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专题04 立体几何（理）
题型一：三视图
1．（四川省宜宾市2024 届高三下学期第二次诊断性考试文科数学试卷）已知三棱锥的三视图如图所示，
则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）
1
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A．4
B．
C．
D．
2．（四川省成都市2024 届高三下学期第二次诊断性检测文科数学试题）一个几何体的三视图的正视图是
三角形，则这个几何体可以是 .（写出一个你认为正确的答案即可）
3．（陕西省榆林市2023-2024 学年高三第二次模拟检测数学（理科）试题）如图，网格纸中小正方形的边
长为1，粗实线绘制的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：空间几何体表面积、体积、侧面积
4．（陕西省西安市部分学校2024 届高三下学期二模考试理科数学试题）四羊方尊（又称四羊尊）为中国
商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为
，
，高为
），则四羊方尊的容积约为（ ）（参考公式：棱台的体积
，其中
，分别
为棱台的上、下底面面积，为棱台的高）
2
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A．
B．
C．
D．
5．（四川省宜宾市2024 届高三下学期第二次诊断性考试理科数学试卷）在四棱锥
中，底面
为平行四边形，点
分别为棱
和
中点，则四棱锥
和四棱锥
的体积之比
为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（四川省成都市2024 届高三下学期第二次诊断性检测理科数学试题）在所有棱长均相等的直四棱柱
中，
，点
在四边形
内（含边界）运动．当
时，点
的
轨迹长度为
，则该四棱柱的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（四川省南充市2024 届高三高考适应性考试（二诊）理科数学试题）三棱锥
中，
，
，
为
内部及边界上的动点，
，则点
的轨迹长
度为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（内蒙古自治区呼伦贝尔市2024 届高三下学期二模理科数学试题）在半径为5 的球体内部放置一个圆
锥，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：空间直线、平面位置关系的判断
9．（陕西省汉中市2023-2024 学年高三下学期教学质量第二次检测理科数学试卷）已知
为两条直线，
3
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为两个平面，
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
10．（四川省南充市2024 届高三高考适应性考试（二诊）理科数学试题）设
是三条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
11．（四川省德阳市重点高中2024 届高三诊断模拟考试（二）数学（理科）试题）已知
是两条不同的
直线，
是两个不同的平面，给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ）
①若
，且
，则
②若
且
，则
③若
，且
，则
④若
，且
，则
A．1
B．2
C．3
D．4
题型四：线线角、线面角
12．（四川省成都市成实外教育集团2024 届高三联考数学理科试题（二））如图，在四棱锥
中，
底面
为矩形，
面
，点
是
的中点．
4
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(1)证明：
；
(2)设
的中点为
，点
在棱
上（异于点
），且
，求直线
与平面
所成角的余
弦值．
13．（四川省南充市2024 届高三高考适应性考试（二诊）理科数学试题）如图所示，在直四棱柱
中，底面
是菱形，
，
，
分别为
，
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，求
与平面
所成角的正弦值；
14．（2024 届内蒙古自治区包头市高三下学期二模文科数学试题）在正方体
中，E 为BD
的中点，则直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
题型五：外接球、内切球、棱切球问题
5
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15．（陕西省汉中市2023-2024 学年高三下学期教学质量第二次检测理科数学试卷）已知三棱锥
，点
到平面
的距离是
，则三棱锥
的外接
球表面积为 ．
16．（陕西省咸阳市2024 届高三下学期高考模拟检测（二）数学（理科）试题 ）已知三棱锥
中，
，三角形
为正三角形，若二面角
为
，则该三棱锥的外接球的体
积为 ．
17．（陕西省榆林市2023-2024 学年高三第二次模拟检测数学（理科）试题）过球
外一点
作球
的切
线，若切线长为5，且
，则球
的体积为 .
18．（四川省南充高级中学2024 届高三第二次模拟（理）试卷试题）已知菱形
中，对角线
，
将
沿着
折叠，使得二面角
为
，
，则三棱锥
的外接球的表面积
为 .
19．（陕西省西安市部分学校2024 届高三下学期二模考试理科数学试题）如图，在矩形
中，
，
，
，
分别在线段
，
上，
，将
沿
折起，使
到达
的位
置，且平面
平面
，则四面体
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（四川省遂宁市2024 届高三第二次诊断性考试数学（理）试题）一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为
2 的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为 ．
21．（四川省宜宾市2024 届高三下学期第二次诊断性考试理科数学试卷）所有棱长均为6 的三棱锥，其外
接球和内切球球面上各有一个动点
，则线段
长度的最大值为 .
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22．（四川省泸州市2024 届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理科）试题）已知三棱锥
的底
面是边长为3 的等边三角形，且
，
，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（四川省凉山州2024 届高三二诊理科数学试题）已知在三棱锥
中，
，
，
底面
是边长为1 的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：二面角问题
24．（宁夏回族自治区银川一中2024 届高三第二次模拟考试理科数学试题）如图，在四棱锥
中，
平面
平面
，
，
，E 为
中点，点
在
上，且
.
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值；
25．（陕西省榆林市2023-2024 学年高三第二次模拟检测数学（理科）试题）如图，在底面是正方形的四
棱柱
中，
平面
，
.
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(1)证明：四棱柱
为正四棱柱.
(2)设二面角
为
，求
.
26．（四川省南充高级中学2024 届高三第二次模拟（理）试卷试题）已知多面体
中，
，且
，
，
.
(1)证明：
；
(2)若
，求二面角
的余弦值.
27．（陕西省汉中市2023-2024 学年高三下学期教学质量第二次检测理科数学试卷）已知：如图，三角形
为正三角形，
和
都垂直于平面
，且
．
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(1)证明：平面
平面
；
(2)点
为
上靠近
的三等分点，求二面角
的正弦值．
28．（四川省凉山州2024 届高三二诊理科数学试题）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
，平面
平面
，
，
是
的中点，作
交
于
．
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的正切值．
29．（四川省德阳市重点高中2024 届高三诊断模拟考试（二）数学（理科）试题）如图1，在矩形
中，
分别为线段
的中点，沿
把
折起，使得
，如图2 所示，
分别为线段
的中点，
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(1)求证：平面
平而
；
(2)求二面角
的余弦值．
30．（四川省遂宁市2024 届高三第二次诊断性考试数学（理）试题）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与
BD 交于点O，EF 是
的中位线，AC 与EF 交于点G，已知
是
绕EF 旋转过程中的一个
图形，且
．给出下列结论：
①
平面
；
②平面
平面
；
③二面角
的平面角是直线OP 与平面ABCD 所成角的2 倍．
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
题型七：立体几何中的范围与最值问题及定值问题
31．（陕西省宝鸡市2024 届高三下学期高考模拟检测（二）数学（理科）试题）在四棱锥
中，
底面
为平行四边形，
平面
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(1)证明：
；
(2)若
，当
与平面
所成角的正弦值最大时，求四棱锥
的体积．
32．（陕西省2024 届高三二轮复习联考（二）理科数学试题）在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱
中，
为底面三角形斜边
上一点，且
，
，
为线段
上一动
点，则平面
截三棱柱所得截面面积的最大值为 ．
33．（四川省成都市2024 届高三下学期第二次诊断性检测理科数学试题）如图，在正四面体
中，
是棱
的两个三等分点．
(1)证明：
；
(2)求出二面角
的平面角中最大角的余弦值．
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题型八：距离问题
34．（四川省成都市蓉城名校2024 届高三下学期第二次联考数学（文）试卷）如图，在三棱柱
中，
，
，
，点E，F 分别为BC，
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若底面
是边长为2 的正三角形，且平面
平面
，求点
到平面
的距离．
35．（四川省成都市成实外教育集团2024 届高三联考数学文科试题（二））如图，在四棱锥
中，
底面
为矩形，
平面
，点
是
的中点.
(1)证明：
；
(2)若
，点
为棱
中点，求点
到平面
的距离
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题型九：存在性问题
36．（陕西省咸阳市2024 届高三下学期高考模拟检测（二）数学（理科）试题 ）在几何体中，底面
是边长为2 的正三角形．
平面
，若
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)是否在线段
上存在一点
，使得二面角
的大小为
．若存在，求出
的长度，若不存在，
请说明理由．
37．（四川省宜宾市2024 届高三下学期第二次诊断性考试理科数学试卷）如图，在正三棱柱
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中，延长
至
，使
，连接
分别是
的中点，动点
在直线
上，
.
(1)证明：
∥平面
；
(2)试确定点
位置，使二面角
的余弦值为
.
38．（四川省遂宁市2024 届高三第二次诊断性考试数学（理）试题）如图，在三棱锥
中，M 为
AC 边上的一点，
，
，
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值为
，且二面角
为锐二面角，求二面角
的
正弦值．
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39．（四川省泸州市2024 届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理科）试题）如图，ABCD 为圆柱底面
的内接四边形，AC 为底面圆的直径，PC 为圆柱的母线，且
．
(1)求证：
；
(2)若
，点F 在线段PA 上，且
，求二面角
的余弦值．
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