SEE项目动态 | 超衍智能公开5项AI数学研究,引清北谷歌跟进,29年难题Nivat 猜想证明有望冲击数学四大!

AI 提出的数学论证，究竟是突破，还是一个尚未被发现的漏洞？

近期，超衍智能自动化AI系统（以下简称 Apex's AI system）与合作研究者推进了五项前沿数学研究：其中两项成果已完成专家核验，另外三份候选论证仍待独立验证，其中包括悬而未决 29 年的 Nivat 猜想。

现在，Apex's AI system 将这三份论证公开，设立总额 10 万元的奖金池，邀请数学家和全球研究者逐行复核：找出实质漏洞、补足关键环节、完成关键验证，或在此基础上作出突破性推进。

我们希望通过此次公开征集，让三份候选论证接受更广泛的同行复核。对于尚待独立验证的内容，我们不预设结论；它们能否成为可靠的数学成果，最终要由每一步是否经得起复现、质疑与验证来决定。

参与方式：https://math.apexin.net/

一类寻找均衡的数学问题，有了更快的高阶算法；一个十余年来缺少统一证明的猜想，有了覆盖全部参数的结论。这是 Apex's AI system 近期与合作研究者取得的两项重大数学突破。

第一项进展：AI 发现经典工具与前沿方法之间的新连接，为数学研究打开新的路径。团队将 1967 年提出的 Halpern 迭代与高阶优化方法结合，改进了 2012 年 NPE 方法及其高阶推广的复杂度上界。

第二项进展：AI 为难题找到新的表达形式。Apex's AI system 构建了一套全新解析证明，把此前仅解决六个整数参数情形的 Mockenhaupt 三项猜想拓展到全部参数。

五项研究，从算法效率到空间结构

从算法能有多快，到一个局部规律能否约束整个无限结构，五项研究分别面对不同的核心问题。

前两项已由作者或合作数学家完成专家核验。沿着它们的证明，可以看清 Apex's AI system 如何把新的研究路径变成具体的数学结果。

不只是解题：AI 为数学研究打开新的路径

Apex's AI system 为经典工具找到新的组合、为难题找到新的表达形式，两项成果帮助数学家加深了对数学领域的理解，也给出了可以逐步检查的算法与证明，由合作数学家完成核验。

01 跳出十年主流算法框架：Apex’s AI system 开辟新路径，清华、北大与 Google Research 相继跟进

早高峰时，每位司机都想走更快的路。但如果大家都做出同样的选择，原本畅通的道路也会迅速拥堵；其他人随之调整路线，系统继续变化。每个人都在优化自己的选择，同时也在改变别人面对的环境。

类似的相互作用广泛存在于现实世界：企业彼此定价，网络用户争夺带宽，金融市场中的参与者根据他人的行为不断调整策略；在 AI 中，GAN、对抗训练和鲁棒优化也常包含多个目标之间的相互作用。它们看起来属于完全不同的领域，却都指向一个共同问题：当每一方的最佳选择都取决于其他人的行为时，系统最终会稳定在哪里？

这样的稳定状态通常被称为"均衡"。它未必对应整个系统效率最高的全局最优，却更接近一个由许多独立参与者共同作用后自然形成的结果。

单调变分不等式提供了一套描述这类问题的统一数学语言。具体来说，给定一个单调算子 F: ℝᵈ → ℝᵈ 以及一个紧凸集 X ⊆ ℝᵈ，我们希望找到一个解 x* ∈ X，使其满足

⟨F(x*), x − x*⟩ ≥ 0，对所有 x ∈ X。

直观地说，从 x* 出发，任何可行的改变都无法带来一阶意义上的改善。在凸优化中，当 F = ∇f 是凸函数 f 的梯度时，x* 就是 f 的一个最小值点；在具有适当结构的多玩家博弈中，当 F 表示各方目标函数组成的梯度场时，x* 则对应一个均衡点。

怎样更快地找到这样的均衡，是优化理论中一个长期存在的问题，也与一类 AI 训练问题直接相关。许多对抗训练、鲁棒优化和 min-max 问题都涉及相互牵制的优化目标，更高效的均衡算法有望改善相关方法的训练效率与稳定性。

这也形成了一个有趣的闭环：AI 帮助寻找新的数学算法，而新的数学算法又可能继续赋能 AI。

近期，Apex's AI system 与清华大学的合作数学家围绕这一问题展开探索，取得了新的理论进展。相关结果随后经过数学家的核验、改进和系统整理，形成了最终论文。

本次研究的更重大意义在于为后续研究提供了全新的思路。

Apex's AI system 系统搜索得到了数学家 Halpern 于 1967 年所提出的 Halpern 迭代格式，并且构造锚定张量法（Anchored Tensor Method，简称 ATM）作为子求解器。尽管 Halpern 迭代是一个古老的方法，将其应用于高阶变分不等式的求解问题是完全创新的，在已有的高阶优化文献中都找不到任何类似的思想。

沿着"Halpern 外层迭代 + ATM 内层求解"的新路径，在 Apex's AI system 团队文章预印后的一个月内，清华大学（Zhang et al., 2026）、北京大学（Zhang et al., 2026）及谷歌Research（Jiang, Yoon, 2026）三个独立的工作迅速地跟进，最终通过修正的 Halpern 迭代方法得到了最优的 Õ(ε^(-2/(3p-1))) 的复杂度，最终完美地解决了该问题。

论文链接：

https://arxiv.org/abs/2608.08463

https://arxiv.org/abs/2609.23557

（清华后续）

https://arxiv.org/abs/2609.13462

（北大后续）

https://arxiv.org/pdf/2609.30212 

（谷歌Research后续）

02 Mockenhaupt 三项猜想：发现新证明路径，完成十余年未决的调和分析猜想

改变一个 Fourier 系数的正负号，函数的整体大小会发生什么变化？

这个看似简单的问题，指向调和分析中一个拥有近百年历史的经典方向：Hardy–Littlewood majorant problem。它研究的是：如果一个三角多项式的 Fourier 系数在绝对值上逐项不超过另一个多项式，前者的 Lᵖ 范数是否也一定更小？

设 F(x) = Σ(n∈Λ) aₙe(nx)，G(x) = Σ(n∈Λ) bₙe(nx)，其中 aₙ 是复数，bₙ 是非负实数，并满足 |aₙ| ≤ bₙ。问题是：是否总有

‖F‖Lᵖ(T) ≤ ‖G‖Lᵖ(T)？

当 p 是偶整数时，Parseval 恒等式给出肯定答案；当 p 不是偶整数时，majorant 性质可能失效。

Mockenhaupt 提出的三项猜想关注一个极简例子。对整数 k ≥ 0，定义

fₖ(x) = 1 + e(x) + e((k+2)x)，gₖ(x) = 1 + e(x) − e((k+2)x)，

其中 e(x) = e^(2πix)。

两个多项式只有第三项的符号不同，但猜想断言：当 2k < p < 2k+2 时，有

‖gₖ‖Lᵖ(T) > ‖fₖ‖Lᵖ(T)。

也就是说，虽然两个多项式的 Fourier 系数绝对值完全相同，仅仅改变一个符号，就会使函数的 Lᵖ 范数严格增大。

三项结构具有极值意义。二项多项式经过频率平移后可以写成 1 + e(Mx)。改变第二项的相对符号，只相当于平移自变量，不会改变 Lᵖ 范数。因此，三项是产生这类反例的最小结构。

过去十余年里，数学家只解决了 Mockenhaupt 三项猜想的若干小参数情形，其中多个结果依赖严格的数值估计；所有 k ≥ 6 的情形始终缺少统一的解析证明。随着参数增大，两个范数之间的差异可能变得极其微小。论文指出，当 k = 50 时，直接进行高精度求积大约需要 140 位精度才能观察到差异，在 40 位精度下甚至可能完全无法分辨。

因此，真正的瓶颈并不只是计算精度，而是缺少能够覆盖全部参数的新证明路径。直接比较一维积分，需要在同一个表达式中同时处理非整数幂、高频振荡、Fourier 频率碰撞、极小的正负抵消，以及随参数 k 变化的统一估计。这些困难相互耦合，使已有方法难以推广。

Apex's AI system找到了一条新的证明路线：将原本的一维范数比较重新表示为二维环面上的共振 Fourier 模式问题，再将其转化为主导模式与尾项之间的定量比较。

在这一表示下，原本纠缠在一维积分中的多类困难被重新组织。Apex's AI system通过多路线并行搜索、交叉检查与证明修正，找到了使整条证明闭合的关键结构。论文中的数学论证由 Apex's AI system产生，随后由作者逐节核验，并由作者承担最终的数学责任。

这项工作给出了适用于所有 k ≥ 4 的统一解析证明，因而覆盖了此前开放的全部 k ≥ 6 情形；再结合已有的 k = 0, 1, 2, 3 结果，最终完成了 Mockenhaupt 三项猜想：

对所有整数 k ≥ 0 以及 2k < p < 2k+2，都有‖gₖ‖Lᵖ(T) > ‖fₖ‖Lᵖ(T)。

这项成果展示了 AI for Math 的一种新可能：AI 不仅可以加速计算，还可以帮助数学家重新表示问题、并行探索证明路径、发现关键中间结构，并最终形成可供人类逐步核验的数学论证。需要明确的是，论文目前尚未完成 Lean 等定理证明器中的形式化验证。

论文链接：

https://arxiv.org/abs/2609.09740

03 突破组合与周期性约束：AI 给出凸形 Nivat 猜想候选证明，已完成3.6万行代码lean4形式化验证，有望冲击数学四大刊

1938 年，Morse 与 Hedlund 证明了组合词论中一条基石性定理：一个双无穷序列 θ: ℤ → A（A 为有限字母表），若长度为 n 的不同因子数不超过 n，则该序列是周期的。这一结果将"低复杂度"与"周期性"之间的联系一锤定音。

1997 年，M. Nivat 将这一思想推广到二维，提出了著名猜想：设 θ: ℤ² → A 为二维构型，若存在正整数 m、n 使得 m × n 矩形窗口上的不同模式数满足 P_θ(m, n) ≤ mn，则 θ 必为周期构型——即存在非零向量 d ∈ ℤ² 使得 θ(z + d) = θ(z) 对一切 z 成立。

Nivat 猜想提出近三十年来，取得了一系列重要进展。

Quas 与 Zamboni（2004）证明了 P_θ(m, n) ≤ mn/144 蕴含周期性；Cyr 与 Kra（2015）将常数改进到 mn/2，并引入了遍历论方法；Kari 与 Szabados（2015）利用 Laurent 多项式环上的零化子理想与有限域谱分析，证明了矩形窗口情形下的完整猜想。然而，Nivat 猜想的最自然推广并不限于矩形。对任意有限子集 S ⊂ ℤ²，可以定义模式复杂度

P_θ(S) = |{ θ(z+·)|_S : z ∈ ℤ² }|，

猜想的凸形式为：若存在非空有限格凸集 S 使得 P_θ(S) ≤ |S|，则 θ 为周期构型。凸窗口包含矩形作为特例，因此凸形猜想严格强于矩形情形。

凸形 Nivat 猜想是 Nivat 猜想迄今最强的肯定回答。此前唯一的完整结果是 Kari–Szabados 的矩形情形。凸窗口覆盖了矩形、平行四边形、三角形、六边形等一切格凸形状，其证明表明二维低复杂度构型的周期性不依赖于窗口的乘积结构，仅依赖于凸性这一内蕴的几何性质。证明统一了两条此前独立发展的主线。Theorem A 是纯代数的：Laurent 多项式、理想论、区带组合学、二次特征。定理 8.18 是动力系统的：轨道闭包、行词编码、有限状态归纳、多方向传播。二者的接口——星构型——是连接代数世界与动力学世界的桥梁。这一结构性认识为高维 Nivat 猜想（d ≥ 3）提供了方法论蓝图。证明过程中还发现并修正了文献中的一处错误：论文引理 2.6 的原始陈述 Supp(φ) = subsetSums(h₁, …, hₘ) 为假（给出了显式反例），正确的替代是通过面结构刻画。

以下两点值得特别说明。

第一，证明引用了 Colle（arXiv:1909.08195v4, DCDS 2021）的一条已发表定理作为输入：对每个非周期、低凸复杂度的构型 θ₀，其轨道闭包 X(θ₀) 中存在一个非周期、低凸复杂度的构型 θ，以及格凸非空区域 R 与不平行的向量 a、b，使得 R 在 +a、+b 下不变，且 θ 在 R 上沿 a、b 周期。这是 §8 归约链的起点。论文其余部分——Theorem A（§§1–7）的全部内容、Kari–Szabados 推论 1 的完整证明链、附录 D 的传播论证——均为本文自证。

第二，配套的 Lean 4 形式化验证项目（nivat-lean，约 36,000 行代码，编译零错误零 sorry）已将上述自证部分全部通过机器检查，唯一标记为外部假设的恰好就是 Colle 的这条区域定理。该定理的形式化正在积极推进中（其 §2 部分与 Kari–Moutot 命题 13–18 已证完），预期可在后续工作中彻底消除这一外部依赖。

验证细节详见官网论文：

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04 贯通复杂证明链条：完成 Souto 猜想亏格二情形的完整逻辑验证，开放独立核验

Souto 猜想是低维拓扑学中关于曲线复形结构的一个公开问题。

在亏格 g 的闭可定向曲面 S_g 上，经典曲线复形 C₀(S_g)（Harvey，1981）以本质简单闭曲线的同伦类为顶点，逐对不相交的有限集合构成单纯形。其同伦型已被 Harer 完全确定：同伦等价于维数 2g−2 的球面楔，具有高度连通性，但不可缩。

Souto 在其预印本 A Remark on the Curve Complex 中观察到：将邻接条件从"不相交"（i = 0）放宽为"几何相交数至多为 1"（i ≤ 1）后，包含映射 C₀(S) → C₁(S) 变为零伦（null-homotopic），由此提出问题：

C₁(S_g) 是否可缩？更一般地，是否存在某个 d，使得 C_d(S_g) 可缩？

Apex's AI system 证明了 Souto 猜想在亏格二情形下的肯定回答：

C₁(S₂) 是可缩的。

这是关于 C_d(S_g)（d ≥ 1）可缩性方向的首个正面结果。

对数学研究而言，这是首次正面回答 Souto 关于 C_d(S_g) 可缩性的公开问题，即 d = 1、g = 2 的情形；附带证明了对于所有 g ≥ 2，都有 π₁(C₁(S_g)) = 1，即 C₁(S_g) 是单连通的；自给自足地证明了超椭圆字典，得到定理 Ψ: A^≠ ⊔ C → S（同构），为 Birman–Hilden 定理提供了一条独立进路；清晰诊断了该方法在 g ≥ 3 时失效的精确原因，即分支点预算不足，并为未来处理一般亏格情形提供了明确的障碍图景。

验证细节详见官网论文：

https://math.apexin.net/

05 重构拓扑空间证明路径：完成 Kakimizu 复形可缩性证明，开放独立核验

这是一个搁置了三十余年的复形可缩性问题。

设 K ⊂ S³ 是一个非平凡纽结，E(K) = S³ \ Int N(K) 是它的外部。一个 Seifert 曲面是 E(K) 中正常嵌入的紧致连通可定向曲面，其边界是 K 的一条经线；它是不可压缩的，如果包含映射在基本群上单射。

Kakimizu 在 1992 年引入了复形 IS(K)：

· 顶点：不可压缩 Seifert 曲面的环境同位类；

· 单形：有限多个互异顶点张成一个单形，当且仅当它们能同时取到两两不交的代表。

亏格最小的顶点张成的满子复形记作 MS(K)。对亏格截断，记 ISℓ(K) 为亏格 ≤ ℓ 的顶点张成的满子复形。

IS(K) 是否可缩？（可缩 = 能连续收缩到一点，强于单连通与所有同调群消失。）

三步走了三十年，卡在第三步

Przytycki–Schultens 指出其方法的核心障碍：构造收缩所需代表元选取，在亏格无界不可压缩曲面上良定义性不明，这长期阻碍从 MS(K) 到 IS(K) 的研究；IS(K) 是编码纽结 Seifert 曲面信息的全局拓扑不变单纯复形，其可缩性意味着曲面族可连续互相形变，是曲线、圆盘复形相关理论在纽结理论中的对应结果。

Apex's AI system 的证明过程是把选择问题变成存在问题。

数学上，回答了 Przytycki–Schultens 2012 年明确提出的问题：非平凡纽结的 IS(K) 可缩。此前只知道连通（1992）与最小亏格子复形可缩（2012）。

提供了一个可复用的组合工具：定理 B 对任意基数的顶点集成立，且证明不需要局部有限性、不需要下降链接有限。它与 Bestvina–Brady 型的下降链接判据、与图的可拆卸性判据都做了对照（§7.4），并用例子分开。

方法论上的转向：从「构造一个良定义的投影」变成「证明每一步都存在一个更低的交换顶点」。这把三维拓扑里最难对付的选择相容性问题，压缩成一条存在性公理，剩下的全由良序归纳处理。

附带得到截断与面积细分的可缩性（定理 C），以及一类链环的推广（定理 D）。

方法上，论文的几何半部自证了固定边界面积可达性（Theorem 2.6），不依赖 Hass–Scott 1988 年 Theorem 6.12 的固定边界曲面断言，而是用逐个 Plateau 问题与圆盘收敛结果重建。这使得整条链上真正外部引用的研究级输入只剩 (U) 一条。

验证细节详见官网论文：

https://math.apexin.net/

06 10 万元学术悬赏：三份候选论证，请你检验关键一步

Apex 将围绕上文三份待独立验证的候选论证【上文 03—05】，设立总额 10 万元的公开悬赏。

这三份由 Apex AI 系统参与形成的证明方案，均给出了具体的证明结构、关键引理与归约步骤。

我们邀请研究者检查其中的推理，找出可能的缺口，或独立验证决定结论成立的关键环节。

参与方式

认领一条关键引理、一段归约或一个估计，通过提交入口递交。提交时请说明对应论文版本、命题位置、具体理由与可复核的推导或代码。

数学或相关学科的高校研究者、独立研究者，以及擅长 AI 工具与形式化证明的开发者，都可以参与。我们也欢迎数学与科技内容创作者组织公开讨论，帮助更多人理解问题、进入论证。

工作结果怎么查看

Apex's AI system 将配套提供论文，依据公布的评审规则确认贡献，并公开记录经核实的研究进展；发现影响结论的实质问题，也将推动对应论证与状态的更新。

提交入口：https://math.apexin.net/

奖金分配、评审安排与活动时间：见活动详情页

三类奖项，奖励经评审核实的贡献

重大漏洞奖：指出影响核心结论的实质性证明缺口，或给出推翻相关命题的有效反例。

关键验证奖：对指定核心引理或证明模块，完成符合评审要求的独立核验或形式化验证。

突破贡献奖：修复关键缺口、显著简化证明，或将结果推进到新的适用范围。

07「Apex 数学家」计划启动：让更多开放问题进入可探索状态

从一个更强的复杂度上界，到覆盖无限参数的解析证明，再到等待独立检验的新论证，数学进展的每一步，都依赖具体、可复核的推理。但那些还没有被写下来的证明呢？

我们更关心的是：AI 能否帮助数学家扩大实际能够尝试的研究空间。不是替数学家给出答案，而是让那些原本很难下手的难题，变得值得一试。

很多开放问题并不缺少已有工具。困难往往出现在工具之间：哪些知识应该被放在一起，什么表示值得优先尝试，一个失败的证明究竟说明路线走错了，还是只缺少一个中间结构。这样的判断通常依赖研究者长期积累的经验，也天然伴随着大量试错。

Apex's AI system 提供了另一种探索方式：同时维护多条候选路线，把局部进展和失败结果留在同一个研究过程里，再据此不断改写问题的表示、寻找可能相关的工具、检查新的组合能否真正闭合。

在这个过程中，数学家仍然需要判断问题是否重要、证明是否可信、结果意味着什么；AI 则可以把原本很难系统展开的大规模试探变成研究过程的一部分。

· Apex 数学家计划 ·

我们希望与更多研究者开展这样的合作：

无论是长期关注的开放问题、尚未补齐的证明环节，还是值得重新审视的经典方法，我们都期待从明确的问题和已有研究出发，共同探索候选路径、检验关键想法，并将有价值的发现发展为可理解、可复核的数学成果。

加入方式：

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Apex's AI system 期待与更多数学家一起，发现经典工具中的新可能，推进下一项研究进展。

陈博士，清华大学数学博士

 “ 

我审阅了 Apex 提供的两篇数学论文，相比我直接使用其他 AI 工具的体验，它们在文章结构和内容组织上有明显进步。其中一文对主要思路的概述尤其清楚，让我能较快把握证明的框架。这让我看到了 AI 在辅助数学研究、组织专业论述方面的潜力。当然，我尚未对两篇文章的全部证明完成核验；如果能进一步精简篇幅、补足文献引用，并增加必要的示意图，文章的质量还会有所提升。数学研究不仅需要得到结果，也需要让同行理解结果从何而来、关键步骤为何成立。我期待 Apex 继续在这些方面打磨，帮助研究者更有效地探索、检验和交流数学思想。

”

Z教授， 清华大学助理教授

“ 

科研平台能产出非常有想象力的算法，与我们之前习惯的认知不同。 因此也改进了min-max这种非常基础问题的结果。比较有趣的研究方向是，模型能力边界在哪里，能不能用几条规律刻画。

”

本活动由超衍智能（Apex Intelligence）发起，知乎作为独家合作社区，共同推动数学 AI 研究的开放讨论与全球验证。

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