2020年高考数学试卷（江苏）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为1 20分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题 卡的规定位置. 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作 答一律无效. 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式： 柱体的体积V =Sh，其中S 是柱体的底面积，h是柱体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上 ． 1.已知集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3}，则A I B=_____. 2.已知i是虚数单位，则复数z =(1+i)(2-i)的实部是_____. 3.已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4，则a的值是_____. 4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为-2，则输入x的值是_____. 第1页 | 共28页x2 y2 5 6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 ﹣ =1(a＞0)的一条渐近线方程为y= x，则该双曲线的离心 a2 5 2 率是____. 2 7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， f x=x3 ，则f(-8)的值是____. p 2 8.已知sin2( +a) = ，则sin2a的值是____. 4 3 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm. π π 10.将函数y=3sin(2x﹢ )的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_ 4 6 ___. 11.设{a }是公差为d的等差数列，{b }是公比为q的等比数列．已知数列{a +b }的前n项和 n n n n S =n2 -n+2n -1(nÎN+)，则d+q的值是_______． n 12.已知5x2y2 + y4 =1(x,yÎR)，则x2+y2 的最小值是_______． 13.在△ABC中，AB=4，AC =3，∠BAC=90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若 uuur uuur 3 uuur PA=mPB+( -m)PC（m为常数），则CD的长度是________． 2 3 1 14.在平面直角坐标系xOy中，已知P( ，0)，A，B是圆C：x2 +(y- )2 =36上的两个动点，满足 2 2 PA= PB，则△PAB面积的最大值是__________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15.在三棱柱ABC-A B C 中，AB⊥AC，B C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B C的中点． 1 1 1 1 1 第2页 | 共28页（1）求证：EF∥平面AB C ； 1 1 （2）求证：平面AB C⊥平面ABB ． 1 1 16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,c= 2,B=45°． （1）求sinC的值； 4 （2）在边BC上取一点D，使得cosÐADC =- ，求tanÐDAC的值． 5 17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN 平行，OO¢为铅垂线(O¢在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h (米)与D到OO¢的距离a 1 1 (米)之间满足关系式h = a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h (米)与F到OO¢的距离b(米)之间满 1 40 2 1 足关系式h =- b3 +6b.已知点B到OO¢的距离为40米. 2 800 （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于OO¢的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥 第3页 | 共28页3 墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 k(万元)(k>0).问O¢E 为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低? 2 x2 y2 18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E: + =1的左、右焦点分别为F ，F ，点A在椭圆E上且在 1 2 4 3 第一象限内，AF ⊥F F ，直线AF 与椭圆E相交于另一点B． 2 1 2 1 （1）求△AF F 的周长； 1 2 uuur uuur （2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP×QP的最小值； （3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S ，S ，若S =3S ，求点M的坐标． 1 2 2 1 19.已知关于x的函数y = f(x),y = g(x)与h(x)=kx+b(k,bÎR)在区间D上恒有 f(x)³h(x)³ g(x)． （1）若 f x=x2+2x，gx= -x2+2x，D=(-¥，+¥)，求h(x)的表达式； （2）若 f(x)= x2-x+1，g(x)= klnx，h(x)= kx-k,D= (0，+¥)，求k的取值范围； （3）若 f(x)= x4-2x2，g(x)= 4x2-8 ，h(x)= 4  t2-t  x- 3t4+ 2t2(0< t≤ 2)，D= m, nÍé- 2, 2ù， ë û 求证：n-m£ 7． 20.已知数列 a (nÎN*)的首项a =1，前n项和为S ．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 n 1 n 1 1 1 成立，则称此数列为“λ–k”数列． S k -S k =la k n+1 n n+1 （1）若等差数列 a  是“λ–1”数列，求λ的值； n （2）若数列 a  是“ 3 -2”数列，且a ＞0，求数列 a  的通项公式； n n n 3 （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 a  为“λ– n 3”数列，且a ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， n 第4页 | 共28页数学Ⅱ(附加题) 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答． 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4-2：矩阵与变换] éa 1 ù 21.平面上点A(2,-1)在矩阵M = ê ú对应的变换作用下得到点B(3,-4)． ë-1 bû （1）求实数a，b的值； （2）求矩阵M 的逆矩阵M-1． B．[选修4-4：坐标系与参数方程] π π 22.在极坐标系中，已知点A(r, )在直线l:rcosq=2上，点B(r, )在圆C:r=4sinq上（其中 1 3 2 6 r³0，0£q<2p）． （1）求r，r的值 1 2 （2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标． C．[选修4-5：不等式选讲] 23.设xÎR，解不等式2|x+1|+|x|£4． 【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 24.在三棱锥A— BCD中，已知CB=CD= 5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； 1 （2）若点F在BC上，满足BF= BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 4 25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入 另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X ，恰有2个黑球的概率为p ，恰有1个黑球的概 n n 第5页 | 共28页率为q ． n （1）求p ·q 和p ·q ； 1 1 2 2 （2）求2p +q 与2p +q 的递推关系式和X 的数学期望E(X )(用n表示) ． n n n-1 n-1 n n 答案解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上 ． 1.已知集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3}，则A I B=_____. 【答案】 0,2 【解析】 【分析】 根据集合的交集即可计算. 【详解】∵A=-1,0,1,2 ,B=0,2,3 ∴AI B=0,2 故答案为： 0,2 . 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型． 2.已知i是虚数单位，则复数z =(1+i)(2-i)的实部是_____. 【答案】3 【解析】 第6页 | 共28页【分析】 根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【详解】∵复数z=1+i2-i ∴z=2-i+2i-i2 =3+i ∴复数的实部为3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题． 3.已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4，则a的值是_____. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据平均数的公式进行求解即可． 【详解】∵数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4 ∴4+2a+3-a+5+6=20，即a=2. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础． 4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 1 【答案】 9 【解析】 【分析】 分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可． 【详解】根据题意可得基本事件数总为6´6=36个. 点数和为5的基本事件有 1,4 ， 4,1 ， 2,3 ， 3,2 共4个. 4 1 ∴出现向上的点数和为5的概率为P= = . 36 9 1 故答案为： . 9 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为-2，则输入x的值是_____. 第7页 | 共28页【答案】-3 【解析】 【分析】 根据指数函数的性质，判断出y=x+1，由此求得x的值. 【详解】由于2x >0，所以y = x+1=-2，解得x=-3. 故答案为：-3 【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题. x2 y2 5 6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 ﹣ =1(a＞0)的一条渐近线方程为y= x，则该双曲线的离心 a2 5 2 率是____. 3 【答案】 2 【解析】 【分析】 根据渐近线方程求得a，由此求得c，进而求得双曲线的离心率. x2 y2 5 【详解】双曲线 - =1，故b= 5.由于双曲线的一条渐近线方程为y = x，即 a2 5 2 b 5 c 3 = Þa=2，所以c= a2 +b2 = 4+5 =3，所以双曲线的离心率为 = . a 2 a 2 3 故答案为： 2 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 2 7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， f x=x3 ，则f(-8)的值是____. 【答案】-4 【解析】 第8页 | 共28页【分析】 先求 f(8)，再根据奇函数求 f(-8) 2 【详解】 ，因为 f(x)为奇函数，所以 f(-8)=-f(8)=-4 f(8)=83 =4 故答案为：-4 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. p 2 8.已知sin2( +a) = ，则sin2a的值是____. 4 3 1 【答案】 3 【解析】 【分析】 直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果. p 2 2 1 【详解】Qsin2( +a)=( cosa+ sina)2 = (1+sin2a) 4 2 2 2 1 2 1 \ (1+sin2a)= \sin2a= 2 3 3 1 故答案为： 3 【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm. p 【答案】12 3- 2 【解析】 【分析】 先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果. 3 【详解】正六棱柱体积为6´ ´22´2=12 3 4 第9页 | 共28页1 p 圆柱体积为p( )2×2= 2 2 p 所求几何体体积为12 3- 2 p 故答案为： 12 3- 2 【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. π π 10.将函数y=3sin(2x﹢ )的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_ 4 6 ___. 5p 【答案】x=- 24 【解析】 【分析】 先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. p p p 【详解】y =3sin[2(x- )+ ]=3sin(2x- ) 6 4 12 p p 7p kp 2x- = +kp(kÎZ)\x= + (kÎZ) 12 2 24 2 5p 当k =-1时x=- 24 5p 故答案为：x=- 24 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 11.设{a }是公差为d的等差数列，{b }是公比为q的等比数列．已知数列{a +b }的前n项和 n n n n S =n2 -n+2n -1(nÎN+)，则d+q的值是_______． n 【答案】4 【解析】 【分析】 结合等差数列和等比数列前n项和公式的特点，分别求得 a ,b  的公差和公比，由此求得d +q. n n 【详解】设等差数列 a  的公差为d ，等比数列 b  的公比为 q ，根据题意q ¹1. n n nn-1 d æ d ö 等差数列 a  的前n项和公式为P =na + d = n2 + ç a - ÷ n， n n 1 2 2 è 1 2ø b  1-qn b b 等比数列 b  的前n项和公式为Q = 1 =- 1 qn + 1 ， n n 1-q 1-q 1-q 第10页 | 共28页d æ d ö b b 依题意S = P +Q ，即n2 -n+2n -1= n2 + ç a - ÷ n- 1 qn + 1 ， n n n 2 è 1 2ø 1-q 1-q ìd =1 ï 2 ï ìd =2 ï d ï ïa - =-1 ïa =0 通过对比系数可知í 1 2 Þ í 1 ，故d +q=4. q=2 ïq=2 ï ï ïb =1 ï b î 1 1 =-1 ï î1-q 故答案为：4 【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式，属于中档题. 12.已知5x2y2 + y4 =1(x,yÎR)，则x2+y2 的最小值是_______． 4 【答案】 5 【解析】 【分析】 1-y4 1-y4 1 4y2 根据题设条件可得x2 = ，可得x2+y2 = +y2 = + ，利用基本不等式即可求解. 5y2 5y2 5y2 5 【详解】∵5x2y2+y4 =1 1-y4 ∴y ¹0且x2 = 5y2 1-y4 1 4y2 1 4y2 4 1 4y2 3 1 ∴x2+y2 = +y2 = + ³2 × = ，当且仅当 = ，即x2 = ,y2 = 时取等号. 5y2 5y2 5 5y2 5 5 5y2 5 10 2 4 ∴x2+y2 的最小值为 . 5 4 故答案为： . 5 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一 正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（ 和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参 数否在定义域内，二是多次用³或£时等号能否同时成立）. 13.在△ABC中，AB=4，AC =3，∠BAC=90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若 uuur uuur 3 uuur PA=mPB+( -m)PC（m为常数），则CD的长度是________． 2 第11页 | 共28页18 【答案】 5 【解析】 【分析】 uuur uuur uuur uuur æ3 öuuur 根据题设条件可设PA=lPDl>0，结合PA=mPB+ç -m÷PC 与B,D,C三点共线，可求得l，再根 è2 ø 据勾股定理求出BC，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】∵A,D,P三点共线， uuur uuur ∴可设PA=lPDl>0， uuur uuur æ3 öuuur ∵PA=mPB+ç -m÷PC ， è2 ø æ3 ö uuur uuur æ3 öuuur ç -m÷ ∴lPD=mPB+ç -m÷PC，即uuur muuur è2 øuuur， è2 ø PD= PB+ PC l l 3 若m¹0且m¹ ，则B,D,C三点共线， 2 æ3 ö ç -m÷ 3 ∴m è2 ø ，即l= ， + =1 2 l l ∵AP=9，∴AD=3， ∵AB =4,AC =3,ÐBAC =90°， ∴BC =5， 设CD= x，ÐCDA=q，则BD=5-x，ÐBDA=p-q. AD2+CD2-AC2 x AD2+BD2-AB2 5-x2-7 ∴根据余弦定理可得cosq= = ，cosp-q= = ， 2AD×CD 6 2AD×BD 65-x ∵cosq+cosp-q=0， x 5-x2-7 18 ∴ + =0，解得x= ， 6 65-x 5 18 ∴CD的长度为 . 5 uuur 3uuur 当m=0时， PA= PC，C,D重合，此时CD的长度为0， 2 第12页 | 共28页3 uuur 3uuur 当m= 时，PA= PB，B,D重合，此时PA=12，不合题意，舍去. 2 2 18 故答案为：0或 . 5 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出 uuur uuur PA=lPDl>0． 3 1 14.在平面直角坐标系xOy中，已知P( ，0)，A，B是圆C：x2 +(y- )2 =36上的两个动点，满足 2 2 PA= PB，则△PAB面积的最大值是__________． 【答案】10 5 【解析】 【分析】 根据条件得PC ^ AB,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值. 【详解】QPA= PB\PC ^ AB 3 1 设圆心C到直线AB距离为d ，则|AB|=2 36-d2,|PC|= + =1 4 4 1 所以S £ ×2 36-d2(d +1)= (36-d2)(d +1)2 VPAB 2 令y =(36-d2)(d +1)2(0£d <6)\y¢=2(d +1)(-2d2 -d +36)=0\d =4（负值舍去） 当0£d <4时，y¢>0；当4£d <6时，y¢ £0，因此当d =4时，y取最大值，即S 取最大值为 VPAB 10 5， 故答案为：10 5 【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15.在三棱柱ABC-A B C 中，AB⊥AC，B C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B C的中点． 1 1 1 1 1 第13页 | 共28页（1）求证：EF∥平面AB C ； 1 1 （2）求证：平面AB C⊥平面ABB ． 1 1 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】 【分析】 （1）通过证明EF//AB ，来证得EF//平面ABC . 1 1 1 （2）通过证明AB^平面ABC，来证得平面ABC ^平面ABB . 1 1 1 【详解】（1）由于E,F分别是AC,BC 的中点，所以EF//AB . 1 1 由于EF Ì/ 平面ABC ,AB Ì平面ABC ，所以EF//平面ABC . 1 1 1 1 1 1 1 （2）由于BC ^平面ABC，ABÌ 平面ABC，所以BC ^ AB. 1 1 由于AB^ AC,ACÇBC =C，所以AB^平面ABC, 1 1 由于ABÌ 平面ABB ，所以平面ABC ^平面ABB . 1 1 1 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题. 16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,c= 2,B=45°． 第14页 | 共28页（1）求sinC的值； 4 （2）在边BC上取一点D，使得cosÐADC =- ，求tanÐDAC的值． 5 5 2 【答案】（1）sinC = ；（2）tanÐDAC = . 5 11 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinC. （2）根据cosÐADC的值，求得sinÐADC的值，由（1）求得cosC 的值，从而求得 sinÐDAC,cosÐDAC的值，进而求得tanÐDAC的值. 2 【详解】（1）由余弦定理得b2 =a2 +c2 -2accosB=9+2-2´3´ 2´ =5，所以b= 5. 2 c b csinB 5 由正弦定理得 = ÞsinC = = . sinC sinB b 5 4 æp ö 3 （2）由于cosÐADC =- ，ÐADCÎ ç ,p ÷，所以sinÐADC = 1-cos2ÐADC = . 5 è 2 ø 5 æp ö æ pö 2 5 由于ÐADCÎ ç ,p ÷，所以CÎ ç 0, ÷，所以cosC = 1-sin2C = è 2 ø è 2ø 5 所以sinÐDAC =sinp-ÐDAC =sinÐADC+ÐC 3 2 5 æ 4ö 5 2 5 =sinÐADC×cosC+cosÐADC×sinC = ´ + ç - ÷ ´ = . 5 5 è 5ø 5 25 æ pö 11 5 由于ÐDACÎ ç 0, ÷，所以cosÐDAC = 1-sin2ÐDAC = . è 2ø 25 sinÐDAC 2 所以tanÐDAC = = . cosÐDAC 11 第15页 | 共28页【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题. 17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN 平行，OO¢为铅垂线(O¢在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h (米)与D到OO¢的距离a 1 1 (米)之间满足关系式h = a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h (米)与F到OO¢的距离b(米)之间满 1 40 2 1 足关系式h =- b3 +6b.已知点B到OO¢的距离为40米. 2 800 （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于OO¢的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥 3 墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 k(万元)(k>0).问O¢E 为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低? 2 【答案】（1）120米（2）O¢E =20米 【解析】 【分析】 （1）根据A,B高度一致列方程求得结果； （2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 1 1 【详解】（1）由题意得 |O¢A|2=- ´403 +6´40\|O¢A|=80 40 800 \|AB|=|O¢A|+|O¢B|=80+40=120米 1 （2）设总造价为 f(x)万元，|O¢O|= ´802 =160，设|O¢E|= x， 40 1 3 1 f(x)=k(160+ x3-6x)+ k[160- (80-x)2],(0< x<40) 800 2 40 第16页 | 共28页1 3 3 6 \ f(x)=k(160+ x3 - x2),\ f¢(x)=k( x2 - x)=0\x=20(0舍去) 800 80 800 80 当0< x<20时， f¢(x)<0；当20< x<40时， f¢(x)>0，因此当x= 20时， f(x)取最小值， 答：当O¢E =20米时，桥墩CD与EF的总造价最低. 【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. x2 y2 18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E: + =1的左、右焦点分别为F ，F ，点A在椭圆E上且在 1 2 4 3 第一象限内，AF ⊥F F ，直线AF 与椭圆E相交于另一点B． 2 1 2 1 （1）求△AF F 的周长； 1 2 uuur uuur （2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP×QP的最小值； （3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S ，S ，若S =3S ，求点M的坐标． 1 2 2 1 æ 2 12ö 【答案】（1）6；（2）-4；（3）M 2,0 或ç - ,- ÷. è 7 7 ø 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆定义可得AF + AF =4，从而可求出△AFF 的周长； 1 2 1 2 æ 3ö （2）设Px ,0 ，根据点A在椭圆E上，且在第一象限，AF ^ FF ，求出A ç 1, ÷，根据准线方程 0 2 1 2 è 2ø 得Q点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值； （3）设出设M x ,y  ，点M 到直线AB的距离为d ，由点O到直线AB的距离与S =3S ，可推出 1 1 2 1 9 d = ，根据点到直线的距离公式，以及M x ,y  满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标. 5 1 1 x2 y2 【详解】（1）∵椭圆E的方程为 + =1 4 3 第17页 | 共28页∴F -1,0 ,F 1,0 1 2 由椭圆定义可得：AF + AF =4. 1 2 ∴△AFF 的周长为4+2=6 1 2 （2）设Px ,0 ，根据题意可得x ¹1. 0 0 ∵点A在椭圆E上，且在第一象限，AF ^ FF 2 1 2 æ 3ö ∴A ç 1, ÷ è 2ø ∵准线方程为x=4   ∴Q 4,y Q ∴O uu P ur ×Q uu P ur =x ,0×  x -4,-y  =x -4x =x -22-4³-4，当且仅当x =2时取等号. 0 0 Q 0 0 0 0 uuur uuur ∴OP×QP的最小值为-4. （3）设M x ,y  ，点M 到直线AB的距离为d . 1 1 æ 3ö ∵A ç 1, ÷，F -1,0 è 2ø 1 3 ∴直线AF 的方程为y = x+1 1 4 3 ∵点O到直线AB的距离为 ，S =3S 5 2 1 1 3 1 ∴S =3S =3´ ´ AB ´ = AB ×d 2 1 2 5 2 9 ∴d = 5 ∴ 3x -4y +3 =9① 1 1 x2 y2 ∵ 1 + 1 =1② 4 3 ì 2 x =- ìx =2 ï ï 1 7 1 ∴联立①②解得í ，í . y =0 12 î 1 ï y =- ïî 1 7 第18页 | 共28页æ 2 12ö ∴M 2,0 或ç - ,- ÷. è 7 7 ø 【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及 9 根据S =3S 推出d = 是解答本题的关键. 2 1 5 19.已知关于x的函数y = f(x),y = g(x)与h(x)=kx+b(k,bÎR)在区间D上恒有 f(x)³h(x)³ g(x)． （1）若 f x=x2+2x，gx= -x2+2x，D=(-¥，+¥)，求h(x)的表达式； （2）若 f(x)= x2-x+1，g(x)= klnx，h(x)= kx-k,D= (0，+¥)，求k的取值范围； （3）若 f(x)= x4-2x2，g(x)= 4x2-8 ，h(x)= 4  t2-t  x- 3t4+ 2t2(0< t≤ 2)，D= m, nÍé- 2, 2ù， ë û 求证：n-m£ 7． 【答案】（1）hx=2x；（2）kÎ0,3 ；（3）证明详见解析 【解析】 【分析】 （1）求得 f x 与gx 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得hx 的表达式. （2）先由hx-gx³0，求得k的一个取值范围，再由 f x-hx³0，求得k的另一个取值范围 ，从而求得k的取值范围. （3）先由 f x³hx ，求得 t 的取值范围，由方程gx-hx=0的两个根，求得n-m的表达式， 利用导数证得不等式成立. 【详解】（1）由题设有-x2 +2x£kx+b£ x2 +2x对任意的xÎR恒成立. 令x=0，则0£b£0，所以b=0. 因此kx£ x2 +2x即x2 +2-kx³0对任意的xÎR恒成立， 所以D=2-k2 £0，因此k =2. 故hx=2x. （2）令Fx=hx-gx=kx-1-lnxx>0 ，F1=0. x-1 又F¢x=k× . x 第19页 | 共28页若k<0，则Fx 在(0,1) 上递增，在(1,+¥ )上递减，则Fx£ F1=0，即hx-gx£0，不 符合题意. 当k =0时，Fx=hx-gx=0,hx= gx ，符合题意. 当k >0时， Fx 在(0,1) 上递减，在(1,+¥ )上递增，则Fx³ F1=0， 即hx-gx³0，符合题意. 综上所述，k ³0. 由 f x-hx= x2 -x+1-kx-k = x2 -k+1x+k+1³0 k+1 当x= <0，即k <-1时，y = x2 -k+1x+k+1在(0,+¥ ) 为增函数， 2 因为 f 0-h0=k+1<0， 故存在x Î0,+¥ ，使 f x-hx<0，不符合题意. 0 k+1 当x= =0，即k =-1时， f x-hx= x2 ³0，符合题意. 2 k+1 当x= >0，即k >-1时，则需D=k+12 -4k+1£0，解得-10,-1<-t <1， 此时n-m£ 2+ t < 2+1< 7 ， 当1£t2 £2，D=-8t2 +8£0， 但4x2 -8³4  t3-t  x-3t4 +2t2对任意的xÎ[m,n]Ì[- 2, 2]恒成立. 等价于4x2 -4  t3-t  x+  3t2 +4  t2 -2  £0对任意的xÎ[m,n]Ì[- 2, 2]恒成立. 第20页 | 共28页4x2 -4  t3-t  x+  3t2 +4  t2 -2  =0的两根为x,x ， 1 2 3t4 -2t2 -8 则x +x =t3-t,x ×x = ， 1 2 1 2 4 所以n-m= x -x = x +x 2 -4x x = t6 -5t4 +3t2 +8. 1 2 1 2 1 2 令t2 =l,lÎ1,2 ，则 n-m = l3 -5l2 +3l+8. 构造函数Pl=l3 -5l2 +3l+8  lÎ1,2 ，P¢l=3l2 -10l+3=l-33l-1 ， 所以lÎ1,2 时，P¢l<0，Pl 递减，Pl = P1=7. max 所以n-m = 7，即n-m£ 7. max 【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数 证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 20.已知数列 a (nÎN*)的首项a =1，前n项和为S ．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 n 1 n 1 1 1 成立，则称此数列为“λ–k”数列． S k -S k =la k n+1 n n+1 （1）若等差数列 a  是“λ–1”数列，求λ的值； n （2）若数列 a  是“ 3 -2”数列，且a ＞0，求数列 a  的通项公式； n n n 3 （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 a  为“λ– n 3”数列，且a ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， n 【答案】（1）1 ì 1,n=1 （2）a =í n î3×4n-2,n³2 （3）00\S >S \S 2 -S 2 >0 n n+1 n n+1 n 1 1 3 1 QS 2 -S 2 = (S -S )2 n+1 n 3 n+1 n 1 1 1 1 1 1 1 \(S 2 -S 2)2 = (S 2 -S 2)(S 2 +S 2) n+1 n 3 n+1 n n+1 n 1 1 1 1 1 1 1 \S 2 -S 2 = (S 2 +S 2)\S 2=2S 2\S =4S \S =4n-1 n+1 n 3 n+1 n n+1 n n+1 n n Q S 1 =a 1 =1，S n =4n-1 \a =4n-1-4n-2 =3×4n-2,n³2 n ì 1,n=1 \a =í n î3×4n-2,n³2 （3）假设存在三个不同的数列 a  为"l-3"数列. n 1 1 1 1 1 S 3 -S 3 =la 3\(S 3 -S 3)3 =l3(S -S ) n+1 n n+1 n+1 n n+1 n 1 1 1 1 2 2 1 1 \S 3 =S 3 或 (S 3 -S 3)2 =l3(S 3 +S 3 +S 3S 3) n+1 n n+1 n n+1 n n+1 n 2 2 1 1 \S n+1 =S n 或 (l3-1)S 3 +(l3-1)S 3 +(l3+2)S 3S 3 =0 n+1 n n+1 n ∵对于给定的l，存在三个不同的数列 a  为"l-3"数列，且a ³0 n n ì1,n=1 2 2 1 1 \a n =í î0,n³2 或(l3-1)S n+1 3 +(l3-1)S n 3 +(l3+2)S n+1 3S n 3 =0l¹1有两个不等的正根. 2 2 1 1 (l3-1)S 3 +(l3-1)S 3 +(l3+2)S 3S 3 =0l¹1可转化为 n+1 n n+1 n 2 1 1 (l3 -1) 2 S n+1 3 +(l3 -1)+ (l3+2) 1 S n+1 3 =0l¹1 ，不妨设 æ ç S n+1 ö ÷ 3 = xx>0，则 S S 3 S 3 è n ø n n (l3-1)x2 +(l3 +2)x+(l3 -1)=0l¹1 有两个不等正根，设 f x=(l3 -1)x2 +(l3+2)x+(l3 -1)=0l¹1 . 第22页 | 共28页① 当l<1时，D=(l3 +2)2 -4(l3 -1)2 >0Þ00，满足题意. 对 2(l3 -1) ② 当l>1时，D=(l3 +2)2 -4(l3 -1)2 >0Þ00，x =- <0，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去. 对 2(l3 -1) 综上，00 【详解】Qí 或í 或í î-2x-2-x£4 î2x+2-x£4 î2x+2+x£4 2 \-2£ x<-1或-1≤x≤0或0< x£ 3 é 2ù 所以解集为 -2, ê ú ë 3û 【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 24.在三棱锥A— BCD中，已知CB=CD= 5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． 第25页 | 共28页（1）求直线AB与DE所成角的余弦值； 1 （2）若点F在BC上，满足BF= BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 4 15 2 39 【答案】（1） （2） 15 13 【解析】 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果； （2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果. 【详解】 （1）连COQBC =CD,BO=OD\CO^ BD 以OB,OC,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,2),B(1,0,0),C(0,2,0),D(-1,0,0)\E(0,1,1) uuur uuur uuur uuur -1 15 \AB=(1,0,-2),DE =(1,1,1)\cos< AB,DE >= =- 5 3 15 15 从而直线AB与DE所成角的余弦值为 15 ur （2）设平面DEC一个法向量为n =(x,y,z), 1 第26页 | 共28页uv uuuv uuuv ìïn ×DC =0 ì x+2y =0 Q DC =(1,2,0),íuv 1 uuuv \í ïî n ×DE =0 îx+ y+z =0 1 ur 令y =1\x=-2,z =1\n =(-2,1,1) 1 uur 设平面DEF 一个法向量为n =(x ,y ,z ), 2 1 1 1 uuv uuuv ì7 1 uuuv uuuv uuuv uuuv 1uuuv 7 1 ìïn ×DF =0 ï x + y =0 Q DF = DB+BF = DB+ BC =( , ,0),íuuv 2 uuuv \í4 1 2 1 4 4 2 ïî n 2 ×DE =0 ï î x + y +z =0 1 1 1 uur 令y =-7\x =2,z =5\n =(2,-7,5) 1 1 1 2 ur uur -6 1 \cos= =- 1 2 6 78 13 12 2 39 因此sinq= = 13 13 【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题. 25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入 另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X ，恰有2个黑球的概率为p ，恰有1个黑球的概 n n 率为q ． n （1）求p ·q 和p ·q ； 1 1 2 2 （2）求2p +q 与2p +q 的递推关系式和X 的数学期望E(X )(用n表示) ． n n n-1 n-1 n n 1 2 7 16 1 2 【答案】（1） p = ,q = ；p = ,q = ；（2）2p +q = 2p +q + 1 3 1 3 2 27 2 27 n n 3 n-1 n-1 3 【解析】 【分析】 （1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果； （2）根据操作，依次求 p，q ，即得递推关系，构造等比数列求得2p +q ，最后根据数学期望公式 n n n n 求结果. 1´3 1 2´3 2 【详解】（1） p = = ,q = = ， 1 3´3 3 1 3´3 3 1´3 1´2 1 1 2 2 7 p = p ´ +q ´ = ´ + ´ = ， 2 1 3´3 1 3´3 3 3 3 9 27 2´3 1´1+2´2 2 2 2 5 16 q = p ´ +q ´ +0= ´ + ´ = 2 1 3´3 1 3´3 3 3 3 9 27 1´3 1´2 1 2 （2） p = p ´ +q ´ = p + q ， n n-1 3´3 n-1 3´3 3 n-1 9 n-1 第27页 | 共28页2´3 1´1+2´2 3´2 1 2 q = p ´ +q ´ +(1- p -q )´ =- q + ， n n-1 3´3 n-1 3´3 n-1 n-1 3´3 9 n-1 3 2 1 2 因此2p +q = p + q + ， n n 3 n-1 3 n-1 3 1 2 1 从而2p +q = (2p +q )+ ,\2p +q -1= (2p +q -1)， n n 3 n-1 n-1 3 n n 3 n-1 n-1 1 1 即2p +q -1=(2p +q -1) ,\2p +q =1+ . n n 1 1 3n-1 n n 3n 又X 的分布列为 n X 0 1 2 n P 1- p -q q p n n n n 1 故E(X )=2p +q =1+ . n n n 3n 【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析 求解能力，属难题. 第28页 | 共28页