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实战演练 12 排列组合的常见考法技巧
①特殊元素（位置）法
②捆绑法
③插空法
④倍缩法
⑤排数问题
⑥分组分配问题
⑦涂色问题
一、排列组合中常见问题及其技巧
1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊
元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法
3.定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．
4.分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配．
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
5.涂色问题常用方法
（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法；
（2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种
数；
（3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数.
二、方法技巧分类
①特殊元素（位置）法
对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。
若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，
再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。
②捆绑法
捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合
并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降
低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于
组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉.
③插空法
插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意
的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.
④倍缩法
部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问
题可以用倍缩法.
⑤排数问题
对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意
隐含条件：0不能在首位.
⑥分组、分配问题
①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以
A(n为均分的组数)，避免重复计数．
②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除
以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
⑦涂色问题
解决涂色问题的一般思路
(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．
(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．
(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题
①特殊元素（位置）法一、单选题
1．（2024·广东佛山·二模）劳动可以树德、可以增智、可以健体、可以育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同
学进行劳动实践比赛，已知冠军是甲、乙当中的一人，丁和戊都不是最差的，则这5名同学的名次排列
（无并列名次）共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数
为（ ）
A．240 B．720 C．432 D．216
3．（2024·全国·模拟预测）中国戏曲中人物角色的行当分类，可以有生、旦、净、末、丑五大行当．现有
3名男生和2名女生，每人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演，
旦行由女生扮演，则不同的人物角色扮演方式共有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．48种
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任
一、二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻
的不同排列方式的个数为（ ）
A．36种 B．48种 C．54种 D．64种
6．（2025·四川内江·模拟预测）有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列
方式共有（ ）
A．72种 B．144种 C．288种 D．576种
7．（2024·四川成都·三模）成实外教育集团自2000年成立以来，一直行走在民办教育的前端，致力于学
生的全面发展，对学生的教育视为终身己任，在教育事业上砥砺前行，永不止步.截至目前，集团已开办
29所K-12学校和两所大学，其中高中教育学校有11所.集团拟召开综合考评会.经考评后，11所学校得分
互不相同，现从中任选3所学校的代表交流发言，则排名为第一名或第五名的学校代表去交流发言的概率
为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·安徽安庆·三模）A、B、C、D、E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、
丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙
地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（ ）
A．36种 B．42种 C．48种 D．60种
9．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从
甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四
天不值班，则值班安排共有（ ）A．192种 B．252种 C．268种 D．360种
10．（2024·全国·模拟预测）“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当
142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成．若从1，4，2，
8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5200的偶
数个数是（ ）
A．87 B．129 C．132 D．138
②捆绑法
一、单选题
1．（2024·江西九江·三模）考古发现在金字塔内有一组神秘的数字“142857”，我们把它和自然数1到6依
次相乘，得 ，
，结果是同样的数字，只是调换了位置.若将这组神秘数字
“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为（ ）
A．24 B．36 C．72 D．144
2．（24-25高三·上海·课堂例题）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1
天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，则不同的安排方案共有（ ）
A．1440种 B．1360种； C．720种 D．960种
3．（24-25高三·上海·课堂例题）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相
邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有（ ）个．（用数字作答）
A．128 B．256 C．576 D．684
4．（24-25高三上·广东·开学考试）从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学
一个寝室6位同学 慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求 相邻， 在
的左边，则不同的站法共有（ ）
A．480种 B．240种 C．120种 D．60种
5．（24-25高三上·上海·课后作业）现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名
男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
6．（2024·内蒙古包头·三模）一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类
节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（ ）
A．44种 B．48种 C．72种 D．80种
③插空法一、单选题
1．（2024·山东·模拟预测）某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同
学，则不同的站法种数为（ ）
A．120 B．72 C．64 D．48
2．（2024·浙江金华·三模）从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字
不相同，则这样的四位数个数为（ ）
A．36 B．54 C．60 D．72
3．（2024·海南海口·二模）某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6人站成一排），则记者站两端，
且代表甲与代表乙不相邻的排法种数为（ ）
A．72 B．96 C．144 D．240
4．（2024高三·全国·专题练习）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的
演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A．72 B．120 C．144 D．3
5．（2024·云南·二模）某学校组织学生到敬老院慰问演出，原先准备的节目单上共有5个节目(3个歌唱节
目和2个舞蹈节目).根据实际需要，决定将原先准备的节目单上的5个节目的相对顺序保持不变，再在节目
单上插入2个朗诵节目，并且朗诵节目在节目单上既不排第一，也不排最后，则不同的插入方法一共有（
）
A．18种 B．20种 C．30种 D．34种
6．（2024·安徽·三模）某年级在元旦活动中要安排6个节目的表演顺序，其中有3个不同的歌唱节目和3
个不同的舞蹈节目，要求第一个和最后一个都必须安排舞蹈节目，且不能连续安排3个歌唱节目，则不同
的安排方法有（ ）
A．144种 B．72种 C．36种 D．24种
④倍缩法
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）今有2个红球，3个黄球，同色球不加以区分，将这5个球排成一行，则不同
的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新疆·一模）在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、
新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉
后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）种
A．72 B．36 C．12 D．6
3．（2024·北京石景山·一模）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个
音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ）A．18种 B．24种 C．36种 D．72种
4．（23-24高三上·河南驻马店·期末）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（
）
A．8个 B．12个 C．18个 D．24个
5．（23-24高三上·江苏·开学考试）甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六
张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ）
A．360 B．480 C．600 D．720
⑤排数问题
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）对于各数位均不为0的三位数 ，若两位数 和 均为完全平方数，则称
具有“ 性质”，则具有“ 性质”的三位数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·广西·三模）已知 这 个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个
位上排成三位数，这样的三位数有（ ）
A．55个 B．70个 C．40个 D．35个
3．（2024·四川雅安·三模）从 三个数字组成的没有重复数字的三位数中任取一个数，则该数为偶数的
概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川雅安·三模）从 五个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶
数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·海南·模拟预测）将“1，2，2，3，4，5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填
一个数字，1不在 区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7，若中间一列填2和5，则不同的填法
有（ ）
A．20种 B．24种 C．36种 D．48种
6．（2024·浙江·模拟预测）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则数字3在五位数中位于
1和5之间（可以不相邻）的概率为（ ）A． B． C． D．
7．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）数列 共有 项，且 ， ， ，则这样的数列
有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
8．（2024·河北·模拟预测）用 能组成没有重复数字且比32000小的数字（ ）个.
A．212 B．213 C．224 D．225
⑥分组分配问题
一、单选题
1．（2024高三下·江西新余·专题练习）将5本不同的书分给3位同学，则每位同学至少有1本书的不同分
配方式共有（ ）种.
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·山西·开学考试）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持
战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章
算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学
系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选
修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（ ）．
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
3．（2024·江西·模拟预测）某校羽毛球队的4名男生和4名女生分成四组，参加四场混合双打比赛（每名
队员只限参加一场比赛），则组队方法的总数为（ ）
A．24 B．288 C．576 D．1152
4．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）某企业举办职工运动会，有篮球、足球、羽毛球、乒乓球4个项目.现
有 ， 两个场地承担这4个项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有
（ ）
A．10种 B．12种 C．14种 D．20种
5．（2024·广西柳州·模拟预测）有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被
一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（ ） ．
A．40种 B．60种 C．80种 D．120种
6．（2024·贵州贵阳·三模）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届
奥运会将新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个比赛项目及两个表演项目.现有三个场地 ，B，C分别承担
这6个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，其中两个表演项目不在一个场地举办，则不
同的安排方法有（ ）
A．462种 B．300种 C．402种 D．390种7．（24-25高三上·广东·开学考试）某中学数学组来了 名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们
分配到高一年级的 ， ， 三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
8．（2024·河南·二模）将甲，乙等5人全部安排到 四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂
至少安排1人，且甲，乙都不能去 工厂，则不同的安排方法有（ ）
A．72种 B．108种 C．126种 D．144种
9．（2024·辽宁葫芦岛·二模）某校要派4名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个
社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有（ ）
A．20种 B．14种 C．10种 D．7种
10．（24-25高三上·山西大同·期末）五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2
名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟､古城华严寺､北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每
个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有（ ）
A．360 B．640 C．1350 D．1440
⑦涂色问题
一、单选题
1．（2024·四川成都·二模）现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的
两块着不同颜色的概率为（ ）
① ② ③
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·河北·期末）中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，
它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中
国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，
且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（ ）种
A．144 B．264 C．288 D．432
3．（2024·四川成都·二模）现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的
两块着不同颜色的概率为（ ）A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这
四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色
的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成 五个部分（如图所示），
现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域
鲜花的摆放方案共有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种．
6．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知正四棱锥 ，现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂
色，每个顶点只涂一种颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240 B．420 C．336 D．120
