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专题09 立体几何
一、单选题
1．（2025·天津·高考真题）若m 为直线，
为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
二、多选题
2．（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱
中，D 为BC 中点，则（ ）
A．
B．
平面
C．
D．
平面
三、填空题
3．（2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱
中，
，则该正四棱柱的
体积为 ．
4．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为
，高为
的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不
计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为
．
5．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，
其中ABCDEF 是一个平面多边形，平面
平面ABC，平面
平面ABC，
，
.若
，
则该多面体的体积为 ．
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四、解答题
6．（2025·上海·高考真题）如图，P 是圆锥的顶点，O 是底面圆心，AB 是底面直径，且
．
(1)若直线PA 与圆锥底面的所成角为
，求圆锥的侧面积；
(2)已知Q 是母线PA 的中点，点C、D 在底面圆周上，且弧AC 的长为
，
．设点M 在线段OC
上，证明：直线
平面PBD．
7．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥
中，
平面
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)
，
，
，
，
在同一个球面上，设该球面的球心为
．
（i）证明：
在平面
上；
（ⅱ）求直线
与直线
所成角的余弦值．
8．（2025·天津·高考真题）正方体
的棱长为4，
分别为
中点，
．
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(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)求三棱锥
的体积．
9．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，
与
均为等腰直角三角形，
，E 为BC 的中点．
(1)若
分别为
的中点，求证：
平面PAB；
(2)若
平面ABCD，
，求直线AB 与平面PCD 所成角的正弦值．
10．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形
中，
，F 为CD 的中点，点
E 在AB 上，
，
，将四边形
沿
翻折至四边形
，使得面
与面EFCB 所成的二面角为
．
(1)证明:
平面
；
(2)求面
与面
所成的二面角的正弦值．
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一、单选题
1．（2025·甘肃白银·二模）设
是两个平面，
是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
或
与
相交
2．（2025·湖南·一模）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的
重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的
组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3 所示，则该圆台部分的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·山东济南·三模）如图，下列正方体中，M，N，P，Q 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体
中，直线MN 和PQ 为异面直线的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·辽宁大连·三模）设
为两个平面，
为两条直线，且
.下述四个命题：
①若
，则
或
②若
，则
或
③若
且
，则
④若
与
所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①③④
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5．（2025·湖南益阳·三模）已知圆锥的母线长为
，其外接球体积为
，则该圆锥的表面积为（ ）
A．3π
B．6π
C．9π
D．12π
6．（2025·北京大兴·三模）《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五
面体．如图，在羡除
中，底面
是正方形，
∥平面
，
，其余棱长都为，
则这个几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·河南·二模）棱长均为2 的正三棱柱
的各个顶点都在球
的球面上，则球
的体积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·湖北武汉·三模）如图，如图1 的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2 的方斗杯，其形状
是一个上大下小的正四棱台，
，
，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的
时，
水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（ ）
A．112
B．
C．
D．496
9．（2025·辽宁·三模）在正四棱柱
中，
分别是
的中点，
则直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·云南·三模）正三棱台
的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切
球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2025·河北秦皇岛·三模）如图，在棱长为2 的正方体
中，
、
分别为
、
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的中点，则过点
、
、
的平面
与侧面
的交线长为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·湖北·三模）在正三棱台
中，
分别为棱
的中点，
，四边形
为正方形，则
与平面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·甘肃·二模）如图，在三棱锥
中，
平面
，
且
，
若在
内（包括边界）有一动点
，使得
与平面
所成角的正切值为
，则点
的轨迹长为
（ ）
A．
B．
C．
D．6
14．（2025·天津河西·二模）在正四棱锥
中，底面四边形
是边长为
的正方形，当该正
四棱锥的外接球半径
与内切球半径之比最小时，则该正四棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
15．（2025·山东潍坊·二模）在正方体
中，
、
分别为线段
、
的中点，则
（ ）
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A．
与
异面
B．
平面
C．
D．
平面
16．（2025·河北衡水·三模）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体
底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ）
A．正四棱锥的高为
B．该几何体的表面积为
C．该几何体的体积为
D．一只小蚂蚁从点E 爬行到点S，它所经过的最短路程为
17．（2025·河北秦皇岛·一模）已知在正三棱柱
中，
为棱
的中点，
为棱
的中点，
则（ ）
A．
平面
B．若
，则
C．若
，则直线
与直线
所成角的余弦值为
D．若
，则平面
与平面
的夹角为
18．（2025·江苏苏州·三模）如图，在棱长为2 的正方体
中，
为
的中点，
为侧面
内的动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．使三棱锥
体积取得最大值的点
唯一
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B．存在点
，使得直线
与
的夹角为
C．
时，点
的轨迹是线段
D．
平面
时，点
的轨迹长为
19．（2025·江苏苏州·三模）已知四棱锥
中，
平面
，四棱锥
的外接球的球心为
．记四棱锥
的体积分别为
，三棱锥
的体积分别为
，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．若二面角
的平面角大小为
，则
的最大值为
20．（2025·四川自贡·三模）如图1，在
中，
，
，
，
、
分别在AB，AC
上，且
.将
沿
翻折得到图2，其中
.记三棱锥
外接球球心为
，球
表面积为
，三棱锥
外接球球心为
，球
表面积为
，则在图2 中，下列说法正确的有
（ ）
A．
B．直线
与
所成角的正弦值为
C．
平面
D．
21．（2025·四川眉山·三模）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的
四面体得到的(被称作阿基米德体)，如图所示，若该石凳的棱长为
，下列结论正确的有（ ）
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A．
平面
B．该石凳的体积为
C．
，
，
，
四点共面
D．点
到平面
的距离为
22．（2025·山东德州·三模）在四棱锥
中，底面
是边长为1 的正方形，
平面
，
且
，点
，
，
分别为棱
的中点，则（ ）
A．
B．异面直线
和
所成的角为
C．平面
与平面
所成角的正弦值为
D．过点
，
，
的平面截四棱锥
所得的截面图形为五边形
三、填空题
23．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在三棱锥
中，
平面ABC，
，则三棱锥
外接球的半径为 ．
24．（2025·辽宁大连·三模）已知正四棱台
分别是棱
的中点，
平面
将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为 ．
25．（2025·湖南·三模）如图，在直三棱柱
中，△ABC 是正三角形，D 为AC 的中点，点E 在
棱
上，且
，若
，
，则点
到平面BDE 的距离为 .
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26．（2025·辽宁鞍山·一模）正四面体内切球与其外接球表面积之比为 ．
27．（2025·安徽蚌埠·三模）三棱锥
中，
，
，
，
，则三棱
锥
的体积的最大值为 ．
28．（2025·安徽合肥·三模）在长方体
中，
．若
，点M 在长方体内且
，则平面ADM 截长方体
的截面面积为 ．
四、解答题
29．（2025·北京·三模）如图，在四棱柱
中， 侧面
和底面
均为菱形， 且
为
的中点，
与平面
交于点
，
(1) 求证:
为
的中点；
(2) 若平面
平面
，求二面角
的余弦值.
30．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，矩形
中，
，
，E 为BC 的中点，将
沿
翻折至
，平面
平面
．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
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31．（2025·福建厦门·三模）在三棱锥
中，
，
，
，
是
的中点，
且平面
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)已知平面
经过直线
，且
，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求三棱锥
的
体积.
32．（2025·山西·三模）如图，在三棱柱
中，所有的棱长均相等，
是
的中点，
在上底
面
的投影为
的重心
．
(1)证明：
；
(2)求平面
与平面
的夹角的正弦值．
33．（2025·重庆·三模）如图，已知在四棱锥
中，
，
平面
，平面
平面
.
(1)证明：
；
(2)若
且
，G 为
的重心，求直线
与平面
所成角的正弦值.
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34．（2025·河北邢台·三模）如图，在斜三棱柱
中，
，
，点
在底面
上的投影为
的中点
，点
满足
.
(1)当
时，证明：平面
平面
；
(2)已知
，若平面
与平面
夹角的余弦值为
，求
的值.
35．（2025·山东烟台·三模）如图，在四棱锥
中，
是边长为2 的正三角形，且二面角
的大小为
．底面
为平行四边形，
，
，点Q 在棱
上且
．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围．
36．（2025·四川巴中·二模）如图，在直三棱柱
中，
，平面
平面
，点
分别是棱
的中点，点
是线段
上的一点
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(1)求证：
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值.
37．（2025·湖南岳阳·三模）如图，在梯形
中，
，
，
，
，
，
分别为线段
，
上异于端点的一点，
，将梯形
沿
翻折至与梯形
垂直
的位置，得到多面体
．
(1)若
，证明：
．
(2)若
平面
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
38．（2025·甘肃白银·二模）如图，已知正方形
的边长为
分别为
的中点，以
为棱
将正方形
折成如图所示，使得二面角
的大小为
，点
在线段
上且不与点
重
合.
(1)直线
与由
三点所确定的平面相交，交点为
，若
，求
的长度，并求此时点
到
平面
的距离；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的正弦值.
39．（2025·江西萍乡·三模）已知四棱锥
中，二面角
为直二面角，
，
，M 为棱
上一点.
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(1)证明：
；
(2)若M 为
中点，求二面角
的正弦值；
(3)若
平面
，点N 在平面
上，若直线
与平面
所成角为
，求
的最小值.
40．（2025·湖北黄冈·三模）如图，在四棱锥
中，
底面
四面体
的体积为
的面积为
.
(1)求点
到平面
的距离；
(2)若
，平面
平面
，证明：BC⊥平面
(3)在（2）的条件下，在棱
上是否存在一点N，使平面
与平面
夹角为
，若存在，求
的长.若不存在，说明理由
41．（2025·山东聊城·二模）如图，柱体上下底面是椭圆面，
、
分别是上下底面椭圆的长轴，
、
分别是上下底面椭圆的短轴，四边形
和
为矩形，
、
分别为上下底面椭圆的长短轴
的交点，
．
、
是下底面椭圆上两动点，
不与
平行或重合．
(1)证明：
平面
；
(2)若
面积为定值，求
的长度；
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(3)在（2）的条件下，当平面
平面
时，求点
到直线
的距离的取值范围．
