文档内容
第一章 三角形的证明
1.5 角平分线
第 1 课时 角平分线的性质与判定
【素养目标】
1. 复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理。(重点)
2. 能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题。 (难点)
3. 通过探索角平分线的判定定理的过程， 提高综合运用数学知识和方法解决
问题的能力。
【复习导入】
如图，某地有两所大学和两条交叉的公路。 图中点 M,N 表示大学，
OA,OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，
到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中
画出你的设计。 (尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹)
【合作探究】
探究点一、角平分线的性质
思考：在∠AOB的角平分线上任意取一点C ，分别折出过点 C 且与 ∠AOB 的
两边垂直的直线，垂足分别为D , E ，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合
吗？
改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗？对此你能得出什么结论？动手证一
证。
第 1 页【证一证】
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA,PE⊥OB ，垂足
分别为D, E 。求证：PD = PE 。
【知识要点】
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
应用所具备的条件：
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离。
定理的作用： 证明线段相等。
应用格式：
∵ OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB,
∴ PD = PE .
【典例精析】
例1如图，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC 于点 F , ∠B=90∘, DE = DC ，
试说明： BE = FC 。
【练一练】
如图， AM是∠BAC的平分线，点P在AM上， PD⊥AB,PE⊥AC ，垂足分别
是 D、E , PD = 4cm ，则 PE = ________cm.
第 2 页探究点二、角平分线的判定
定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
这个定理的逆命题是什么它是真命题吗？ 你能证明吗？
【证一证】
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA , PE⊥OB ，垂足分别为D、E ，
且 PD = PE . 求证：点P在∠AOB的平分线上。
【知识要点】
定理：在一个角的内部， 到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
应用所具备的条件：
(1) 位置关系：点在角的内部；
(2) 数量关系：该点到角两边的距离相等。
定理的作用：判断点是否在角平分线上。
应用格式：
∵PD⊥OA,PE⊥OB, PD = PE ,
∴ 点 P 在 ∠AOB 的平分线上。
例2 如图，在△ABC中，∠BAC =60∘，点D在BC上， AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC ，
垂足分别为 E , F ，且DE = DF ，求DE的长。
第 3 页例3 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点 F . 求证：点F在∠DAE的平
分线上。
【回顾导入】
课堂导入的问题应该如何解决
角平分线的性质和角平分线的判定对比：
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
已知 OP平分∠AOB PD⊥OA 于 D
条件 PD⊥OA于 D PE⊥OB于 E
PE⊥OB于E PD=PE
结论 PD = PE OP平分∠AOB
第 4 页当堂反馈
1.如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PD⊥OA于点D.若PD＝6，则点P
到OB的距离为___________.
2.如图，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM＝PN.若∠BOC＝30°，则∠AOB的
度数是_______.
第1题图 第 2题图
第3题图
3.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DC＝
2AD，点D到BC的距离为5，则AC＝______.
4.如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，求证：OP
垂直平分AB.
第 5 页参考答案
探究点一、角平分线的性质
思考：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
【证一证】证明： ∵PD⊥OA,PE⊥OB , 垂足分别为D,E ,
∴∠PDO =∠PEO = 90∘.∵ OC 是∠AOB的平分线，
∴∠1 =∠2.∵OP = OP , ∴△PDO≌△PEO (AAS).
∴PD = PE (全等三角形的对应边相等).
例1 解：∵∠B = 90∘ , ∴ BD⊥AB .
∵AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC ,
∴DB = DF . 在Rt △BDE和Rt △FDC中，
{DE = DC,
DB = DF,
∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL) .∴ BE = FC .
【练一练】4 cm.
探究点二、角平分线的判定
【证一证】证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB ，垂足分别为 D,E ,
∴∠ODP =∠OEP = 90∘ .
∵ PD = PE , OP = OP ,∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL) .
∴∠1=∠2 (全等三角形的对应角相等).∴ OP平分∠AOB .
例 2 解：∵DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别为E , F , 且DE = DF, ∴AD平分
∠BAC
(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
又 ∵∠BAC = 60∘,∴∠BAD=30∘ . 在Rt △ADE中，∠AED=90∘,AD = 10,
1 1
∴DE= AD= ×10=5 (在直角三角形中，如果一个锐角等于 30∘ ，那么它所对
2 2
的直角边等于斜边的一半).
例3 证明：过点 F 作 FG⊥AE 于 G,FH⊥AD 于 H , FM⊥BC 于 M .
∵ 点 F 在∠BCE的平分线上， FG⊥AE,FM⊥BC ,
∴ FG = FM .
又 ∵ 点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD,FM⊥BC ,
∴ FM = FH.∴FG = FH .
∴ 点F在∠DAE的平分线上。
【回顾导入】
解：如图所示。
第 6 页当堂反馈
1. 6 .
2. 60°.
3. 15.
4.证明：∵ P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PA=PB,∠PAO=∠PBO=90°.
在Rt△PAO和Rt△PBO中，{OP＝OP，
PA＝PB，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL).
∴OA=OB.
∵OP平分∠AOB，
∴OP垂直平分AB.
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