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2025 年高考押题预测卷
数学（上海高考卷）·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共12 题，满分54 分，第1-6 题每题4 分，第7-12 题每题5 分）
1．已知全集
，集合
，则
【答案】
/
【详解】因为
，
又全集
，所以
.
故答案为：
2．已知函数
，则
．
【答案】
【详解】
，
所以
故答案为：
.
3．不等式
的解集为 ．
【答案】
或
【详解】解：不等式
可化为
，
即
，
1
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解得
或
，
所以不等式的解集为
或
．
故答案为：
或
．
4．已知函数
为奇函数，则
．
【答案】2 或
【详解】函数
为奇函数，其定义域为
由
，解得
或
当
时，
，则
，满足条件.
当
时，
，则
，满足条件.
故答案为：2 或
5．已知平面向量
，
，若
，则
.
【答案】
【详解】因为平面向量
，
，且
，
所以
，得
，
故答案为：
6．
的二项展开式中
项的系数是20，则实数
的值是 .
【答案】
【详解】根据二项式展开式的通项公式
则
展开式中
项为
又
，则该项为
，
已知
项的系数是20，则
，即
，
解得
.
2
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故答案为：
7．已知抛物线
的焦点为
，
为
轴上一点，若
，且抛物线
经过线段
的
中点，则实数
．
【答案】
/
【详解】
抛物线
的标准方程为
，开口向上，焦点
.
设坐标原点为
，线段
的中点为
，抛物线
的准线为
，
因为点
是中点，点
到准线的距离为
，则
，由抛物线的定义知，
，所以
，解得
．
故答案为：
8．某中学高一､高二､高三的学生人数比例为
，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼
梦》的概率分别为
，若从该中学三个年级的学生中随机选取1 名学生，则这名学生阅
读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生
阅读完《红楼梦》的概率，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】若从该中学三个年级的学生中随机选取1 名学生，
则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为
，解
得
.
3
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因为该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，所以
.
故
的取值范围是
.
故答案为：
.
9．已知复数
满足
，且
为实数，则
．
【答案】
或
或
．
【详解】设
化简得
解得
或
将
代入
可得
，
（1）当
时，即
则有
，此时
（2）当
时，则
，故有
则有
或
综上所述故
或
或
．
故答案为：
或
或
．
10．已知全集
，在
中任取四个元素组成的集合记为
，余下的四个
元素组成的集合记为
，若
，则集合
的取法共有
种.
【答案】31
【详解】集合
中的原式和为
，
若
，
则
，
4
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当
时，需从
选取两个数字之和小于15，有
种选法，
当
时，需从
选取两个数字之和小于14，有
种选法，
当
时，需从
选取两个数字之和小于13，有
种选法，
当
时，需从
选取两个数字之和小于13，有6 种选法，
当
时，需从
选取两个数字之和小于12，有1 种选法，
所以共有
种选法.
故答案为：
11．古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表（即不同圆
心角的弦长表），这张表本质上相当于正弦三角函数表．托勒密把圆的半径60 等分，用圆的半径长的
作为单位来度量弦长．将圆心角
所对的弦长记为
．如图，在圆
中，
的圆心角所对的弦长恰好
等于圆
的半径，因此
的圆心角所对的弦长为60 个单位，即
．若
为圆心角，
，则
【答案】
【详解】设圆的半径为，
时圆心角
所对应的弦长为，
利用余弦定理可知
，即可得
5
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又
的圆心角所对的弦长恰好等于圆
的半径，
的圆心角所对的弦长为60 个单位，
即与半径等长的弦所对的圆弧长为60 个单位，
所以
.
故答案为：
12．已知数列
的首项
，且满足
对任意
都成立，则能使
成立的正整数
的最小值为 .
【答案】18
【详解】由
知：
或
；
当
时，数列
是以为首项，为公差的等差数列，
，则
，解得
；
当
时，数列
是以1 为首项，
为公比的等比数列，
，则
，解得：
（舍）；
若数列
是等差与等比的交叉数列，又
，
；
若要
最小，则
，
，
，
，
，
此时
，故
的最小值为18.
故答案为：18.
二、选择题（本大题共4 题,满分18 分,第13-14 题每题4 分,第15-16 题每题5 分)
13．通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量
（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点
后，下列说法正确的是（ ）
6
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A．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关
B．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变
C．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
D．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
【答案】D
【详解】对于A：去掉图中右下方的点
后，根据图象，两个变量还是负相关，A 错误；
对于BCD：去掉图中右下方的点
后，相对来说数据会集中，相关程度会更高，
但因为是负相关，相关系数会更接近
线性相关系数会变小，故D 正确，BC 错误.
故选：D.
14．函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由二倍角公式得
，
故设
的最小正周期为
，
.
故选：A
15．已知空间任意一点
和不共线的三点
，若
，则“
”是“
四点共面”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．即不充分也不必要条件
7
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【答案】B
【详解】当
时，
，
即
，
，
三点共线，
四点共面，充分性成立；
当
四点共面时，
，
满足条件的数据不止
，必要性不成立；
“
”是“
四点共面”的充分不必要条件.
故选：B.
16．若非空实数集
中存在最大元素
和最小元素
，则记
.下列命题中正确的是（ ）
A．已知
，且
，则
B．已知
，若
，则对任意
，都有
C．已知
，
，则存在实数
，使得
D．已知
，
，则对任意的实数
，总存在实数
，使得
【答案】D
【详解】A 选项，由
，可得
，
，
因为
，所以
，
，故A 错误；
B 选项，由
知，
且
，
则
且
，
但是
不一定成立，例如：
，
，故B 错误；
C 选项，由
，
，
8
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当
，即
时，
；
当
时，可得
；
当
时，可得
；
当
时，可得
，
所以不存在实数
，使得
，故C 错误；
D 选项，由
，
，取
，
可得
，对任意实数
，总存在
使之成立，故D 正确.
故选：D.
三、解答题（本大题共5 题，共14+14+14+18+18=78 分）
17．（14 分）在正三棱锥
中，
是
的中点且
，
.
(1)求三棱锥
的体积；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【详解】（1）取BC 中点为E，连接PE、AE.
∵
，∴
，∵
，所以
，
又∵
，
平面
，∴
面
，
∵
面
，∴
，
又∵
且
，
平面
，∴
面
，
平面
，∴
，
，
又
为正三角锥，
，由
，知
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∴
.（7 分）
（2）作
平面
于
，∵
为正三棱锥，∴
为正
的中心.
取OB 中点为F，连接FD、CF，
∵D 是PB 中点，F 为OB 中点，∴
且
，∴
平面
∴
是
在平面
上的投影，则
为
与平面
所成角.
在
中，
，
在
，
在
中，
在
中，
，
，则
.
记
与平面
所成角为
，
.（7 分）
18．（14 分）已知
．
(1)当
时，求函数
的定义域及不等式
的解集；
(2)若函数
只有一个零点，求实数a 的取值范围．
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【详解】（1）解：当
时，
，
∴
的定义域为
，
∴
，即
，
∴函数
的定义域为
，
不等式
等价于
，
∴
，即
，
∴不等式
的解集为
；（7 分）
（2）解：
，
∵函数
只有一个零点，
∴
只有一解，将
代入
，得
，
∴关于x 的方程
只有一个正根，
当
时，
，符合题意；
当
时，若
有两个相等的实数根，
则
，解得
，此时
，符合题意；
若方程
有两个相异实数根，则
，即
，
∴两根之和与积均为
，
∴方程两根只能异号，∴
，即
此时方程只有一个正根，符合题意．
综上，实数a 的取值范围是：
．（7 分）
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19．（14 分）进入2020 年冬季以来，猪肉价格出现了一定的回落，在这种情况下，某单位对其320 名员
工进行了问卷调查，其中男职工有200 人，得到每周购买猪肉的花费情况如下：
女职工中每周购买猪肉的花费不低于30 元者占
.若每周购买猪肉的花费低于30 元者视为“不喜欢吃肉”，
否则视为“喜欢吃肉”
（1）若以每组数据的中点代替该组数据，求该单位男职工购买猪肉花费的平均数；
（2）①请根据条件填写下列的
列联表；
喜欢吃肉
不喜欢吃肉
合计
男职工（单位:人）
女职工（单位:人）
合计
②分析是否有99.5%以上的把握认为该公司的职工是否喜欢吃肉与性别有关?
参考公式：
.
参考数据
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【详解】（1）由题意，该单位男职工购买猪肉花费的平均数为：
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（元）；（4 分）
（2）①根据频率分布直方图可知，男职工中喜欢吃肉的人数为
，
女职工喜欢吃猪肉的人数为
，列联表如下：
喜欢吃肉
不喜欢吃肉
合计
男职工（单位:人）
100
100
200
女职工（单位:人）
40
80
120
合计
140
180
320
②由条件可得，
，
所以，有99.5%以上的把握认为该公司的职工是否喜欢吃肉与性别有关.（10 分）
20．（18 分）已知椭圆C：
．F 为椭圆的右焦点，过椭圆上一点
的直线交椭圆于另一点
Q，点M 为椭圆上任意一点．
(1)求
的最小值；
(2)当直线的斜率为1 时，求
面积的最大值及此时点M 的坐标；
(3)若直线
与直线
交于点D，点D 不在x 轴上，Q 关于原点的对称点为点R，直线
与
交于
点E，求线段
的取值范围．
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【详解】（1）
由椭圆方程
知，
，所以右焦点
，
设
，则
，由
代入得：
，
由于
，对称轴
，
所以
，
即
的最小值为
，此时点
为椭圆的右顶点.（6 分）
（2）
由直线的斜率为1 且经过
，可得直线方程
，
与椭圆
联立方程组，消元得：
，
解得
，则代入
得：
，所以
，
则
，
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设平行于直线的直线方程为
，则与椭圆
联立方程组，消元得：
，当此直线与椭圆相切时，满足判别式为
，
即
，解得
，
根据数形结合可得
时，满足切点
取到
面积最大值，
此时方程为
，
代入直线得
，则
，
由点
到直线
的距离公式得：
，
所以
面积的最大值为
，
此时点
；（6 分）
（3）
设过点
直线为：
，与椭圆
联立方程组，消元得：
，
由
，
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再由于交点D 不在x 轴上，即
，
设交点
，则有
，
代入
得：
，
由于Q 关于原点的对称点为点R，所以
，
则直线
方程为
，与直线
相交得：
点纵坐标为
，
而直线
与直线
相交得：
点纵坐标为
，
所以可得
当且仅当
，即
时，
取到最小值
.
即
的取值范围是
（6 分）
21．（18 分）已知常数
为非零整数，若函数
，
满足：对任意
，
，则称函数
为
函数.
(1)函数
，
是否为
函数﹖请说明理由；
(2)若
为
函数，图像在
是一条连续的曲线，
，
，且
在区间
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上仅存在一个极值点，分别记
、
为函数
的最大、小值，求
的取
值范围；
(3)若
，
，且
为
函数，
，对任意
，
恒有
，记
的最小值为
，求
的取值范围及
关于
的表达式.
【详解】（1）
是
函数，理由如下，
对任意
，
，
，故
（6 分）
（2）（ⅰ）若
为
在区间
上仅存的一个极大值点，则
在
严格递增，在
严格递
减，
由
，即
，得
，
又
，
，则
，（构造
时，等号成立），
所以
；
（ⅱ）若
为
在区间
上仅存的一个极小值点，则
在
严格递减，在
严格增，
由
，同理可得
，
又
，
，则
，（构造
时，等号成立），
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所以
；
综上所述：所求取值范围为
；（6 分）
（3）显然
为
上的严格增函数，任意
，不妨设
，
此时
，
由
为
函数，得
恒成立，即
恒成立，
设
，则
为
上的减函数，
，得
对
恒成立，
易知上述不等号右边的函数为
上的减函数，
所以
，所以
的取值范围为
，
此时
，
法1：当
时，即
，由
，而
，所以
为
上的增函数，
法2：
，
因为
，当
，
，所以
为
上的增函数，
由题意得，
，
.（6 分）
18
