七下习题9.1:面积为2,点A为什么有四个坐标?

教材原题｜习题9.1 拓广探索

9. 已知点O(0，0)，B(1，2)，点A在坐标轴上，且三角形OAB的面积等于2，求满足条件的点A的坐标。

10. 设计一个能够用它的顶点坐标描绘出来的图形，把这些坐标告诉你的同学，看看他能否画出你设计的图形。

同学们，今天讲新人教版七年级下册数学第九章第70页的两道坐标题。第9题要从面积反推点的位置，第10题要用坐标把一幅图准确地告诉别人。共同的关键是：坐标不只是两个数，还表示方向、位置和距离。

先猜一猜

面积已经确定，点A是不是只有一个位置？题目说“在坐标轴上”，是不是只指横轴的右半边？把这些默认想法放下，我们才能找到全部答案。第9题实际上有四个符合条件的点。

01 · 第9题：先分横轴与纵轴

先审题：“坐标轴上”包含哪些位置？

坐标轴包括横轴和纵轴，每条轴又有正、负两个方向。点在横轴上，纵坐标是0；点在纵轴上，横坐标是0。因此要分两种情况讨论，不能只画自己最顺手的一种。

原点也在坐标轴上，但如果A与O重合，就不能形成面积为2的三角形，所以本题要排除原点。分类之前读清条件，是避免漏解的第一步。

02 · 底在横轴，高看纵坐标

A在横轴上，为什么有两个答案？

把OA作为三角形的底。B的坐标是(1，2)，它到横轴的垂直距离为2，所以这条底对应的高为2。根据三角形面积公式，OA×2÷2＝2，得到OA＝2。

这表示A到原点的距离为2，并没有规定A一定在原点右边。向右取2个单位，得到A(2，0)；向左取2个单位，得到A(－2，0)。两个位置对应的底长、高和面积都一样。

注意，当A在负半轴上时，从B向横轴作垂线，垂足落在底边的延长线上。三角形的高是到“底边所在直线”的垂直距离，仍然等于2，面积公式依然适用。

03 · 底在纵轴，高看横坐标

A在纵轴上，高为什么变成1？

仍然把OA作为底，但现在底边在纵轴上。B到纵轴的垂直距离为1，因此高是1，不再是2。列式OA×1÷2＝2，得到OA＝4。

从原点沿纵轴向上取4个单位，得到A(0，4)；向下取4个单位，得到A(0，－4)。这两个点也都满足三角形面积为2的条件。

底边换了，高也必须跟着换。不要把点B的两个坐标当成两条固定不变的底和高；它们在本题中分别告诉我们，B到两条坐标轴有多远。

第9题规范答案｜四个点，一个不能少

满足条件的点A的坐标为：(2，0)、(－2，0)、(0，4)、(0，－4)。

逐一检验：横轴上的两个点都有底长2、高2，面积为2；纵轴上的两个点都有底长4、高1，面积也为2。四点分别落在四条半轴上，原点不符合要求。

失分提醒｜坐标有正负，距离不能为负

A(－2，0)的横坐标是－2，但OA的长度是2。若设A(x，0)，应写OA＝|x|；若设A(0，y)，应写OA＝|y|。直接把负坐标当成负底长，会算出不合理的负面积。

刚学习时，也可以不用字母和绝对值，先求距离，再向正、负两个方向找点。把代数表达与数轴上的位置对应起来，比只背答案更可靠。

04 · 第10题：坐标清单还要配连线规则

第10题：怎样用坐标设计一艘帆船？

这道开放题没有唯一答案。我们设计一艘由线段组成的小帆船，先画统一单位长度的平面直角坐标系，再按下面的分组描点连线。每组单独画，不要跨组连接。

船身：A(－4，0)、B(4，0)、C(3，－2)、D(－3，－2)，按A—B—C—D—A连接。 桅杆：E(0，0)、F(0，5)，连接E、F。 左帆：G(－3，1)、H(0，1)、F(0，5)，按G—H—F—G连接。 右帆：I(0.5，1)、J(3，1)、K(0.5，4)，按I—J—K—I连接。

这里的字母只用于第10题，和第9题中的同名字母无关。描点时先找横坐标，再找纵坐标，例如G要先向左3个单位，再向上1个单位。

只告诉坐标，为什么同学可能画错？

同一批点，按不同顺序连接，可能得到不同图形。因此传递图案时，还应说明哪些点依次连接、哪些地方断开，以及是否回到起点闭合。画船身和船帆时要闭合，画桅杆时只连一条线段。

和同学交换设计后，可以先隐藏原图，只交出坐标及连线规则。复原后再对照：是坐标次序写反了，漏了负号，还是多连了一条线？找出差异，也是检验表达是否准确的过程。

为什么可以确定没有第五个答案？因为坐标轴上的点必定属于横轴或纵轴，原点又已排除；每一条轴上，由固定的面积和固定的高，只能算出一个正的底长。这个距离分别向两侧截取，就恰好得到两个点。两种情况合起来，四个点既不重复，也没有遗漏。

画帆船时还要让横轴、纵轴采用相同的单位长度。若一个方向每格代表一个单位，另一个方向每格代表两个单位，照同一组坐标画出的视觉形状就会被拉长或压扁。先约定坐标系，再交换图案。

名师方法｜位置分类，图形互译

面积求坐标：先分所在坐标轴，再选底和对应高，算出距离后向两边找点。坐标画图：先定坐标系，再列顶点，最后写清连线顺序。每一步都让数字对应到图上。

当堂检测

1. 第9题中，B到横轴、纵轴的距离分别是多少？ 2. 如果三角形面积改为3，点A有哪些坐标？ 3. 帆船图中的点G在第几象限？

想好再看：2和1；(3，0)、(－3，0)、(0，6)、(0，－6)；第二象限。

内容依据：新人教版七年级下册数学第九章第70页，习题9.1“拓广探索”第9、10题。原题见文首，帆船为坐标设计示例。

先看点在哪里，再让数字说清图形。