七下习题8.3:有规律的小数,为何仍是无理数?

教材原题｜习题8.3 拓广探索第9题

已知数0.101 001 000 100 001…，它的特点是：从左向右看，相邻的两个1之间依次多一个0。这个数是有理数还是无理数？为什么？

同学们，今天讲新人教版七年级下册数学第八章《实数》第57页的一道辨析题。它没有复杂计算，却能检查你是否真正理解无理数。先给结论：题中的数是无理数。理由要说完整：它是无限小数，而且不循环。

先猜一猜

每两个1之间的0依次增加，明明很有规律，为什么还会是无理数？如果你把“有规律”当成“循环”，这道题就容易判断错。我们要区分的是：能按规则继续写，与能把同一段数字反复写。

01 · 把排版分组换成规律分组

先读懂数字：空格不是循环节

原题把小数每三位分开，方便阅读。空格不参与数的大小，也不说明每三位是一组循环节。去掉空格，这个数就是0.101001000100001…，关键要看题目给出的接续规则。

按照相邻两个1之间的零分组，可以写成：0.1｜01｜001｜0001｜00001｜…。竖线只是帮助观察的分隔符。第一个间隔有一个0，第二个有两个0，第三个有三个0，往后还会继续增加。

所以不能看到开头有101，就认定以后重复101；也不能只抄下屏幕或纸面上已经出现的有限位数，就把它当成有限小数。省略号后面，仍要按题设规则接着写。

02 · 无限，不一定无理

有理数与无理数，怎样用小数区分？

有理数可以写成两个整数之比，分母不为零。把有理数化成小数，会得到有限小数或无限循环小数。无理数则是无限不循环小数。判断时，“无限”和“不循环”两个条件缺一不可。

例如0.125＝1/8，是有限小数；0.333…＝1/3，是无限循环小数。这两个数都是有理数。因此，只说“后面有省略号，所以是无理数”，理由不成立。

什么才叫“循环”？

从小数部分的某一位起，同一段固定、有限的数字依次不断重复出现，才叫循环。这一段就是循环节。注意两点：循环节是固定的；循环也可以从后面某一位才开始。

例如0.1232323…从第二位起重复23，它仍是循环小数。不能因为最前面的数字与后面不同，就断定不循环。

03 · 零在增加，1仍不断出现

为什么本题的小数是无限的？

按题设规则，每写完一段零，后面还要写一个1；再写更长的一段零，后面又有一个1。这个过程一直继续，因此小数位数没有终点，而且后面不断有新的1出现。

这也排除了“后面从某处起全是零”的情况。零虽然越来越多，却不是最后只剩下零，再也没有1。间隔越来越长，与从此没有下一项，是两回事。

04 · 固定循环节，容不下无限变长的零串

为什么不能从后面某一位开始循环？

假设它从某一位开始循环，循环节有若干位。由于后面还会不断出现1，循环节里一定含有1。如果循环节里全是零，那么从那以后就不会再出现1，与题意矛盾。

一个含有1的固定循环节，不断重复时，连续零的长度就有上限。例如循环节长五位，循环部分里任取连续五位，都相当于这个循环节换了一个起点，必然含有1，不会五位全是零。

但本题不同：相邻两个1之间，连续零可以增加到五个、十个、一百个，还能更多。无论假设的循环节多长，在足够靠后的地方，总能找到比它还长的一串零。这就与固定循环节重复的特点矛盾。

规范作答｜把两个理由连接起来

这个数是无理数。因为按题设规律，小数无限延续；相邻两个1之间的0的个数不断增加，不存在固定的循环节，所以它是无限不循环小数，即无理数。

失分提醒｜有规律，不等于有循环节

“有规律”是说后面的数字有生成办法；“循环”则要求同一段固定数字反复出现。无理数也可以有明确的构造规律。本题恰好就是例子。别把“看起来有点乱”当成无理数的定义。

同样，只看前面几十位，通常不能断定一个小数是否循环。本题能够判断，是因为题目明确规定了所有后续数字的写法，而不是因为我们观察到的位数足够多。

名师方法｜先无限，再排除循环

第一步，读清省略号后的接续规则；第二步，确认小数是否无限延续；第三步，检查是否存在固定循环节。遇到间隔不断变长的题，可以抓住“固定长度”与“无限增长”的矛盾说明理由。

当堂检测

1. 0.101010…（10循环）是有理数吗？ 2. 0.100100100…（100循环）是无理数吗？ 3. 把本题中所有的1换成2，其他规则不变，所得数是哪一类？

想好再看：是；不是，它是有理数；是无理数，两个2之间的零仍不断增多，不可能形成固定循环节。

内容依据：新人教版七年级下册数学第八章《实数》第57页，习题8.3“拓广探索”第9题。原题见文首，规律示意图为教学绘制。

有规则可循，不等于有循环节。