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实战演练 04 高中常见的恒（能）成立问题
①一元二次不等式中的恒（能）成立问题
②基本不等式中的恒（能）成立问题
③函数中的恒（能）成立问题
④利用导数研究不等式中的恒（能）成立问题
一、恒成立和有解问题思路一览
设函数 的值域为 或 ，或 或 中之一种，则
①若 恒成立（即 无解），则 ；
②若 恒成立（即 无解），则 ；
③若 有解（即存在 使得 成立），则 ；
④若 有解（即存在 使得 成立），则 ；
⑤若 有解（即 无解），则 ；
⑥若 无解（即 有解），则 ．
【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的
取舍）
二、分离参数的方法
①常规法分离参数：如 ；
②倒数法分离参数：如 ；
【当 的值有可能取到，而 的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如 ；
⑤不完全分离参数法：如 ；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
【注意】
（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数
或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．
（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，
再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】
三、其他恒成立类型一
① 在 上是增函数，则 恒成立．(等号不能漏掉)．
② 在 上是减函数，则 恒成立．(等号不能漏掉)．
③ 在 上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)
四、其他恒成立类型二
① ，使得方程 成立 ．
② ，使得方程 成 ．
五、其他恒成立类型三
① ， ；
② ， ；
③ ， ；
④ ， ．
①一元二次不等式中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）对于任意实数x，不等式 恒成立，则实数a取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分类讨论，利用判别式小于0，即可得到结论
【详解】当 ，即 时， ，恒成立；
当 时， ，解之得 ，
综上可得
故选：
2．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于 的不等式 对任意 均成立，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】当 时显然恒成立，当 时参变分离可得 恒成立，令 ， ，
根据单调性求出 ，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为关于 的不等式 对任意 均成立，
当 时， 恒成立，
当 时， 恒成立，
令 ， ，
因为 与 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，所以当 时 取得最大值，
即 ，
所以 ，则 ，
综上可得实数 的取值范围为 .
故选：D
3．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知命题 ： ， 若 为假命题，则 的取值范
围为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用命题的关系、分离参数法、二次函数的图象与性质分析运算即可得解.
【详解】若命题 为真命题，即： ，
设 ，则由二次函数图象与性质知，
当 时， 最小值为 ，所以 .
因为命题 为假命题，所以 ，
即 的取值范围为 .
故选：A.
二、填空题
4．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）若命题“ ， ”为假命题，则 的取值范围是
.
【答案】
【分析】由题意知，命题的否定为真命题，再结合一元二次不等式恒成立求得 的取值范围.
【详解】因为命题“ ， ”为假命题，
所以命题“ ， ”真命题，
所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
5．（2024高三·全国·专题练习）若存在 ，使不等式 成立，则a的取值范围为
.
【答案】
【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到 取值范围.
【详解】由 ，
因为 ，所以 ，令 ，
由 ，
构造函数 ，即 ，当且仅当 时取等号，
所以
故答案为： .
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知 ，若 对一切实数x恒成立，
则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】思路一：移向转换为 对一切实数x恒成立，对 分类讨论即可求解；思路
二：移向构造函数，对 分类讨论，转换为函数最小值大于0求参数即可；思路三：分离参数，构造函数，
利用导数求最值即可求解.
【详解】解法一（运用判别式）：由已知可得 ，
即 对一切实数x恒成立．
当 时， 不可能恒成立，
从而由二次函数的性质可得，只能 ，解得 ．
因此实数a的取值范围为 ．
解法二（利用二次函数图像与性质）：原不等式整理得 ，
令 ，则原问题转化为 对 恒成立．
当 时，抛物线开口向下，显然不合题意；
当 时， ，其图像是一条直线，也不合题意；
当 时，抛物线开口向上，只要 ，即 ．
解得 或 ，∴ ，因此实数a的取值范围为 ．
解法三（参变分离，构造新函数，运用导数求解函数的单调性及最值）：
∵ 恒成立．
∴问题转化为 对 恒成立，从而 ．
令 ，则 ，
令 ，则 或 ．
从而 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．又 ，且当 时， ，故 ．
于是 ，因此实数a的取值范围为 ．
故答案为： .
②基本不等式中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏·阶段练习）若两个正实数 满足 且不等式 恒成立，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】应用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式恒成立及一元二次不等式的解法求参数m
的范围.
【详解】由题设 ，
当且仅当 时取等号，
又 恒成立，即 .
故选：A
2．（22-23高三上·江西宜春·阶段练习）设 ，且 恒成立，则n的最大值为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由基本不等式得出 ， ，再由不等
式的性质求解即可.
【详解】因为 ，所以 ， ， ，所以不等式 恒成立等价
于 恒成立.
因为 ， ，所以（当且仅当 时等号成立），则要使
恒成立，只需使 ，故n的最大值为4.
故选：C
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足 ， ，不等式
恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12 B．24 C． D．
【答案】B
【分析】令 ，不等式变形为 ，求出 的最小值，从
而得到实数 的最大值.
【详解】 ， ，变形为 ，
令 ，
则 转化为
，即 ，
其中
当且仅当 ，即 时取等号，可知 .
故选：B
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值.
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、填空题
4．（23-24高三上·安徽·期中）若 ， ，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题知可将式子构造为： ，然后利用基本不等式从而求解.
【详解】因为 ，所以 ，
于是 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 .
故答案为： .
5．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足 ，若不等式 恒成立，则实数a的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】将 变形为 ，利用均值不等式求
的最小值即可求解.
【详解】因为 ，
所以
，
所以
，等号成立当且仅当 ，
所以 ， ，
故实数a的取值范围是 .
故答案为：【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到 ，再进一步结合乘“1”法即可顺利
得解.
③函数中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知 ，且 在区间 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】 在区间 恒成立，只需要 即可，再根据指数函数的单调性求出最大值即可
得解.
【详解】由解析式易知： 单调递增，
当 时， 恒成立，则 ，得 ．
故选：B．
2．（23-24高三下·河南·开学考试）已知正数 满足 ，若 恒成立，则实数 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】变形得到 ，变形得到 ，求出 ，得到答案.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故 ，
即 ，
当且仅当 时，等号成立，故 ，实数 的最小值为 .
故选：D
3．（2024·福建厦门·一模）已知 ， ， ，则下列结论错误的为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】举例即可判断ABC；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.
【详解】对于A，当 时，
， ，此时 ，
所以 ， ，故A正确；
对于B，当 时， ， ，此时 ，
所以 ， ，故B正确；
对于C，当 时，
， ，此时 ，
所以 ， ，故C正确；
对于D，当 时，
，当且仅当 ，即 时取等号，
，
由 ，得 ，
而 ，
所以当 ，即 时， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
而 ，所以 ， ，故D错误.
故选：D.4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 ，使得 成立，
则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.
【详解】因为函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值 .
又因为函数 在区间 上单调递增，
所以当 时， .
综上可得函数 的最小值为 .
因为 ，使得 成立，
所以 ，解得： 或 .
故选：C.
5．（2024·北京昌平·二模）已知函数 若对任意的 都有 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先画出函数 的图象，再利用数形结合求实数的取值范围.
【详解】因为 ，令 ，作出 图象，如图所示，
令 ，由图知，要使对任意的 都有 恒成立，则必有 ，
当 时， ，由 ，消 得到 ，
由 ，得到 ，即 ，由图可知 ，故选：B.
二、填空题
6．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意 ， ”为假命题，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，问题转化为存在 ， 为真命题，即 ，求出
的最小值得解.
【详解】若命题任意“ ， ”为假命题，
则命题存在 ， 为真命题，
因为 时， ，
令 ，则 ，
则 在 上单调递增，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
7．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数 ， ，若对任意的 ，总存
在 使得 成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】将题中的已知条件转化为两个函数值域的关系求解即可.
【详解】函数 在 的值域为 ，
函数 在 的值域为 ，
因为对任意的 ，总存在 使得 成立，所以 ，所以 ，解得 .
故答案为：
8．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）已知函数 在 上恒成立，则实
数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意，先求出 在 上的最小值为 ，然后分 和
讨论 在 上是否恒成立，即可得到答案.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，设 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 在 上的最小值为 ，
①当 时，即 时， 在 上单调递增，
又 ，所以函数 在 上恒成立，
所以 满足题意；
②当 时，即 时，又 在 上单调递增，且 ，
所以， ，使得 ，当 时， ，
即 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ，不满足 恒成立，
综合①②可得实数a的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：求出 在 上的最小值为 ，通过讨论 的正负得
到函数 在 上恒成立时实数a的取值范围.
9．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知 ， ，若对 ， 使
成立，则实数 的取值范围是 .【答案】
【分析】求出 的最大值，由题意可知 ， ，分离参数a，结合二次函数
性质，即可求得答案.
【详解】令 ，则 ，即 ，
所以 （ 为辅助角， ），
故 ，即 ，解得 .
由题可知， ， ，即对 ， .
令 ，令 ，则 ，
当 时， 的最小值为 ，即 ，
则 ，即 ，
故答案为：
④利用导数研究不等式中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若 ，使得不等式 成立，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用分离变量将问题转化为 ，使得 恒成立，令 ，利用导数求
出其最大值可得结果.
【详解】 ，使得不等式 成立，可得 ．令 ，则 ，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以函数g(x)在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，则依题意有 ，
∴ 实数a的取值范围是 ．
故选：C．
2．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数 ，若 在R上单调递增，
则实数a的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．e
【答案】C
【分析】求出导函数，利用导函数非负，得出不等式恒成立问题，参变量分离后，将恒成立问题转化为最
值问题即可得解.
【详解】因为 在R上单调递增，所以 在R上恒成立，
等价于 在R上恒成立，
令 ，易得 在R上单调递增，
又
所以当 时， ，当 时，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
所以实数a的最大值为1．
故选：C．
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数 在 上无极值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导数确定单调性，讨论x的取值范围可得结果.
【详解】由题意得， ，故 ，
因为函数 在 上无极值，所以 在R上恒成立，
当 时， ，
设 ，则 ，
当 时，得 ，当 时，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 ，故 ，
当 时， ，则 .
综上， .
故选：D.
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．若存在 ，使得
成立，则实数a的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为“直线 与函数 的图象有交点”，然后利用导数
分析 的单调性以及取值，由此求解出 的最大值.
【详解】存在 ，使得 成立，
即 在 上有解，即 在 上有解，
所以直线 与函数 的图象有交点，
又 ，令 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以要使直线 与函数 的图象有交点，只需 ，
所以 的最大值是 ，故选：A．
5．（2024高三下·全国·专题练习）设函数 ，若存在唯一的正整数 ，使得
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设函数 ，求得 ，求得 得到单调性，且
的值，结合图象，列出不等式组，即可求解.
【详解】设函数 ，
可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
且 ，
图象如图，函数 经过 ，要使存在唯一的正整数 ，
使得 ，即 有唯一正整数解，
所以只要 并且 ，即 ，解得 .
故选：A．6．（2024·四川宜宾·二模）已知不等式 有解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分离参数转化为 ，构造函数 ，利用导数法求出 ，
即为所求.
【详解】不等式 有解，即 ， ，只需要 ，
令 ，
， ，
令 ， ，
，所以函数 在 上单调递增，
又 ， ，所以存在 ，使得 ，即 ，
， ，即 ； ， ，即 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
，又由 ，可得 ，
.
.
故选：A.
【点睛】思路点睛：由题意问题转化为 ， ，构造函数 ，利用导数求出
的最小值，即只要 .
二、填空题
7．（22-23高三上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若不等式 （其中 是自然对数的底数）对
恒成立，则实数 的取值范围为
【答案】
【分析】根据给定条件，分离参数构造函数，求出函数最小值即可作答.【详解】 ， ，令 ， ，求导得： ，
当 时 ，当 时， ，即函数 在 上递减，在 上递增，
因此当 时， ，则 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若存在 ，使得 ，则实数 的取
值范围 ．
【答案】
【分析】由题意， 即 ，构造函数 ，利用导数求出最大值即可.
【详解】存在 ，使得 可得 ，
构造函数 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，当 时， ，此时函数 单调递减，
则 ，所以， ，解得 ，因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
9．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数 ，若 在 上恒成立，则a的取值
范围是
【答案】
【分析】由题意知恒成立的不等式为 ，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法，继而构造函
数，利用导数求解即可.
【详解】由题意知 ，其中
只需要 恒成立，
令 ， ，
， ，
设 ， ，则 ，在 单调递减，
在 单调递减，
，
；
故答案为：
10．（2024·广西·模拟预测）已知函数 ，若 的图象经过第一象限，则实数 的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，列出不等式并分离参数，转化为能成立的问题求解即可.
【详解】由 的图象经过第一象限，得 ，使得 ，即 ，
设 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，有 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若存在 ，使得 成立，
则实数 的取值范围 ．
【答案】
【分析】分离参数得 ，设 ，利用导数求出其最小值即可.
【详解】因为 ，由 ，即 ，
即 ，设 ，
根据题意知存在 ，使得 成立，即 成立，
由 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，所以 ，
即实数 的取值范围是 .
故答案为： .12．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）若对任意的正实数 ，当 时，
恒成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意可将不等式 等价转化为 ，进而构造函数 ，
从而将恒成立问题等价转化成函数单调性问题，故通过函数 单调性即可求解.
【详解】由题意 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ； 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，
由题意当 且 时， 即 恒成立，
所以 在 上单调递减，故 ， ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若存在 ，使得
成立，求实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将不等式转化为 ，使得 ，设 ，求导确定单调性从而
得函数最值，即可得实数 的取值范围．
【详解】因为 ，使得 ，所以 ，
令 ，即 ，
因为 ，
设 ， ，则 ，
所以 在 单调递减，又 ，则当 ，当 ，
故函数 在 上单调递增， 上单调递减，
所以 的最大值为 ，所以 ，
即实数 的取值范围是 ．
故答案为：
