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思想01 实施分类讨论策略以精准解析数学问题
目录
01 考情透视·目标导航...................................................................................................2
02 知识导图·思维引航...................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.................................................................................................7
题型一：由情境的规则引起的分类讨论
7
题型二：由定义引起的分类讨论
8
题型三：由平面图形的可变性引起的分类讨论
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题型四：由变量的范围引起的分类讨论
12
题型五：由空间图形的可变性引起的分类讨论
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高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．
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当被研究的问题出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们通常将可能出现的所有情况分别进行讨论，
得出每种情况下相应的结论，这就是分类讨论的思想，包含分类与整合两部分，既化整为零，各个击破，
又集零为整．
基本步骤是：（1）研究讨论的必要性，确定讨论对象；（2）确定分类依据，并按标准分类；（3）
逐类解决，获得各类的结果；（4）归纳整合，得到结果．
分类的基本原则是：（1）标准统一，不重不漏；（2）层次明晰，不混不乱．
分类讨论应用的热点：（1）由概念、定义、公式、定理、性质等引起的分类讨论，如直线的斜率是
否存在，幂、指数、对数函数的单调性，等比数列的公比是否为1 等．（2）由数学运算规则引起的分类讨
论，如除法运算中分母不为零，偶次方根为非负数，不等式两边同乘（除）以一个数（式）的符号等．
（3）由变量的范围引起的分类讨论，如对数的真数与底数的范围，指数运算中底数的范围，函数在不同
区间上单调性受参变量的影响等．（4）由图形的可变性引起的分类讨论，如图形类型、位置，点所在的
象限，角大小的可能性等．（5）由情境的规则引起的分类讨论，情境问题的规则在解决数学问题时常需
要分类讨论思想，如体育比赛的规则等．
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1．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．（2024 年天津高考数学真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取值范围为 ．
3．（2024 年北京高考数学真题）设
与
是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
，给出下列4 个结论：
①若
与
均为等差数列，则M 中最多有1 个元素；
②若
与
均为等比数列，则M 中最多有2 个元素；
③若
为等差数列，
为等比数列，则M 中最多有3 个元素；
④若
为递增数列，
为递减数列，则M 中最多有1 个元素.
其中正确结论的序号是 .
4．（2023 年北京高考数学真题）设
，函数
，给出下列四个结论：
①
在区间
上单调递减；
②当
时，
存在最大值；
③设
，则
；
④设
．若
存在最小值，则a 的取值范围是
．
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其中所有正确结论的序号是 ．
5．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
6．（2024 年天津高考数学真题）已知
为公比大于0 的等比数列，其前
项和为
，且
．
(1)求
的通项公式及
；
(2)设数列
满足
，其中
．
（ⅰ）求证：当
时，求证：
；
（ⅱ）求
．
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题型一：由情境的规则引起的分类讨论
【典例1-1】甲､乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字
，乙的卡
片上分别标有数字
，两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张，并比较所选卡片上数字之和的大小，
数字之和大的人获胜.则甲获胜的概率为 .
【典例1-2】已知实数
的平均数为4，则这四个数的中位数的取值范围是 ．
【变式1-1】某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B 两个箱子中．A 箱中有4 道代数题
和2 道几何题，B 箱中有3 道代数题和3 道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中
的箱子中依次抽取2 道题（不放回）作答．
(1)若甲同学选择A 箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率；
(2)若乙同学选择A 箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B 箱，接着丙同学选择从B 箱抽取
题目，求丙抽取的2 道题中至少有一道代数题的概率．
【变式1-2】将连续正整数1，2，
，
从小到大排列构成一个数
，
为这个数的位数
如当
时，此数为123456789101112，共有15 个数字，
，现从这个数中随机取一个数字，
为恰好取到0 的概率.
(1)求
(2)当
时，求
的表达式.
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(3)令
为这个数中数字0 的个数，
为这个数中数字9 的个数，
，
，求当
时
的最大值.
1．某班学生分A，
，
，
四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三
组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3 分，负者0 分；若出现平局，则比赛双方各积1 分.现假设四个组战
胜或者负于对手的概率均为
，出现平局的概率为
，每场比赛相互独立.
(1)求A 组在参加两场比赛后得分为3 分的概率；
(2)一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率.
2．甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，
则本回合甲赢的概率为
，若乙发球，则本回合甲赢的概率为
，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，
第1 回合由甲发球.
(1)求第4 个回合甲发球的概率；
(2)设前4 个回合中，甲发球的次数为
，求
的分布列及期望.
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题型二：由定义引起的分类讨论
【典例2-1】设数列
和
的项数均为
，则将数列
和
的距离定义为
．
（1）给出数列1，3，5，6 和数列2，3，10，7 的距离；
（2）设
为满足递推关系
的所有数列
的集合，
和
为
中的两个元素，且项数均
为
，若
，
，
和
的距离小于4032，求
的最大值；
（3）记是所有7 项数列
的集合，
．且T 中任何两个元素的距离大于或等于
3．证明：T 中的元素个数小于或等于16．
【典例2-2】对于无穷数列
，给出如下三个性质：①
；②对于任意正整数
，都有
；
③对于任意正整数
，存在正整数，使得
定义：同时满足性质①和②的数列为“s 数列”，同时
满足性质①和③的数列为“t 数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．若
为“s 数列”，则
为“t 数列”
B．若
，则
为“t 数列”
C．若
，则
为“s 数列”
D．若等比数列
为“t 数列”则
为“s 数列”
【变式2-1】设数列
，
…，即当
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时，
记
为数列
前
项和.对于
，定义集合
是
的整数倍，
，且
.则集合
中元素的个数为 ；集合
中元素的个数为 .
【变式2-2】若数列
满足
，则称数列
为“平方递推数列”．已知数列
中，
，点
在函数
的图象上，其中n 为正整数，
(1)证明：数列
是“平方递推数列”，且数列
为等比数列；
(2)设
，定义
，且记
，求数列
的前n 项和
．
1．已知
，定义
.
（1）如果
，则
.
（2）如果
，则
的取值范围是 .
2．数列可以看作是定义在正整数集的特殊函数，具有函数的性质特征，有些周期性的数列和三角函数紧
密相连.记数列2，
，
，2，
，
，2，
，-1，…为
，三角形式可以表达为
，其中
，
，
.
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（1）记数列
的前n 项和为
，求
，
，
及
；
（2）求数列
的三角形式通项公式.
题型三：由平面图形的可变性引起的分类讨论
【典例3-1】已知圆D：
与x 轴相交于A、B 两点，且圆C：
，点
．若圆C 与圆D 相外切，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3-2】现有一“v”型的挡板如图所示，一椭圆形物件的短轴顶点被固定在A 点．物件可绕A 点在平面
内旋转．AP 间距离可调节且与两侧挡板的角度固定为60°．已知椭圆长轴长为4，短轴长为2．
(1)在某个角度固定椭圆，则当椭圆不超过挡板时AP 间距离最短为多少；
(2)为了使椭圆物件能自由绕A 点自由转动，AP 间距离最短为多少.求出最短距离并证明其可行性．
【变式3-1】（多选题）已知
分别为双曲线
的左､右焦点，过
的直线交
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于
，
（点
在点
的上方）两点，且
，则
的离心率可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】在平面直角坐标系内，
，
，若
的面积不超过3，则满足
条件的整点M 个数为 ．
1．（多选题）已知曲线C：
，则（ ）
A．曲线C 在第一象限为椭圆的一部分
B．曲线C 在第二象限为双曲线的一部分
C．直线
与曲线C 有两个交点D．直线
与曲线C 有三个交点
2．已知曲线
的左右焦点为
，P 是曲线E 上一动点
(1)求
的周长；
(2)过
的直线与曲线E 交于AB 两点，且
，求直线AB 的方程；
(3)若存在过点
的两条直线和
与曲线E 都只有一个公共点，且
，求h 的值．
题型四：由变量的范围引起的分类讨论
【典例4-1】若
是
的三条边，且
，记
，则当
时，
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的取值范围是 .
注:
表示数集
中最大的数，
表示数集
中最小的数.
【典例4-2】已知函数
.
(1)若
，求
在区间
上的最大值；
(2)求
在区间
上的最小值
.
【变式4-1】已知函数
，其中
.若
在区间[1，4]上的最小值为8，则a 的
值为 .
【变式4-2】已知函数
，其中
．
(1)若曲线
在
处的切线在两坐标轴上的截距相等，求
的值；
(2)是否存在实数
，使得
在
（为自然对数的底数）上的最大值是
？若存在，求出
的值；
若不存在，说明理由．
1．已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)设函数
，若
是
的极大值点，求
的值.
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2．已知函数
．
(1)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)若
的最小值为1，求
．
题型五：由空间图形的可变性引起的分类讨论
【典例5-1】已知长方体
中
，
，
，用过该长方体体对角线
的平面
去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例5-2】在正方体
中，平面
经过点B、D，平面
经过点A、
，当平面
分别
截正方体所得截面面积最大时，平面
所成的锐二面角大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】（多选题）如图，两条异面直线a，b 所成的角为
，在直线a，b 上分别取点A，O 和点
C，B，使
，
.已知
，
，
，则线段OC 的长为（ ）
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A．6
B．8
C．
D．
【变式5-2】（多选题）如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为
.现准备将该木块锯开，则下列关
于截面的说法中正确的是（ ）
A．过棱
的截面中，截面面积的最小值为
B．若过棱
的截面与棱
（不含端点）交于点
，则
C．若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为
D．与该木块各个顶点的距离都相等的截面有7 个
1．设四面体
中，有2 条棱长为
，其余4 条棱长为1．则实数
的取值范围为 ．
2．（多选题）四棱锥的四个侧面都是腰长为
，底边长为2 的等腰三角形，则该四棱锥的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
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