关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题03 函数及其性质（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
函数及其性质近几年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2022 年全国乙（文科），第16 题,5 分
函数的奇偶性
无
2022 年全国甲（文科），第12 题,5 分
指数函数、对数函数的单调性
不等式比较大小
2023 年全国甲（文科），第11 题,5 分
指数函数、二次函数的单调性
不等式比较大小
2023 年全国甲（理科），第13 题,5 分
函数的奇偶性
三角函数的奇偶性
2023 年全国乙（文科），第5 题,5 分
函数的奇偶性
无
2023 年全国乙（理科），第16 题,5 分
函数的单调性
解一元二次不等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考必考内容，考查函数的奇偶性和单调性；
2.比较大小的题居多，也有通过函数的性质求参数的取值范围；
【备考策略】1.掌握基本初等函数的性质，会判断函数的奇偶性；
2.会使用函数的单调性比较大小；
3.掌握奇、偶函数比较大小的两种常见模型；
4.会求函数的解析式、定义域、值域；
5.会解函数不等式（通过函数单调性）。
【命题预测】1.通过函数的奇偶性求参数；
2.使用函数的单调性及奇偶性比较大小；
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
知识讲解
一、函数的概念
一般地,设A,B 是两个非空的实数集,如果对于集合A 中的
任意
一个数x,按照某种确定的对应关系f,
在集合B 中都有
唯一确定
的数y 和它对应,那么就称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作
y=f(x),x∈A.
二、函数的有关概念
1.函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A 中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫作函数的
定义域
;与x 的值相对应的y 值叫作函数
值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的
值域
.显然,值域是集合B 的子集.
2.函数的三要素:
定义域
、
值域
和
对应关系
.
3.相等函数:如果两个函数的
定义域
和
对应关系
完全一致,那么这两个函数相等,这是判断两个函数
相等的依据.
4.函数的表示法
表示函数的常用方法有
解析法
、
图象法
、列表法.
几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数集合.
(2)f(x)为偶次根式型函数时,定义域为使被开方式非负的实数的集合.
(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是使真数为正数、底数为正数且不为1 的实数集合.
(4)若f(x)=x0,则其定义域为{x|x≠0}.
(5)f(x)为指数式时,函数的定义域是使底数大于0 且不等于1 的实数集合.
(6)正切函数y=tan x 的定义域为{x|x≠kπ+ π
2 ,k ∈Z}.
三、分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的
对应关系
,这样的函数通常叫作分
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集.分段函数虽由几
个部分组成,但它表示的是一个函数.
(1)函数的定义中要求非空数集A 中的任何一个元素在非空数集B 中有且只有一个元素与之对应,即可以
“多对一”,不能“一对多”,而B 中有可能存在与A 中元素不对应的元素.
(2)构成函数的三要素中,若定义域和对应关系相同,则值域一定相同.
四、函数的单调性
1.单调函数的定义
增函数
减函数
定
义
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D 内某个区间I 上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1<x2 时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区
间I 上是
增
函数
当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区
间I 上是
减
函数
图
象
描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
2.单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间I 上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I 叫
作函数y=f(x)的单调区间.
五、函数的最值
前提
函数y=f(x)的定义域为D,存在实数M
条件①对于任意的x∈D,都有f(x)≤M;
②存在x0∈D,使得f(x0)=M
①对于任意的x∈D,都有f(x)≥M;
②存在x0∈D,使得f(x0)=M
结论M 为函数y=f(x)的最
大
值
M 为函数y=f(x)的最
小
值
1.函数单调性的两种等价形式
设任意x1, x2∈[a,b]
x
且1≠x2，
(1)
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
>0⇒f (x)在[a,b]上是增函数；
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
>0⇒f (x)在[a,b]上是减函数.
(2)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇒f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇒f(x)在[a,b]上是减函数.
2.五条常用结论
(1)对勾函数y=x+a
x (a>0)的单调递增区间为(-∞,-√a]和[√a,+∞),单调递减区间为[-√a,0)和(0,√a].
(2)在区间I 上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.
(3)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u),u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
(4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到.
(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
求简单函数单调区间的常用方法
六、函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f ( -
x ) =f
( x )
,那么函数f(x)就叫作偶函数
关于y 轴
对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f ( -
x ) =-f
( x )
,那么函数f(x)就叫作奇函数
关于原点
对称
函数奇偶性的几个重要结论
(1)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称;f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y 轴对称.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D 是关于原点对称的非空数
集.
(4)奇函数在两个对称的单调区间上具有相同的单调性,偶函数在两个对称的单调区间上具有相反的单调
性.
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原
点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.
(6)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=
奇
,奇×奇=
偶
,偶+偶=
偶
,偶×偶=
偶
,奇×偶=
奇
.
(7)复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”.
提醒:①(6)中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.
②判断分段函数的奇偶性应分别对每段函数证明f(-x)与f(x)的关系,只有当各段上的x 都满足相同关系
时,才能判断其奇偶性.
七、周期性
1.周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x 取定义域内的任何值时,都有
f ( x+T
) =f
( x )
,
那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T 为这个函数的周期.
2.最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作f(x)的
最小
正周期
.
八、对称性
1.若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于
直线
x=
a+b
2
对称.特别地,当a=b=0 时,
f(x)=f(-x),则函数y=f(x)的图象关于y 轴对称,此时函数y=f(x)是偶函数.
2.若函数y=f(x)满足
f ( x ) = 2 b-f
(2
a-x
)
,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地,当a=0,b=0 时,f(x)=-f(-
x),则函数y=f(x)的图象关于原点对称,此时函数f(x)是奇函数.
函数图象的对称性
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即
f ( a-x
) =f
( a+x
)
,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称.
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)若对于R 上的任意x 都有
f (2
a-x
) =f
( x ) 或
f ( -x ) =f
(2
a+x
)
,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称.
(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即
f ( -x+b
) +f
( x+b
) = 0
,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
考点一、函数的定义域
含约束条件求定义域：
1．（2023 年温州市合格考试模拟）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的定义域求解即可.
【详解】因为
，所以
，解得
且
，
所以
的定义域为
.
含约束条件求定义域+解不等式：
2．（2023 年宁德市名校模拟）集合
，
，若
，
则
的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】解出集合A 中的函数定义域和集合B 中分式不等式，得到这两个集合，由
，求
的值．
【详解】函数
有意义，则
，解得
或
，
则
或
.不等式
解得
，则
.
由
，则有
，得
.
复合函数+含约束条件求定义域：
3．（2023 年辽宁省名校联盟联考试题）若函数
的定义域为
，则
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据题意先求得函数
的定义域为
，然后结合抽象函数定义域与
求解即可；
【详解】由题意可知
，所以
，要使函数
有意义，则
解
得
.
1．集合
，
，
，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的性质，求得
和
，求得CR B={x|x≥1}，结合
A∩C R B ，即可求解.
【详解】由
，可化为
，解得
，
所以集合
，
由
，解得
，所以集合
，
可得CR B={x|x≥1}，则图中阴影部分所表示的集合是A∩CR B={x|1≤x<2}.
2．已知集合
，
，则
______.
【答案】
【分析】先求函数
的值域，即可化简集合
，再求函数
的定义域，即可化简集
合
，最后由集合的交集运算即可得到答案.
【详解】因为
，所以
为函数
的值域，
因为
，所以
.
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，所以
为函数
的定义域，
由
得
，即
，所以
，
所以
.
故答案为：
3．已知函数
的定义域为
则
的定义域为_________________
【答案】
【分析】抽象函数定义域求解，
需整体在
范围内，从而 解出
的范围，同时注意需保证
，最后求出交集即可得解.
【详解】由已知，
的定义域为
，所以对于
需满足
,解得
故答案为：
.
考点二、函数的解析式
待定系数法：
1．已知f ( x)是一次函数,且f （f (x)）=4 x−1,则f ( x)的解析式为( ).
A．f ( x)=2 x−1
3
f
或( x)=−2 x+1 B．f (x)=2x+1
f
或(x)=−2x−1
C．f (x)=2 x−1
f
或(x)=−2 x+ 1
3 D．f (x)=2x+1
f
或(x)=2x−1
【答案】A
【详解】
f
设(x)=kx +b(k≠0)，则f (f (x))=f (kx +b)=k(kx +b)+b=4 x−1,
即k2 x+kb +b=4 x−1对任意的x 恒成立，
所以{
k2=4
b(k+1)=−1
，解得{
k=2
b=−1
3
或{
k=−2
b=1
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以f ( x)的解析式为f (x)=2x−1
3
f
或(x)=−2x+1.
换元法：
2．已知
，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用换元法即可得解.
【详解】令
，则
，
又
，所以
，则
.
列方程组法：
3．已知
，求
的解析式 .
【答案】
【分析】用方程组的方法求解即可.
【详解】因为
，
用
替换
得
，
消去
，解得
，即
.
1．若二次函数
满足
，且
，则
的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，
，根据
得到
，再根据
得到
，
，从而得到函数的解析式.
【详解】设
，
，
∵
，则
，
又∵
，
令
，则
，∴
，即
，
，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，则
，
，即
，
，
∴
，
，
.
2．已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用换元法令
，运算求解即可.
【详解】令
，则
，且
，则
，可得
，
所以
.
3．若函数
满足方程
且
，则：（1）
___________；（2）
___________．
【答案】（1）
（2）
【分析】令
可得
；用
替换
，再解方程组可得答案.
【详解】令
可得：
，所以
；
由
①得，
②，
联立①②可得：
.
故答案为：①
；②
.
考点三、函数的值域
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1．（河南省创新发展联盟大联考2023 届高三预测数学（理科）试题）已知全集
，
集合
，则下列区间不是CU A 的子集的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由函数的值域及单调性分别解集合U、A，再根据补集计算CU A ，最后由子集的定义判断选项即
可.
【详解】
，即
，
又
在R 上单调递增，∴
，即
，
所以CU A=[1,+∞)，显然
不是CU A 的子集.
2．（河南省郑州市九师联盟2023 届高三考前押题卷文科数学试题）已知集合
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出集合
，再由交集的定义求解即可.
【详解】由
，得
，所以
，
因为y=(x+2)2−1，且
∈[-3，1]，所以
，
所以B=[-1，8]，所以A∩B=[-1，1]．
3．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科试题）若函数
（
且
）的
值域是
，则实数
的取值范围是__________．
【答案】
【详解】试题分析：由于函数
的值域是
，故当
时，满足
，当
时，由
，所以
，所以
，所以实
数
的取值范围
.
考点：对数函数的性质及函数的值域.
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数
的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，
本题的解答中，当
时，由
，得
，即
，即可求解实数
的取值范围.
1．设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求出集合
，再根据根式的性质求出集合
，最后根据交集的定义计算可
得.
【详解】由
，即
，解得
，
所以
，由
，所以
，
所以
，所以
．
2．函数
的值域是______．
【答案】
【分析】对目标函数分离常数，利用不等式性质，即可求得结果.
【详解】当
时，
；
当
时，
，又
，则
，
，
，
综上所述，故函数
的值域为：
.
3．已知函数
若
的值域为
,则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数
的取值进行分类讨论即可.
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数
和
的图象如下图所示：
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由图可知，当
或
时，两图象相交，
若
的值域是
，以实数
为分界点，可进行如下分类讨论：
当
时，显然两图象之间不连续，即值域不为
；
同理当
,值域也不是
；
当
时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是
；
综上可知，实数
的取值范围是
.
考点四、分段函数
1．（2023 年重庆市名校模拟）已知函数
，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可.
【详解】由题意可得
.
2．己知函数
满足对任意
，且
，都有
成立，则实
数a 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题意可得
在
上单调递减，列不等式组求解即可.
【详解】因为对任意
，且
，都有
成立，
所以
在
上单调递减.所以
，解得
.
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2023 年江苏名校模拟）若函数
是
上的单调函数，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用特殊值验证法，排除选项，即可推出结果．
【详解】函数
,当
时，
，
当
时，
，函数图像的对称轴为
，函数不是单调函数，不满足题意，排除B、
C；
当
时，
，
当
时，
，函数图像的对称轴为
，函数不是单调函数，排除D.
1．已知函数f(x)=
(a∈R)，若
，则a=（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【分析】先求出
的值，再求
的值，然后列方程可求得答案
【详解】解：由题意得
，
所以
，解得a=
.
2．已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．
【详解】函数
在
上为减函数，
函数
的图像开口向下，对称轴为
，
所以函数
在区间
上为减函数，且
.
所以函数
在
上为减函数.
由
得
.解得
.
3．已知函数
若
的值域为
,则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数
的取值进行分类讨论即可.
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数
和
的图象如下图所示：
由图可知，当
或
时，两图象相交，
若
的值域是
，以实数
为分界点，可进行如下分类讨论：
当
时，显然两图象之间不连续，即值域不为
；同理当
,值域也不是
；
当
时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是
；
综上可知，实数
的取值范围是
.
故选：B
考点五、函数单调性
1．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数
．记
，则（ ）
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令
，则
开口向下，对称轴为
，
因为
，而
，
所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，
综上，
，
又
为增函数，故
，即
.
2．（2023 年北京高考数学真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D 即可.
【详解】对于A，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故A 错误；
对于B，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故B 错误；
对于C，因为
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，因为
，
，
显然
在
上不单调，D 错误.
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
1．设
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，若对任意的
，不等式
恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性易得当
时，
，进而可得
，根据题意对任意的
，都有
恒成立，结合函数单调性可解得的取值范围.
【详解】
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，
当
时，
，所以
，
所以对任意的
，有
恒成立，
因为
在
上单调递增，
，即
恒成立，
，解得
.
2．函数
(
，且
)在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件令
，再借助二次函数单调性结合复合函数单调性分类讨论作答.
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】令
，则原函数转化为
，其图象的对称轴为直线
，
若
，则
在
上单调递增，且
，因为原函数在区间
上单调递增，
于是得
，解得
，与
矛盾，
若
，则
在
上单调递减，且
，因为原函数在区间
上单调递增，
于是得
，解得
或
，则
，
所以实数a 的取值范围是
.
3．已知
是定义在R 上的偶函数，且在区间
上单调递增.若实数
满足
，则
的取值范围是______.
【答案】
【详解】由题意
在
上单调递减，又
是偶函数，
则不等式
可化为
，则
，
，解得
．
考点六、函数奇偶性
1．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若
为偶函数，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出
值，再检验即可.
【详解】因为
为偶函数，则
，解得
，
当
时，
，
，解得
或
，
则其定义域为
或
，关于原点对称.
，
故此时
为偶函数.
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为
为偶函数，则
，
又因为
不恒为0，可得
，即
，
则
，即
，解得
.
3．（2022 年全国新高考II 卷数学试题）已知函数
的定义域为R，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数
的一个周期为，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为
，令
可得，
，所以
，令
可
得，
，即
，所以函数
为偶函数，令
得，
，即有
，从而可知
，
，故
，即
，所以函数
的一个周期为．因为
，
，
，
，
，所以
一个周期内的
．由于22 除以6 余4，
所以
．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由
，联想到余弦函数和差化积公式
，可设
，则由方法一中
知
，
解得
，取
，所以
，则
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，所以
符合条件，因此
的周期
，
，且
，所以
，
由于22 除以6 余4，
所以
．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
1．已知函数
是奇函数，当
时，
，那么
的值是（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】
函数
是奇函数，当
时，
，
.
2．已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】推导出函数
是以
为周期的周期函数，由已知条件得出
，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数
为偶函数，则
，可得
，
因为函数
为奇函数，则
，所以，
，
所以，
，即
，
故函数
是以
为周期的周期函数，
因为函数
为奇函数，则
，故
，其它三个选项未知.
3．设
是定义域为R 的奇函数，且
.若
，则
（ ）
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得
的值.
【详解】由题意可得：
，
而
，
故
.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化
是解决本题的关键.
【基础过关】
1．函数
f ( x)=1n(4 x−x2)+
1
x−2 的定义域为( ).
A．（0,4） B．[0,2)∪(2,4] C．(0,2)∪(2,4)
D．(−∞，0)∪(4，+∞)
【答案】C
【详解】要使函数有意义,则{
4 x−x2>0,
x−2≠0, ， 解得0<x<4
x
且≠2.
2． (2023·盐城模拟)已知函数
f ( x)=
3 x−1
ax 2+ax −3 的定义域是R ,则实数a 的取值范围是( ).
A．(
1
3 ,+∞)(
1
3 ,+∞)
B．(−12,0] C．(−12,0) D．
(−∞, 1
3 ]
【答案】B
【详解】因为函数f ( x)=
3 x−1
ax 2+ax −3 的定义域是R ,所以ax 2+ax −3≠0 对任意实数x 都成立.当a=0
时,显然成立;当a≠0 时,需Δ=a2+12a<0 ,解得−12<a<0 .
综上所述,实数a 的取值范围为(−12,0].
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3．已知f ( x)是一次函数,且f (f ( x))=4 x−1,则f ( x)的解析式为( ).
A．
f ( x)=2 x−1
3
f
或( x)=−2 x+1
B．f (x)=2x+1
f
或(x)=−2x−1
C．
f (x)=2 x−1
f
或(x)=−2 x+ 1
3 D．f (x)=2x+1
f
或(x)=2x−1
【答案】A
【详解】设f (x)=kx +b(k≠0),
f
则(f (x))=f (kx +b)=k(kx +b)+b=4 x−1,
即k2 x+kb +b=4 x−1对任意的x 恒成立,
所以{
k2=4,
b(k+1)=−1, 解得{
k=2,
b=−1
3
或{
k=−2,
b=1,
所以f ( x)的解析式为
f (x)=2x−1
3
f
或(x)=−2x+1.
4．已知f (1−sin x)=cos2 x ,则f ( x)的解析式为 .
【答案】f ( x)=2 x−x2(0≤x≤2)
【详解】令1−sin x=t(0≤t≤2),则sin x=1−t ,
∴f (t )=1−(1−t )2=2t−t2
,∴f ( x)=2 x−x2(0≤x≤2).
5．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ).
A．y＝x
B．y＝lg x
C．y＝2x
D．y＝
【答案】D
【详解】试题分析:因函数
的定义域和值域分别为x>0, y>0 ．
考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．
6．函数
的值域是( ).
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】试题分析：由于
，所以
.即值域为
.
考点：值域.
7．（2022 年黑龙江省部分名校模拟）设
，则
的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据分段函数的解析式，先计算
的值，再根据其大小范围代入相应的解析式中求得答案.
【详解】
，
故
.
8．（2023 年北京市部分名校模拟）已知函数
，若
，且
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意作出函数图象，可得
的范围，得到
，令
，
再由导数求最小值即可．
【详解】已知函数
，作出函数图象如图：
当
时，
．
由
，得
，则
．
令
，则
，
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增，
，即
的最小值为
．
9．（2019 年北京市高考数学试卷（文科））下列函数中，在区间（0，+
）上单调递增的是
A．
B．y=
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.
【详解】函数
，
在区间
上单调递减，
函数
在区间
上单调递增，故选A.
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴
含数形结合思想，属于容易题.
10．（2020 年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））若定义在
的奇函数f(x)在
单调递减，且
f(2)=0，则满足
的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数
在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等
于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在
上的奇函数
在
上单调递减，且
，
所以
在
上也是单调递减，且
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以由
可得：
或
或
解得
或
，
所以满足
的
的取值范围是
.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
11．(2023·厦门模拟)若函数
f ( x)={
g( x), x<0,
2x−3, x>0 为奇函数,则f (g(−1))= .
【答案】-1
【详解】∵f ( x)为奇函数，且f (−1)=g(−1),∴f (−1)=−f (1)=−(−1)=1,∴g(−1)=1,
∴f (g(−1))=f (1)=−1.
12．(2023·北京模拟)若函数
f ( x)= k−2x
1+k⋅2x 在定义域上为奇函数,则实数k= .
【答案】±1
【详解】因为函数f ( x)= k−2x
1+k⋅2x 在定义域上为奇函数，所以f (−x)=−f ( x)，
即k−2−x
1+k⋅2−x = k−2x
1+k⋅2x ，化简得(k2−1)(22 x+1)=0，
即k2−1=0 ，解得k≠±1，经检验，当k=±1时,函数f ( x)为奇函数.
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【能力提升】
1．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先化简集合
与集合
，再根据交集的定义即可求解.
【详解】令
，即
，解得
，所以
.
令
，解得
，所以
.
所以
．
2．（2023 年江西省部分名校模拟）若函数
的定义域为
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案.
【详解】因为
的定义域是
，所以
，根据抽象函数定义域求法，
在函数
中，
，解得
或
.
3．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先利用二倍角公式化简求出
，再利用二倍角变形即可求得
.
【详解】
，
.
4．若函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意知，函数
是函数
的反函数，求出
，进而可得答案．
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，
所以函数
是函数
的反函数，
由
得
，∴
，把
互换得：
，即
，
因为
，所以
．
5．函数y=1+x−√1−2x 的值域为( ).
A．(−∞，3
2)
B．
(−∞，3
2
]
C．(
3
2 ，+∞) D．
[ 3
2 ，+∞)
【答案】B
【详解】设√1−2x=t
,则t≥0, x=1−t2
2
，所以y=1+1−t2
2
−t=1
2 (−t2−2t+3)=−1
2 (t+1)2+2，因
为t≥0
，所以y≤3
2
，所以函数y=1+x−√1−2x 的值域为(−∞，3
2
]，
6．函数
y= x2−x+2
x−1
( x>1)
的值域是 .
【答案】[2√2+1，+∞)
【详解】 令t=x−1,∴t>0,x=t+1,
∴y=(t+1)2−(t+1)+2
t
=t2+t+2
t
=t+ 2
t +1≥2√2+1，
当且仅当t=2
t ，即t=√2 时取等号，∴函数的值域为[2√2+1，+∞)，
7．（2023 年陕西省部分名校模拟）已知函数
,若
，且
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作出
的图象，得到
，问题转化为
，换元
后进行求解，得到答案.
【详解】作出
的图象，如图所示：
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由
，可得
，
则
，
令
，
则
，
故
．
8．（2023 江西省部分名校模拟）函数
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．4
【答案】C
【分析】根据指对数运算直接运算求解即可.
【详解】因为
，所以
.
9．（2020 年新高考全国Ⅰ卷（山东））若定义在
的奇函数f(x)在
单调递减，且f(2)=0，则满足
的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数
在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等
于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在
上的奇函数
在
上单调递减，且
，
所以
在
上也是单调递减，且
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以由
可得：
或
或
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解得
或
，
所以满足
的
的取值范围是
，
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
10．设函数
的定义域为
，且
是奇函数，
是偶函数，则下列结论中正确的是
（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一说明即可.
【详解】易知选项ABCD 中的函数定义域即为
；
因为
是奇函数，
是偶函数，所以
，
对于A，
，故
是奇函数，即A 错误；
对于B，
，故
是偶函数，即B 错误；
对于C，
，故
是奇函数，即C 正确；
对于D，
，故
是偶函数，即D 错误；
11．（【全国百强校】河北省武邑中学模拟）函数
在
单调递增，且为奇函数，若
，则
满足
的
的取值范围是．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
是奇函数，故
；又
是增函数，
，即
则有
，解得
，故选D.
【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为
，再利用单调性继续转化为
，从而求得正解.
12．（2022 吉林省部分名校模拟）若函数
（
且
）在区间
内单调递增，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分
和
分析函数内外层的单调性，列不等式求解
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】函数
在区间
内有意义，
则(−1
2)
3
+ 1
2 a>0 ,∴a> 1
4
，设
则
，
( 1 ) 当
时，
是增函数，
要使函数
在区间
内单调递增，
需使
在区间
内内单调递增，
则需使
，对任意
恒成立 , 即
对任意
恒成立；
因为
时，
所以
与
矛盾，此时不成立.
( 2 ) 当
时，
是减函数，
要使函数
在区间
内单调递增，
需使
在区间
内内单调递减，
则需使
对任意
恒成立，即
对任意
恒成立，
因为
，∴a≥3
4 ，又
，∴3
4 ≤a<1.
综上，
的取值范围是
.
【真题感知】
1．（2021 年浙江省高考数学试题）已知
，函数
若
，则
___________.
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于
的方程，解方程可得
的值.
【详解】
，故
，
2．（2008 年高考江西卷理科数学试题）若函数
的值域是
，则函数
的值域
是
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】试题分析：设
=t,则
,从而
的值域就是函数
的值域，由“勾函
数”的图象可知，
，故选B．
考点：函数的值域．
3．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数
，则下列函数中为奇函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得
，
对于A，
不是奇函数；
对于B，
是奇函数；
对于C，
，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，
，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
4．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】对于A，
为
上的减函数，不合题意，舍.
对于B，
为
上的减函数，不合题意，舍.
对于C，
在
为减函数，不合题意，舍.
对于D，
为
上的增函数，符合题意.
5．（2022 年全国高考乙卷数学（文）试题）若
是奇函数，则
_____，
______．
【答案】
；
．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若
，则
的定义域为
，不关于原点对称
若奇函数的
有意义，则
且
且
，
函数
为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得
，
由
得，
，
，
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数
为奇函数
[方法三]：
因为函数
为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
31
