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2024 年高考数学第一次模拟考试
数学（文科）·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解 可得，得出 .进而分别令 ， ， ，得出 中的元素，即可得
出答案.
【详解】解 可得， ，
所以， .
当 时， 不满足，或 不满足；
当 时， 满足，或 满足；当 时， 满足，或 不满足.
所以， ．
故选：B.
2．自1950年以来，每年于4月7日庆祝世界卫生日，旨在引起世界各国人民对卫生､健康工作的
关注，提高人们对卫生领域的素质和认识，强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性.为了让大
家了解更多的健康知识，某中学组织三个年级的学生进行日常卫生知识竞赛，经统计，得到前200
名学生分布的饼状图（如图1）和前200名学生中高一学生排名分布的频率条形图（如图2），则
下列说法错误的是（ ）
A．成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30
B．成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人
C．高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多
D．成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多
【答案】D
【分析】由饼状图可计算出高一年级共90人，高二年级共60人，高三年级共50人，再由高一学
生排名分布的频率条形图可计算出各排名段中高一年级学生的人数，由此即可判断出答案.
【详解】由饼状图可知，成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多 ，
A正确；
成绩在第 名的学生中，高一人数为 ，因此高三最多有32人，B正确；
由条形图知高一学生的成绩在第 名的人数为 ，
而高三的学生成绩在第 名的人数最多为 人，
故高一学生的成绩在第 名的人数一定比高三的学生成绩在第 名的人数多，C正确；
成绩在第 名的学生中，高一人数为 ，高二成绩在第 名的人数最
多为 ，
即成绩在第51~100名的学生中，高一的人数一定比高二的人数多， 错误.
故选：D
3．若 ，z为纯虚数，且 ，则 （ ）
A． B．5 C． D．3【答案】A
【分析】根据复数相等及复数的模求解即可.
【详解】因为z为纯虚数，
所以设 ，
由 得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，则 ，
故选：A．
4．已知函数 ，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当 时， ，所以问题转化为 ，求解
即可.
【详解】由 可得 ，
当 时， 符合题意；
当 时， 是关于 的一次函数，此时只需区间端点的函数值不小于 即可，
又当 时， ，
当 时， ，
所以 ，即 ，解得 ，
综上， .
故选；A.
5．已知双曲线 的离心率为 ，且双曲线 上的点到焦点的最近距离为
2，则双曲线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用由双曲线 上的点到焦点的最近距离为2得 ，再由离心率、 可得答案.
【详解】由离心率 ，得 ，由双曲线 上的点到焦点的最近距离为2，
得 ，根据这两个方程解得 ，
则 ，得 ，所以双曲线 的方程为 .
故选：B.
6．今年 月 日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海
洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有 种半衰期在 年以上；
有 种半衰期在 万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度 与时间 （年）近似
满足关系式 为大于 的常数且 .若 时， ；若 时， .则据此估
计，这种有机体体液内该放射性元素浓度 为 时，大约需要（ ）（参考数据:
）
A． 年 B． 年 C． 年 D． 年
【答案】B
【分析】根据已知条件得 ，解方程组求出 的值，当 时，在等式两边取对数
即可求解.
【详解】由题意得: ，解得 ，
所以 ，
当 时，得 ，即 ，
两边取对数得 ，
所以 ，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度 为 时，大约需要 年.故选：B.
7．下图是棱长为2的正方体 木块的直观图，其中 分别是 ， ，
的中点，平面 过点 且平行于平面 ，则该木块在平面 内的正投影面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据题意平面 可以平移至平面 ，即木块在平面 内的正投影即可看成是在平面
的正投影，根据投影的性质可得投影为正六边形 ，最后根据正六边形面积公式
可求出投影的面积．
【详解】解：根据题意可知平面 过点 且平行于平面PQF，
则平面 可以平移至平面 ，
木块在平面 内的正投影即可看成是在平面 的正投影，
根据投影的性质可得投影为正六边形 如图所示，
因为正方体 棱长为2，
所以 ，
则投影面内正六边形的边长为：
根据正六边形面积公式可得投影的面积为：
故投影面积为：
故选：A【点睛】本题主要考查空间几何体和正投影得概念，考查面积公式是计算，考查空间想象力和推导
能力，属于难题．
8．在 中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合余弦定理求得 ，利用同角三角函数关系式求得 .
【详解】由 ， ，得 ，
所以 ，
又 ，所以 ．
故选：C．
9．已知各项均为正数的数列 满足对任意的正整数m，n都有 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对于 ，取 ，得到数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，从而求得
，再根据 即可得解．
【详解】解法一 对于 ，取 ，得 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，则 ，得 ，
所以 ，
解法二 对于 ，取 ，得 ，又 ，
所以 ，则 ．
故选：B
10．某同学口袋中共有 个大小相同､质地均匀的小球 其中 个编号为 ， 个编号为 ，现从中
取出 个小球，编号之和恰为 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先依题意得出满足条件的情况，再根据古典概型公式计算即可.
【详解】编号之和恰为 ,则需要3个球中 个编号为 , 个编号为 ，
设 个编号为 的小球为ABC， 个编号为 的小球为ab，
则从5个球中取出3个，共有：
，共10种，
其中满足题意得情况有： 共6种，
则编号之和恰为 的概率为 .
故选:D.
11．若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由三角函数平方关系结合已知求出 ，从而求出 ，再由
即可求出 ，最后由两角和的正切公式代入表达式即可求解.
【详解】一方面由题意 ，且注意到 ，
联立得 ，解得 ，
所以 ，
另一方面不妨设 ，且 ，
所以有 ，解得 或 （舍去），即 ，
由两角和的正切公式有 ，
所以
.
故选：B.
12．已知函数 ．若 为偶函数， ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数对称轴可得 ，进而可知 在 上为增函数，令 ，利用导数可得 ，以及 ，进而分析得解.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
可知 的对称轴为 ，
又因为 均只有一条对称轴 ，
可知 只有一条对称轴 ，则 ，可得 ，
所以 ，
当 时， ，
因为 在 上为增函数，则 在 上为增函数，
令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
可得 ，即 ，则 ；
由 ，可得 ，则 ；
即 ，可得 ，所以 ．
故选：A．
【点睛】关键点睛：构造恰当的函数，过程中用到了函数 ，对应的不等式为
，以及变形的 ．此类不等式常用的有 ， ，
， ，加强记忆，方便碰到此类问题后直接使用．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知同一平面内的单位向量 ， ， ，满足 ，则 .
【答案】
【分析】根据题意得 ，两边平方得到 ，从而求出 .
【详解】由题意可知： ，则 ，则 ，
.
故答案为：
14．已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的体积为 ，则该圆锥的表面积为
．
【答案】
【分析】设圆锥的底面圆半径为 ，母线长为 ，得到底面面积为 ，周长为 ，高为
，根据题意，列出方程组，求得 的值，进而求得圆锥的表面积.
【详解】设圆锥的底面圆半径为 ，母线长为 ，
则圆锥底面圆面积为 ，周长为 ，高为 ，
可得 ，解得 ，
所以该圆锥的表面积为 ．
故答案为： .
15．已知函数 在 上是增函数，且 ，则 的值为
.
【答案】
【分析】根据 在 是增函数得到 的取值范围，根据 得到 和
的值，进而得到 的表达式，从而分类讨论即可得解.
【详解】由题意得： ，
所以 或 ，
因为 ，所以 ， ，
因为 和 ，
所以 ，则 ，所以 ，则 ，
故 ，得 ，
因为 或 ，
所以 或 ，解得 或 ，
当 时， ，此时 ， ，其在 上单调递增，满足题意；
当 时， ，不满足题意；
当 时， ，此时 ，其在 上单调递减，不满足题意；
当 时， ，不满足题意；
综上， .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题关键在于 在 是增函数得到 的取值范围.
16．已知椭圆 ， 的上顶点为A，两个焦点分别为 ，离心率为 ，过
且斜率为 的直线与 交于 两点，四边形 的面积为 ，则四边形 的周长
是 ．
【答案】14
【分析】设椭圆半焦距为 ，由离心率可得椭圆 ，将直线DE方程与椭圆方程联立，
利用韦达定理结合四边形 的面积为 ，可得 ，后注意到点A， 两点关于直线DE
对称，后利用椭圆定义可得答案.
【详解】设椭圆半焦距为 ，因椭圆离心率为 ，则
，则椭圆 .
由题，设直线DE为 ，将其与椭圆方程联立，则 .由题，联立方程判别式大于0，设 ，由韦达定理，有 .
则 .
又 ，则A到直线DE距离为 ， 到DE距离为 .
因四边形 的面积S为 ，则
.
因点A， 到直线DE距离相等，且 ，则点A， 两
点关于直线DE对称.
则四边形 的周长为 .
注意到， ，
则 ，得四边形 的周长为 .
故答案为：14
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公
者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展
活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发
展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其
中2017—2022年对应的年份代码依次为1~6．
年份代码 1 2 3 4 5 6
中国夜间经济的市场发展规模 万亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4(1)已知可用函数模型 拟合 与 的关系，请建立 关于 的回归方程（ 的值精确到
0.01）；
(2)某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归
方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中
求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据：
3.366 73.282 17.25 1.16 2.83
其中 ．
参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二
乘估计分别为 ．
【答案】(1) ；
(2)是理想的
【分析】（1）通过对所给的的函数模型取对数，转换为求回归直线方程即可，再结合题中所给的
直线方程与数据即可得解.
（2）利用（1）中求得的函数模型进行预测，结合回归方程理想的定义判断即可.
【详解】（1）将 的等号左右两边同时取自然对数得 ，
所以 ． ，
而 ，
所以 ，
．
所以 ，即 ，
所以 ．
（2）2023年对应的年份代码为7，
当 时， ， ，所以（1）中求得的回归方程 是理想的．
18．（12分）已知数列 是正项等比数列，数列 满足 .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)若 ， ，设数列 和 中的所有项按从小到大的顺序排列构成数列 ，记数列
的前 项和为 ，求
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义，即可得结论；
（2）由题确定 ， ，根据等差数列与等比数列项之间的大小
关系确定数列 的前 项和为 所包含的项求和可得结论.
【详解】（1）设数列 的公比为 ，因为数列 是正项等比数列，所以
当 时， 为常数，
所以 是等差数列.
（2）因为 ， ，所以 ，
所以 ， ， ，
数列 的公差 ， ，
因为 ， ，
所以
19．（12分）如图，在四棱锥 中， ， ， 是等边三角形，且
， ， ，G为 的重心．(1)证明： 平面PCD．
(2)若 ，求点C到平面PAE的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法一连接AG并延长交PD于点M，延长AE交DC的延长线于点N，连接MN，由
，得到 ．再结合G为 PAD的重心，得到 ，然后利用线面平
行的判定定理证明；方法二 延长PG交AD于点O，取线段AD上靠近点D的三等分点F，则
，连接EF，FG．易得 平面PCD，再由G为△PAD的重心，得到 ，结合
， ，得到 ，从而 ．进而得到 平面PCD，然后利用面
面平行的判定定理和性质定理证明；
（2）延长PG交AD于点O，连接AC，根据 PAD为等边三角形，得到 ， ，再
由 ，得到 平面ABCD，设点C到平面PAE的距离为h，利用等体积法，由
求解.
【详解】（1）证明：方法一 如图所示：
连接AG并延长交PD于点M，延长AE交DC的延长线于点N，连接MN．
∵ 且 ，
∴ ， ．
∵G为 PAD的重心，∴ ．
∴ ，∴ ．
∵ 平面PCD， 平面PCD，
∴ 平面PCD．方法二 如图所示：
延长PG交AD于点O，取线段AD上靠近点D的三等分点F，则 ．
连接EF，FG．
∵ 且 ，∴ ．
∵ 平面PCD， 平面PCD，∴ 平面PCD．
∵G为△PAD的重心，∴ ．
又 ， ，
∴ ．∴ ，∴ ．
∵ 平面PCD， 平面PCD，
∴ 平面PCD．
又∵ ，EF， 平面EFG，
∴平面 平面PCD．
又∵ 平面EFG，
∴ 平面PCD．
（2）延长PG交AD于点O，连接AC，如图：
∵ PAD为等边三角形， ，∴ ， ．
∵ ， ，AD， 平面ABCD，
∴ 平面ABCD．
∵四边形ABCD为直角梯形， ， ，
∴ ， ， ．
在 中， ， ，∴ ， ，
∴ ，即 ．
∵ ， ，AD， 平面PAD，
∴ 平面PAD．
∵ 平面PAD，∴ ．
设点C到平面PAE的距离为h．
∵ ，
，
又∵ ，∴ ．
故点C到平面PAE的距离为 ．
20．（12分）已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)极大值为 ，无极小值
(2)
【分析】（1）由题意首先对 求导，令 继续对 求导可发现 ，从而可
得 的单调性，进一步可得 的单调性、极值.
（2）将原问题等价转换为 对任意 恒成立，构造函数
，故只需 ，利用导数求出 即可.
【详解】（1） ，
令 ，则 ，其中 ，
所以 在 上单调递减，且 ，
所以当 时， ，即 单调递增，
当 时， ，即 单调递减，
故当 时， 取得极大值 ，无极小值.
（2）由题得 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立.
令 ，
所以 ，
令 ，
所以 ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
所以 ，
又 ，
所以当 时，
单调递增；
当 时， 单调递减，
所以 ，所以 ，即 的取值范围是 .
21．（12分）已知抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过 ， ， ，
四点中的两点.
(1)求抛物线T的方程：
(2)已知圆 ，过点 作圆的两条切线，分别交抛物线T于 ，
和 ， 四个点，试判断 是否是定值?若是定值，求出定值，若不是
定值，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值16．
【分析】（1）由题意，根据对称性可知点 和点 不可能同时在抛物线T上，点
和点 也不可能同时在抛物线T上，分别设抛物线的方程为 和
，再进行检验即可求解；
（2）设出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式求出 的表达式，同理得到 的表达式，易
知 是方程 的两个根，利用韦达定理得到 和 ，将直线AB与抛
物线联立，利用结合韦达定理得到 关于 的表达式，同理得到 关于 的表达式，再代入式
子进行求解即可．
【详解】（1）抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过 ， ， ，
四点中的两点，
由对称性，点 和点 不可能同时在抛物线T上，点 和点 也不可能同时在
抛物线T上，
则抛物线只可能开口向上或开口向右，
设 ，若过点 ，则 ，得 ，
∴ ，抛物线过点 ，∴ 符合题意；
设 ，若过点 ，则 ，得 ，∴ ，但抛物线不过点 ，不合题意．
综上，抛物线T的方程为 ．
（2） ，设直线 ，即 ，
由AB与圆相切得 ，∴ ，
设 ，同理可得 ，
∴ 是方程 的两根， ．
联立 ，消y得 ，∴ ，
同理 ，
∴
所以 为定值16．
【点睛】方法点睛：
解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借
助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，强化有关直线与抛物线联立得出
一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分．已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 过点 ．
(1)求曲线 的普通方程；(2)若直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，求直线 的倾斜角．
【答案】(1) .
(2) 或 .
【分析】（1）利用参数方程转普通方程即可求解.
（2）写出直线 的参数方程，参数方程代入 ，设 ， 两点所对的参数为 ，利用韦
达定理代入 中，化简即可求解.
【详解】（1）由曲线 的参数方程为 （ 为参数），得 ，
， ，即 （为焦点在 轴上的椭圆）
（2）设直线 的倾斜角为 ，直线 过点
直线 的参数方程为 （ 为参数），
将直线 的参数方程代入 ，可得 ，
，
设 ， 两点所对的参数为 ， ，
曲线 与 轴交于 两点，
在曲线 的内部， 一正一负，
，而 ， ，， ， ，
解得 ， 为直线 的倾斜角， ，
， ， 或 ，
直线 的倾斜角为 或 .
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知函数 .
(1)解不等式 ；
(2)若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分类讨论将函数的绝对值去掉.
（2）依据绝对值函数的特殊性进行分类讨论，解出每种情况下参数的取值范围，最后求交集.
【详解】解：（1） ，即 ，利用零点分区间法，对 去绝对值，
当 时，由 ，得 ，所以 ，
当 时， 成立，所以 ，
当 时，由 ，得 ，所以 .
综上可知，不等式 的解集为 .
（2）由题意，可知 ，
由（1）得当 时， 恒成立，因为 ，所以 时不等式恒成立；
当 时， 恒成立，所以 时不等式恒成立；
当 时， 恒成立，而 ，所以 时不等式恒成立；当 时，即 恒成立，而 ，
所以 不等式恒成立.
综上，满足要求的 的取值范围为 .
【点睛】对于恒成立问题，若进行了分类讨论，则最后参数的取值范围必须是每种情况下取值范围
的交集.
