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2024 年高考预测模拟卷（一）（新高考卷）
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：本大题共8 小题，每个小题5 分，共40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，
则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），位于第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．（2023•河南开学）集合{0}与空集∅之间的关系中正确的是（ ）
A．∅＝{0}
B．∅∈{0}
C．∅⫋{0}
D．{∅}⫋{0}
【分析】利用空集没有元素，{0}一个元素为0，结合集合与集合，集合与元素的关系，判断即可．
【解答】解：空集没有元素，{0}一个元素为0，故A 错误，
集合与集合不用∈，故B 错误，
{∅}元素为∅，{0}为0，不成立，D 错误，
只有C 正确，
故选：C．
【点评】本题考查集合与元素，集合与集合的关系，空集与{0}的关系，基础题．
3．（5 分）（2023 春•浠水县校级期中）A，B，C，D，E，F 六人站成一排，满足A，B 相邻，C，D 不相
邻，E 不站两端的不同站法的种数为（ ）
A．48
B．96
C．144
D．288
【分析】使用捆绑法，然后恰当分类，结合间接法能求出结果．
【解答】解：第一步，先排A，B，共有
＝2 种排法，将排好的A、B 作为一个整体，记为G；
第二步，（1）先将C，D，G，F 排成一排，再在产生的3 个空位中选择一个排E，共有3
＝72 种排
法，
（2）先将C，D 捆绑在一起，记为H，然后将H，G 排成一排，
1
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最后在2 个空位中选一个排共，共有
＝24 种排法，
（3）将C，D，G，F，E 排成一排，且C，D 不相邻，E 不站两端的排法有72﹣24＝48 种，
综上，满足条件的不同排法共有2×48＝96 种．
故选：B．
【点评】本题考查排列数的计算，考查捆绑法，恰当分类、间接法等基础知识，考查运算求解能力，是
基础题．
4．（5 分）函数
（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
【分析】利用函数奇偶性的定义判定即可得出．
【解答】解：函数
＝xcosx，x∈R．
f（﹣x）＝﹣xcosx＝﹣f（x），而f（﹣x）＝f（x）对x∈R 不恒成立，
∴函数f（x）为奇函数．
故选：A．
【点评】本题考查了函数奇偶性的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（5 分）（2021 秋•雁江区校级期中）已知椭圆
+
＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣3，
0），F2（3，0），上顶点为P，且∠F1PF2＝120°，则此椭圆长轴的长为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．6
【分析】利用已知条件，列出关系式，求出a，即可得到长轴长的大小．
【解答】解：椭圆
+
＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），c＝3，
上顶点为P，且∠F1PF2＝120°，由此可得：
＝
，
所以a＝2
，
则此椭圆长轴的长为：4
．
2
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故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的三角函数和椭圆的简单几何性质等知识点，考查数形结合的数学思想，
属于中档题．
6．（5 分）（2020•淮北一模）函数y＝[f（x）]g（x）在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得
到lny＝g（x）•lnf（x），然后两边同时求导得
，于是
，用此法探求
（x＞0）的
递减区间为（ ）
A．（0，e）
B．（0，e﹣1）
C．（e﹣1，+∞）
D．（e，+∞）
【分析】先根据已知定义求解出函数的导数，然后结合导数与单调性的关系即可求解．
【解答】解：因为
（x＞0），
所以lny＝ln
＝
，
两边同时求导可得，
＝
，
则y′＝
，
令y′＜0 可得ln（x+1）＞1，
解可得，x＞e﹣1，
故函数的单调递减区间为（e﹣1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，解题的关键是根据已知定义求解出函数的导数．
7．（5 分）（2020 春•平城区校级月考）已知cosα＝
，则sin
＝（ ）
A．
B．﹣
C．
D．
【分析】由已知可求范围
∈（
，π），则sin
＞0，进而根据二倍角公式即可计算得解sin
的
值．
3
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【解答】解：∵cosα＝
，
∴
∈（
，π），则sin
＞0，
∵cosα＝
＝1﹣2sin2
，可得sin2
＝
，
∴sin
＝
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于
基础题．
8．（5 分）设Sn是等比数列{an}的前n 项和．若
＝2，S4＝4，则S8等于（ ）
A．12
B．24
C．16
D．32
【分析】本题先设等比数列{an}的公比为q，然后根据等比数列的定义及已知条件可计算出q4＝2，再根
据等比数列的求和公式写出S4及S8的表达式，进一步计算即可得到S8的结果．
【解答】解：由题意，设等比数列{an}的公比为q，则
＝q4＝2，
S4＝
＝﹣
＝4，
∴
＝﹣4，
S8＝
＝
＝
•（1﹣4）＝（﹣4）×（﹣3）＝12．
故选：A．
【点评】本题主要考查等比数列的基本计算．考查了方程思想，定义法，整体思想，以及逻辑推理能力
和数学运算能力．本题属基础题．
二、多选题：本大题共4 小题，每个小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
4
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（多选）9．（5 分）（2022 秋•沙坪坝区校级期中）已知菱形纸片ABCD 的边长为2，且∠ABC＝60°，将
△ABC 绕AC 旋转180°，旋转过程中记点B 位置为点P，则（ ）
A．直线AC 与点P 的轨迹所在平面始终垂直
B．PB+PD 的最大值为
C．二面角A﹣PD﹣C 的大小与点P 的位置无关
D．旋转形成的几何体的体积为π
【分析】由题知，点P 的轨迹所在平面为平面BDP，再结合题意依次分析各选项即可得答案．
【解答】解：如图，点P 的轨迹为以菱形对角线的交点为圆心的半圆弧，
即点P 的轨迹所在平面为平面BDP，由于在菱形ABCD 中，AC⊥BD，
所以在旋转过程中，AC⊥OP，
因为OP∩BD＝O，OP，BD⊂平面BDP，
所以AC⊥平面BDP，故A 正确；
对于B 选项，因为PD2+PB2＝BD2＝12，
所以由不等式
，得
，
当且仅当PD＝PB 时等号成立，故B 正确；
对于C，取PD 中点E，连接AE，CE，OE，由AP＝AD＝PC＝PD 得PD⊥AE，PD⊥CE，
所以，∠AEC 是二面角A﹣PD﹣C 的平面角，
所以，由对称性可知∠AEC＝2∠AEO，
，
因为OE 的长度随着P 的位置的变化而变化，
所以，∠AEO 随着P 的位置的变化而变化，即∠AEC 的大小与点P 的位置有关，故C 错误；
对于D 选项，由题知旋转形成的几何体为两个半圆锥，底面半径为
，高为1，
故其体积为
，故D 正确．
故选：ABD．
5
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【点评】本题主要考查旋转体的结构特征，二面角的求法，组合体的体积，考查运算求解能力与逻辑推
理能力，属于中档题．
（多选）10．（5 分）（2022 秋•三元区校级期中）设A，B 是抛物线C：y2＝4x 上的两点，O 是坐标原点，
OA⊥OB，则（ ）
A．直线AB 过定点（4，0）
B．O 到直线AB 的距离不大于
C．|OA||OB|≥32
D．连结AF，BF 分别交抛物线C 于D，E 两点，则kDE＝4kAB
【分析】设直线AB 的方程为y＝kx+b，将直线AB 方程代入抛物线方程y2＝4x，利用根与系数的关系结
合垂直的条件，即可求出直线AB 所过的定点，利用点到直线的距离公式，判断B，结合基本不等式判
断C，利用直线与抛物线的位置关系，推出直线的斜率关系，判断D．
【解答】解：设直线AB 方程为y＝kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线AB 方程代入抛物线方程y2＝4x，得k2x2+（2kb﹣4）x+b2＝0，
则x1+x2＝
，x1x2＝
，y1y2＝﹣4
＝﹣
，
∵OA⊥OB，∴kOA•kOB＝
﹣
＝0，可得b＝﹣4k，
于是直线AB 方程为y＝kx﹣4k，该直线过定点（4，0），所以A 正确；
6
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又点O 到直线AB 的距离为d＝
＜4，所以B 不正确；
对于C，设A（x1，2
），B（x2，﹣2
），OA⊥OB，可得
（4﹣
）＝0，即x2＝
，
|OA|•|OB|＝
＝
＝8
＝8
≥32，
故C 正确．
对于D，设直线l 方程为x＝my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线l 与抛物线C 的方程，
，
消去x，得y2﹣4my﹣16＝0，
故y1y2＝﹣16，y1+y2＝4m．
设D（x3，y3），E（x4，y4），右焦点F（1，0），
设直线AD 的方程为x＝ny+1，
联立直线AD 与抛物线C 的方程
，
消去x，得y2﹣4ny﹣4＝0，
所以y1+y3＝4n，y1y3＝﹣4，则y3＝﹣
，
同理可得，y4＝﹣
，
所以kDE＝
＝
＝
＝
＝﹣
＝﹣
＝
，
又kAB＝
，
7
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所以kDE＝4kAB，所以D 正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了直线过定点的应用问题，也考查了直线与抛物线的位置关系应用问题，是难题．
（多选）11．（5 分）已知函数f（x）＝xcosx﹣sinx，下列结论中正确的是（ ）
A．函数f（x）在x＝
时取得极小值﹣1
B．∀x∈[0，π]，f（x）≤0 恒成立
C．若0＜x1＜x2＜π，则
＜
D．若a＜
＜b，∀x∈（0，
）恒成立，则a 的最大值为
，b 的最小值为1
【分析】利用可导函数极值点处的导数为零判断A，通过f′（x）的符号确定f（x）在[0，π]上的单调
性，判断B，再构造函数g（x）＝
，研究其单调性判断C，D 选项．
【解答】解：f′（x）＝﹣xsinx，
对于A，
＝﹣
≠0，A 错；
对于B，当x∈[0，π]时，f′（x）≤0 恒成立，f（x）单调递减，所以f（x）max＝f（0）＝0，B 对；
对于CD，令g（x）＝
，则g′（x）＝
，由B 知，g′（x）＜0 在（0，π）上恒成
立，所以g（x）在（0，π）上是减函数，
所以由0＜x1＜x2＜π，则
，结合sinx1＞0，sinx2＞0 得
＜
，C 对；
显然g（x）在（0，
）上单调递减，所以
＝
在（0，
）上恒成立，
再令h（x）＝x﹣sinx，0
，h′（x）＝1﹣cosx≥0 在（0，
）上恒成立，h（x）是增函数，
所以h（x）＝x﹣sinx＞0，即
＜1 在（0，
）上恒成立，
综上
＜1 在（0，
）上恒成立，D 正确．
故选：BCD．
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【点评】本题考查了导数的综合应用，侧重考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值等，属于难题．
（多选）12．（5 分）（2023 春•贵阳月考）从甲袋中摸出一个红球的概率是
，从乙袋中摸出一个红球的
概率是
，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．2 个球都是红球的概率为
B．2 个球不都是红球的概率为
C．2 个球中恰有一个红球的概率为
D．已知只摸到一个红球，则红球是从甲袋摸出的概率是
【分析】根据独立事件乘法公式计算2 个球都是红球的概率，判断A；
利用对立事件的概率计算方法求得2 个球不都是红球的概率，判断B；
根据互斥事件的概率计算可判断C；
根据条件概率公式，即可判断D．
【解答】解：设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，从“乙袋中摸出一个红球”为事件A2，
则
，
，
对于A 选项，2 个球都是红球为A1A2，其概率为
，故A 选项正确，
对于B 选项，“2 个球不都是红球”是“2 个球都是红球”的对立事件，其概率为
，故B 选项
错误，
对于C 选项，2 个球中恰有1 个红球的概率为
，故C 选项正确，
对于D 选项，
对于D 选项，已知只摸到一个红球，则红球是从甲袋摸出的概率
，
故D 正确．
故选：ACD．
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【点评】本题主要考查概率的求解，考查转化能力，属于基础题．
三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13．（5 分）（2021 春•让胡路区校级期末）已知向量
，满足| |＝2，＝（2，
），且
+ ＝
（λ∈R），则|λ|＝
．
【分析】易得| |＝
，再由| |＝|λ|•| |，得解．
【解答】解：由＝（2，
），知| |＝
，
因为
+ ＝，所以＝﹣
，所以| |＝|
|＝|λ|•| |，
即
＝|λ|•2，解得|λ|＝
．
故答案为：
．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握向量的模的计算方法，理解共线向量的含义是解题的
关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14．（5 分）（2023 春•船营区校级期末）底面边长为6 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个
底面边长为3，高为3 的正四棱锥，所得棱台的体积为
63
．
【分析】根据题意易知△SO1A1∽△SOA，从而可求出台体的高，再根据台体的体积公式，计算即可求
解．
【解答】解：如图所示，
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根据题意易知△SO1A1∽△SOA，
∴
，又SO1＝3，
∴SO＝6，∴OO1＝3，又上下底面正方形边长分别为3，6，
∴所得棱台的体积为
＝63．
故答案为：63．
【点评】本题考查台体的体积的求解，化归转化思想，方程思想，属基础题．
15．（5 分）（2022•南京模拟）已知直线l：2mx﹣y﹣8m﹣3＝0 和圆C：x2+y2﹣6x+12y+20＝0，m＝ ﹣
时，l 被C 截得的弦长最短．
【分析】由题意，根据直线l：2mx﹣y﹣8m﹣3＝0 恒过P（4，﹣3），且当PC⊥l 时弦AB 的长度最短，
结合直线垂直时斜率的关系求解即可．
【解答】解：圆的C 方程可化为：（x﹣3）2+（y+6）2＝25，直线l：2mx﹣y﹣8m﹣3＝0，即2m（x﹣
4）﹣（y+3）＝0 恒过P（4，﹣3），
如图所示，当圆心C（3，﹣6）到直线l 的距离最大时，弦AB 的长度最短，
此时PC⊥l，又kPC＝
＝3，所以直线l 的斜率为﹣
，则2m＝﹣
，∴m＝﹣
，
故答案为：﹣
．
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，两直线垂直时斜率满足的关系，恒过定点的直线方程，圆的
标准方程，属中档题．
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16．（5 分）（2021 春•北海期末）已知点A，B，C 是函数
的图象和函
数
的图象的连续三个交点，若△ABC 周长的最大值为
，则ω
的取值范围为
．
【分析】作出两个函数的图象如图，则根据对称性知AB＝BC，即△ABC 为等腰三角形，三角函数的周
期
，且AC＝T，取AC 的中点M，连接BM，则BM⊥AC，
，由条件可得，
，得
，可得A 点的纵坐标，再结合三角形的周长公
式，即可求解．
【解答】解：作出两个函数的图象如图，则根据对称性知AB＝BC，即△ABC 为等腰三角形，
三角函数的周期
，
且AC＝T，取AC 的中点M，连接BM，则BM⊥AC，
，
由
，
得
，
得
，
得
，得
，
12
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则
，
即A 点纵坐标为1，则BM＝2，
，
，解得
T≤4，即
，得
，
即ω 的取值范围为
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，需要学生有数形结合的分析能力，综合性强，属于难题．
四、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）（2021 秋•汉中期末）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB＝
2acosB．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若b＝3，c＝2a，求△ABC 的面积．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理得sinBcosC+sinCcosB＝2sinAcosB，即sin（B+C）＝2sinAcosB，即可得出
答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，b＝3，c＝2a，利用余弦定理可得a，利用面积公式，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，bcosC+ccosB＝2acosB，
∴由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB＝2sinAcosB，即sin（B+C）＝2sinAcosB，
∵A+B+C＝π，∴sinA＝2sinAcosB，
又sinA≠0，∴
，
又B∈（0，π），则
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，b＝3，c＝2a，
∴由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+4a2﹣2a2，即3a2＝9，
∴
，
，
∴
，
13
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故△ABC 的面积为
．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属
于中档题．
18．（2023•青羊区校级开学）已知数列{an}的各项均为正数，其前n 项和为Sn，且Sn＝（
）2
（n∈N+），数列{bn}的前n 项积为Tn，满足Tn＝
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn＝
+bn，求数列{cn}的前n 项和∁n．
【分析】（Ⅰ）根据题干已知条件并结合公式an＝
进行推导，即可发现数列{an}是
以1 为首项，2 为公差的等差数列，求出数列{an}的通项公式，然后计算出Sn的表达式，进一步计算出
Tn的表达式，再结合公式bn＝
，求出数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{cn}的通项公式，再运用分组求和法，裂项相消法，等比数
列的求和公式，求出前n 项和∁n．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，当n＝1 时，a1＝S1＝（
）2，解得a1＝1，
当n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（
）2﹣（
）2，
化简整理，得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，
∵an＞0，n∈N*，∴an+an﹣1＞0，
∴an﹣an﹣1﹣2＝0，即an﹣an﹣1＝2，
∴数列{an}是以1 为首项，2 为公差的等差数列，
14
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∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，
∴Sn＝（
）2＝（
）2＝n2，
∴Tn＝
＝
，
则当n＝1 时，b1＝T1＝2，
当n≥2 时，bn＝
＝
＝22n﹣1，
∵当n＝1 时，b1＝2 也满足上式，
∴bn＝22n﹣1，n∈N*．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得cn＝
+bn
＝
+22n﹣1
＝
+22n﹣1
＝
•（
﹣
）+22n﹣1，
则∁n＝c1+c2+•••+cn
＝[
•（1﹣
）+21]+[
•（
﹣
）+23]+•••+[
•（
﹣
）+22n﹣1]
＝[
•（1﹣
）+
•（
﹣
）+•••+
•（
﹣
）]+（21+23+•••+22n﹣1）
＝
•（1﹣
+
﹣
+•••+
﹣
）+
＝
•（1﹣
）+
＝
﹣
+
15
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＝
﹣
﹣
．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题，考查了分类讨论思想，转化与化归思想，
分组求和法，裂项相消法，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19．（12 分）（2023•炎陵县开学）某校在2022 年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40 名学生的笔
试成绩，并将成绩共分成五组：第1 组[75，80），第2 组[80，85），第3 组[85，90），第4 组[90，
95），第5 组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示．且同时规定成绩小于85 分的学生为“良
好”，成绩在85 分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试
通过者将进入复试．
（1）根据样本频率分布直方图估计样本的众数；
（2）如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5 人，再从这5 人中选2 人发言，
那么这两人都“优秀”的概率是多少？
（3）如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前22%的学生
可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？
【分析】（1）根据最高小长方形底边中点对应的横坐标为众数，即可得到答案；
（2）先计算出5 人中“良好”的学生和“优秀”的学生的人数，再列出样本空间，确定事件这两人都
“优秀”所包含的基本事件数，根据古典概型的公式即可求解；
（3）由条件列方程组求出m，n，接着判断出初试时笔试成绩得分从高到低排名在22%的学生分数在第
四组，设为至少x 分能进入面试，列方程即可求解．
【解答】解：（1）根据样本频率分布直方图估计样本的众数为：
；
（2）“良好”的学生频率为（0.01+0.07）×5＝0.4，“优秀”学生频率为1﹣0.4＝0.6，
由分层抽样可得“良好”的学生有5×0.4＝2 人，“优秀”的学生有3 人，
将三名优秀学生分别记为A，B，C，两名良好的学生分别记为a，b，
则这5 人中选2 人的基本事件有：AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10 种，
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其中这两人都“优秀”包含的基本事件有：AB，AC，BC 共3 种，
所以这两人都“优秀”的概率P＝
；
（3）由第三、四、五组的人数成等差数列得（0.02+n）×5×40＝2m×5×40，化简整理可得，0.02+n＝
2m ①，
由频率分布直方图的性质可知，（n+0.02+m）×5＝1﹣（0.01+0.07）×5 ②，
由①②可得m＝0.04，n＝0.06，
第五组人数频率为0.02×5＝0.1＝10%，
第四、五组人数的频率为（0.02+0.04）×5＝0.3＝30%，
故初试时笔试成绩得分从高到低排名在22%的学生分数在第四组，
设至少得x 分能进入面试，
则（95﹣x）×0.04+0.02×5＝0.22，解得x＝92，即根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到92
（分）才能直接进入复试．
【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查转化能力，属于基础题．
20．（12 分）（2022 秋•朝阳区校级期中）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，△APC 为等边三角形，AC＝4，
平面APC⊥底面ABC，AB＝BC＝2
，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M 在棱BC 上，BM＝λBC，且二面角M﹣PA﹣C 为30°，求λ 的值．
【分析】（1）由题意得PO⊥AC，又平面APC⊥底面ABC，根据面面垂直的性质，即可证明结论；
（2）连接BO，由（1）可知建立以O 为坐标原点，以AC、OB、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间
直角坐标系O﹣xyz，利用向量法，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：∵△APC 为等边三角形，O 为AC 的中点，
∴PO⊥AC，
∵平面APC⊥底面ABC，平面APC∩平面ABC＝AC，PO⊂平面APC，
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∴PO⊥平面ABC；
（2）连接BO，由（1）可知建立以O 为坐标原点，以AC、OB、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间
直角坐标系O﹣xyz，如图所示：
AB＝BC＝2
，AC＝4，则OP＝2
，AB2+BC2＝16＝AC2，
∴△ABC 等腰直角三角形，则OB＝2，BO⊥AC，
∴C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2
），A（﹣2，0，0），设M（x，y，0），
则
＝（x，y﹣2，0），
＝（2，﹣2，0），
∵BM＝λBC，∴
，则x＝2λ，y＝2﹣2λ，0≤λ≤1，
∴M（2λ，2﹣2λ，0），
∵平面APC⊥平面ABC，平面APC∩平面ABC＝AC，BO⊂平面ABC，
∴BO⊥平面PAC，
∴平面PAC 的一个法向量为
＝（0，2，0），
设平面MPA 的一个法向量为＝（x，y，z），
＝（2，0，2
），
＝（2λ+2，2﹣2λ，0），
则
，取x＝
，则z＝﹣1，y＝
，
∴平面MPA 的一个法向量为＝（
，
，﹣1），
∵二面角M﹣PA﹣C 为30°，
∴cos＜
，＞＝
＝
＝cos30°＝
，即（
）2＝4，解得λ＝3
（不合题意，舍去）或λ＝
，
故λ＝
．
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【点评】本题考查直线与平面垂直、二面角、空间向量的应用，考查转化思想和数形结合思想，考查逻
辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．
21．（12 分）（2023•静安区二模）已知双曲线
（其中a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1
（﹣c，0）、F2（c，0）（其中c＞0）．
（1）若双曲线过点（2，1）且一条渐近线方程为
；直线l 的倾斜角为
，在y 轴上的截距为
﹣2．直线l 与该双曲线交于两点A、B，M 为线段AB 的中点，求△MF1F2的面积；
（2）以坐标原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为P．过P 作圆的切线，若
切线的斜率为
，求双曲线的离心率．
【分析】（1）根据已知条件，结合渐近线的定义，推得
，再结合双曲线过点（2，1），即可求
出双曲线的方程，再与直线l 联立，并结合韦达定理，即可求解；
（2）先求出圆的方程，再与双曲线联立，求出点P 的坐标，再结合斜率公式，以及离心率公式，即可
求解．
【解答】解：（1）双曲线过点（2，1）且一条渐近线方程为
，
则
①，
双曲线过点（2，1），
则
②，
联立①②解得，a2＝2，b2＝1，
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故双曲线的方程为
，
直线l 的倾斜角为
，在y 轴上的截距为﹣2，
则l 的方程为y＝x﹣2，代入双曲线方程可得，x2﹣8x+10＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），
则x1+x2＝8，
M 为线段AB 的中点，
则x＝4，y＝x﹣2＝2，即M（4，2），
∵
，
∴△MF1F2的面积为
；
（2）由题意可知，圆的方程为x2+y2＝c2，
联立
，解得x＝
，y＝
，即P（
，
），
切线的斜率为
，
则kOP＝
，化简整理可得，3（c2﹣a2）＝
，
故3c4+4a4﹣8a2c2＝0，即3c4﹣8e2+4＝0，解得e2＝2，
故双曲线的离心率为
．
【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
22．（2022•南京模拟）已知函数f（x）＝ex﹣ax．
（Ⅰ）若f'（0）＝0，求f（x）的极值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调区间；
（Ⅲ）对∀x∈（0，+∞），都有f（x）＞0 恒成立，求a 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求导，从而计算得a＝1，判断单调性与极值；
（Ⅱ）分类讨论a≤0 与a＞0 两种情况；
（Ⅲ）将条件转化为f（x）min＞0，分类讨论a≤1 与a＞1 两种情况下的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）已知f′（x）＝ex﹣a，∴f′（0）＝e0﹣a＝0，
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得a＝1，∴f′（x）＝ex﹣1＝0，得x＝0，
x
（﹣∞，0）
0
（0，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
极小值
↗
f（x）的极小值为f（0）＝1，无极大值．
（Ⅱ）可得f′（x）＝ex﹣a．当a≤0 时，f′（x）＞0，所以f（x）在R 上单调递增，
当a＞0 时，令f′（x）＞0，得x＞lna；令f′（x）＜0，得x＜lna，
所以f（x）的单调递增区间是（lna，+∞），单调递减区间是（﹣∞，lna）．
综上，当a≤0 时，f（x）单调递增区间是（﹣∞，+∞），
当a＞0 时，f（x）的单调递增区间是（lna，+∞），单调递减区间是（﹣∞，lna）．
（Ⅲ）对∀x∈（0，+∞），都有f（x）＞0 恒成立，等价于f（x）min＞0，
由（2）知f′（x）＝ex﹣a．
因为x∈（0，+∞），所以ex＞1．
当a≤1 时，f′（x）＞0．所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
于是f（x）＞f（0）＝1，所以a≤1 符合题意．
当a＞1 时，令f′（x）＞0，得x＞lna；令f′（x）＜0，得x＜lna，
所以f（x）的单调递增区间是（lna，+∞），单调递减区间是（0，lna）．
所以f（x）≥f（lna）＝a﹣alna＞0，，解得1＜a＜e．
综上，a 的取值范围是（﹣∞，e）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值（最值），考查了运算能力，属于中档题．
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