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2025 年高考押题预测卷
数学（上海高考卷）·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知全集 ，集合 ，则
【答案】 /
【详解】因为 ，
又全集 ，所以 .
故答案为：
2．已知函数 ，则 ．
【答案】
【详解】 ，
所以
故答案为： .
3．不等式 的解集为 ．
【答案】 或
【详解】解：不等式 可化为
，
即 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 或 ．
故答案为： 或 ．
4．已知函数 为奇函数，则 ．
【答案】2或
【详解】函数 为奇函数，其定义域为
由 ，解得 或
当 时， ，则 ，满足条件.
当 时， ，则 ，满足条件.
故答案为：2或
5．已知平面向量 ， ，若 ，则 .
【答案】
【详解】因为平面向量 ， ，且 ，
所以 ，得 ，
故答案为：
6． 的二项展开式中 项的系数是20，则实数 的值是 .
【答案】
【详解】根据二项式展开式的通项公式
则 展开式中 项为
又 ，则该项为 ，
已知 项的系数是20，则 ，即 ，
解得 .故答案为：
7．已知抛物线 的焦点为 ， 为 轴上一点，若 ，且抛物线 经过线段 的
中点，则实数 ．
【答案】 /
【详解】
抛物线 的标准方程为 ，开口向上，焦点 .
设坐标原点为 ，线段 的中点为 ，抛物线 的准线为 ，
因为点 是中点，点 到准线 的距离为 ，则 ，由抛物线的定义知，
，所以 ，解得 ．
故答案为：
8．某中学高一､高二､高三的学生人数比例为 ，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼
梦》的概率分别为 ，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅
读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生
阅读完《红楼梦》的概率，则 的取值范围是 .
【答案】
【详解】若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，
则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为 ，解
得 .因为该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，所以 .
故 的取值范围是 .
故答案为： .
9．已知复数 满足 ，且 为实数，则 ．
【答案】 或 或 ．
【详解】设
化简得
解得 或
将 代入 可得 ，
（1）当 时，即 则有 ，此时
（2）当 时，则 ，故有 则有 或
综上所述故 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
10．已知全集 ，在 中任取四个元素组成的集合记为 ，余下的四个
元素组成的集合记为 ，若 ，则集合 的取法共有
种.
【答案】31
【详解】集合 中的原式和为 ，
若 ，
则 ，当 时，需从 选取两个数字之和小于15，有 种选法，
当 时，需从 选取两个数字之和小于14，有 种选法，
当 时，需从 选取两个数字之和小于13，有 种选法，
当 时，需从 选取两个数字之和小于13，有6种选法，
当 时，需从 选取两个数字之和小于12，有1种选法，
所以共有 种选法.
故答案为：
11．古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表（即不同圆
心角的弦长表），这张表本质上相当于正弦三角函数表．托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的
作为单位来度量弦长．将圆心角 所对的弦长记为 ．如图，在圆 中， 的圆心角所对的弦长恰好
等于圆 的半径，因此 的圆心角所对的弦长为60个单位，即 ．若 为圆心角，
，则
【答案】
【详解】设圆的半径为 ， 时圆心角 所对应的弦长为 ，
利用余弦定理可知 ，即可得又 的圆心角所对的弦长恰好等于圆 的半径， 的圆心角所对的弦长为60个单位，
即与半径等长的弦所对的圆弧长为60个单位，
所以 .
故答案为：
12．已知数列 的首项 ，且满足 对任意 都成立，则能使
成立的正整数 的最小值为 .
【答案】18
【详解】由 知： 或 ；
当 时，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
，则 ，解得 ；
当 时，数列 是以1为首项， 为公比的等比数列，
，则 ，解得： （舍）；
若数列 是等差与等比的交叉数列，又 ， ；
若要 最小，则 ， ， ，
，
，
此时 ，故 的最小值为18.
故答案为：18.
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13．通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量
（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点 后，下列说法正确的是（ ）A．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关
B．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变
C．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
D．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
【答案】D
【详解】对于A：去掉图中右下方的点 后，根据图象，两个变量还是负相关，A错误；
对于BCD：去掉图中右下方的点 后，相对来说数据会集中，相关程度会更高，
但因为是负相关，相关系数会更接近 线性相关系数会变小，故D正确，BC错误.
故选：D.
14．函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由二倍角公式得 ，
故设 的最小正周期为 ， .
故选：A
15．已知空间任意一点 和不共线的三点 ，若 ，则“
”是“ 四点共面”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件【答案】B
【详解】当 时， ，
即 ， ，
三点共线， 四点共面，充分性成立；
当 四点共面时， ，
满足条件的数据不止 ，必要性不成立；
“ ”是“ 四点共面”的充分不必要条件.
故选：B.
16．若非空实数集 中存在最大元素 和最小元素 ，则记 .下列命题中正确的是（ ）
A．已知 ，且 ，则
B．已知 ，若 ，则对任意 ，都有
C．已知 ， ，则存在实数 ，使得
D．已知 ， ，则对任意的实数 ，总存在实数 ，使得
【答案】D
【详解】A选项，由 ，可得 ， ，
因为 ，所以 ， ，故A错误；
B选项，由 知， 且 ，
则 且 ，
但是 不一定成立，例如： ， ，故B错误；
C选项，由 ， ，当 ，即 时， ；
当 时，可得 ；
当 时，可得 ；
当 时，可得 ，
所以不存在实数 ，使得 ，故C错误；
D选项，由 ， ，取 ，
可得 ，对任意实数 ，总存在 使之成立，故D正确.
故选：D.
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17．（14分）在正三棱锥 中， 是 的中点且 ， .
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【详解】（1）取BC中点为E，连接PE、AE.
∵ ，∴ ，∵ ，所以 ，
又∵ ， 平面 ，∴ 面 ，
∵ 面 ，∴ ，
又∵ 且 ， 平面 ，∴ 面 ，
平面 ，∴ ， ，
又 为正三角锥， ，由 ，知∴ .（7分）
（2）作 平面 于 ，∵ 为正三棱锥，∴ 为正 的中心.
取OB中点为F，连接FD、CF，
∵D是PB中点，F为OB中点，∴ 且 ，∴ 平面
∴ 是 在平面 上的投影，则 为 与平面 所成角.
在 中， ，
在 ，
在 中，
在 中， ， ，则 .
记 与平面 所成角为 ， .（7分）
18．（14分）已知 ．
(1)当 时，求函数 的定义域及不等式 的解集；
(2)若函数 只有一个零点，求实数a的取值范围．【详解】（1）解：当 时， ，
∴ 的定义域为 ，
∴ ，即 ，
∴函数 的定义域为 ，
不等式 等价于 ，
∴ ，即 ，
∴不等式 的解集为 ；（7分）
（2）解： ，
∵函数 只有一个零点，
∴ 只有一解，将 代入 ，得 ，
∴关于x的方程 只有一个正根，
当 时， ，符合题意；
当 时，若 有两个相等的实数根，
则 ，解得 ，此时 ，符合题意；
若方程 有两个相异实数根，则 ，即 ，
∴两根之和与积均为 ，
∴方程两根只能异号，∴ ，即 此时方程只有一个正根，符合题意．
综上，实数a的取值范围是： ．（7分）19．（14分）进入2020年冬季以来，猪肉价格出现了一定的回落，在这种情况下，某单位对其320名员
工进行了问卷调查，其中男职工有200人，得到每周购买猪肉的花费情况如下：
女职工中每周购买猪肉的花费不低于30元者占 .若每周购买猪肉的花费低于30元者视为“不喜欢吃肉”，
否则视为“喜欢吃肉”
（1）若以每组数据的中点代替该组数据，求该单位男职工购买猪肉花费的平均数；
（2）①请根据条件填写下列的 列联表；
喜欢吃肉 不喜欢吃肉 合计
男职工（单位:人）
女职工（单位:人）
合计
②分析是否有99.5%以上的把握认为该公司的职工是否喜欢吃肉与性别有关?
参考公式： .
参考数据
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【详解】（1）由题意，该单位男职工购买猪肉花费的平均数为：（元）；（4分）
（2）①根据频率分布直方图可知，男职工中喜欢吃肉的人数为
，
女职工喜欢吃猪肉的人数为 ，列联表如下：
喜欢吃肉 不喜欢吃肉 合计
男职工（单位:人） 100 100 200
女职工（单位:人） 40 80 120
合计 140 180 320
②由条件可得，
，
所以，有99.5%以上的把握认为该公司的职工是否喜欢吃肉与性别有关.（10分）
20．（18分）已知椭圆C： ．F为椭圆的右焦点，过椭圆上一点 的直线 交椭圆于另一点
Q，点M为椭圆上任意一点．
(1)求 的最小值；
(2)当直线 的斜率为1时，求 面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)若直线 与直线 交于点D，点D不在x轴上，Q关于原点的对称点为点R，直线 与 交于
点E，求线段 的取值范围．【详解】（1）
由椭圆方程 知， ，所以右焦点 ，
设 ，则 ，由 代入得：
，
由于 ，对称轴 ，
所以 ，
即 的最小值为 ，此时点 为椭圆的右顶点.（6分）
（2）
由直线 的斜率为1且经过 ，可得直线方程 ，
与椭圆 联立方程组，消元得： ，
解得 ，则代入 得： ，所以 ，
则 ，设平行于直线 的直线方程为 ，则与椭圆 联立方程组，消元得：
，当此直线与椭圆相切时，满足判别式为 ，
即 ，解得 ，
根据数形结合可得 时，满足切点 取到 面积最大值，
此时方程为 ，
代入直线得 ，则 ，
由点 到直线 的距离公式得：
，
所以 面积的最大值为 ，
此时点 ；（6分）
（3）
设过点 直线为： ，与椭圆 联立方程组，消元得：
，
由 ，再由于交点D不在x轴上，即 ，
设交点 ，则有 ，
代入 得： ，
由于Q关于原点的对称点为点R，所以 ，
则直线 方程为 ，与直线 相交得：
点纵坐标为 ，
而直线 与直线 相交得：
点纵坐标为 ，
所以可得
当且仅当 ，即 时， 取到最小值 .
即 的取值范围是 （6分）
21．（18分）已知常数 为非零整数，若函数 ， 满足：对任意 ，
，则称函数 为 函数.
(1)函数 ， 是否为 函数﹖请说明理由；
(2)若 为 函数，图像在 是一条连续的曲线， ， ，且 在区间上仅存在一个极值点，分别记 、 为函数 的最大、小值，求 的取
值范围；
(3)若 ， ，且 为 函数， ，对任意 ，
恒有 ，记 的最小值为 ，求 的取值范围及 关于 的表达式.
【详解】（1） 是 函数，理由如下，
对任意 ， ，
，故 （6分）
（2）（ⅰ）若 为 在区间 上仅存的一个极大值点，则 在 严格递增，在 严格递
减，
由 ，即 ，得 ，
又 ， ，则 ，（构造 时，等号成立），
所以 ；
（ⅱ）若 为 在区间 上仅存的一个极小值点，则 在 严格递减，在 严格增，
由 ，同理可得 ，
又 ， ，则 ，（构造 时，等号成立），所以 ；
综上所述：所求取值范围为 ；（6分）
（3）显然 为 上的严格增函数，任意 ，不妨设 ，
此时 ，
由 为 函数，得 恒成立，即
恒成立，
设 ，则 为 上的减函数，
，得 对 恒成立，
易知上述不等号右边的函数为 上的减函数，
所以 ，所以 的取值范围为 ，
此时 ，
法1：当 时，即 ，由 ，而 ，所以 为 上的增函数，
法2： ，
因为 ，当 ， ，所以 为 上的增函数，
由题意得， ， .（6分）
