文档文本内容
2024年高考考前信息必刷卷（乙卷理科专用）02
数 学·答案及评分标准
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B A C C C C A B D A D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（本小题满分12分）
【解】（1）由 得 ，
若选①：
由正弦定理 得 ，
所以 ，则 ，又因为 ，故 ；
若选②：
外接圆半径 ，由正弦定理 ，
所以 ，则 ，又因为 ，故 ；
（2）由（1）知 ，所以 ，
因为 的面积为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
由余弦定理 得， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的周长为8.
18．（本小题满分12分）
【解】（1）连接 、 ，设 ，连接 ，
， ， ， ，则 ，
，即 是 的角平分线， ，
， ， 平面 ，
平面 ， ，
因为 ， ， ，所以， ，则 ，
， ，所以， ，
所以， ，即 ，
，所以， 平面 ，
平面 ，因此，平面 平面 ；
（2）因为底面 是圆内接四边形，则 ，
故 ，所以， ，
因为 ，则 ，则 ，
分别取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，
， ，故 为等边三角形，
为 的中点， ，
在底面 中， ， ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
、 分别为 、 的中点，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
，所以，平面 平面 ，
若点 在线段 上，则 平面 ，则 平面 ，所以点 在 内的轨迹为线段 ，
底面 ， ，以点 为坐标原点，
、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 、
，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
， ，
设 ，其中 ，
则 ，
所以，故当 时， 取得最大值 .
因此，直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
19．（本小题满分12分）
【解】（1）由已知得样本平均数 ，
从而该地区这种植物数量的估计值为 ，
（2）样本 （ ，2，…，15）的相关系数
.
（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对150个地块进行分层抽样.
理由如下：由（2）知各样区的这种植物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积
差异很大，从而各地块间这种植物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结
构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种植物数量更准确的估计.
20．（本小题满分12分）
【解】（1）将 ， 代入椭圆方程可得 ，解得 ，
所以椭圆方程为 ；
（2）若直线 的斜率不存在，设直线方程为 ，由题可得 为等腰直角三角形，则可将 代
入椭圆 ，解得 （舍去）或 ，即直线方程为 ；
若直线 的斜率存在，设方程为 ，设 ，联立方程 ，可得 ，
则 ，可得 ，
①， ②，
由题可得 ，则 ，即 ，
代入①②，整理可得 ，解得 或 ，
若 ，直线为 ，经过点 ,不符合，
若 ，直线为 ，经过定点 ，
综上所述，直线l过定点 .
21．（本小题满分12分）
【解】（1） ,
，
则 ，
故所求切线方程为 ；
（2） ，
当 时， 对 恒成立 ，
则 在 上单调递增，从而 ，则 ，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
当 时， 对 恒成立，
则 在 上单调递减， 在（1，2）内没有零点 ，
综上，a的取值范围为（0，1）.
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【解】（1）由曲线C的极坐标方程 得， ，
即曲线C的直角坐标方程为 ．
由 （t为参数，m为常数）得， ，
即直线l的普通方程为 ．
（2）由（1）知曲线C是以点（1，1）为圆心，2为半径的圆，圆C与直线l有公共点，
即圆心（1，1）到直线l的距离 ，
即 ，故 ，
则m的取值范围是 ．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【解】（1） ，故
，当 时等号成立.
（2）易知 ..
当 时等号成立.
