文档文本内容
2024年高考考前信息必刷卷（甲卷理科专用）01
数 学·答案及评分标准
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C B C C A C D C C A A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15．9（答案不唯一， 内的任何一个值均可） 16．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（本小题满分12分）【解】（1） 是“等比源数列”， 不是“等比源数列”．
中“1，2，4”构成等比数列，所以 是“等比源数列”；
中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列，
且这四者的其他次序也不构成等比数列，
所以 不是“等比源数列”．
（2） 不是“等比源数列”．
假设 是“等比源数列”，因为 是单调递增数列，
即 中存在的 ， ， 三项成等比数列，
也就是 ，即 ，
，两边时除以 得 ，
等式左边 为偶数，
等式右边 为奇数．所以数列 中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得 不是“等比源数列”．
18．（本小题满分12分）
【解】（1）连接 ，交 于 ，连接
四边形 为正方形 为 中点，又 为 中点
平面 ， 平面 平面
（2） 平面 直线 与平面 所成角即为
设 ，则
19．（本小题满分12分）
【解】（1）2×2列联表如下：
愿意购买新能源汽车 不愿意购买新能源汽车 合计
大于1.5万 65 35 100
不大于1.5万 45 55 100
合计 110 90 200
可得 ，
所以有95%的把握认为对新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关.
（2）依题意，分层随机抽样的抽样比为 ，则有 ， ，
所以在愿意购买新能源汽车的人中抽取13人，在不愿意购买新能源汽车的人中抽取7人，
的所有可能取值为0，1，2，3，
， ， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
故 （人），
所以 的数学期望为 人.
20．（本小题满分12分）
【解】（1）解：由题意得抛物线 的焦点为 ，
在方程 中，令 ，可得 ，
所以弦长为 ，即 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 ．
（2）解：由（1）知抛物线 的方程为 ，
设 ，直线AB的斜率为 ，
因为线段 的中点 在直线 上，
由 可知直线OM的方程为 ，
设 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，即得 ，设直线 的方程为 ，即 ，
联立方程组 ，所以 ，
所以 ，即 ，
由根据与系数的关系得 ，
则
，
又由点 到直线 的距离为 ，
所以
，
记 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以当 时， 取得最大值，即 有最大值为 .
21．（本小题满分12分）
【解】（1）因为当 时， ．
所以f(x)在[0，+∞）单调递增，所以当 时，
所以f(x)有唯一零点
（2）令
①若 ，则
先证明当 时，
事实上，令 ,
因为当 时， ，所以u(x)在（0，+∞）单调递增，
所以当 时， ，所以 ．
由 得 ．
因为当 时， ，v(x)单调递增
当x 时， 单调递减
所以 ，所以 ．
因此当 时，
令
因为 (x)的图象是开口向下的抛物线，所以存在 ，使得 ，从而
，不合题意．
②若 ，则
令（i）当 时，
（ii）当 时，
所以h(x)在[0，1）单调递增，所以当 时，
由（i）（ii）知当 时， ，满足题意
综上，a的取值范围为（—∞， ]．
22．（本小题满分12分）
【解】（1）将 代入 的极坐标方程 中,
得曲线 的直角坐标方程为 ，即 .
（2）点 在直线 上，将直线 的参数方程 （ 为参数）代入曲线 方程,
得 ，整理得 ,
满足 ,
设点 对应该的参数分别为 ，则 ，
由参数 的几何意义不妨令 ,
,
当 ，即 时， .
23．（本小题满分12分）
【解】（1）解：根据题意，当 时， ，
所以， ，设 ；
直线 与 交于点 ，与直线 交于点 ，且 ，
点 到直线 的距离 ，
所以，要求图形的面积 ；
（2）解：当 时， ， ，即 ，解可得 ，此时有 ，
当 时， ， ，即 ，解可得 ，
又由 ，则 ，此时有 ，
综合可得：不等式的解集为 ，
因为不等式 的解集是
所以， ，解可得 ；
所以， .
