数学:“两大模型”可以解决小学数学大多数问题

小学数学到底有多少题型？

加减乘除、和差问题、倍数问题、分数、百分数……

题型很杂，拆开看，并没有表面上那么多。

2022年版《义务教育数学课程标准》，一个重要变化，就是把“数与运算”和“数量关系”放到了更加重要的位置。

小学数学不能只教“怎么算”，还要知道为什么这样算，这些数量之间到底是什么关系。

一、基本的数量关系

部分＋部分＝整体

班里有18名男生，17名女生，一共有多少人？

18＋17＝35。

班里一共有35人，其中男生18人，女生有多少人？

35－18＝17。

两个问题看起来用了不同的运算，但实际上描述的是同一个数量关系：

男生＋女生＝全班人数。

加法是在“由部分求整体”，减法是在“由整体求部分”。

这几个数量之间是什么关系？哪个是整体？哪些是部分？现在已知什么，要求什么？

小学数学只记关键词，题目一换就容易出问题。

“甲比乙多8个，甲有25个，乙有多少个？”

本质上仍然可以放回数量关系中理解：

乙＋8＝甲。

因此：

25－8＝17。

题目纵然多变，背后的数量关系并没变。

二、第二个模型：每份数×份数＝总量

一本练习册12元，买5本，一共多少钱？

12×5＝60。

数量关系是：

每本12元 × 5本 = 总价60元。

如果把问题换成：

5本练习册一共60元，每本多少钱？

60÷5＝12。

如果换成：

每本12元，一共花了60元，可以买几本？

60÷12＝5。

三个问题使用了不同的运算，但实际上还是同一个关系：

每份数 × 份数 = 总量。

这就是一个非常重要的基本模型。

每分钟走80米，走6分钟，一共走多少米？

80×6＝480。

这里变成：

速度 × 时间 = 路程。

看起来和“单价×数量=总价”完全不是一回事。

但从数量关系上看，它们的结构是一样的：

一个单位量 × 多少单位 = 总量。

单价是“每1件多少钱”，速度是“每1分钟走多远”。

所以：

单价×数量=总价

和

速度×时间=路程

其实属于同一种基本数量关系。

三、题型很多，只是换了外衣

今天学“买东西”，记住单价、数量、总价。

明天学“行程问题”，再记速度、时间、路程。

后天学“工程问题”，又出现工作效率、工作时间、工作总量。

再往后，分数、百分数、比和比例继续增加新的名称。

这样学下去，数学就是不断增加新的公式和新的题型。

但如果从数量关系看，情况完全不同。

一件商品80元，打八折后多少钱？

本质上仍然是在研究：

原来的单位量 × 对应的数量关系 = 现在的量。

一辆汽车3小时行驶240千米，平均每小时行驶多少千米？

240÷3＝80。

本质上还是：

速度 × 时间 = 路程。

男生人数是女生的2倍，女生有15人，男生有多少人？

15×2＝30。

这里虽然出现了“倍数”，但仍然是在研究：

一个量与另一个量之间的数量关系。

四、现在的数学教材越来越强调“数量关系”

这和数学课程内容的变化有关。

过去的小学数学教学，很多时候会按照“知识点—例题—练习”的方式推进。

今天学加法，明天学减法。

今天学乘法，之后应用题。

遇到新的题型，再总结一种新的解题方法。

这种方式在基础训练阶段当然有作用。

但到了高年级，问题就会逐渐暴露出来：

做过的题会，没见过的题不会。

原因并不一定是计算能力不够。

很多时候，是没有建立数量之间的关系。

2022年版课程标准更加突出“数与运算”和“数量关系”，实际上是在提醒教学：

计算和应用不能割裂，知识点也不能只停留在表面的题型识别上。

需要逐渐建立从具体问题到数量关系，再到数学表达的能力。

五、两个模型到底有什么用？

把小学数学的大量问题归纳成两个基本模型，并不是为了再背两个模型。

恰恰相反，是为了减少记忆量。

最基础的两种关系，可以简单理解为：

模型一：部分与整体

部分＋部分＝整体

对应的逆向关系就是：

整体－部分＝另一部分

它可以解释大量和差、部分与整体、比较等问题。

模型二：每份与总量

每份数×份数＝总量

对应的逆向关系就是：

总量÷份数＝每份数

或者：

总量÷每份数＝份数

它可以解释大量单价、速度、工作效率、单位量、倍数等问题。

六、对学数学有什么实际意义？

对家长来说，这一点比记住两个模型的名称更重要。

“题目告诉了哪些数量？”

“这些数量之间有什么关系？”

“现在要求的是什么？”

“如果画成线段图，这几个量应该怎么表示？”

比如：

“一本书24元，买3本，一共多少钱？”

“24元表示什么？”

“3表示什么？”

“要求的是什么？”

七、需要警惕“会做题”，不会分析题

小学阶段练习做得多，但一换题目就不会。

这时候继续大量刷题，不一定能够解决根本问题。

可能没有真正理解它背后的数量关系。

例如：

“每本书15元，买4本，一共多少钱？”

孩子会做。

换成：

“每小时行驶15千米，4小时行驶多少千米？”

孩子也许就需要重新学习。

但如果他真正理解：

单位量×对应的份数=总量

那么“书”“钱”“速度”“路程”这些外在情境发生变化，并不会影响他的判断。

题目换了，关系还能认出来。

八、小学数学应该怎么学？

可以简单归纳成三件事。

第一，先理解数量，再进行计算。

不要一看到数字就急着列算式。

先弄清楚每一个数字代表什么。

第二，同一种数量关系，要让孩子接触不同的题目。

同一个模型，可以放在购物、行程、工程、倍数等不同情境中。

题目换了，数量关系未必变。

第三，同一道关系，要训练正向和逆向思考。

已知部分求整体，是一种思考。

已知整体求部分，是另一种思考。

已知单价和数量求总价是一种思考。

已知总价和数量求单价，同样是这个关系的逆向应用。

小学数学要慢慢形成一种稳定的数学思维：

看到数字，先看它表示什么；

看到题目，先看数量之间有什么关系；

看到算式，知道它为什么这样列；

题目换一种说法，仍然能够找到原来的关系。

题目的背景可以变，数字可以变，问法可以变。

但数量关系不会因为换了一件“外衣”，就完全变成另外一种数学。