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专题04 立体几何（文）
题型一：三视图
1．（四川省宜宾市2024 届高三下学期第二次诊断性考试文科数学试卷）已知三棱锥的三视图如图所示，
则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）
1
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A．4
B．
C．
D．
2．（四川省成都市2024 届高三下学期第二次诊断性检测文科数学试题）一个几何体的三视图的正视图是
三角形，则这个几何体可以是 .（写出一个你认为正确的答案即可）
3．（陕西省榆林市2023-2024 学年高三第二次模拟检测数学（理科）试题）如图，网格纸中小正方形的边
长为1，粗实线绘制的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：空间几何体表面积、体积、侧面积
4．（陕西省部分学校2024 届高三下学期二模考试（文科）数学试题）降雨量是指降落在水平地面上单位
面积的水层深度（单位：
）．气象学中，把24 小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表：
日降雨量
等级
小雨
中雨
大雨
暴雨
某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若在一次降雨过程中用
2
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此桶接了24 小时的雨水恰好是桶深的
，则当日的降雨量等级为 ．
参考公式：圆台的体积
，其中h 为圆台的高，
，
分别为圆台的上底面、下
底面的面积．
5．（陕西省西安市未央区、莲湖区等区2024 届高三下学期二模模拟检测文科数学试卷）在正四棱台
中，
，且三棱锥
的体积为，则该正四棱台的体积为（ ）
A．14
B．21
C．24
D．36
6．（陕西省2024 届高三下学期教学质量检测（二）文科数学试题）商后母戊鼎（也称司母戊鼎）是迄今
世界上出土最大､最重的青铜礼器，享有“镇国之宝”的美誉，某礼品公司计划制作一批该鼎的工艺品，
已知工艺品四足均为圆柱形，圆柱的高为
，半径为
，中间容器部分可近似看作一个无盖的长方
体容器，该长方体壁厚
，外面部分的长､宽､高的尺寸分别为
，
，
.两耳的总体积与其
中一足的体积近似相等.则该工艺品所耗费原材料的体积约为（ ）
A．
B．
3
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C．
D．
7．（陕西省铜川市2024 届高三第二次质量检测数学（文科）试题）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩
大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ）
A．
倍
B．倍
C．
倍
D．倍
8．（四川省成都市2024 届高三下学期第二次诊断性检测文科数学试题）在正方体
中，点
在四边形
内（含边界）运动.当
时，点
的轨迹长度为
，则该正方体的表面
积为（ ）
A．6
B．8
C．24
D．54
9．（四川省成都市蓉城名校2024 届高三下学期第二次联考数学（文）试卷）某圆锥的轴截面是斜边长为
2 的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：空间直线、平面位置关系的判断
10 ．（四川省南充市2024 届高三高考适应性考试（二诊）文科数学试题）如图，在直四棱柱
中，底面
是菱形，
，
分别为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，求证：平面
平面
．
4
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11．（四川省广安市2024 届高三第二次诊断性考试数学（文）试题）如图，菱形
的对角线
与
交于点
，
是
的中位线，
与
交于点
，已知
是
绕
旋转过程中的一
个图形﹐且
平面
.给出下列结论：
①
平面
；
②平面
平面
；
③“直线
直线
”始终不成立.
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
12．（陕西省西安市未央区、莲湖区等区2024 届高三下学期二模模拟检测文科数学试卷）已知，
是两
条不同的直线，
，
是两个不同的平面，且
，
，现有下列四个结论：①若
，则
；
②若
，则
；③若
，则
；④若
，则
.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④
B．②④
C．①②③
D．②③
13．（陕西省咸阳市2024 届高三下学期高考模拟检测（二）数学（文科）试题）已知三条不重合的直线，
m，n 和两个不重合的平面
，
，则下列说法错误的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，
，
，且直线m，n 异面，则
D．若
，
，
，
，则
5
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14．（四川省成都市成实外教育集团2024 届高三联考数学文科试题（二））在正方体
中，
、
分别是棱
、
靠近下底面的三等分点，平面
平面
，则下列结论正确的是
（ ）
A．过点
B．
C．过点
的截面是三角形
D．过点
的截面是四边形
题型四：线线角、线面角、二面角
15．（陕西省西安市未央区、莲湖区等区2024 届高三下学期二模模拟检测文科数学试卷）如图，在三棱柱
中，
平面
，
是
的中点，
是边长为
的等边三角形．
(1)证明：
．
(2)若
，求异面直线
与
所成角的余弦值．
16．（四川省遂宁市2024 届高三第二次诊断性考试数学（理）试题）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与
BD 交于点O，EF 是
的中位线，AC 与EF 交于点G，已知
是
绕EF 旋转过程中的一个
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图形，且
．给出下列结论：
①
平面
；
②平面
平面
；
③二面角
的平面角是直线OP 与平面ABCD 所成角的2 倍．
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
题型五：外接球、内切球问题
17．（青海省西宁市大通县2024 届高三第二次模拟考试数学（文）试题）已知
是表面积为
的球
的球面上的三个点，且
，则三棱锥
的体积为 ．
18．（陕西省汉中市2023-2024 学年高三下学期教学质量第二次检测文科数学试卷）已知三棱锥
，则三棱锥
的外接球表面积为 ．
19．（陕西省咸阳市2024 届高三下学期高考模拟检测（二）数学（文科）试题）已知三棱锥
中，
，
，
，
底面
，且
，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．
20．（四川省广安市2024 届高三第二次诊断性考试数学（文）试题）一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为
2 的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为 .
21．（陕西省部分学校2024 届高三下学期二模考试（文科）数学试题）在三棱锥
中，
平面
，
，且
，
，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（四川省泸州市2024 届高三第二次教学质量诊断性考试文科数学试题）已知三棱锥
的底面是
边长为3 的等边三角形，且
，
，平面
平面
，则其外接球的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
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23．（四川省成都市成实外教育集团2024 届高三联考数学文科试题（二））已知圆锥的高是
，其轴截
面为等边三角形，则其内切球体积为 .
24．（四川省南充高级中学2024 届高三第二次模拟（文）试卷试题）已知菱形
中，对角线
交于点
，
，将
沿着
折叠，使得
，
，则三棱锥
的外接球的
表面积为 .
题型六：立体几何中的体积问题
25．（陕西省榆林市2024 届高三第二次模拟考试文科数学试题）如图，在底面是正方形的四棱柱
中，
平面
，
.
(1)证明：四棱柱
为正四棱柱.
(2)求四棱锥
的体积.
26．（陕西省咸阳市2024 届高三下学期高考模拟检测（二）数学（文科）试题）如图几何体中，底面
是边长为2 的正三角形，
平面
，若
，
，
，
．
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(1)求证：平面
平面
；
(2)求该几何体的体积．
27．（陕西省西安市临潼区2024 届高三第二次模拟检测数学（文科）试题）如图，在直三棱柱
中，
，
，M，N，P 分别为
，AC，BC 的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求三棱锥
的体积．
28．（青海省西宁市大通县2024 届高三第二次模拟考试数学（文）试题）如图，在三棱柱
中，
．
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(1)求证：平面
平面
；
(2)求四棱锥
的体积．
29．（宁夏回族自治区银川一中2024 届高三第二次模拟考试文科数学试题）如图，已知三棱柱
的底面是边长为2 的正三角形，侧面
为菱形，
为其两对角线的交点，
，
，
、
分别为
、
的中点，顶点
在底面
的射影
为底面中心．
(1)求证：
平面
，且
平面
；
(2)求三棱锥
与三棱柱
的体积之比．
30．（四川省南充高级中学2024 届高三第二次模拟（文）试卷试题）已知多面体
中，
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，且
，
，
.
(1)证明：
；
(2)若
，求多面体
的体积.
31．（四川省泸州市2024 届高三第二次教学质量诊断性考试文科数学试题）如图，
为圆柱底面的内
接四边形，
为底面圆的直径，
为圆柱的母线，且
．
(1)求证：
；
(2)若
，点
在线段
上，且
，求四面体
的体积．
32．（2024 届内蒙古自治区包头市高三下学期二模文科数学试题）如图，在多面体
中，
是
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等边三角形，
.
(1)求证：
；
(2)求三棱锥
的体积.
33．（四川省成都市2024 届高三下学期第二次诊断性检测文科数学试题）如图，在棱长为2 的正四面体
中，
分别是棱
的中点.
(1)证明：
四点共面；
(2)求四棱锥
的体积.
34．（四川省宜宾市2024 届高三下学期第二次诊断性考试理科数学试卷）在四棱锥
中，底面
为平行四边形，点
分别为棱
和
中点，则四棱锥
和四棱锥
的体积之比
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为（ ）
A．
B．
C．
D．
35．（四川省宜宾市2024 届高三下学期第二次诊断性考试文科数学试卷）如图，在四棱锥
中，
平面
，
是
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求三棱锥
的体积.
题型七：立体几何中的范围与最值问题及定值问题
36．（2024 届内蒙古自治区包头市高三下学期二模文科数学试题）已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为
的球O 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为 .
37．（四川省成都市蓉城名校2024 届高三下学期第二次联考数学（文）试卷）如图，在平行四边形
中，
，
，且EF 交AC 于点G，现沿折痕AC 将
折起，直至
满足条件
，此时EF 的长度为 ．
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38．（四川省广安市2024 届高三第二次诊断性考试数学（文）试题）如图，在三棱锥
中，
为
边上的一点，
，
，
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)设点
为边
的中点，试判断三棱锥
的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没
有，请说明理由.
题型八：距离及几何体的高度问题
39．（四川省成都市蓉城名校2024 届高三下学期第二次联考数学（文）试卷）如图，在三棱柱
中，
，
，
，点E，F 分别为BC，
的中点．
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(1)求证：
平面
；
(2)若底面
是边长为2 的正三角形，且平面
平面
，求点
到平面
的距离．
40．（四川省成都市成实外教育集团2024 届高三联考数学文科试题（二））如图，在四棱锥
中，
底面
为矩形，
平面
，点
是
的中点.
(1)证明：
；
(2)若
，点
为棱
中点，求点
到平面
的距离
41．（陕西省汉中市2023-2024 学年高三下学期教学质量第二次检测文科数学试卷）已知：如图，三角形
为正三角形，
和
都垂直于平面
，且
，
为
的中点．
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(1)证明：
平面
；
(2)求点B 到平面
的距离．
42．（陕西省铜川市2024 届高三第二次质量检测数学（文科）试题）如图，在四棱锥
中.侧面
⊥底面
，
为等边三角形，四边形
为正方形，且
.
(1)若
为
的中点，证明：
；
(2)求点
到平面
的距离.
43．（陕西省2024 届高三下学期教学质量检测（二）文科数学试题）在四棱锥
中，
，平面
平面
.
16
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(1)证明：平面
平面
；
(2)求点
到平面
的距离.
44．（陕西省部分学校2024 届高三下学期二模考试（文科）数学试题）如图，在直四棱柱
中，底面ABCD 为菱形，
，
，
，E 是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求点B 到平面
的距离．
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