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2024 年高考考前信息必刷卷 04（天津专用）
数 学
天津卷考试题型为9（单选题）＋6（填空题）＋5（解答题），其中第19题第20题属
于压轴题目，去年高考第19题创新考查了数列的极限，此外对于数列的求和问题也是别出
心裁，具有很强的创新性。第20题依旧是导数的综合应用，结合不等式与数列综合性很强。
天津卷坚持“以德为先，能力为重，全面发展”的命题理念，稳妥推进新高考的改革，
形成了“一个中心，两个着力点，三个突出，四条路径”的评价体系。
即以立德树人为中心，以数学素养和创新能力为两个着力点；突出对主干知识、思想
方法、问题解决能力的考查；通过优化试卷结构、创新呈现方式、精选试题素材，突出学
科本质，达到落实高考育人的目的。
天津卷通过设计创新性和综合性问题，实现对逻辑推理、直观想象、数学运算、数学
抽象、数学建模、数据分析六大素养的综合考查。设置创新和思维深刻的问题，考查学生
的创新能力。重点关注学生应知应会的内容，淡化机械记忆，关注学生的不同发展水平。
本套试卷中选择题中第8题考查数列的递推，需要学生找到数列周期的变化，相对比
较新颖，第九题依旧是对于三角函数的性质的考察，综合性比较强。在填空题方面 13题考
察了全概率公式，延续去年的考察形式，填空题第14方面综合考察平面向量的相关知识，
结合了余弦定理，以及基本不等式。填空题第15题首先考察学生的作图能力，对于函数图
像的把握。其次考察函数图像与直线的交点。结合对数的运算得到根的关系，综合性较强
难度较大。
解答题方面16 17题常规考察基本公式。第18题椭圆题目需要分类讨论，注意斜率等
于0的时候需要单独讨论，另外对于直线的解设方法不能单纯用点斜式。第 19题对于数列
的考察由数列的通项与前 项和的关系，化简可得所求通项公式，第 2问属于裂项相消里
面相对基础的内容，第3问的难度较大，第20题导数压轴，考察分类讨论，需要对函数进
行二次求导，在第三问中还需要借助第二问的结论进行函数的构造，整体难度较大。
总之，2024年高考数学继续保持“入口易、口径宽，深入缓、出口难”的特点，坚持
“立德树人、服务选才、引导教学”的命题指导原则，形成了“一个中心，两个着力点，
三个突出，四条路径”的评价体系，导向中学对“四具备”人才的培养，即具备自觉的数
量观念的人、具备严密推理逻辑的人、具备高度抽象概括的人、具备一丝不苟、精益求精
作风的人。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集 ，集合 ，3，5，7， ，集合 ，2，3，4，
，则
A． ，3， B． ， C． ，8， D． ，
2． 是 成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图，已知函数 的图象关于坐标原点对称，则函数 的解析式可能是
A． B． C． D．
4．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
5．在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有 3000人参加考试．为了解本次考
试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为 100分）作为
样本进行统计，样本容量为 ．按照 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已知成绩落在 ， 内的人数为16，
则下列结论正确的是
A．样本容量
B．图中
C．估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分D．若将该学科成绩由高到低排序，前 的学生该学科成绩为 等，则成绩为78分
的学生该学科成绩肯定不是 等
6．如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且此三角形内接于圆柱
的底面圆．如果圆柱的侧面积为 ，其底面直径与母线长相等，则此三棱柱的体积为
A． B．16 C． D．
7．抛物线 的焦点为 ，其准线与双曲线 的渐近线相交于 、
两点，若 的周长为 ，则
A．2 B． C．8 D．4
8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反
复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 ．这就是数学史上
著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想” ．如取正整数 ，根据上述运算法则得出
，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程” ．
现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 满足： 为正整数），
当 时，
A．170 B．168 C．130 D．172
9．已知函数 ，则下列结论中错误的是
A．函数 的最小正周期为
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在区间 上是增函数D．函数 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
10．已知 ， ， 是虚数单位，若 ，则 ．
11．在 的展开式中， 的系数为 ．
12．已知直线 经过点 ，且被圆 截得的弦长为6，则直线 的方程是
．
13．甲箱中有5个红球、2个白球、1个黄球和2个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球、2
个黄球和2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，接着再从乙箱中随机取出一个
球，设事件 ， ， ， 分别表示从甲箱中取出的是红球、白球、黄球和黑球，事件
表示从乙箱中取出的球是红球，则 ， （B） ．
14．在 中， 是边 的中点， 是线段 的中点．设 ，记
，则 ；若 ， 的面积为 ，则当 时，
取得最小值．
15．已知函数 ，若方程 有四个不同的解 ， ， ， ，
且 ，则 的取值范围是 ， 的最大值是 ．
三、解答题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ， ，
．
（1）求角 的大小；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
17．如图，已知 平面 ， 为矩形， ， ， 分别为线
段 ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值．
（3）若 是线段 的中点，求点 到平面 的距离．18．椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，上顶点为 ，左、右焦点分别为 ，
，且 ， ， 成等比数列．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过 的直线 与椭圆交于 ， 两点，直线 ， 分别与 轴交于 ， 两点．
若 ，求直线 的斜率．
19．已知正项数列 的前 项和为 ，且 ．
（Ⅰ）求数列 通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ；
（Ⅲ）若数列 满足 ， ，求证： ．
20．已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若 时， ，求 的取值范围；
