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重难点培优10 导数中凹凸反转与端点效应的应用
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................4
题型一 凹凸反转（★★★★★）................................................................................................................4
题型二 端点效应（★★★★★）................................................................................................................5
03 实战检测・分层突破验成效..........................................................................................................6
检测Ⅰ组 重难知识巩固................................................................................................................................6
检测Ⅱ组 创新能力提升................................................................................................................................7
1、凹凸函数的几何特征（形状特征）
一般地，对于函数
)
(x
f
的定义域内某个区间
上的不同的任意两个自变量的值
2
1, x
x
，
（1）总有
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
2
2
x
x
f x
f x
f
（当且仅当
1
2
x x
=
时，取等号），则函数
)
(x
f
在
上是凸函数，其
几何意义：函数
的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.
，则
单调
递减，
在
上为凸函数；
（2）总有
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
2
2
x
x
f x
f x
f
（当且仅当
1
2
x x
=
时，取等号），则函数
)
(x
f
在
上是凹函数，其
几何意义：函数
的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方.
，则
单调递增，
在
上为凹函数.
图形上任意弧段位于所在弦
的下方的函数为凹函数
图形上任意弧段位于所在弦
的上方的函数为凸函数
关于凹凸性的判断：
二阶导数
凹凸性与开口
凹函数，开口向上
凸函数，开口向下
2、凹凸反转
很多时候，我们需要证明函数
,但不定就要
，因为大多数情况下
的零点是解不出
来的.这时候我们可以尝试凹凸反转.
，如果能够证明
，则
显然成立，（PS:反过来不一定成立）所以
就成立.很明显
是凹函数，
是凸
函数；因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.
3、凹凸反转有一个重要特点：等号不能同时取到，为什么？
如果
，则可构造
导函数的零点一定可求，就是
.
4、凹凸反转的关键就是如何分离，分离的原则是什么？
常见的不等式是由指数、对数和多项式函数构成，当我们构造差值函数时，我们要考虑指对分离；即指数
函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，然后利用导数求函数的最值.所以我们要非常熟
练掌握一些常见的指（对）数函数和多项式函数组合的函数的图像和最值.
5、凹凸反转法的关键几点
（1）遇到解析式简单的，首选构造差值函数，即构造一个函数.
（2）当解析式略微复杂，先尝试构造差值函数，如果导函数的零点不易求出，可再尝试凹凸反转法
（3）凹凸反转法即是拆分函数法，如何拆成两个函数是关键，最常见的是指数、对数型分离
（4）熟练掌握常见指数、对数型函数的图像和最值.
1、前言
导数中我们经常遇到恒成立问题，含有参数的不等式恒成立求参数的取值范围问题，我们常见的方法有:
①分离参数（全分离或半分离）＋函数最值;
②直接（或移项转化）求导＋分类讨论.
但以上两种方法都有缺陷，首先对于方法①可能会出现参数分离困难或是无法分离，或者函数最值点无法
取到，即无定义.其次，对于方法②直接分类讨论可能会出现在某些区间无法讨论下去，或是无法排除原问
题在该区间是否恒成立，即讨论界点不明.
2、端点效应
（1）端点效应的定义
恒成立问题中, 我们常常能见到类似的命题: “对于任意的
, 都有
恒成立”，这里的端
点
, 往往是使结论成立的临界条件, 因此, 如果能利用好这两个值, 能方便解题，比如对于上述的命
题,观察
和
的取值，这种观察区间端点值来解决问题的做法, 我们称之为端点效应.
（2）端点效应的核心思想
利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求.
（3）端点效应的解题思路
端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒成立的一个必
要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论范围，使问题得以顺利的解
决.
利用端点效应解决问题的一般步骤可分为以下几步
“
”
①利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条
件
②利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调
③若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至
得到使不等式恒成立的充要条件
3、端点效应的类型
（1）必要条件缩小范围
①若
在[a,b](a,b为常数)上恒成立，则f ( x)在区间端点处也成立，即
此法应用于区间端点值包含参数的情况.
②若f (x ,a)≥0(a为参数)在[a,b](a,b为常数)上恒成立，且f (a)=0（或f (b)=0）,则
此法应用于区间端点的函数值为零的情况.
③若f (x)≥0(a为参数)在[a,b](a,b为常数)上恒成立，且
，则
此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况.
（2）充分性求结果
利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调；
①如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案；
②如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步讨论函数的最值.
题型
一
凹凸反转
【技巧通法·提分快招】
要证明
，而这里
又比较复杂，直接分析其单调性与值域比较困难，这时可以考虑将
通过一些手段等价转化为
，如果此时可以容易求出
最小值
与
最大值
，而且容易得出
（或者
且
），那么就可以说明
，即
．掌握识记六大超越函数和变形能帮助快速解题.
1．当
时，求证：
．
2．证明
恒成立.
3．已知函数
．
（1）求函数
的最小值；
（2）证明：
．
4．当
时，证明：
．
5．已知函数
，
，
为
的导数，且
．证明：
（1）
在
内有唯一零点．
（2）
．
（参考数据：
，
，
，
）
题型二 端点效应
【技巧通法·提分快招】
1、端点效应适用于形如“对任意
题。尤其当函
题
”
恒成立，求参数范围
的问
。尤其当函
数在端点处取值为零或极限为零时，端点效应可能有效.
2、若使用必要探路法，则尤其要注意第一步，即寻找必要条件，因为其具有较强的技巧性.常见的选取技
巧包括选择端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如
等）.
1．（2025 宁波二模）已知函数
.当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
2．已知函数
．
（1）当
时，
，求a 的取值范围；
3．已知函数
．当
时，
，求a 的取值范围；
4．已知函数
．
（1）当
时，
恒成立，求
的取值范围．
5．已知
.
（1）若
, 求
的取值范围.
检测Ⅰ组 重难知识
固
巩
1．设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
（1）求a，b．
（2）证明：
．
2．已知函数
．
（1）求曲线
在点（0，-1）处的切线方程；
（2）证明：当
时，
．
3．已知函数
，
，
（1）求
的最小值；
（2）证明：对一切
，都有
成立．
4．已知函数
．
（1）设
是
的极值点，求m，并讨论
的单调性；
（2）当
时，证明
．
5．（2024 广东模拟）若关于
的不等式
，
恒成立，求实数
的取
值范围.
6．已知函数
．
（1）证明：
存在唯一零点；
（2）若
时，
，求
的取值范围．
7．已知函数
（1）若
当且仅当
，求
的取值范围．
检测Ⅱ组
能力提
创新
升
1．已知函数
，其中e=2.71828…为自然对数的底数，
．
（1）求
的单调区间；
（2）
对
恒成立，记
，证明：
．
2．设函数
．
（1）讨论
的导函数
的零点的个数．
（2）证明：当
时
．
3．当
时，证明：
．
4．证明：
．（参考数据：
，
，
）
5．设函数
.
（1）求
的单调区间；
（2）如果对于任意
，都有
，求实数
的取值范围.
6．（2025 苏州二模）已知
，
，
.
（1）若曲线
在点
的切线也是
的切线，求
的值；
（2）若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
7．已知
，
，
．
（1）若
，证明：
；
（2）对任意
都有
，求整数
的最大值．
