； ②最大位移处是速度方向变化的转折点； 振子的运动 位移 加速度 速度 动能 势能 O→B 增大，方向向右 增大，方向向左 减小，方向向右 减小 增大 B 最大 最大 0 0 最大 B→O 减小，方向向右 减小，方向向左 增大，方向向左 增大 减小 O 0 0 最大 最大 0 O→C 增大，方向向左 增大，方向向右 减小，方向向左 减小 增大 C 最大 最大 0 0 最大 C→O 减小，方向向左 减小，方向向右 增大，方向向右 增大 减小 ③关于平衡位置O 对称的两点,速度的大小、动能、势能、相对平衡位置的位移大小相等,由对称点向平衡 位置O 运动时用时相等。 【注意】实际物体看作弹簧振子的四个条件： （1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）。 （2）构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点。 （3）忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力。 （4）小球从平衡位置被拉开的位移在弹性限度内。 3 单摆及其应用——等效思想 1. 单摆周期： （1）公式：T＝2π （2）理解：在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅无关。 【注意】：单摆的振动周期跟球的质量无关，只与摆长L 和当地的重力加速度g 有关。 （3）对重力加速度的理解： ①摆球只受重力和细线拉力，且悬点静止或做匀速直线运动，g 为当地重力加速度，在地球上不同位置g 的取值不同，不同星球表面g 值也不相同。 ②单摆处于超重或失重状态时等效重力加速度g0＝g±a.在近地轨道上运动的卫星加速度a＝g，为完全失 重，等效重力加速度g0＝0。 2. 运动特点： （1）摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力。 （2）摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都 受回复力。 3. 单摆的受力特征： （1）向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，F向=FT−mg cosθ 。 (2)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F＝mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F 与位移x 的 方向相反。(如图所示) （3）两个特殊位置： ①当摆球在最高点时，F 向＝＝0，FT＝mgcos θ。 ②当摆球在最低点时，F 向＝，F 向最大，FT＝mg＋m。 拓展：单摆的类型拓展 图例 等效摆长 运动特点 l 等效＝lsin α 做垂直纸面的小角度摆动 l 等效＝lsin α＋l 垂直纸面摆动 l 等效＝l 纸面内摆动 左侧：l 等效＝l；右侧：l 等效＝l 纸面内摆动T＝π＋π l 等效＝R 当半径R 远大于小球位移x 时，小球做单 摆运动 4 波的干涉 1. 波的叠加原理：几列波相遇时各自的波长、频率等运动特征，不受其他波的影响。在它们重叠的区 域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量 和。所以叠加区域的质点的位移可能增大，也可能减小。如图所示，两列同相波的叠加，振动加强，振幅 增大；两列反相波的叠加，振动减弱，振幅减小。 2. 波的干涉：频率相同的两列波叠加时，某些区域的振动加强、某些区域的振动减弱，这种现象叫波 的干涉。形成的图样常常叫做干涉图样。发生干涉的条件：（ 1 ） 频率相同； （ 2 ） 相位差恒定 。 5 传播方向和振动方向的判断——图像理解 波的传播方向与质点振动方向的判断方法： “微平移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x 坐标 的两波形曲线上的点来判断质点振动方向 “上下坡”法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时 质点向上振动 “同侧”法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧 6 机械波的多解问题——发散思维 1.造成波动问题多解的主要因素有 (1)机械波的传播具有周期性： ①时间周期性：时间间隔Δt 与周期T 的关系不明确； ②空间周期性：波传播距离Δx 与波长λ 的关系不明确． (2)机械波的传播方向具有双向性：波的传播方向不确定； (3)机械波的振动方向具有双向性：质点振动方向不确定． 2.解决波的多解问题的思路和步骤 一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt 或Δx，若此关系为时间， 则t＝nT＋Δt(n＝0,1,2…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2…)． 步骤： (1)根据初、末两时刻的波形图确定传播距离与波长的关系通式． (2)根据题设条件判断是唯一解还是多解． (3)根据波速公式v＝或v＝＝λf 求波速． 【注意】波的多解问题中几点注意 (1)首先考虑双向性，若题目未告知波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播的可能性进行 讨论． (2)对设定的传播方向，确定Δt 和T 的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内的情况，然后在 此基础上加nT。 (3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt 大于或小于一个周期 等，所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意。 (4)空间的周期性与时间的周期性是一致的，实质上是波形平移规律的应用，所以应用时我们可以针对 不同题目选择其中一种方法求解。 7. 加强点和减弱点的判断——深入拓展 1.波的干涉中振动加强点和减弱点的判断方法： （1）公式法：某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。 当两波源振动步调一致时 若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强 若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱 当两波源振动步调相反时 若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动加强 若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱 稳定干涉中，振动加强区域和振动减弱区域的空间位置是不变的，加强区域中心质点的振幅等于两列 波的振幅之和，减弱区域中心质点的振幅等于两列波的振幅之差。 （2）图像法：在某时刻波干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波 峰与波谷的交点，一定是减弱点。各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，形成 加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。 【注意】：若某点是平衡位置和平衡位置相遇，则让两列波再传播T，看该点是波峰与波峰(波谷和波 谷)相遇，还是波峰和波谷相遇，从而判断该点是加强点还是减弱点。 （建议用时：20 分钟） 1．（2025·全国卷·高考真题）一组身高相近的学生沿一直线等间隔排成一排，从左边第一位同学开始，依 次周期性地“下蹲、起立”，整个队列呈现类似简谐波的波浪效果，如图所示。假定某次游戏中，形成的 波形的波长为4m，左边第一位同学蹲至最低点时，队列中另一同学恰好站直，则这两位同学间的距离可 能是（ ） A．1m B．2m C．5m D．6m 2．（2025·重庆·高考真题）一浮筒（视为质点）在池塘水面以频率f 上下振动，水面泛起圆形的涟漪（视 为简谐波）。用实线表示波峰位置，某时刻第1 圈实线的半径为r，第3 圈实线的半径为9r，如图所示， 则（ ） A．该波的波长为4r B．该波的波速为2fr C．此时浮筒在最低点 D．再经过 ，浮筒将在最低点 3．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）一列简谐横波在介质中沿直线传播，其波长大于 ，a、b 为介质中平 衡位置相距 的两质点，其振动图像如图所示。则 时的波形图可能为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）平衡位置在同一水平面上的两个振动完全相同的点波源，在均匀介质中 产生两列波。若波峰用实线表示，波谷用虚线表示，P 点位于其最大正位移处，曲线ab 上的所有点均为振 动减弱点，则下列图中可能满足以上描述的是（ ） A． B． C． D． 5．（2025·海南·高考真题）如图所示，实线和虚线分别是沿着 轴正方向传播的一列简谐横波在 时刻 和 的波形图，已知波的周期 ，则下列关于该列波说法正确的是（ ） A．波长为 B．波速为 C．周期为 D． 时刻，质点 向下振动 6．（2026·河南·一模）如图一条弹性轻绳放置于 轴正半轴，绳的左端位于坐标原点， 、 是弹性绳上 坐标分别为 、 的两点， 时刻，坐标原点处的波源沿 轴正方向开始振动，振动规律 为 。此后，测得 点开始振动的时刻为 。下列说法正确的是（ ） A．波传播速度为 B． 时， 点的速度方向沿 轴负方向 C． 点开始振动时 点位于正向最大位移处 D． 至 时间内 点通过的路程 7．（2025·福建·模拟预测）某同学用如图甲所示的装置研究单摆相关规律，在单摆悬点处安装力传感器测 得摆线上的力与时间的关系如图乙所示，图中横坐标为已知量。已知摆球的直径为D，当地重力加速度为 g，则（ ） A．单摆的周期为 B．单摆的周期为 C．单摆的摆线长为 D．单摆的摆线长为 （建议用时：30 分钟） 8．（2025·浙江·高考真题）如图甲所示，有一根长 、两端固定紧绷的金属丝，通过导线连接示波器。 在金属丝中点处放置一蹄形磁铁，在中点附近 范围内产生 、方向垂直金属丝的匀强磁场 （其他区域磁场忽略不计）。现用一激振器使金属丝发生垂直于磁场方向的上下振动，稳定后形成如图乙 所示的不同时刻的波形，其中最大振幅 。若振动频率为f，则振动最大速度 。已知金属 丝接入电路的电阻 ，示波器显示输入信号的频率为 。下列说法正确的是（ ） A．金属丝上波的传播速度为 B．金属丝产生的感应电动势最大值约为 C．若将示波器换成可变电阻，则金属丝的最大输出功率约为 D．若让激振器产生沿金属丝方向的振动，其他条件不变，则金属丝中点的振幅为零 9．（2025·四川·高考真题）如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左 至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同 时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2 个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高 点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则（ ） A．小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零 B．小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零 C．小球甲、乙的振动周期之比为 D．小球丙、丁的摆长之比为 10．（2025·北京·高考真题）“姑苏城外寒山寺，夜半钟声到客船。”除了夜深人静的原因，从波传播的 角度分析，特定的空气温度分布也可能使声波传播清明致远。声波传播规律与光波在介质中传播规律类似。 类比光线，用“声线”来描述声波的传播路径。地面上方一定高度S 处有一个声源，发出的声波在空气中 向周围传播，声线示意如图（不考虑地面的反射）。已知气温越高的地方，声波传播速度越大。下列说法 正确的是（ ） A．从M 点到N 点声波波长变长 B．S 点气温低于地面 C．忽略传播过程中空气对声波的吸收，则从M 点到N 点声音不减弱 D．若将同一声源移至N 点，发出的声波传播到S 点一定沿图中声线 11．（2025·河北·高考真题）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相同的小物 块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两物块分别 用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然 后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为 ，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法 正确的是（ ） A．左侧小物块沿斜面做简谐运动 B．细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大 C．右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等 D．若 增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长 12．（2025·江苏·模拟预测）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为m 的小球A，质量为2m 的小球B 与A 用细线相连，整个系统处于静止状态，弹簧劲度系数为k，弹簧原长足够长，重力加速度为g。现剪 断细线，下列说法正确的是（ ） A．剪断细线后的瞬间，小球A 的加速度大小为g B．小球A 运动到弹簧原长处时速度最大 C．小球A 的最大速度为 D．小球A 运动到最高点时，弹簧的伸长量为 13．（25-26 高二上·全国·课后作业）如图1 所示，介质中有两个相距6 m 的波源S1和S2，两波源的振动方 向与纸面垂直，所形成的机械波在纸面内传播，传播速度均为0.25 m/s。图2 是S1的振动图像，图3 是S2 的振动图像。M 点在S1和S2的连线上，与波源S1相距2.5 m，N 和S1的连线与S1和S2的连线垂直，N 点到 S1的距离为8 m。下列说法正确的是（ ） A．M 是振动加强点 B．N 是振动加强点 C．M 是振动减弱点 D．N 是振动减弱点 14．（2026·河南郑州·一模）如图，两相同小球甲、乙用轻绳连接后悬挂在轻质弹簧下端，整个系统处于 静止状态，弹簧的伸长量为 。某时刻剪断轻绳，取竖直向上为正方向，重力加速度大小为 。下列图中 能正确描述此后甲球的加速度随位移变化关系的是（ ） A． B． C． D． 15．（2025·江苏·模拟预测）某同学自己制作了一套玩具，利用剖开的半径为R 的圆管一部分作为轨道， 固定在水平面内，如图所示，弧 ， 长为 ，在 处挖一小洞。游戏时，用弹簧枪将一质量为 的小球（比洞略小）沿 方向射出，通过控制弹出时的速度大小，可使小球落入洞中，a、b、c、d 在同 一水平面上，不计一切阻力，小球可视为质点，当地重力加速度为g。若使小球能够进入洞中，求： (1)小球从 点射出时可能的速率； (2)发射前，弹簧弹性势能的最大可能值。 （建议用时：20 分钟） 16．（2025·河南·一模）如图，在粗糙水平地面上静置着倾角为 、质量为 的斜面体，其斜面光滑。斜 面上放置的质量为 的物块与固定在斜面上端劲度系数为 的轻质弹簧相连，弹簧的轴线始终与斜面平行。 在弹簧处于原长时将物块由静止释放，物块在斜面上做往复运动的过程中，斜面体始终保持静止，重力加 速度为 。下列说法正确的是（ ） A．物块沿斜面向下运动的最大距离为 B．地面对斜面体的摩擦力大小可能为零 C．地面对斜面体的摩擦力大小恒为 D．地面对斜面体的支持力小于 17．（25-26 高三上·山西·月考）质量为 的物块1 左端拴接弹簧静止在光滑水平面上的A 点，弹簧劲度系 数 ，固定在墙上如图所示，质量为 的物块2 静止在A 点右侧1m 处的B 点。现在物块 2 上施加一外力F，F 的大小为物块2 到A 点距离的800 倍，方向始终指向A 点。弹簧振子的周期公式为 。下列说法正确的是（ ） A．物块2 与物块1 碰撞前的速度大小为 B．若 ，物块1 与物块2 之间的碰撞属于完全非弹性碰撞，则弹簧的最大压缩量为2m C．若 ，物块1 与物块2 之间的碰撞属于弹性碰撞，则第一次碰撞后经过 的时间发 生第三次碰撞 D．若 ，物块1 与物块2 之间的碰撞属于弹性碰撞，则物块1 与物块2 第二次碰撞后物块1 的 速度大小为 18．（2025·浙江·一模）AP 和BP 是两条长度均为6m 的不同材质细绳，P 为连接点。t=0 时刻两人同时在 A、B 两端以恒定频率上下抖动绳子，振幅均为40cm，1s 后第一次出现如图所示绳波，已知AC 距离2m， BD 距离3m，不考虑波的反射，下列说法正确的是（ ） A．两列波的第一个波峰会在P 点相遇 B．t=3.25s 时, P 质点经过的总路程为240cm C．振动稳定后，D 点的振幅为80cm D．振动稳定后，AB 连线(除A、B 外)上共有8 个加强点 19．（2025·江苏·模拟预测）如图1 所示，两波源 和 分别位于 与 处，以 为边界， 两侧为不同的均匀介质。 时两波源同时开始振动，其振动图像相同，如图2 所示。 时 与 两处的质点开始振动，不考虑反射波的影响，则（ ） A． 时两列波开始相遇 B．在 间 波的波长为0.8m C．两列波叠加稳定后， 处的质点振动加强 D．两列波叠加稳定后，在 间共有15 个振动加强点 20．（2025·浙江台州·一模）图甲是水下灯光装置简化图，轻质弹簧下端固定在水池底部，上端连接一点 光源，点光源静止在O 点，其在水面上的投影位置为 。现让点光源在竖直方向做简谐运 动，其振动图像如图乙所示，y 表示偏离平衡位置的位移，规定向上为正方向，水的折射率为 。下列说 法中正确的是（ ） A． 时，点光源处于失重状态 B．光斑边缘的振动周期为 C．光斑的最大面积为 D．光斑边缘上某点振动的振幅为
